Уроки по геометрии в 8 классе на 3 четверть

Урок 34. Решение задач на применение признаков подобия треугольников

Цель деятельности учителя	Создать условия для формирования у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач
Термины и понятия	Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия
Планируемые результаты
Предметные умения		Универсальные учебные действия
Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности		Познавательные: осуществляют поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы. Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения, контролировать действие партнера; осуществляют самоанализ и самоконтроль. Коммуникативные: умеют вступать в речевое общение, участвовать в диалоге. Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	•  Учебник. •  Задания для индивидуальной работы
I этап. Проверка домашнего задания
Цель деятельности	Совместная деятельность
Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания; оценить рисунки учащихся и список вопросов	(Ф) 1. Обсудить вопросы учащихся по домашней работе. 2. Оценить рисунки учащихся. 3. Заслушать список вопросов, которые подготовили учащиеся. (И) 4. Провести 5-минутный тест (см. Ресурсный материал). Ответы к тесту: 1-й вариант: 1. Подобными; 2. k = 2; 3. х = 7. 2-й вариант: 1. Коэффициентом; 2. k =3; 3. х = 5

Продолжение табл.

II этап. Решение задач
Цель деятельности	Совместная деятельность
Научить применять признаки подобия при решении задач	(И) 1. Решение задач по готовым чертежам. 1) Найти: ÐC1, B1C1.                                  2) Найти: ÐC, ÐC1.                         3) Найти: ВМ.                          Ответ: ÐС1 = 71°, В1С1 = 15 см.              Ответ: ÐC = ÐС1= 60°.                 Ответ: ВМ = 6 см. 4) Найти: ВС.                                              5) Найти: АВ, NC.                       Ответ: ВС = .                                       Ответ: АВ = 8, NC = 8. Проверить решения задач по готовым ответам. Учащиеся, справившиеся со всеми задачами, решают дополнительные. Индивидуально поработать с теми детьми, которые допустили ошибки при решении задач.
		2. Дополнительные задачи. 1) Диагональ АС трапеции ABCD (AB || CD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см. Ответ: SАВСD = 204 см2. 2) Угол В треугольника ABC в два раза больше угла А. Биссектриса угла В делит сторону АС на части AD = 6 см и CD = 3 см. Найдите стороны треугольника ABC. Ответ: АС = 9 см, АВ =  см, ВС =  см
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя			Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу на уроке. – Какие трудности возникли при решении и почему? – За что бы ты себя похвалил на уроке? – Что изменил бы в своих действиях на уроке? – Что бы ты изменил на уроке в последующем? – Что тебе понравилось на уроке больше всего?			(И) Домашнее задание: решить задачи № 562, 563, 604, 605

Ресурсный материал

Тест
«Признаки подобия треугольников»

Ф. И.	Ф. И.
Вариант I	Вариант II
1. Вставить пропущенное слово. Два треугольника называются _____________________, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого	1. Вставить пропущенное слово. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется ______________________________ подобия
2. Найти коэффициент подобия. Ответ: ________________________	2. Найти коэффициент подобия. Ответ: _________________________
3. Найти х, если АВ = 21, ВС = 30, МС = 10. Ответ: _________________________	3. Найти х, если АВ = 10, АС = 40, РС = 20.   Ответ: _________________________

