Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Тесты / 26 вариантов ЕГЭ по математике образца 2016г
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

26 вариантов ЕГЭ по математике образца 2016г

Выбранный для просмотра документ Вариант 1.docx

библиотека
материалов

Вариант 1.

1. В школе 1050 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучало французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучается?

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

hello_html_m4f2a840e.png

3. hello_html_1e7d2db.pngНайдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2; 6).

4. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Сапфир» выиграет жребий ровно два раза.

 

5. Найдите корень уравнения hello_html_m6af98095.png.

6. hello_html_m6ad2dea7.pngЧетырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

7. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

hello_html_2975a78e.png

8. Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса.

9. Найдите значение выражения hello_html_m21247407.png при hello_html_7a80ed7c.png.

10. При нормальном падении света с длиной волны hello_html_23cdf7af.png нм на дифракционную решётку с периодом hello_html_m1d6fecc3.png нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол hello_html_128a9ee2.png (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума hello_html_6c542b55.png связаны соотношением hello_html_m3a58afa9.png Под каким минимальным углом hello_html_128a9ee2.png (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1800 нм.

11. Смешали некоторое количество 11-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 13-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

12. Найдите наибольшее значение функции hello_html_m291b40d8.png на отрезке hello_html_m582317f8.png

13. а) Решите уравнение hello_html_5ae8505d.png.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m13ce094f.png.

14. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной hello_html_m1fd1621.png; высота призмы равна hello_html_m6d24516.png Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.

15. Решите неравенство: hello_html_m157c820f.png

16. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

17. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 10% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

18. При каких hello_html_m9ca0d5f.png уравнение hello_html_54f5dd8.png имеет ровно три корня?

19. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться hello_html_m40230391.png

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться hello_html_m60107d6c.png

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.



Выбранный для просмотра документ Вариант10.docx

библиотека
материалов

Вариант № 10

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?

Решение.

Цена бензина составляет 28 hello_html_1c73b5a1.png 28,5 = 798 руб. Поэтому причитающаяся сдача 202 рубля.

Ответ: 202

282847

202

2. На рисунке жирными точками показан курс китайского юаня, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 23 сентября по 23 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена китайского юаня в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьший курс китайского юаня за указанный период. Ответ дайте в рублях.

hello_html_m1f7a4d34.png

Решение.

Из рисунка видно, что наименьший курс китайского юаня был установлен 8 октября и составил 44,3 рубля.

 

Ответ: 44,3.

Ответ: 44,3

500904

44,3

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 24.01.2013 вариант 1.

3. hello_html_6f5ddf8b.pngТочки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки hello_html_77faa71c.png.

Решение.

Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:

 

hello_html_5edc27d.png, hello_html_m507d432e.png,

но с другой стороны,

hello_html_m4181f4ff.png, hello_html_1a9fca6.png.

Поэтому hello_html_m7eb7f706.png, hello_html_561f8762.png.

 

Ответ: 6.

 

Приведем другое решение.

Поскольку hello_html_m602c0519.pngимеем: hello_html_m7af99ce6.pngСледовательно, ордината точки С равна 6.

Ответ: 6

27680

6

4.

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов — первые два дня по 9 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

За первые два дня будет прочитано 18 докладов, на последние два дня планируется 22 доклада. Поэтому на последний день запланировано 11 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна

 

hello_html_meaffbbf.png

 

 

Ответ: 0,275.

Ответ: 0,275

286031

0,275

5. Решите уравнение hello_html_5a1129e6.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.

Последовательно получаем:

hello_html_m372d9828.png

Меньший корень равен −4.

 

Ответ: −4.

Ответ: -4

99623

-4

6.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен hello_html_38fb77e0.png. Найдите сторону этого треугольника.

 

hello_html_m1d4831ff.jpg

Решение.

Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда имеем:

 

hello_html_m7db16570.png

Ответ: 60.

Ответ: 60

52493

60

7. На рисунке изображён график некоторой функции hello_html_34d1a6b1.png. Функция hello_html_m15dd0599.png — одна из первообразных функции hello_html_m7847ab84.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

hello_html_mbe38704.png

 

 

Решение.

