Урок в 11 классе на тему: "Решение 14 задания координатным методом".

«Решение 14 задания ЕГЭ координатным методом» 

    урок-обобщение.

Тема: Решение 14 задания ЕГЭ координатным методом  (решение заданий в рамках подготовки к ЕГЭ по математике)

Класс: 11

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и умений .               

Цели урока включают формирование:Ценностно-смысловой  компетенции 

·         уметь выбирать целевые и смысловые установки для своих действий и поступков, принимать решения выбора самоопределения и дальнейшей профориентации;

·         построение индивидуальной  образовательная траектории в плане выбора решений заданий ЕГЭ по математике

Общекультурная компетенция

·         знакомство учеников с общественной моралью и традициями

Учебно-познавательной компетенции

·         обобщение знаний и умений по теме «Нахождение угла между прямыми»;

·         классификация и систематизация стереометрических задач С2;

·         планирование, построение и анализ решения стереометрических задач;

·         рефлексия, самоанализ учебно-познавательной деятельности, коррекция  знаний и умений учащимся;

·         добывание знаний непосредственно из реальности;

·         овладение приёмами действий в нестандартных ситуациях (задачи повышенного уровня)

Информационной  компетенции

·           освоение учащимися современных информационных технологий;

·           формирование умения самостоятельно искать, анализировать и отбирать необходимую информацию (тест-материалы, открытый банк данных задач Интернета, справочная литература);

·           умение отобрать нужную информацию и передать её одноклассникам

Коммуникативной  компетенции

·         навык работы в группе;

·         уметь представить себя, задать вопрос, вести дискуссию, «защитить» решение и др.;

·         формирование сплочённости, коллективизма

Социально-трудовой  компетенции

·         воспитание ответственного отношения к учебному труду;

·         развитие и закрепление вычислительных умений

Компетенция личностного самосовершенствования

·         подготовка ученика к реализации себя в социуме;

·         самосовершенствование личности, так и совершенствование личностью социума

Оборудование:

¾    компьютер;

¾    презентация с заданиями и решением;

¾    индикаторы оценки процесса решения (лист с 5 таблицами критерий для каждого учащегося);

I. Вводная часть

1. Организационный момент

- Скоро дорогие 11-классники вам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике. Ваша  задача  сдать этот экзамен. Но каждый для себя уже должен был наметить круг предметов которые будут необходимы для поступления в учебное заведение. Безусловно математика является обязательным предметом. Но не всем необходим будет наибольший балл, который обеспечивает блок задач группы С. Несмотря на различные приоритеты в плане решения заданий ЕГЭ мы на уроке  рассмотрим задачи группы С2.

Сегодня на уроке нужно:

·  не бояться трудностей;

·  уметь делать адекватный выбор;

·  уметь ставить цели, соотносить свои возможности с поставленной целью и достигать ее;

·  уметь признавать свои ошибки и учиться на них;

·  верить в собственные силы;

·  уметь выражать и отстаивать свое мнение при этом уважать точки зрения других людей;

·  уметь общаться и договариваться с людьми

Тема нашего урока -  «Решение 14 задания ЕГЭ координатным методом ». И проведём мы данный  урок в форме обобщения задач группы С2. И на финише подведем итоги.

Этот тип заданий теста повышенного уровня для нас и наиболее  приближен к материалам  ЕГЭ по математике 2016 г. 

2. Переход к теме урока.

 Наибольшие затруднения у учащихся вызывают задания группы С2, требующие повышенного уровня знаний и умений.

Анализ заданий задач С2 показал,  что все задачи можно классифицировать по двум главным блокам: «Углы и расстояния», которые подразделяются на следующие:

Углы:

¾    между двумя прямыми;

¾    между прямой и плоскостью;

¾    между двумя плоскостями.

Расстояния:

¾    от точки до прямой;

¾    от точки до плоскости;

¾    между двумя прямыми.

  Наши задачи

- рассмотреть  эти темы;

-выделить основные типы задач и методов решений.

 «Человек, по-настоящему мыслящий, черпает из собственных ошибок не меньше познания, чем из успехов».