Урок 35. Решение задач на применение признаков подобия треугольников

Цель деятельности учителя			Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение признаков подобия треугольников для подготовки учащихся к контрольной работе
Термины и понятия			Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия
Планируемые результаты
Предметные умения				Универсальные учебные действия
Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности				Познавательные: осуществляют поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы. Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения, контролировать действие партнера, работать в группе, осуществлять самоанализ и самоконтроль. Коммуникативные: вступают в речевое общение, участвуют в диалоге. Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета
Организация пространства
Формы работы			Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)
Образовательные ресурсы			•  Учебник. •  Задания для групповой и индивидуальной работы
I этап. Проверка домашнего задания
Цель деятельности			Совместная деятельность
Проверить уровень усвоения признаков подобия треугольников			(Ф/И) 1. Ответить на вопросы учащихся. 2. Проверить выполнение домашнего задания.
		№ 562. Дано: DАВС, АВ = а, СН ^ АВ, СН = h, MNKE – квадрат. Найти: MN. Решение: Рассмотрим DАВС и DKNC. ÐВ = ÐN (как соответственные при АВ || NK и секущей ВС), ÐС – общий, следовательно, DАВС ~ DKNC (по двум углам), следовательно, Примем MN = NK = KE = ME = x, следовательно, CQ = h – x. Подставим значения в (*), получим:   а (h – x) = hx; аh = hx + ах;  то есть MN = Ответ: № 563. Дано: DАВС, АD – медиана, M Î АD, BM Ç AC = K. Найти: – ? Решение: а) Если M – середина АD (дополнительное построение ND || KB): 1) Рассмотрим DAKM и DAND; ÐА – общий, ÐK = ÐN (как соответственные при KB || AD и секущей AN), следовательно, DAKM ~ DAND (по двум углам), следовательно,  (так как AM = MD по условию).
	2) Рассмотрим DCND и DCKB; ÐС – общий, ÐD = ÐВ (как соответственные при ND || KB и секущей DВ), следовательно, DCND ~ DCKB (по двум углам), следовательно,  (так как CD = DB по условию). 3)  следовательно, AK = NK = CN, а значит  что и требовалось доказать. б) Если  рассуждая аналогично пункту (а), имеем: 1) DAKM ~ DAND (по двум углам), следовательно, 2) DNCD ~ DCKB (по двум углам), следовательно, 3) , то есть AK : KN = 1 : 2; , то есть CN = NK = 2. Значит, , что и требовалось доказать
II этап. Решение задач
Цель деятельности	Деятельность учителя						Деятельность учащихся
1	2						3
Совершенствовать навыки решения задач на применение признаков подобия треугольников; подготовить учащихся к контрольной работе	(Г) Класс делится на группы по 3–4 человека. Учитель при необходимости оказывает консультативную помощь. Задачи: 1. В прямоугольном треугольнике ABC ÐA = 40°, ÐB = 90°, а в треугольнике						Краткое решение задач: 1. ÐМ : ÐN : ÐK = 5 : 9 : 4, ÐМ + ÐN + ÐK = 180° Þ ÞÐМ = 50°, ÐK = 90°, ÐN= 40° Þ ÐА = ÐN = 40°, ÐВ = ÐK = 90° Þ Þ ∆ABC ~ ∆NKM по двум углам Þ АВ : NK = BC : KM = AC : NM.
	MNK углы М, N, K относятся как 5 : 9 : 4. АВ = 3 см, KN = 9 см. Найти: а) ВС : KМ; б) SАВС : SMNK; в) РАВС : РMNK.  Дано: MN || AC, SАВС : SBMN = = 49 : 25, MN = 20 см.  Найти: АС. 3. В параллелограмме ABCD AE – биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4 : 9. АЕ пересекает диагональ BD в точке K. Найти отношение ВK : KD. 4. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 2 см и 8 см, а диагональ АС равна 4 см. В каком отношении делит диагональ АС площадь трапеции?							а) Так как АВ : NK = 3 : 9 = 1 : 3, то ВС : KМ = 1 : 3. б) SАВС : SMNK = (АВ : NK)2 = 1 : 9. в) РАВС : РMNK = АВ : NK = 1 : 3. Ответ: а) 1 : 3; б) 1 : 9; в) 1 : 3. 2. ∆АВС ~ ∆BMN по двум углам (ÐВ – общий, ÐBAC = ÐBMN). SАВС : SMNK = 49 : 25 = k2, Þ k = Þ АВ : МВ = ВС : BN = = AC : MN =  Þ АС = 28 см. Ответ: 28 см.  Биссектриса ÐA параллелограмма  ABCD отсекает от него равнобедренный треугольник ABE, следовательно, АВ = BE. Так как АВ : ВС = 4 : 9, то BE : ВС = 4 : 9. ВЕ : АD = 4 : 9 (ВС = AD, как противолежащие стороны параллелограмма). ∆AKD ~ ∆ЕKВ по двум углам (ÐBKE = ÐAKD, ÐBEK = ÐKAD), тогда ВK : KD = ВЕ : АD = 4 : 9. Ответ: 4 : 9. ∆АВС ~ ∆DCA по двум пропорциональ- ным сторонам и углу между ними (ВС : АС = АС : АD = 1 : 2; Ðl = Ð2), отсюда SАВС : SАDС = (ВС : АС)2 =. Ответ: 1 : 4.
		5. Прямая MN пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC в точках М и N соответственно так, что ВС = 2MB, АВ = 2NB, MB : NB = 3 : 5. Найти: а) РАВС : PNBM; б) SАВС : SNBM; в) MN : АС				МВ : NB = 3 : 5 Þ ВМ = 3х, NB = 5х; АВ = 2NB Þ АВ = 10х. BM : BC = 3x : 6x = 1 : 2 BN : BA = 5x : 10x = 1 : 2 ÐMBN = ÐCBA, таким образом,  ∆АВС ~ ∆NBM. а) РBMN : РАВС = 1 : 2 б) SАВС :  SNBM  = (2 : 1)2 = 4 в) MN : АС = 1 : 2 Ответ: а) 1 : 2; б) 4 : 1; в) 1 : 2
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя					Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу и работу группы. – Какая задача оказалась для вас трудной и почему?					(И) Домашнее задание: решить задачи. 1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD = 16 см и ВD = 9 см. Докажите, что ∆АСD ~ ∆CВD, и найдите высоту СD. 2. Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС треугольника АВС соответственно, АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ = 12 см, СN = 9 см. Докажите, что MN || ВС

