5 уроков по геометрии.Сумма углов треугольника

• 1 слайд

  Сумма углов треугольника
  Выполнила:
  Учитель математики
  Баусова Нина
  Вячеславовна
  МОУ СОШ № 31
  Г. Тверь
  

• 2 слайд

  УРОК 1
  

• 3 слайд

  В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру, о которой мы сегодня будем говорить. Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико, полуостровом Флорида и называется «бермудским треугольником». А ещё его называют «дьявольский треугольник», «треугольник проклятых». Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа «бермудского треугольника» остаётся тайной и по сей день.
  

• 4 слайд

• 5 слайд

  Вспомним, какая фигура называется треугольником?
  Треугольник – это это геометрическая фигура,
  образованная тремя отрезками,
  которые соединяют три не лежащие
  на одной прямой точки.
  Три точки, образующие треугольник,
  называются вершинами треугольника,
  а отрезки — сторонами треугольника.
  

• 6 слайд

  Теперь вспомним какие виды углов мы знаем.
  1
  2
  3
  4
  Развернутый.
  Градусная мера 180 градусов
  
  Острый.
  Градусная мера до 90 градусов
  Тупой.
  Градусная мера от 90
  до 180 градусов
  Прямой.
  Градусная мера 90 градусов
  

• 7 слайд

  Виды треугольников
  
  Запишем в тетрадь:
  Выделяют следующие виды треугольников:
  Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
  

• 8 слайд

  Сделаем чертежи
  

• 9 слайд

  По числу равных сторон
  Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
  Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  

• 10 слайд

  Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°
  План доказательства:
  
  Построим произвольный треугольник.
  Проведем прямую через одну из вершин противолежащей стороне.
  Составим пары равных углов, вспомнив теоремы об углах, образованных параллельными прямыми.
  Представим развернутый уго в виде суммы углов.
  Заменим слагаемые равным им углам треугольника.
  
  

• 11 слайд

  Дано: ∆ АВС;
  Доказать:  А + В+ С =180°
  Доказательство:
  Проведём MN II AC; В Є МN
  MN II AC =>
   1= 4 (накрест лежащие углы)
   3= 5 (накрест лежащие углы)
   МВN - развёрнутый=> МВN =180°
   4 + 2+ 5=180°
   1 + 2+ 3=180°
  или
  А + В+ С= 180°
  Теорема доказана.
  
  А
  N
  С
  В
  М
  1
  3
  2
  4
  5
  

• 12 слайд

  Задача
  Дано: ∆ АВС;
  MN II AC;
  В Є МN
   А=58°;
   С=74°.
   В=?
  
  А
  N
  С
  В
  М
  1
  3
  2
  4
  5
  Решение:
  По теореме о сумме углов треугольника:  В = 180°- (58°+74°)=48°
  

• 13 слайд

  Решение задач
  

• 14 слайд

  52°
  86°
  ?
  20°
  30°
  ?
  35°
  40°
  ?
  ?
  ?
  

• 15 слайд

  Параграф 1 читать. Знать виды треугольников. Учить теорему о сумме углов треугольника с доказательством
  № 223 №225 №226
  ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  УРОК 2
  

• 18 слайд

  Вам были заданы номера № 223 №225 №226
  
  ПРОВЕРИМ
  Откройте тетради с домашней работой
  

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  Теперь повторим теорию
  
  
  1. Какие виды треугольников вы знаете?
  
  2. Как звучит теорема о сумме углов треугольников?
  

• 23 слайд

  Сегодня мы познакомимся с понятием внешний угол треугольника
  

• 24 слайд

  Какие углы называются смежными углами?
  Два угла у которых одна сторона общая,
  а две другие являются продолжением друг друга.
  

• 25 слайд

  Построим треугольник АВС.
  Продолжим сторону АС за вершину С.
  Образовался угол 4.
  Каким он является по отношению к углу 3?
  
  А
  В
  С
  4
  3
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
  Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется ВНЕШНИМ УГЛОМ треугольника.
  

• 26 слайд

  Сколько внешних углов треугольника может быть при каждой вершине треугольника? Что нужно сделать, чтобы построить внешний угол.
  