II. Актуализация опорных знаний

«Чем больше я знаю, тем больше я умею»

Теоретический блок знаний

  Для решений  заданий каждой части В, так и части  С учащимся необходимо владеть нужным объёмом информации: теоретическим материалом по данной теме:

а) угол между пересекающимися прямыми;

  Из планиметрии известно, что за величину угла между пересекающимися прямыми  принимается величина наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

в) угол между скрещивающимися прямыми

   Величина угла между скрещивающимися прямыми a,b определяют следующим образом. Через произвольную точку М пространства проводят прямые   a и   b и находят величину угла между пересекающимися прямыми . Эту величину и принимают за угол между скрещивающимися прямыми a,b. При этом величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М. Величина угла принадлежит промежутку .

III. Практическая часть

Ознакомление с тематикой задач.

Итак, первое рассмотрим задачу по теме  «Углы между двумя прямыми»

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.

При нахождении угла между прямыми используют  формулу  

                    

Задача.  Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и  B1E. Слайд 6

2. Задача на нахождение  угла между прямой и плоскостью.

 Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Угол между прямой  и плоскостью  можно вычислить:

 по формуле 

                                                или в координатах

                                                                       ,

где                    - вектор нормали к плоскости α,

                  - направляющий векор прямой l   

 Задача.  В прямоугольном параллелепипеде  АВСDAB1C1D1          АВ=8, ВС=6, АА1=12.

Точка К – середина ребра АD,   точка М лежит на ребре DD1

так, что DM:D1M=1:2.

а) Докажите, что прямая ВD1 параллельна плоскости СКМ.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью СКМ .

 Вариант 126  aleks.larin.  Слайд  8

3. Задача на нахождение   расстояния от точки до плоскости.

 Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние от точки М до плоскости α

вычисляется по формуле

                                                 ,

где М(х0;у0;z0),     плоскость  задана уравнением

                              ax+by+cz+d=0;

Задача. В  прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1  АВ=6, ВС=4, АА1=7.
Точка Р – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=2:5.
 Найдите расстояние от точки D до плоскости МРС. 
Вариант 125 aleks.larin Слайд 10.

4. Задача на нахождение расстояния между двумя прямыми.

В основании прямой призмы  ABCDA1B1C1D1 лежит ромб АВСD с диагоналями АС = 8 и ВD = 6.
а) Докажите, что прямые ВD1 и АС перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми ВD1 и АС, если известно, что боковое ребро
призмы равно 12.
Вариант 124 aleks.larin Слайд 11

1) Зададим систему координат

2) Определим координаты 2-х точек задающих прямую ВД1.

3) Определим координаты 2-х точек задающих прямую АС, точка О середина АС

4) Пусть ОК - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BД1 и АC, то есть

 ˔ОК=0

 К Є ВД1 и делит  в отношении к =

Ищем координаты точки К по формулам

               состовляем уравнение, находим значение к.

 Записываем координаты вектора ОК и находим длину вектора ОК

5. Задача на нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

            по формуле                                                                                                                                          ,

где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2);

 Задача. В  кубе АВСDA1В1С1D1    АВ =6,  точка Р середина ребра АД, а точка М расположена на диагонали СС1 так, что СМ = 2МС1. Найдите расстояние между точками Р и М.

6. Задача на нахождение  угла между двумя плоскостями.

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Угол между  двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

по формуле  

или в координатной форме

где                               - вектор нормали плоскости Ах+Ву+Сz+D=0,

Задача. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1.   Слайд 16.

Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей

 

Выводы

Как вы видите, все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), координатным методом получаются в ходе несложных алгебраических вычислений. Нам не нужно задумываться, к примеру, как проходит та или иная плоскость, как упадет перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, каким образом скрещивающие прямые перенести, чтобы они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек, векторов или плоскостей и воспользоваться формулой.

IY. Подведение итогов урока

Рефлексия

        Итак, каждый для себя  на финише ответьте на вопросы:

o   узнал ли я для себя что-то новое на уроке;

o   каким образом определяется угол между скрещивающимися прямыми;

o   какой блок знаний используется из планиметрии;

o   задачу С2 на каких фигуры мне нужно рассмотреть, чтобы лучше усвоить: нахождение угла между прямыми в пространстве.

      Для оценивания вашей работы на уроке сдайте листы с индикаторами.

Домашнее задание (творческого характера)

По материалам ЕГЭ по математике подберите и решите задачи С2 по теме «Нахождение растояния между прямыми» на различных фигурах.