Урок 36. Контрольная работа № 3

Цель деятельности учителя			Создать условия для проверки знаний, умений и навыков учащихся по усвоению и применению изученного материала
Термины и понятия			Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия
Планируемые результаты
Предметные умения				Универсальные учебные действия
Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности				Познавательные: проводят сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям. Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок; осуществляют самоанализ и самоконтроль. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве. Личностные: понимают важность и необходимость знаний для человека
Организация пространства
Формы работы			Индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы			•  Учебник. •  Задания для индивидуальной работы
I этап. Выполнение контрольной работы
Цель деятельности			Задания для контрольной работы
1			2
Проверить знания, умения и навыки по изученному материалу			(И)                                                                               Вариант I Дано: ÐA = ÐB, CO = 4, DO = 6, АО = 5. Найти: а) ОВ; б) AC : BD; в) SАОС : SВОD.
		2. В треугольнике ABC АВ = 4 см, ВС = 1 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK  МK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ÐА = 80°, ÐB = 60°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках М и K соответственно так, что МK || АС, ВМ : АМ = = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМK, если периметр треугольника ABC равен 25 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС – основания) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см2. Вариант II Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МK; б) РЕ : NK; в) SМЕР : SMKN. 2. В ∆АВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ÐB = 70°, а в ∆MNK MN = 6 см, NK= 9 см, ÐN = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МK = 7 см, ÐK = 60°. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ÐACO = ÐBDO, АО : ОВ = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС – основания) диагонали пересекаются в точке О, SАОD = 32 см2, SВОС = 8 см2. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см. Решение заданий контрольной работы Вариант I 1. ∆АОС ~ ∆BOD по двум углам. AO : BO = CO : DO Þ OB = 7,5. AC : BD = 2 : 3. SAOC : SВОD = 4 : 9. Ответ: а) 7,5; б) 2 : 3; в) 4 : 9. 2. АВ : МK = 1 : 2, ВС : KN = 1 : 2, AC : MN = 1 : 2. ∆ABC ~ ∆MKN. ÐM = ÐA = 80°, ÐK = ÐB = 60°. ÐN= 180° – (ÐM + ÐK) = 40°. Ответ: 80°, 60°, 40°.
	а) ∆ВМK ~ ∆BAC по двум углам Þ ВМ : ВА = МK : АС = ВK : ВС = . б) РВМK : РАВС = 1 : 5, значит, РВМK = 5 см. Ответ: 5 см. a) ∆BOC ~ ∆DOA. б) ВО : DО = ОС : ОА = ВС : DА = 4 : 12 = l : 3 = k. в) SВОС :  SDОА  = k2 = , значит, SВОС = 5 см2. Ответ: 5 см2. Вариант II 1. ∆МРЕ ~ ∆MNK по двум углам. МР : MN = ME : МK Þ МK = 9. РЕ : NK = 2 : 3. SМРЕ : SMKN = 4 : 9. Ответ: а) 9; б) 2 : 3; в) 4 : 9. 2. АВ : МN = 2, BС : NK = 2, ÐВ = ÐN Þ ∆ABC ~ ∆MNK. АС : МK = 2 Þ АС = 14 см, ÐC = ÐK = 60°. Ответ: АС = 14 см, ÐC = 60°. 3. а) ∆АСО ~ ∆BDO по двум углам Þ АС : ВD = СО : DО = АО : ВО = 2 : 3. б) РАСО : РАDО = 2 : 3 Þ РАСО = 14 см. Ответ: 14 см.
	a) ∆BOC ~ ∆DOA. б) SВОС : SDОА = 8 : 32 =  = k2, k = 0,5. в) ВС : АD = k = 0,5, значит, ВС = 5 см. Ответ: 5 см
II этап. Итоги урока
Деятельность учителя					Деятельность учащихся
					(И) Домашнее задание: повторить § 2 главы VII и теорему Фалеса

Урок 37. Средняя линия треугольника

Цель деятельности учителя	Создать условия для доказательства теоремы о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника; для применения этих свойств в процессе решения задач
Термины и понятия	Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия, средняя линия треугольника
Планируемые результаты
Предметные умения		Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания		Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; устанавливают причинно-следственные связи, строят логическое рассуждение, делают умозаключения и выводы. Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи. Личностные: проявляют познавательные интерес к изучению предмета
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)
Образовательные ресурсы	•  Учебник. •  Задания для индивидуальной и групповой работы
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Выявить трудности, возникшие при решении задач в контрольной работе	(Ф/И) 1. Сообщить результаты выполненной работы. 2. Обсудить решения задач, с которыми не справились большинство учащихся. 3. Предложить выполнить работу над ошибками самостоятельно дома

.