• 27 слайд

  Угол 4 – внешний угол треугольника
  Угол 5 внешний угол треугольника. Вспомним теорему о сумме углов треугольника.
  1 + 2 + 3 = 180
  2 + 4 = 180
  1 + 2 + 3 = 2 + 4;
  4 = 1 + 2 + 3 – 2;
  4 = (1 + 2) + 2 – 2;
  4 = 1 + 2;
  1
  2
  3
  4
  5
  ВЫВОД: Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника не смежных с ним!!!
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  ЗАДАЧА
  Внешний угол треугольника АВС при вершине В равен 120 градусам. Чему равен угол В в треугольнике АВС?
  
  РЕШЕНИЕ.
  Так как углы 1 и 2 смежные, то их сумма равна 180 градусам. Следовательно
  1 + 2 = 180;
  1 = 180 – 120
  1 = 60.
  ОТВЕТ: Угол В равен 60 градусов
  
  
  В
  С
  А
  1 2
  

• 30 слайд

  ЗАДАЧА
  Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Внешний угол при вершине В равен 100 градусов. Чему равен угол А и угол В.
  А
  С
  В
  100
  РЕШЕНИЕ:
  Угол DВС – внешний угол.
  DВС = А + С ( по свойству внешнего угла)
  100 = А + С
  Треугольник АВС равнобедренный по условию. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит А = С = х
  100 = х + х;
  100 = 2х;
  2х = 100;
  Х = 100/2
  Х = 50
  ОТВЕТ: А = 50; С = 50.
  
  

• 31 слайд

  Решаем задачи
  

• 32 слайд

  ДОМАШНЯЯ РАБОТА
  
  
  
  
  228 234
  

• 33 слайд

• 34 слайд

  УРОК 3
  

• 35 слайд

  РЕШАЕМ ЗАДАЧИ ИЗ ГИА
  

• 36 слайд

  Решение: Так как АВ =ВС, то треугольник равнобедренный. Следовательно углы при основании равны, значит, А = С ;
  Угол А дан по условию и равен 55 градусов, следовательно и угол С = 55.
  По теореме о сумме углов треугольника находим угол В. А + В + С = 180; В = 180 – 55 – 55; В = 70.
  ОТВЕТ: УГОЛ В = 70 ГРАДУСОВ,
  

• 37 слайд

• 38 слайд

  Самостоятельно решите задачу
  В треугольнике ABC угол C равен 45°, AD — биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите угол B.
  

• 39 слайд

• 40 слайд

  Самостоятельно решите задачу
  В треугольнике ABC стороны AC = BC, угол C равен 40°. Найдите внешний угол DBC.
  

• 41 слайд

  Два угла треугольника МНК равны 27 и 63 градуса. Найдите разность градусных мер большего и меньшего углов этого треугольника.
  РЕШЕНИЕ. Пусть известно, что в треугольнике МНК М = 27, н = 63.
  Тогда К = 180 – ( М + К) = 180 – (27 + 63) = 90.
  Значит в треугольнике МНК наибольшим является угол К = 90;, а наименьшим угол М = 27.
  Поэтому разность градусных мер большего и меньшего углов этого треугольника равна: 90 – 27 = 63 градуса.
  Ответ: 63 градуса.
  

• 42 слайд

  Сдаем тетради с классной работой!!!
  

• 43 слайд

  ДОМАШНЯЯ РАБОТА
  

• 44 слайд

  УРОК 4
  

• 45 слайд

  УСТНО
  Один из внешних углов треугольника равен 95°. Чему равна сумма двух внутренних углов, с ним не смежных?
  

• 46 слайд

  Повторим…
  Сумма углов треугольника равна … .
  Треугольник, у которого есть прямой угол, называется Гипотенузой прямоугольного треугольника называется … , другие стороны называются … .
  Треугольник, в котором есть тупой угол, называется …
  Угол, смежный с внутренним углом треугольника, называется …
  Внешний угол треугольника равен … .
  В треугольнике против большего угла лежит … сторона, а против большей стороны лежит … угол.
  

• 47 слайд

  Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
  В треугольнике:
  1) против большей стороны лежит больший угол;
  2) против большего угла лежит большая сторона.
  
