Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

  1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь hello_html_fd306c6.gif равна целому числу.

  2. Решить уравнение hello_html_m28f53225.gif.

  3. Известно, что в ABC A = 2C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

  4. Решить систему неравенств: hello_html_78849d51.gif

  5. Делится ли hello_html_6f43b14e.gif на 61?

  6. При каких значениях а разность корней уравнения hello_html_m57988cde.gifравна 3?

  7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение hello_html_1944752d.gif. Найти прогрессию, если она является возрастающей.


Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

  1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

  2. Найдите все решения уравнения: hello_html_m740c2757.gif.

  3. Вычислить без таблиц: hello_html_m27a308c9.gif

  4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен hello_html_32eae945.gif делился без остатка на многочлен hello_html_m311f09d7.gif.

  5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ACB.

  6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

  7. Найти значение выражения: hello_html_233f685.gif при hello_html_7d168289.gif.




















Решения 10 класс

  1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь hello_html_fd306c6.gif равна целому числу.

Решение. hello_html_55cc4775.gif – целое число, если hello_html_m12791382.gif– целое, т.е. hello_html_5bdc08a3.gif.

При hello_html_m617c593.gif hello_html_m622d2bb.gif, значит hello_html_5bdc08a3.gif не выполняется.

При hello_html_m343fe85b.gif hello_html_324cf1eb.gif, значит hello_html_5bdc08a3.gif не выполняется.

При hello_html_m7972da6c.gif hello_html_13ea4377.gif, значит hello_html_5bdc08a3.gif не выполняется.

При hello_html_m2f6bb3ba.gif hello_html_m3a5e26c1.gif, значит hello_html_5bdc08a3.gif выполняется.

При hello_html_2a61de93.gif hello_html_514d4bcf.gif, значит hello_html_5bdc08a3.gif не выполняется.

И т.д.

При hello_html_64f01714.gif hello_html_75d0366c.gif, значит hello_html_5bdc08a3.gif выполняется.

Ответ. 4 и 21.

  1. Решить уравнение hello_html_m28f53225.gif.

Решение. I способ. Обозначив hello_html_5e31c60d.gif, где hello_html_me3ee356.gif, получим hello_html_1002b378.gif, откуда hello_html_m57f3eaf0.gif, (hello_html_m570d70db.gif – не подходит). Далее, решая hello_html_63080f90.gif, получим уравнения hello_html_3af52d53.gif и hello_html_m6712f26d.gif (не имеет действительных корней), находим из первого уравнения hello_html_5dd441ab.gif.

Ответ. hello_html_m6577e70d.gif.

  1. Известно, что в ABC A = 2C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

2

3

А

С

В

D

1

Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда 1 = 2 = 3. В ADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ABD ~ ABC по двум углам (В – общий, 1 = 3).

Из подобия имеем: hello_html_6e73fcab.gif,

или hello_html_37ff392c.gif.

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

hello_html_1e14afa4.gif

Вычитая из первого уравнения второе, получим hello_html_bac528a.gif откуда hello_html_m3fd7397f.gif, тогда hello_html_46ff16d4.gif значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = 4см, ВС = 6см.

  1. Решить систему неравенств: hello_html_78849d51.gif

Решение.

hello_html_23e2d947.gif

hello_html_c57a37c.gif

Ответ: 0 < x < 1.

  1. Делится ли hello_html_6f43b14e.gif на 61?

Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим hello_html_m314879e8.gif hello_html_7201df0d.gif – делится на 61.

  1. При каких значениях а разность корней уравнения hello_html_7885e986.gifравна 3?

Решение. I способ:

Пусть hello_html_5a9de646.gif откуда hello_html_15653f96.gif тогда согласно т. Виета имеем: hello_html_m48eaae42.gif hello_html_m28bf5cf1.gif.

Составим систему уравнений hello_html_m53c5aaa.gif

hello_html_1690091b.gifоткуда получим hello_html_e72587b.gif.

II способ:

hello_html_mce08072.gifhello_html_6c5dbbd6.gifгде hello_html_m59281583.gif, тогда

hello_html_maf7709e.gif

решая последнее, получим hello_html_66dace27.gif.

Ответ: hello_html_66dace27.gif.

  1. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение hello_html_1944752d.gif. Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решение. hello_html_m10cc54d1.gif откуда hello_html_m7966aa26.gif

hello_html_m48295a87.gif, получили систему:

hello_html_197a2d2.gif

Т.к. прогрессия возрастает, то hello_html_m409e6e32.gif следовательно, hello_html_m14e3ae30.gif

hello_html_bde492f.gifформула n-ого члена а.п.

Ответ: hello_html_m4ebed606.gif.





Решения 11 класс

  1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

Решение. По условию задачи точка N – середина DC. C:\Users\User\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\p0261.png

Известно, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость сечения пересечет основания А1В1C1D1 и ABCD по параллельным отрезкам. Проведем BD, BD  B1D1.

Из точки N проводим MN BD, значит MN B1D1. Соединим точки B1 и М, D1 и N, тогда B1D1NM – искомое сечение. Таким образом, в четырехугольнике B1D1NM имеем B1D1 NM, значит B1D1NM – трапеция (по определению).

  1. Найдите все решения уравнения: hello_html_m740c2757.gif.

Решение. hello_html_20e1693c.gif

hello_html_m2ca8960b.gif

Ответ: hello_html_m160613dc.gif

  1. Вычислить без таблиц: hello_html_m27a308c9.gif

Решение. Поскольку hello_html_6c10a0e.gif то

hello_html_m17cc95a7.gif

hello_html_m185e0a39.gifимеем:

hello_html_m7f8e9b89.gif

Ответ: 1,5.

  1. Определить числа а и b так, чтобы многочлен hello_html_32eae945.gif делился без остатка на многочлен hello_html_m311f09d7.gif.

Решение.

Ответ: 1) а = –7, b = –1; 2) a = –12, b = –2.

  1. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ACB.

C

N

K

M

B

A

B

A



Решение. Пусть сторона квадрата – hello_html_m1d2f4147.gif тогда hello_html_m3cfc2ee3.gif hello_html_m6ec75384.gif hello_html_m5d1a3ea7.gif, hello_html_2417937.gif. В равнобедренном треугольнике по теореме косинусов найдем косинус угла ACB. hello_html_m2ee8be17.gif.

Следовательно, hello_html_1ec3b5c9.gif

Ответ: hello_html_fc26e52.gif


  1. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

  1. Найти значение выражения: hello_html_4b044414.gif при hello_html_7d168289.gif.

Решение.

hello_html_6ba2877e.gif

Если hello_html_7d168289.gif, то hello_html_6c8d0deb.gif.

Ответ: –2014.





Общая информация

Номер материала: ДA-046662

Похожие материалы