II этап. Мотивация к деятельности
Цель деятельности			Постановка учебной задачи
Подготовить учащихся к введению понятия средняя линия треугольника			(Ф/И) Повторить теоретический материал в процессе решения задач по готовым чертежам. CD = 4, AD = 8, СЕ = 5, ВЕ = 10. Доказать: а) ∆СDЕ ~ ∆САВ; б) AB || DE. ABCD – трапеция. Доказать: a) BO : OD = CO : OA; б) DO : BO = 2, если ВС =
III этап. Учебно-познавательная деятельность
Изучение нового материала
Цель деятельности		Совместная деятельность
1		2
Ввести понятие средней линии трапеции и доказать теорему о средней линии трапеции		(Ф/И) 1. Определение средней линии треугольника. Определение. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. На доске и в тетрадях рисунок из учебника на с. 145 и запись: «Если АМ = МВ и CN = NB, то MN – средняя линия ∆АВС». (Г) 2. Творческое задание. Работа осуществляется в группах с последующим обсуждением решения. – Исследуйте, какими свойствами обладает средняя линия треугольника. 3. Оформление теоремы о средней линии треугольника с доказательством на доске и в тетрадях. 4. Решение задач № 564, 565 (устно, рисунки на доске выполнены заранее).
	№ 564. Рис. 3 Дано: DАВС, АВ = 8 см, ВС = 5 см, АС = 7 см; А1 Î ВС, В1 Î АС, С1 Î АВ; А1, В1, С1 – середины сторон DАВС. Найти: Решение: 1) А1В1, В1С1, А1С1 – средние линии DАВС, значит, А1С1 =АС = 3,5 см; В1С1 =ВС = 2,5 см; А1В1 =АВ = 4 см. 2) = А1В1 + В1С1 + А1С1 = 3,5 + 2,5 + 4 = 10 (см). № 565. Дано: АВСD – прямоугольник, АС Ç ВD = О, ОН ^ АD, ОН = 2,5 см. Найти: АВ. Решение: 1) Рассмотрим DАОН и DАСD: ÐА – общий, ÐН = ÐD = 90°, следовательно, DАОН ~ DАСD, следовательно, . Так как О – середина АС, то АО = АС, значит, . 2ОН = СD; 2 · 2,5 = СD; СD = 5 см. (Г) 5. Творческое задание. Задача № 1, с. 146 (учащиеся работают в группах по 3–4 человека). Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной  точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
	6. Решение задачи с целью закрепления свойства медиан треугольника (устно). В треугольнике ABC медианы АА1, ВВ1 и СС1, равные соответственно 6 см, 9 см и 12 см, пересекаются в точке О. Найти: АО + ОВ + СО
IV этап. Решение задач
Цель деятельности	Деятельность учителя			Деятельность учащихся
1	2			3
Совершенствовать навыки решения задач на применение знаний о подобных треугольниках	(Ф/И) Решить на доске и в тетради № 567 и 570			№ 567. Дано: АВСD – четырехугольник, M, N, K, E – середины сторон. Доказать: MNKE – параллелограмм. Доказательство: 1) Рассмотрим DАВС и DMBN: ÐB – общий,  (по условию), следовательно, DАВС ~ DMBN (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, MN =АС и MN ^ АС.
				2) Рассмотрим DАВС. KE – средняя линия DАDС (по определению), значит, KE =АО и KE || АС. 3) Вывод: MN = KE =АС. KE || MN || АС Þ MNKE – параллелограмм по признаку, что и требовалось доказать. № 570. Дано: АВСD – параллелограмм, АС = 18 см, М Î АВ, АМ = МВ, МD Ç АС = О. Найти: АО, ОС. Решение: 1) Рассмотрим DАВD. DМ, АЕ – медианы и АЕ Ç DМ = О, по свойству медиан АО : ОЕ = 2 : 1. 2) Так как (свойство диагонали параллелограмма) АЕ = 9 см, тогда АО = 6 см, ОЕ = 3 см, отсюда ОС = ОЕ + ЕС = 3 + 9 = 12 см. Ответ: 6 см, 12 см.
V этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Составьте синквейн к уроку. – Оцените свою работу				(И) Домашнее задание: вопросы 8, 9, с. 159; № 565, 566, 571