  
  

• 48 слайд

  СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ:
  Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета.
  Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то стороны треугольника, лежащие против этих углов, тоже равны.
  

• 49 слайд

  НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
  Формулировка теоремы:
  
  Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  

• 50 слайд

  . Следствие : для любых трёх точек А,В,С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
  АВ<АС+СВ;
  АС<АВ+ВС;
  ВС<ВА+АС.
  Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
  Выводы:
  1) В треугольнике:
  Против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона;
  Если стороны равны, то равны и углы, лежащие против них, и наоборот, если углы равны, то стороны, лежащие против этих углов, тоже равны.
  

• 51 слайд

  Закрепление изученного материала
  В треугольнике АВС: С=А=В. Что это за треугольник?
  Треугольник АСВ – тупоугольный треугольник. Его угол С – тупой. Какая из сторон этого треугольника самая большая?
  Возможно ли, что прямоугольный треугольник будет и равнобедренный?
  
  

• 52 слайд

  1) Существует ли треугольник со сторонами:
  10см, 15см, 2см
  (нет,т.к. 2см+10см<15см);
  1см, 2см, 3см
  (нет, т.к. 1см+2см=3см);
  2см, 2см, 4см
  (нет, т.к. 2см+2см=4см);
  3см, 4см, 5см
  (да, т.к. 3см+4см>5см).
  
  Объясните ответ.
  

• 53 слайд

  Задача
  Градусные меры углов А и В треугольника относятся как 36:29. Найдите градусную меру угла С, если известно, что градусные меры всех углов треугольника выражаются целыми числами градусов.
  РЕШЕНИЕ, Пусть градусные меры углов А,В и С находятся в отношении 36:29:х, то есть их градусные меры равны соответственно 36*k, 29*k, x*k, где k – натуральное число ( 36 и 29 – взаимно просты.) Тогда имеем:
  36*k+29*k+x*k = 180 k = 180/(36 +29+х)
  Так как 36+29+х>60 и k натуральное число, то
  Либо 36+29+х = 90, либо 36+29+х = 180.
  Если 36+29+х = 90, то х = 25, k = 2, угол С = 50
  Если 36+29+х = 180, то х = 115, K = 1, угол С = 115.
  

• 54 слайд

  Решение. Сумма внешних углов треугольника равна 360 градусам. Получаем:
  10*K + 9*K + 5*K = 360;
  24K = 360;
  К = 360/24
  K =15 Значит внешние углы равны 15*10 = 150; 15* 9= 135; 15* 5 = 75;
  Соответственно углы треугольника равны:
  180- 135 = 45; 180 – 150 = 30; 180 – 75 = 105.
  

• 55 слайд

  ДОМАШЯЯ РАБОТА
  №1 Один из углов треугольника в три раза больше второго угла и на 5 раз меньше третьего. Найдите углы треугольника.
  
  №2 Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как 3 : 6 : 11
  
  №3 Два внешних угла треугольника относятся как 1:2 и угол при третьей вершине равен 30 градусов. Найдите неизвестные углы треугольника.
  

• 56 слайд

  УРОК 5
  

• 57 слайд

  САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
  

• 58 слайд

  Задача
  

• 59 слайд

  Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите больший угол параллелограмма.
  Решение
  Обозначим параллелограмм за ABCD, причем AC — та самая диагональ. Предположим, угол CAD равен 35°, а угол DCA равен 25°. Заметим, что углы BAC и DCA равны: BAC = DCA = 25°. Ведь это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
  
  Кроме того, угол BAD = BAC + CAD = 25° + 35° = 60°.
  Обозначим неизвестный угол D = x. Поскольку ABCD — параллелограмм, имеем:
  B = D = x; BCD = BAD = 60.
  Но сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому:
  BAD + B + BCD + D = 360;
  60 + x + 60 + x = 360; 2x + 120 = 360; 2x = 240; x = 120.
  Получается, что углы B и D равны 120°, а углы BAD и BCD — 60°.
  Требуется найти больший угол — это угол B. Поэтому ответ — 120 градусов.
  Ответ 120