Найдем формулу, задающую функцию hello_html_26803419.pngграфик которой изображён на рисунке.

 

hello_html_369c3bc2.png

 

hello_html_6f9f36a5.png

 

Следовательно, график функции hello_html_m7847ab84.pngполучен сдвигом графика функции hello_html_68a6ba3b.pngна hello_html_m2b6822a7.pngединиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции hello_html_68a6ba3b.pngи отрезком hello_html_m7af4c84b.pngоси абсцисс. Имеем:

 

hello_html_78b838d.png

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

323383

6

8. hello_html_13752d41.png

Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем цилиндра.

 

Решение.

Поскольку

 

hello_html_m26127e74.png

 

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

 

hello_html_73e57ff8.png.

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

245350

15

9. Найдите значение выражения hello_html_d9b5a8e.png при hello_html_309aeed2.png.

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_m18aeaa20.png.

Ответ: 1.

Ответ: 1

67487

1

10. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону hello_html_m166cb02f.png, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение.

Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение hello_html_m6b0e98b.png:

 

hello_html_m488b7d9d.png

 

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени hello_html_m4178fbb6.png (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени hello_html_3e8d2eef.png (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,6 − 0,2 = 1,4 секунды.

 

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

28059

1,4

11. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 209 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_7243bb48.pngкм/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна hello_html_m6cda264d.pngкм/ч. Первый теплоход находился в пути на 8 часов больше, чем второй, отсюда имеем:

 

hello_html_4af4a086.png

hello_html_m33d8babd.png

 

Таким образом, скорость первого теплохода равна 11 км/ч.

 

Ответ: 11.

Ответ: 11

39507

11

12. Найдите наименьшее значение функции hello_html_m60353681.pngна отрезке [9; 36].

Решение.

Заметим, что hello_html_aef1a68.pngи найдем производную этой функции:

hello_html_m78dcde5e.png

Найдем нули производной:

hello_html_124af168.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_m527dc2a.png

Точка минимума функции hello_html_369c83d3.pngпринадлежит отрезку [9; 36]. При данном значении аргумента функция принимает минимальное значение: hello_html_70be31df.png

 

Ответ: -77.

 

Ответ: -77

509996

-77

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.

13. Решите уравнение: hello_html_29d40946.png

Решение.

hello_html_m77d1b985.pngЛевая часть уравнения имеет смысл при hello_html_m48c9df89.pngПоэтому множитель hello_html_414a83dc.pngположителен. Рассмотрим два случая.

Первый случай: hello_html_212985c0.pngтогда hello_html_4d023715.png

Второй случай: hello_html_m25fbfca1.pngтогда hello_html_m65abbb10.png

Учитывая условие hello_html_mb785220.pngполучаем, что числа hello_html_mb260f20.pngне являются решениями данного уравнения.

 

Ответ: hello_html_aa5017d.png

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 03.03.2011 вариант 2. (Часть С)

14. В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение.

hello_html_27ad38b2.png

Сечение — треугольник hello_html_5400ad08.png(см. рис.), найдём его стороны.

Поскольку стороны основания равны, треугольник hello_html_m485e0c24.png— равносторонний, следовательно, hello_html_5bc4ca10.pngПоскольку кроме этого hello_html_dba7fba.pngтреугольник hello_html_648e643.png— равносторонний, поэтому hello_html_m7206c27.png

Треугольник hello_html_7b070952.pngпрямоугольный, по теореме Пифагора:

 

hello_html_m323c674.png

 

тогда hello_html_3261b14a.png

Треугольник hello_html_2b607c97.pngпрямоугольный, по теореме Пифагора:

 

hello_html_6204243.png

 

Треугольники hello_html_2b607c97.pngи hello_html_5efcc400.pngпрямоугольные, hello_html_m58f4456c.png— их общий катет, hello_html_m68748321.pngСледовательно, эти треугольники равны, поэтому равны их гипотенузы: hello_html_m3b106af5.png

Следовательно, треугольник hello_html_5400ad08.png— равнобедренный. Проведём в нём высоту hello_html_38d20437.pngона является медианой, поэтому из треугольника hello_html_m52f5da08.pngнаходим:

 

hello_html_65105ae2.png

 

Тем самым, реугольник hello_html_5400ad08.png— искомое сечение, найдём его площадь:

 

hello_html_m6056a2ad.png

 

 

Ответ: hello_html_m5ccd04f3.png

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 1.