Урок 38. Средняя линия треугольника

Цель деятельности учителя	Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение теоремы о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника
Термины и понятия	Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, средняя линия треугольника, медианы треугольника
Планируемые результаты
Предметные умения		Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания		Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; устанавливают причинно-следственные связи, строят логическое рассуждение, делают умозаключения и выводы. Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи. Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	•  Учебник. •  Задания для индивидуальной работы
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Проверить правильность выполнения домашнего задания и уровень теоретических знаний	(Ф/И) 1. Проверить домашнее задание. К доске вызываются трое учеников для решения домашнего задания. 2. Самостоятельная работа на 5 минут с самопроверкой (см. Ресурсный материал)

II этап. Решение задач
Цель деятельности	Задания для самостоятельной работы
Совершенствовать навыки решения задач на применение средней линии треугольника	(И) 1. Решить задачи письменно с последующей проверкой по готовым ответам (15 минут).                                                                                  Найти: МK.                                      Найти: KL.                                       Найти: MF. Ответ: МK = 12.                            Ответ: KL = 5.                               Ответ: MF = 4.                                                5) О – точка пересечения медиан, MN || АС.             Найти: АD. Найти: MN. Ответ: MN = 8.                                         Ответ: АD = 11.
		SАВС = 369 см2. Найти: а) ; б) SАОС; в) . Ответ: а) = 15 см2; б) SАОС = 12 см2; в)  = 6 см2. (Ф) 2. Решить у доски и в тетрадях № 568 (а), 617
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя			Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу. – Что получилось на уроке, что вызвало затруднения? Почему?			(И) Домашнее задание: решить № 568 (б), 618

Ресурсный материал

Самостоятельная работа

	Дано: DАВС, АВ = 16, ВС = 18, АС = 20. PDMNK – ?		Дано: DKLM, PDKLM = 24. PDEFT – ?
	Дано: FSMN – прямоуголь-ник, OK = 24. SF – ?		Дано: ABCD – прямоугольник, CD = 30. РEFMN – ?

Ответы: 1. Р_DMNK  = 27; 2. Р_DETF  = 12; 3. SF = 48; 4. Р_EFMN  = 120.

Урок 39. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Цель деятельности учителя		Создать условия для рассмотрения задачи о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
Термины и понятия		Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, среднее пропорциональное
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания			Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; устанавливают причинно-следственные связи, строят логическое рассуждение, делают умозаключения и выводы. Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи. Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета
Организация пространства
Формы работы		Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)
Образовательные ресурсы		•  Учебник. •  Задания для фронтальной работы
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности		Совместная деятельность
Выявить трудности при выполнении домашнего задания; проверить умение применять изученный материал при решении простейших задач		(Ф/И) 1. Проверка домашнего задания. Один из учеников у доски показывает решение № 618. Дано: ABCD – параллелограмм, М Î CD, СМ = МD; NÎ ВС, ВN = NС; АN Ç BD = Е, АМ Ç BD = F. Доказать: ВЕ = ЕF = DF. Доказательство: 1) Рассмотрим DABC. АN, ВО – медианы, по свойству медиан ВЕ : ЕО = 2 : 1. 2) Аналогично в ACD:  DF : FО = 2 : 1. 3) Так как в параллелограмме ABCD диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ВО = ОD. ВЕ + ЕО = FО + FD, то есть ВЕ = ЕF = DF. 2х = 1 х + 1х = 2х, что и требовалось доказать. (И) 2. Самостоятельная работа. Вариант I Площадь ромба 48 см2. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба. Вариант II Площадь прямоугольника равна 36 см2. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника
II этап. Мотивация к деятельности
Цель деятельности		Постановка учебной задачи
При решении задач по готовым чертежам подготовить учащихся к восприятию новой темы		(Ф) Решение задач по готовым чертежам с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала. Дано: ÐB = 90°, ÐC = 35°. Доказать: a) ∆ABD ~ ∆BCD; б) ∆ABD ~ ∆ACB. Дано: ÐB = 90°. Найти: BD.
III этап. Изучение нового материала
Цель деятельности	Совместная деятельность
Ввести понятие среднего геометрического двух отрезков, отработать решение задач, помочь в построении доказательства	1. Среднее геометрическое двух отрезков. Ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков. Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АB и CD, если ХY = . 2. Решение задач (устно). 1. Найти длину среднего пропорционального отрезков MN и KР, если MN = 9 см, KР = 16 см. 2. Среднее пропорциональное отрезков АВ и CD равно 10, а разность их длин равна 21. Найти длины отрезков АВ и CD. (Г) 3. Творческое задание. (Класс разбить на группы.) Задача № 2 (с. 146–147, п. 65 учебника), утверждения 1° и 2° (с. 147, п. 65). 1-я группа: Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. 2-я группа: Доказать, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. (Данные задачи желательно дать группам на отдельных карточках для обеспечения максимально самостоятельного подхода к решению задач.)
IV этап. Закрепление изученного материала
Цель деятельности	Деятельность учителя			Деятельность учащихся
1	2			3
Закрепить полученные знания	(Ф/И). 1. Решить у доски и в тетрадях № 572 (а, в).			№ 572 (а, в). а)                                                        в) h = = 5 · 4 = 20    ; b2 = c · bc, 144 = с · 6, с = 24.

