Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь  равна целому числу.
2. Решить уравнение .
3. Известно, что в DABC  ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
4. Решить систему неравенств:
5. Делится ли  на 61?
6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?
7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки B₁, D₁ и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.
2. Найдите все решения уравнения: .
3. Вычислить без таблиц:
4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен  делился без остатка на многочлен .
5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.
6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?
7. Найти значение выражения:  при .

Решения 10 класс

1.   Найти все натуральные числа m, при которых дробь  равна целому числу.

Решение.  – целое число, если  – целое, т.е. .

При   , значит  не выполняется.

При   , значит  не выполняется.

При   , значит  не выполняется.

При   , значит  выполняется.

При   , значит  не выполняется.

И т.д.

При   , значит  выполняется.

Ответ. 4 и 21.

2.   Решить уравнение .

Решение. I способ. Обозначив , где , получим , откуда , ( – не подходит). Далее, решая , получим уравнения  и  (не имеет действительных корней), находим из первого уравнения .

Ответ. .

3.   Известно, что в DABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В DADC  AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что DABD ~ DABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: ,

или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

 

Вычитая из первого уравнения второе, получим  откуда , тогда  значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = 4см, ВС = 6см.

4.   Решить систему неравенств:

Решение.

Ответ: 0 < x < 1.

5.   Делится ли  на 61?

Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим    – делится на 61.

6.   При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?

Решение. I способ:

Пусть  откуда  тогда согласно т. Виета имеем:  .

Составим систему уравнений

 откуда получим .

II способ:

 где , тогда

 

решая последнее, получим .

Ответ: .

7.   Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решение.  откуда

, получили систему:

Т.к. прогрессия возрастает, то  следовательно,

 – формула n-ого члена а.п.

Ответ: .

Решения 11 класс

1.   Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки B₁, D₁ и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

Решение. По условию задачи точка N – середина DC.

Известно, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную  другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость сечения пересечет основания А₁В₁C₁D₁ и ABCD по параллельным отрезкам. Проведем BD, BD || B₁D₁.

Из точки N проводим MN ∥BD, значит MN ∥B₁D₁. Соединим точки B₁ и М, D₁ и N, тогда B₁D₁NM – искомое сечение. Таким образом, в четырехугольнике B₁D₁NM имеем B₁D₁ ∥NM, значит B₁D₁NM – трапеция (по определению).

2.   Найдите все решения уравнения: .

Решение.

Ответ:

3.   Вычислить без таблиц:

Решение. Поскольку  то

 имеем:

Ответ: 1,5.

4.   Определить числа а и b так, чтобы многочлен  делился без остатка на многочлен .

Решение.

Ответ: 1) а = –7, b = –1; 2) a = –12, b = –2.

5.   В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.

Решение. Пусть сторона квадрата –  тогда   , . В равнобедренном треугольнике по теореме косинусов найдем косинус угла ACB. .

Следовательно,

Ответ:

6.   Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

7.   Найти значение выражения:  при .

Решение.

Если , то .

Ответ: –2014.