15. Решите неравенство: hello_html_m4b79a546.png

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

 

hello_html_45d4465e.png

hello_html_m3b7821c9.png

 

Ответ: hello_html_7c7025de.png

16. Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 0,5. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Решение.

hello_html_m164ba5f.pngВозможны два случая: точка hello_html_m1d0a2499.pngлежит на продолжении стороны hello_html_7f7deac7.pngза точку hello_html_m72b00d28.pngили на продолжении стороны hello_html_7f7deac7.pngза точку hello_html_m37927f18.pngПусть hello_html_1a432dab.png— угол между прямыми hello_html_76580224.pngи hello_html_3a1008ca.png

Рассмотрим первый случай. Заметим, что hello_html_112c6704.pngОтрезок hello_html_2755fe63.pngпоэтому hello_html_m3efee222.pngЗначит, hello_html_m7e045d8f.pngКроме того, hello_html_m3e768258.pngСледовательно, hello_html_41d38cec.png

Во втором случае hello_html_cae0b10.pngПо-прежнему hello_html_m51241da6.pngСледовательно, hello_html_5eaf5813.png

hello_html_m4acbc44f.png

 

Ответ: 12 или 20.

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 10.02.2011 вариант 2. (Часть С)

17. Транcнациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на 20% (после второй скупки общее число выкупленных акций увеличилось на 20%), а в результате скупки по третьей цене — еще на 20%. Найдите цену третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.

Решение.

Предложения

Цена одной акции ($)

Количество выкупленных акций

При данном
предложении

Общее количество
выкупленных акций

1

27


75 000

hello_html_m4ed4072d.png

2

36

hello_html_m4ba2c4f.png

15 000

90 000

hello_html_mca3990c.png

3

48

hello_html_m7f86b51.png


108 000

hello_html_m20961a24.png

 

Ответ: цена третьего предложения составила $48 за одну акцию; всего было выкуплено 108 000 акций.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система hello_html_m78716ecd.pngимеет ровно два решения.

Решение.

hello_html_m6106e64b.pngНеравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рисунок). Графиком уравнения (2) является окружность радиуса hello_html_m4d29aa7f.png, центр которой ― точка hello_html_m64cc69a8.png― лежит на прямой hello_html_m5c3ca4d8.png. Поскольку оба графика симметричны относительно прямой hello_html_m5c3ca4d8.png, система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой

hello_html_m79a37cfc.pngбудет равняться радиусу hello_html_m4d29aa7f.pngданной окружности. Из треугольника POK находим: hello_html_m2915d0.png, где hello_html_269394b.png― угловой коэффициент прямой hello_html_3622e465.png. Таким образом, hello_html_d0b45aa.png,

hello_html_maa567f4.png, hello_html_mfcc8a33.png, откуда

 

hello_html_4501922a.png.

Окончательно получаем: hello_html_m230f58e1.png, hello_html_m446c7a34.png, hello_html_2ecf3f07.pngили hello_html_4390333e.png.

 

 

Ответ: hello_html_2ecf3f07.pngили hello_html_4390333e.png.

 

19. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться hello_html_m40230391.png

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться hello_html_m60107d6c.png

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.



Выбранный для просмотра документ Вариант11.docx

библиотека
материалов

Вариант № 11

1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

 

Решение.

За 4 недели в офисе расходуется 1200 · 4 = 4800 листов бумаги. Разделим 4800 на 500:

 

hello_html_1c49774f.png

 

Значит, нужно купить не меньше 10 пачек бумаги.

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

26622

10

2. hello_html_mf5523ba.pngКогда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

Решение.

Из графика видно, что при скорости 200 км/час действующая на крылья подъемная сила равна 1 тонне силы.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

263867

1

3. hello_html_570625d6.pngНайдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 6), (9; 6), (7; 9).

Решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому

 

hello_html_m1d676285.pngсм2.

 

 

Ответ: 12.

 

 

----------

Дублирует задание 27564.