Окончание табл.

1	2	3
	2. Решить № 573 (устно). 3. Решить № 575	с = ас + bc = 25 + 16 = 41                  с2 = а2 + b2; 576 = а2 + 144; а2 = 432;          а = .          ; а2 = c · аc; 432 = 24 · аc;                                                            ас = 18. № 575. Дано: DАВС, ÐС = 90°, АС : ВС = 3 : 4, АВ = 50 мм, CD ^ AB. Найти: AD, BD. Решение: 1) АС2 + ВС2 = АВ2; (3х)2 + (4х)2 = 2500 25х2 = 2500; х2 = 100; х = 10; АС = 30 мм, ВС = 40 мм 2)  Ответ: 18 мм; 32 мм
V этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя		Деятельность учащихся
(Ф/И) – С какими понятиями познакомились на уроке? – Какой этап урока оказался для вас наиболее сложным? – Составьте синквейн к уроку		(И) Домашнее задание: решить № 572 (б), 574, 576

Урок 40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Цель деятельности учителя				Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение теории подобных треугольников
Термины и понятия				Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, среднее пропорциональное
Планируемые результаты
Предметные умения					Универсальные учебные действия
Владеют навыками устных, письменных, инструментальных вычислений					Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации. Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве. Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач
Организация пространства
Формы работы				Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы				•  Учебник. •  Задания для индивидуальной работы
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности				Совместная деятельность
1				2
Выявить трудности при выполнении домашнего задания				(Ф/И) Проверка домашнего задания. 1. Вызвать троих учащихся для решения домашнего задания. 2. Подготовить доказательства следующих свойств прямоугольного треугольника: 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.
	2) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для  отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. 3) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла
II этап. Решение по готовым чертежам
Цель деятельности	Деятельность учителя						Деятельность учащихся
1	2						3
На простых задачах закрепить знания о пропорциональных отрезках	(И) Учащиеся решают задачи самостоятельно, затем проверяют их у доски. Найти: СН.      Найти: МС. Найти: АВ, ВС.						Ответы: 1. СН = 10. 2. МС = 9. 3. АВ = , ВС =
			Найти: х; у; z			4. х = , у = , z = 3
III этап. Решение задач
Цель деятельности			Деятельность учителя			Деятельность учащихся
1			2			3
Совершенствовать навыки решения задач			(Ф/И) Учащиеся решают у доски и в тетрадях № 577, 614			№ 577. Дано: DАВС, АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 мм, BD ^ AС. Найти: AD, CD. Решение: 1) Так как 52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169, то DАВС – прямоугольный и ÐВ = 90°. 2) Ответ:
						№ 614. Дано: DАВСD – трапеция, ÐА = 90°, АC ^ ВD, ВD Ç CА = О, AB = 6 см, АD = 4 см. Найти: DС, DB, СВ. Решение: 1) По теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2; BD2 = 36 + 16 = 52; BD =  см. 2) Рассмотрим DADC и DBAD; ÐD = ÐА = 90°;ÐС = ÐD, следовательно, DADC ~ DBAD (по двум углам), следовательно, 3) По теореме Пифагора ВС2 = ВН2 + СН2;  следовательно,  см. Ответ:  см;  см;  см

IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя	Деятельность учащихся
(Ф/И) – Подведите самостоятельно итоги урока. – Какие задачи вызвали у вас наибольшее затруднения? Почему?	(И) Домашнее задание: № 607, 623

