Урок-исследование по алгебре на тему "Уравнение прямой у=kx + l"

Дундукова И.В.

Одним из главных аспектов современного урока, согласно требованиям ФГОС ООО, является деятельностный аспект. Применение  деятельностного подхода в обучении математике обеспечивает  развитие у школьников основной школы высокого уровня знаний, умений, приемов мышления, которые  в свою очередь  способствуют  повышению качества обучения. УМК «Живая математика» - один из инструментов, позволяющих осуществлять деятельностный подход в изучении математики. Поэтому я хочу представить урок-исследование по алгебре в 8 классе, в котором обучающийся приходит к новому знанию, делает выводы в ходе работы за компьютером при выполнении исследовательской работы в УМК «Живая математика».

Тема: Уравнение прямой вида y = kx + l.

Предмет Алгебра

Класс — 8

Цели:

Предментые: знать геометрический смысл коэффициентов к и l в уравнении прямой у = кх  + l,   уметь по уравнению прямой  определять взаимное расположение графиков

 Метапредметные: развивать навыки исследовательской работы, систематизации и обобщения, формировать умение четко и ясно излагать мысли.

Личностные: развитие личности учащихся на основе универсальных учебных действий:  формировать учебно-познавательный интерес к  предмету,  готовность и способность к саморазвитию, умение оценивать свою работу, навыки сотрудничества

Материально-техническое обеспечение урока: ноутбуки для каждой группы из 4 человек, мультимедийный проектор, презентация к уроку, карточки с исследовательской работой (приложение  1), материалы для домашней работы (приложение 2)

Программное обеспечение урока: УМК «Живая Математика»;

Методы организации работы:

1.                             создание проблемной ситуации

2.                             организация исследовательской деятельности

3.                                                           метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод)

 Ход урока.

Приветствие, эмоциональный настрой.

На доске написаны слова: «Скажи мне – и я забуду, покажи мне – и я запомню, дай сделать – и я пойму»

1.                 Проверка уровня усвоения изученного материала, готовности к работе на уроке. Актуализация опорных знаний (презентация):

Слайд №1:

Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя переменными?

Уравнение вида ax +by=c, где a, b,c – некоторые числа, а х, у – переменные.

Слайд №2:

Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

Пара чисел (х ; у), которая обращает уравнение в верное равенство.

Слайд №3:

Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Графиком является прямая.

Слайд №4:

Как из уравнения вида ax +by=c получить уравнение вида у=kx + l?

Решить уравнение относительно переменной у.

Слайд №5:

Что является графиком уравнения у = kх ?

Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

Слайд №6:

В каких координатных четвертях расположен график прямой у=kx ,

если  k  > 0? ( График расположен в 1 и 3 координатных четвертях)

если  k < 0? ( График расположен во 2 и 4 координатных четвертях)

Слайд №7:

Что является графиком уравнения у = l?

Графиком является прямая, параллельная оси Х и проходящая через точку c координатами (0, l).

Слайд №8: На чертеже изображены три прямые. Каждой прямой поставить в соответствии уравнение: 1) у = 1,5х 2) у = 1,5   3) у = - 1,5х

а b c 2 3 1 Слайд №9:

Запишите уравнение прямой,   параллельной прямой  у = 0,5 х + 2  и проходящей через точку (4; - 1).

2. Актуализация и фиксирование  затруднения в поставленной задаче (проблемная ситуация). (4-5 мин)

Готовы ли мы выполнить такое задание? Достаточно ли знаем? Как вы думаете, от чего зависит расположение прямой в координатной плоскости? (от коэффициентов)

3. Постановка учебной задачи: выясним, как влияют коэффициенты на взаимное расположение прямых в координатной плоскости.  Цели для учеников:

Слайд №10

1.                                  знать геометрический смысл коэффициентов k и l в уравнении прямой

у = kх+ l,

2. уметь по уравнению прямых  определять взаимное расположение графиков

4. Проведем  исследовательскую работу (работа выполняется по группам в программе УМК «Живая математика»). Для каждой группы приготовлены карточки для исследовательской работы (приложение 1).

Выясним, какую роль играет коэффициент  k

1 группа: Построить в одной и той же координатной  плоскости прямые у = 3х,

 у = 3х + 3 и у = 3х — 4

2 группа: Построить в одной и той же координатной плоскости прямые у = - 3х,

у = - 3х +3 и у = -3х - 1

3 группа: Построить в одной и той же координатной плоскости прямые у = 2х,

у = 2х + 3 и у = 2х- 3

Что общего у уравнений? Что общего у прямых, являющихся графиками этих уравнений? После построения ученики в группах обсуждают полученный результат, формулируют свои выводы, один человек от группы выступает с отчетом о работе.