Ответ: 12

21863

12

4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем мультфильмов.

Решение.

вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем мультфильмов равна

 

hello_html_3ed5ecb4.png.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

1027

0,5

5. Найдите решение уравнения: hello_html_2a6fbd9a.png

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

 

hello_html_m5e464871.png

Ответ: 4.

Ответ: 4

13689

4

6. hello_html_2d9ff534.png

В треугольнике hello_html_m485e0c24.pngугол hello_html_77faa71c.pngравен 90°, hello_html_409167eb.png, hello_html_m4e5db1bf.png. Найдите синус внешнего угла при вершине hello_html_m72b00d28.png.

Решение.

так как

hello_html_30460656.png

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27380

0,6

7. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

hello_html_m416607ad.png

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость, необходимо пройденное расстояние разделить на время прохождения: hello_html_1e7c911.pngкм/ч

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

512495

50

8. Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Решение.

Объём шара вычисляется по формуле hello_html_701946c8.png. Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна

 

hello_html_m32d9b026.png

 

Следовательно, искомый радиус равен 9.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

75307

9

9. Найдите hello_html_672547bc.png, если hello_html_fb02a21.png при hello_html_10a55dc6.png

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_3c8de4b3.png

Ответ: 0.

Ответ: 0

65919

0

10. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна hello_html_2455d7e6.png, где hello_html_m2db42fb7.png– масса воды в килограммах, hello_html_m6e867c2.pngскорость движения ведeрка в м/с, hello_html_m35e1256b.png– длина верeвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте hello_html_3a0f5e60.pngм/сhello_html_4fd47cb6.png). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства hello_html_m3fa41445.pngпри заданной длине верёвки hello_html_m7731c367.pngм:

 

hello_html_9a72f38.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

27958

2

11. Расстояние между городами hello_html_m72b00d28.pngи hello_html_102cce21.pngравно 150 км. Из города hello_html_m72b00d28.pngв город hello_html_102cce21.pngвыехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе hello_html_77faa71c.pngи повернул обратно. Когда он вернулся в hello_html_m72b00d28.png, автомобиль прибыл в hello_html_102cce21.png. Найдите расстояние от hello_html_m72b00d28.pngдо hello_html_77faa71c.png. Ответ дайте в километрах.

Решение.

Обозначим hello_html_75a9ccb.pngкм – расстояние от A до C, hello_html_m6e867c2.pngкм/ч – скорость автомобиля, hello_html_5f8efe6d.pngч – время движения мотоциклиста от A до C. Тогда hello_html_m6634275a.pngи hello_html_m2d42a02e.pngРешим систему полученных уравнений:

 

hello_html_662315f7.png

Тогда hello_html_m1e25727e.pngкм.

 

 

Ответ: 90.

Ответ: 90

99594

90

12. Найдите наименьшее значение функции hello_html_m577de81e.pngна отрезке hello_html_m58b0b8de.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции: hello_html_m5720a399.pngУравнение hello_html_19ff4880.pngне имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.

 

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

 

hello_html_370a1ddb.png

Ответ: −41.

Ответ: -41

70487

-41

13. Решите уравнение hello_html_3f14f260.png

Решение.

 

hello_html_m3abe94e1.png

 

Решим уравнение hello_html_62948bcb.png

 

hello_html_m3967ae04.png

 

Из найденный решений условию hello_html_3541b9f4.pngудовлетворяет только hello_html_83b88ed.pngи hello_html_2c1b6347.png

Ответ: hello_html_m1a738e42.png

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB = 6, AD = 8, CC1 = 16. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Решение.

hello_html_m3e2d3ee3.png

Плоскости hello_html_m485e0c24.pngи hello_html_m6842787c.pngимеют общую прямую hello_html_m49d99713.pngПроведем перпендикуляр hello_html_m2a5dd0f7.pngк hello_html_m49d99713.pngПо теореме о трех перпендикулярах hello_html_7379d049.pngЗначит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями hello_html_m485e0c24.pngи hello_html_m58d89a3e.png — это угол hello_html_7c126ecd.pngИз прямоугольного треугольника hello_html_520a39f0.pngнаходим:

 

hello_html_6b2b4bd5.png

Из прямоугольного треугольника hello_html_m2b9b1630.pngнаходим:

 

hello_html_5a8a09d9.png

Значит, искомый угол равен hello_html_m33a05dd.png

Ответ: hello_html_m33a05dd.png

 

 

 

15. Решите неравенство: hello_html_m5afb4fde.png

Решение.