Урок 41. Измерительные работы на местности

Цель деятельности учителя	Создать условия для применения подобия треугольников в измерительных работах на местности
Термины и понятия	Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, среднее пропорциональное
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют навыками устных, письменных, инструментальных вычислений			Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни. Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве. Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	•  Учебник. •  Задания для индивидуальной работы. •  Исторические сведения
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности	Задания для самостоятельной работы
Проверить уровень сформированности знаний по изученной теме	(Ф/И) 1. Проверка домашнего задания. 2. Выполнение теста (см. Ресурсный материал)
II этап. Изучение нового материала
Цель деятельности		Деятельность учителя			Деятельность учащихся
Ознакомить учащихся с практическим применением подобия		(И) – Прочитайте самостоятельно текст «Определение расстояния до недоступной точки» на с. 151 учебника. – Используя задачу № 583 и рис. 204 (с. 155), составьте план действий для определения ширины реки. – Решите задачу № 582. Один из учащихся работает у доски, остальные в тетрадях			Возможный план: 1) На местности выбрать точку А и точку В1 на берегу реки так, чтобы АВ1 было перпендикулярно берегу. В – точка на  противоположном берегу. 2) На берегу реки выбрать точку С, отличную от В1. 3) Измерить углы В1АС и АСВ. 4) На листе бумаги выполнить рисунок в некотором масштабе и провести прямую В1С1 параллельно В1В. 5) Вычислить АВ, а затем В1В. АВ : АС = АВ1 : АС1 Þ АВ = АС ∙  АВ1 : АС и В1В = АВ – АВ1. № 582. DA1В1C1 ~ DAВC (по построению). Тогда Þ Þ= 48 (м). Ответ: 48 м
III этап. Исторические сведения
Цель деятельности					Совместная деятельность
Ознакомить учащихся с историческими фактами о подобии, дошедшими до наших дней					(Ф) (См. Ресурсный материал)
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Какие факты вы для себя открыли? – Оцените свою работу на уроке				(И) Домашнее задание: № 580, 581; подготовить сообщение о применении подобия в быту

Ресурсный материал

Тест

1) Выберите верное соотношение между элементами прямоугольного треугольника.         

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2) Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?

а) 0;      б) 1;

в) 2;      г) 3.

3) Треугольники BMN и ABC, изображенные на рисунке:

а) подобны по двум углам;

б) подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;

в) подобны по трем пропорциональным сторонам;

г) не подобны.

4) На рисунке в прямоугольном треугольнике АВС длина катета ВС равна _______

Ответы: 1) г; 2) г; 3) б; 4) СВ = .

Исторические сведения

•  Уже в XVI в. нужды землемерия, строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение такого рода носит название «О земном верстании, как землю верстать». Оно является частью «Книги сошного письма», написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г. При разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 г. была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 гг. и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сводятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний.

•  Для измерения расстояния от точки Я до точки Б (см. рис. 1) рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека. К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов (или его продолжение) проходил через точку Б. Отмечается точка З пересечения другого катета (или его продолжения) с землей. Тогда расстояние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так, как длина жезла к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен на 1000 равных частей.

•  За шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский вычислил высоту египетской пирамиды, измерив длину ее тени. Как это было, рассказывается в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия». Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой его тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлек пользу из своей тени.

ПРИТЧА

Усталый чужеземец пришел в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона. Он что-то сказал слугам. По мановению руки распахнулись перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители великих тайн природы.  

– Кто ты? – спросил верховный жрец.

– Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

– Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? – Жрецы согнулись от хохота.

– Будет хорошо, – насмешливо продолжал жрец, – если ты ошибешься не более чем на 100 локтей.

– Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы великого Египта.

– Хорошо, – сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство.

На следующий день Фалес нашел длинную палку, воткнул ее в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определенного момента. Провел некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал ее высоту.

Когда тень от палки будет той же длины, что и сама палка, то длина тени от центра основания пирамиды до ее вершины будет иметь ту же длину, что и сама пирамида. СЕ = ED, то есть H = b.

Преимущества: не требуются вычисления.

Недостатки: нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени.

Урок 42. Задачи на построение методом подобия

Цель деятельности учителя		Создать условия для применения подобия треугольников в задачах на построение
Термины и понятия		Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, среднее пропорциональное
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют навыками устных, письменных, инструментальных вычислений			Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни. Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве. Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач
Организация пространства
Формы работы		Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы		•  Учебник. •  Задания для индивидуальной работы
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности		Совместная деятельность
Выявить трудности, возникшие при вы-		(Ф/И) 1. Проверка домашнего задания. Разобрать задачи, с которыми не справилось большинство учащихся.
полнении домашнего задания	2. Заслушать сообщения учащихся о подобии в жизни человека. 3. Решить задачи на построение: 1) Постройте медиану AM треугольника ABC. 2) Постройте биссектрису МА треугольника MNK. 3) Постройте высоту РK треугольника PST. 4) Постройте прямую, параллельную стороне АВ треугольника ABC и проходящую через точку С
II этап. Решение задач на построение методом подобия
Цель деятельности	Совместная деятельность
Научить решать задачи на построение методом подобия	(Ф/И) 1. Разобрать задачу № 584 (деление отрезка в данном отношении). Учащиеся самостоятельно читают решение задачи по учебнику, а затем один из наиболее подготовленных учеников решает ее у доски, остальные – в тетрадях.  2. Решить задачу № 585 (а) на доске и в тетрадях. Один из учащихся работает у доски, остальные – в тетрадях. № 585 (а). План построения: 1) Построить луч AD и отложить на нем отрезки АK и KD так, чтобы АK : KD = 2 : 5 (например, АK = 2 см, KD = 5 см). 2) Провести прямую BD. 3) Провести прямую K || BD (F  АВ). AF : FB = AK : KD = 2 : 5. 3. Прочитать самостоятельно п. 66 (задачу 3). 4. Решить самостоятельно задачу № 586 с последующим обсуждением. Учащиеся решают задачу в тетрадях, затем один из них по желанию выходит к доске и комментирует свое решение. Построение: 1) Построить угол, равный данному (ÐA). 2) Построить биссектрису данного угла и отложить на ней отрезок (АО), равный биссектрисе данного треугольника. 3) Построить угол, равный второму углу, (ÐВ1) от произвольной точки на одной из сторон первого угла
	4) Через точку О провести прямую, параллельную О1В1. 5) Прямая ОВ пересекается со второй стороной угла в точке С. ∆АВС – искомый. 5. Решить самостоятельно задачу № 589. Дано: ÐA = α, BC = a, AB : AC = 2 : 1 (рис. а). Построить: ∆АВС. Построение (рис. б): 1) Построить ÐА = α. 2) Построить отрезки АС1 и АВ1 на сторонах ÐА так, что АВ1 : АС1 = 2 : 1. 3) Откладываем отрезок АВ = , АС = . 4) ∆АВС – искомый
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Что оказалось сложным для вас в этом уроке? – Что необходимо сделать, чтобы минимизировать трудности?				(И) Домашнее задание: № 585 (б, в), 587, 588, 590