1. если коэффициенты k равны, то прямые параллельны

2. если k > 0, то угол острый, а если k < 0, то угол тупой

Выводы:

Слайд №11

k — угловой коэффициент прямой.

Если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

Если же угловые коэффициенты различны, то прямые пересекаются.

Если k > 0, то угол наклона к положительному направлению оси Х - острый, а если k < 0, то - тупой

Выясним, какую роль играет коэффициент l.

Проведем аналогичную исследовательскую работу.

1 группа: Построить в одной и той же координатной  плоскости прямые у = 2  у = 2х + 2 и у =  - х +2

2 группа: Построить в одной и той же координатной плоскости прямые у = - 2,

у =  х – 2 и у = -2х — 2

3 группа: Построить в одной и той же координатной плоскости прямые у = 4, у = 0,6х + 4 и у = -3х + 4

Что общего у уравнений? Что общего у прямых, являющихся графиками этих уравнений?

 Проводится аналогичная работа в группах.

После исследования делаем выводы:  в каждом случае мы получили пучок прямых, приходящих через точку (0; l).

Слайд №12

Прямая y = kx + l пересекает ось у в точке (0; l)

Если l >0 , то точка пересечения расположена выше оси Х

Если l <0 , то точка пересечения расположена ниже  оси Х

Учитель: Итак, посмотрите, сколько полезной информации мы можем извлечь из уравнения прямой: Коэффициенты k и l позволяют судить о положении прямой в координатной плоскости:  коэффициент к определяет угол  наклона прямой к положительному направлению оси ох, а коэффициент l  показывает, в какой точке прямая пересекает ось у.

5.          Первичное закрепление: задания выполняются устно, с пояснениями и комментариями..

Слайд №13

1.  Для каждой прямой назвать угловой коэффициент и точку пересечения с осью Y.  а) у = х + 7 б) у = -0,4х + 3   в) у = 2,4х  - 5   г) у = 6 — 3х

Слайд №14

2. Запишите уравнение прямой, если известен ее угловой коэффициент k и точка, в которой эта прямая пересекает ось у:

а) k = 2,  А(0,1)    б) к = - 4,  А(0, -0,5)   в) к = -0,5, А(0;0) 

Слайд №15

3.   На доске схематично показать расположение в координатной плоскости прямой, заданной уравнением    у = 3,2х — 3    у = 3,2х  + 4  у =  0,6х -3   у = -2х  +4   (первую — учитель с пояснениями, дальше по одной ученики с  комментарием)

Слайд № 16

4.

 

Слайд  №17

6. Включение в систему знаний, разрешение проблемной ситуации. (возвращаемся к задаче из ГИА): Запишите уравнение прямой,   параллельной прямой  у = 0,5 х + 2  и проходящей через точку (4; - 1).

Решение:

1)                           k = 0,5 , т.к. прямые параллельны у = 0,5х + l   

2)                           прямая проходит через точку (4;-1), значит  -1 = 0,5· 4 + l,   l = -3

3)                             у = 0,5х -3 

Слайд №18.

7.     Самостоятельная работа с самопроверкой и коррекция.

1)    Отметьте     пары параллельных прямых.

а) y = 2х – 3 и у = 3х – 2

б) y = 5х – 2 и у = 5х  - 4

в) y = 4х – 3 и у = -4х +3

г) y = -2х – 3 и у = 3 -2х

2)                                Назовите координаты точки в которой прямая y=-5x+4  пересекает ось Оу.

3)                                Дана прямая у = - 4х + 3. Запишите уравнение какой-нибудь  прямой:

а) имеющей такую же точку пересечения с осью у;

б) имеющей такой же угловой коэффициент.

4) Изобразить схематически на координатной плоскости прямые:

а) у= 3х- 2  б) у = 3х +2 в) у=3х  г) у = - 2

8. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока):

Слайд № 19 – изображение дерева

Дерево Успеха:

Если вы считаете, что вы поняли тему сегодняшнего урока, то наклейте зеленый листочек на дерево.

Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то наклейте желтый листочек на дерево.

Если вы считаете, что вы не поняли тему сегодняшнего урока, то наклейте красный листочек на дерево.

Я увижу цветовой индекс урока.

Ученики наклеивают листочек нужного цвета.

9. Домашнее задание:

1)    придумать  и  решить 3 различных задачи, аналогичных тем, которые выполняли на уроке, записать их  для взаимообмена заданиями.

2)          Сделать кластер по теме урока (материалы для кластера выдаются каждому)- приложение 2.

Приложение 1.