Последовательно получаем:

hello_html_m137f22a5.png

Ответ: hello_html_249aeab7.png

16. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если hello_html_4da1467b.png

Решение.

hello_html_234444fc.pngа) Угол KBC равен углу BAC как угол между касательной и хордой. Прямые AB и CK параллельны. Следовательно, ABC = BCK. Получаем, что треугольники ABC и BCK подобны. Следовательно,

 

hello_html_78daef9e.png

 

Значит, треугольник BCK — равнобедренный.

б) Треугольники ABC и BCK подобны, коэффициент подобия равен hello_html_26664129.pngОтношение площадей hello_html_m70e6c6f3.pngВ треугольнике ABC имеем:

 

hello_html_m47cc34ff.png

 

hello_html_m279dc44d.png

 

Ответ: 2.

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Вариант 901.

17. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1 = amx. После второй выплаты сумма долга составит:

 

hello_html_m70c65639.png

 

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

 

hello_html_4636dfd3.png

 

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому hello_html_1758ae13.pngоткуда hello_html_213374fc.pngПри a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и

 

hello_html_m48f60c07.png

 

Ответ: 3 993 000 рублей.

 

 

 

Приведём другое решение.

 

Пусть hello_html_m2e1cf45c.png— один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: hello_html_3b370119.pngПосле внесения второго платежа сумма долга станет равной hello_html_44f99595.pngСумма долга после третьего платежа: hello_html_2c663640.pngТретьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:

 

hello_html_593a9a8e.png

 

hello_html_m442c3121.png

 

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.

18. Найти все значения a, при каждом из которых система

 

hello_html_m56392d3c.png

имеет решения.

Решение.

Рассмотрим второе неравенство системы: hello_html_m56df3635.pngЕсли hello_html_m69f7e9a5.pngто неравенство, а значит и система не имеет решений. Если hello_html_m7e56c6d1.pngто решение неравенства — луч hello_html_6ba2f3b4.pngЕсли hello_html_m42ade1e2.pngто решение неравенства — луч hello_html_ma7e0ac8.png

При hello_html_259d0cc2.pngпервое неравенство системы принимает вид: hello_html_d2adf91.png

Если hello_html_m42ade1e2.pngто решение этой системы — два луча с концами в точках hello_html_445872bb.pngЕсли hello_html_m7e56c6d1.pngто решение этой системы — полуинтервал с концами в точках hello_html_445872bb.png

Очевидно, что при hello_html_676147c3.png, решение системы будет содержать луч, вида hello_html_m21135209.png, где hello_html_m5b8472cd.pngменьшее из чисел hello_html_678f10a4.pngи hello_html_m50f9ea23.png, а значит система будет иметь решение.

Чтобы решения были при hello_html_4fc3b01f.pngнеобходимо и достаточно:

 

hello_html_m757bcdc9.png

 

Таким образом, исходная система неравенств имеет решения при hello_html_m4d6a207f.png

 

Ответ: hello_html_162f4132.png

19. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.



Выбранный для просмотра документ Вариант12.docx

библиотека
материалов

Вариант № 12

1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 февраля составляли 142 куб. м воды, а 1 марта — 156 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за февраль, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 22 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Вычислим, сколько кубометров воды было израсходовано за февраль: hello_html_me743143.pngкуб.м. Таким образом, необходимо заплатить: hello_html_f9cd16c.pngруб.

 

Ответ: 315

Ответ: 315

512323

315

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 24.09.2015 вариант МА10107.

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме, сколько месяцев среднемесячная температура не превышала 14 градусов Цельсия.

hello_html_m1950e241.png

Решение.

Из диаграммы видно, что 8 месяцев среднесуточная температура не превышала 14 градусов Цельсия.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

509984

8

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.

3. hello_html_319dc156.pngНа рисунке угол 1 равен 46°, угол 2 равен 30°, угол 3 равен 44°. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение.

сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°.

 

hello_html_m3d7c44ae.png

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

27780

120

4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Решение.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 

P(A + B) = P(A) + P(B).

 

 

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

 

Ответ: 0,31.

Ответ: 0,31

509916

0,31

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 22.04.2015 вариант МА10410.

5. Найдите корень уравнения hello_html_m629ae3c3.png.

Решение.

Последовательно получаем:

hello_html_435b5e86.png

Ответ: −4.

Ответ: -4

26659

-4

6. hello_html_5a809b12.pngВ треугольнике hello_html_m485e0c24.pngугол hello_html_77faa71c.pngравен 90°, hello_html_m26c21d9a.png– высота, hello_html_14fe226f.png, hello_html_26a9134.png. Найдите hello_html_m2ed32cc0.png.

Решение.

Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому

hello_html_m14b480ba.png

Ответ: 27.

Ответ: 27

27431

27

7. Материальная точка движется прямолинейно по закону hello_html_m725b8eb8.pngгде х — расстояние от точки отсчёта (в метрах), t — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости: hello_html_m73759441.pngм/с. При hello_html_4b85ef96.pngимеем: hello_html_5de248e2.pngм/с.

 

Ответ: 72.

Ответ: 72

512493

72

8. hello_html_6c5aaa71.pngВо сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Решение.

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27172

4

9. Найдите значение выражения hello_html_78dced6f.png.

Решение.

Используем свойства степеней:

hello_html_6c47957c.png.

Ответ: 2.

Ответ: 2

26798

2

10. Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре hello_html_6b24c211.png Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением hello_html_4ef20a53.png Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе hello_html_3c406cfc.png кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением hello_html_6adfca3e.png(с), где hello_html_m7d3d9153.png — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 28 с?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства hello_html_3b192cc6.pngпри заданных значениях начального напряжения на конденсаторе hello_html_3c406cfc.pngкВ, сопротивления резистора hello_html_48cc147b.pngОм и ёмкости конденсатора hello_html_5a7e63a0.pngФ:

 

hello_html_4ec2f167.pngкВ.

Ответ: 6.

Ответ: 6

28463

6

11. Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 22 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 113 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна hello_html_m6e867c2.pngкм/ч. За 1/2 часа первый автомобиль прошел на 22 км больше, чем второй, отсюда имеем

hello_html_4efde73f.png

Ответ: 69.

Ответ: 69

509156

69

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 13.02.2015 вариант МА00410.

12. Найдите точку максимума функции hello_html_m4194dd5e.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_419ee793.png

hello_html_728aed49.png

Найдем нули производной:

 

hello_html_m65155d6f.png

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

hello_html_5cf255df.png

Искомая точка максимума hello_html_4667f51b.png.

 

Ответ: −4.

Ответ: -4

26728

-4

13. а) Решите уравнение

hello_html_7ce567d9.png

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m3be05a20.png

Решение.

Сделаем замену hello_html_m69526e66.png

 

hello_html_10b2456e.pngТогда, hello_html_49123da1.png

 

hello_html_42238d36.png

 

hello_html_2d795098.pngб) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке hello_html_4b746b1f.png

 

Ответ: а) hello_html_m5fdaa539.pngб) hello_html_4c51330.png

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.05.2014 вариант МА10701.

14. В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение.

hello_html_27ad38b2.png

Сечение — треугольник hello_html_5400ad08.png(см. рис.), найдём его стороны.

Поскольку стороны основания равны, треугольник hello_html_m485e0c24.png— равносторонний, следовательно, hello_html_5bc4ca10.pngПоскольку кроме этого hello_html_dba7fba.pngтреугольник hello_html_648e643.png— равносторонний, поэтому hello_html_m7206c27.png

Треугольник hello_html_7b070952.pngпрямоугольный, по теореме Пифагора:

 

hello_html_m323c674.png

 

тогда hello_html_3261b14a.png

Треугольник hello_html_2b607c97.pngпрямоугольный, по теореме Пифагора:

 

hello_html_6204243.png

 

Треугольники hello_html_2b607c97.pngи hello_html_5efcc400.pngпрямоугольные, hello_html_m58f4456c.png— их общий катет, hello_html_m68748321.pngСледовательно, эти треугольники равны, поэтому равны их гипотенузы: hello_html_m3b106af5.png

Следовательно, треугольник hello_html_5400ad08.png— равнобедренный. Проведём в нём высоту hello_html_38d20437.pngона является медианой, поэтому из треугольника hello_html_m52f5da08.pngнаходим:

 

hello_html_65105ae2.png

 

Тем самым, реугольник hello_html_5400ad08.png— искомое сечение, найдём его площадь:

 

hello_html_m6056a2ad.png

 

 

Ответ: hello_html_m5ccd04f3.png

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 1.