Урок 43. Задачи на построение методом подобия

Цель деятельности учителя			Создать условия для применения подобия треугольников в задачах на построение
Термины и понятия			Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, среднее пропорциональное
Планируемые результаты
Предметные умения				Универсальные учебные действия
Владеют навыками устных, письменных, инструментальных вычислений, построений				Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни. Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность решения учебной задачи. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве. Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач
Организация пространства
Формы работы			Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)
Образовательные ресурсы			•  Учебник. •  Задания для групповой и индивидуальной работы
I этап. Активизация знаний учащихся
Цель деятельности			Совместная деятельность
1			2
Выявить трудности в выполнении домашнего задания			(Ф/И) 1. Проверка домашнего задания. № 588. Дано: ÐА = α, АМ = а (медиана), АВ : АС = 2 : 3 (рис. 1а).
			Построить: ∆АВС. Построение: Построение (рис 1б):  1) ÐА = α. 2) Построить на сторонах ÐA отрезки АВ1 и АС1 так, что АВ1 : АС1 = 2 : 3 (АВ1 = 2 см, АС1 = 3 см). 3) Отметить середину В1С1 – точку K. АK – медиана ∆АВ1С1. 4) На луче АK отложить отрезок AM, равный а. 5) Через точку А провести прямую ВС || В1С1. ∆АВС – искомый
II этап. Решение задач
Цель деятельности			Совместная деятельность
1			2
Совершенствовать навыки решения задач методом подобия			(Г) Каждую из задач учащиеся решают самостоятельно в группах, а затем идет обсуждение решения, выбор наиболее рационального способа. 1. Построить треугольник ABC по углу А, отношению сторон АВ : АС = 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины С. Дано: ÐA = α, О – точка пересечения медиан ∆АВС, ОС = m, АВ : АС = 2 : 1. Построить: ∆АВС. Построение: а) Построить угол А, равный α.
		б) На сторонах угла А отложить отрезки АС1 и АВ1 так, что АВ1 : AС1 = 2 : 1. в) Построить точку пересечения медиан треугольника АВ1С1 – точку О1. г) На луче О1С1 отложить отрезок О1Е, равный m. д) Построить прямую ЕС, параллельную медиане АМ1 треугольника АВ1С1, С = ЕС ∩ АС1. е) Через точку С провести прямую СВ, параллельную С1В1, СВ ∩ АВ1 = В. Треугольник ABC – искомый. 2. Построить отрезок , если отрезки m и n известны. В прямоугольном ∆АВС ВD – высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому ВD = ВD2 = СD ∙  АD Þ СD = ВD2 : АD = m2 : n; DK = СD – СK. Если СK = m, то DK = m2 : n – m. Построение: а) Построить ∆ABD, в котором ÐD = 90°, BD = m, AD = n. б) Провести прямую ВС так, что ВС ^ AD = С. в) На луче СА отложить отрезок СK, равный m. г) DK – искомый отрезок.
	Задача не имеет решения, если m < n
III этап. Самостоятельная работа
Цель деятельности	Задания для самостоятельной работы
Совершенствовать навыки решения задач методом подобия	(И)                                                                             Вариант I Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведенной из вершины этого угла. Вариант II Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и биссектрисе прямого угла
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя					Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу на уроке. – Какой этап урока был наиболее сложным?					(И) Домашнее задание: решить № 629