Карточка для выполнения исследовательской работы

Группа 1

Исследовательская работа

1 часть «Коэффициент k»

Задание:

1)    Используя программу «Живая математика», построить в одной и той же координатной плоскости прямые:

у = 3х; у = 3х + 3; у = 3х – 4

2)    Заполнить таблицу:

Уравнение	k	l	Как располагаются прямые
у = 3х
у = 3х + 3
у = 3х – 4

3)    Вывод:

Если у прямых равны коэффициенты ______, а коэффициенты ______ различны, то прямые _____________________________________.

Если коэффициент k > 0, то прямая и положительное направление оси Х образуют ______________________ угол;

Если коэффициент k<0, то прямая и положительное направление оси Х образуют ______________________ угол.

2 часть «Коэффициент l»

Задание:

1)    Используя программу «Живая математика», построить в одной и той же координатной плоскости прямые:

у = 2; у = - 2х + 2; у = x +2

2)    Заполнить таблицу:

Уравнение	k	l	Как располагаются прямые
у = 2
у = - 2х + 2
у = x +2

3)    Вывод:

Если у прямых равны коэффициенты ______, а коэффициенты ______ различны, то прямые _____________________________________.

Если коэффициент l > 0, то точка пересечения располагается _______ оХ;

Если коэффициент l < 0, то точка пересечения располагается _______ оХ.

Группа 2

Исследовательская работа

1 часть «Коэффициент k»

Задание:

1)    Используя программу «Живая математика», построить в одной и той же координатной плоскости прямые:

у = - 3х; у = - 3х + 3; у = - 3х – 2

2)    Заполнить таблицу:

Уравнение	k	l	Как располагаются прямые
у = - 3х
у = - 3х + 3
у = - 3х – 2

3)    Вывод:

Если у прямых равны коэффициенты ______, а коэффициенты ______ различны, то прямые _____________________________________.

Если коэффициент k > 0, то прямая и положительное направление оси Х образуют ______________________ угол;

Если коэффициент k<0, то прямая и положительное направление оси Х образуют ______________________ угол.

2 часть «Коэффициент l»

Задание:

1)    Используя программу «Живая математика», построить в одной и той же координатной плоскости прямые:

у = - 2; у = - 2х - 2; у = x - 2

2)    Заполнить таблицу:

Уравнение	k	l	Как располагаются прямые
у = - 2
у = - 2х - 2
у = x - 2

3)    Вывод:

Если у прямых равны коэффициенты ______, а коэффициенты ______ различны, то прямые _____________________________________.

Если коэффициент l > 0, то точка пересечения располагается _______ оХ;

Если коэффициент l < 0, то точка пересечения располагается _______ оХ.

Группа 3

Исследовательская работа

1 часть «Коэффициент k»

Задание:

1)    Используя программу «Живая математика», построить в одной и той же координатной плоскости прямые:

у = 2х; у = 2х + 3; у = 2х – 2

2)    Заполнить таблицу:

Уравнение	k	l	Как располагаются прямые
у = 2х
у = 2х + 3
у = 2х – 2

3)    Вывод:

Если у прямых равны коэффициенты ______, а коэффициенты ______ различны, то прямые _____________________________________.

Если коэффициент k > 0, то прямая и положительное направление оси Х образуют ______________________ угол;

Если коэффициент k<0, то прямая и положительное направление оси Х образуют ______________________ угол.

2 часть «Коэффициент l»

Задание:

1)    Используя программу «Живая математика», построить в одной и той же координатной плоскости прямые:

у = 4; у = 0,6х + 4; у = - 3 x + 4

2)    Заполнить таблицу:

Уравнение	k	l	Как располагаются прямые
у = 4
у = 0,6 х + 4
у = - 3 x + 4

3)    Вывод:

Если у прямых равны коэффициенты ______, а коэффициенты ______ различны, то прямые _____________________________________.

Если коэффициент l > 0, то точка пересечения располагается _______ оХ;

Если коэффициент l < 0, то точка пересечения располагается _______ оХ.

Приложение 2

Материалы для домашней работы (составление кластера)

Заполни схему, используя нужные материалы из таблицы:

k — угловой коэффициент прямой. Если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны. Если же угловые коэффициенты различны, то прямые пересекаются.	Прямая y = kx + l пересекает ось у в точке (0; l) Если l >0, то точка пересечения находится выше оси Х; Если l < 0, то точка пересечения находится ниже оси Х	Графиком уравнения у = является гипербола	Если угловой коэффициент k =0 то прямая y =  l параллельна оси Х и проходит через точку с координатами (0, l)
Если коэффициент l =0 то прямая y = kx проходит через начало координат	Прямая y = kx расположена в 1 и 3 координатных четвертях, если k>0; расположена в 2 и 4 координатных четвертях, если k<0	Если точка (х; у) принадлежит графику уравнения ах + ву = с, то  пара чисел (х;у) является решением этого уравнения	Уравнение ах + ву =с имеет множество решений вида (х;у)