15. Решите неравенство hello_html_2ce5dc33.png

Решение.

Заметим, что hello_html_m54690c2c.pngпоскольку равносильны следующие неравенства

 

hello_html_26dc3295.png

 

С учётом этого имеем

 

hello_html_m77ab7e60.png

 

hello_html_6003e61.png

 

Ответ: hello_html_165e0a3c.png

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 03.03.2016 вариант МА10410

16.В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что hello_html_2091bfc5.pngи hello_html_m21c59971.png

Решение.

hello_html_2a2a6dec.pngа) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда hello_html_m64a794e9.pngили hello_html_7e9204ce.pngно тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен hello_html_51cfc5f2.pngоткуда hello_html_m5cb1f54e.pngТогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

hello_html_m27633fac.png

 

Ответ: hello_html_m3b291e91.png

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

17. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 10% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение.

Пусть на каждый тип вклада была внесена одинаковая сумма S. На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 20%, то есть умножается на коэффициент 1,2. Поэтому через три года сумма на вкладе «А» будет равна

 

hello_html_m2b9630c.png

 

Аналогично сумма на вкладе «Б» будет равна

 

hello_html_m7e4f1cdc.png

 

где n — некоторое натуральное число.

По условию требуется найти наименьшее натуральное решение неравенства

 

hello_html_64407f06.png

 

При n = 26 неравенство

 

hello_html_2f0f0b4a.png

 

верно, а при n = 25 неравенство

 

hello_html_97b00dd.png

 

неверно, как и при всех меньших n.

 

Ответ: 26.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 20.01.2016 вариант МА10310

18. Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение hello_html_58032bc0.pngне имеет решений.

Решение.

Решение 1. Перепишем данное уравнение в виде hello_html_11033d2f.pngи положим hello_html_6f6532b3.pngгде hello_html_m1257f9c3.pngТогда исходное уравнение принимает вид hello_html_m2ed0b98d.png

Найдем множество значений функции hello_html_m7a7ad2f2.pngна отрезке [0; 2].

Так как hello_html_m76f6cbf3.pngто hello_html_18e56121.pngна промежутке [0; 1) и hello_html_6dbe3471.pngпромежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. Поскольку hello_html_m4e584532.pngто множество значений функции на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (1); f (2)], т. е. отрезок hello_html_223cc649.pngТаким образом, уравнение hello_html_ma50228b.pngне имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия hello_html_m3217e574.pngили hello_html_m36feaadb.png

 

hello_html_16ed70a3.png

 

 

Решение 2. Положим hello_html_6f6532b3.pngгде hello_html_6ec63ecb.pngи рассмотрим функцию hello_html_m370606d4.pngТак как ее производная hello_html_m76f6cbf3.pngто hello_html_18e56121.pngна промежутке [0; 1) и hello_html_6dbe3471.pngпромежутке (1; 2]. Значит, на промежутке [0; 2) функция имеет единственный экстремум ― минимум hello_html_60393751.pngТак как hello_html_m4e584532.pngуравнение hello_html_638d6476.pngне имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия hello_html_m1f5c8937.pngили hello_html_7adc1892.pngТаким образом, приходим к совокупности

 

hello_html_16ed70a3.png

 

Решение 3. Построить эскиз графика функции hello_html_m7a7ad2f2.pngна отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположения графика этой функции и прямой hello_html_4d068065.png

Ответ: hello_html_51b05a1d.pnghello_html_6cc770bd.png

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

19. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.



Выбранный для просмотра документ Вариант13.docx

библиотека
материалов

Вариант № 13

1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 9 недель?

Решение.

За 9 недель в офисе расходуется 800 · 9 = 7200 листов бумаги. Разделим 7200 на 500:

 

hello_html_m283f4ac1.png

 

Значит, нужно купить не меньше 15 пачек бумаги.

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

508957

15

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 05.03.2015 вариант МА10309.

2. Задание 2 № 27510. hello_html_m75af8867.png

На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

Решение.

Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рисунок).

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

27510

6

3. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 28?

 

hello_html_ebb1b80.jpg

Решение.

hello_html_1d21aec2.pngЗаметим, что hello_html_2e8b5daf.pnghello_html_m435cbcef.pngЗначит, треугольник AOB — равносторонний. Тогда

 

hello_html_m435cbcef.png

 

Ответ: 28.

Ответ: 28

53073

28

4. В блюде 35 пирожков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с рыбой.

Решение.

Вероятность того, что пирожок окажется с рыбой равна

 

hello_html_m67538ab1.png.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

1025

0,4

5. Найдите корень уравнения: hello_html_m11c10198.png

Решение.

Избавимся от знаменателя:

hello_html_4207f239.png.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26664

14

6. hello_html_2d9ff534.pngВ треугольнике hello_html_m485e0c24.pngугол hello_html_77faa71c.pngравен 90°, тангенс внешнего угла при вершине hello_html_m72b00d28.pngравен -0,1. Найдите hello_html_4420958a.png.

Решение.

так как

hello_html_7de01ed5.png

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

27400

0,1

7. hello_html_72e9ed53.pngНа рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Решение.

Если производная в некоторой точке равна нулю, а в ее окрестности меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27502

4

8. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

Решение.

hello_html_m31949646.pngОснование пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, M является центром основания, а MS — высотой пирамиды SABC. Тогда

hello_html_m2ec01325.png.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

284355

1

9. Найдите значение выражения hello_html_b21c4be.png.

Решение.

Выполним преобразования:

 

hello_html_m508682a7.png.

Ответ: 7.

Ответ: 7

77398

7

10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением hello_html_m17364442.png, где t — время в минутах, hello_html_m16cac746.png К, hello_html_43944c47.png К/минhello_html_4fd47cb6.png, hello_html_m68080068.png К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной hello_html_m79b64505.pngК. Задача сводится к решению уравнения hello_html_271a41da.pngпри заданных значениях параметров a и b:

 

hello_html_m194ac8e8.png

 

Через 4 минуты после включения прибор нагреется до 1600 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 4 минуты.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

41493

4

11. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 36 килограммов изюма?

Решение.

Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. 36 кг изюма содержат hello_html_m7c897472.pngкг питательного вещества. Таким образом, для получения 36 килограммов изюма требуется hello_html_m54a29b5f.pngкг винограда.

 

Ответ: 342.

Ответ: 342

109109

342

12.

Найдите наибольшее значение функции hello_html_m1bb5c211.pngна отрезке hello_html_m23475c6.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_2045d6c9.png

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

hello_html_7f6e5074.png

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

hello_html_m17e0a857.png

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел hello_html_59731787.pngи hello_html_m1519336e.png. Найдем их:

hello_html_7848a23b.png,

hello_html_m5450cb1b.png

Заметим, что hello_html_14e68614.png, поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно −33.

Ответ: −33.

Ответ: -33

70787

-33

13. Решите уравнение: hello_html_m480dfe6c.png

Решение.

Левая часть уравнения имеет смысл при hello_html_358b94ec.pngПреобразуем уравнение:

 

hello_html_m476588ad.png

 

Поскольку hello_html_2be5e462.pngполучаем:

hello_html_6c14071b.png

 

Учитывая, что hello_html_47a10be.pngполучаем, hello_html_m4c084e3.png

 

Ответ: hello_html_m13a01c67.png

14. В правильной шестиугольной призме hello_html_6603c944.pngвсе рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости hello_html_565a9d7.png.

Решение.

hello_html_m3fb7a5d4.pngПрямые hello_html_aa894f2.pngи FB перпендикулярны прямой EF. Плоскость hello_html_565a9d7.png, содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости hello_html_6bae554d.png, значит искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника hello_html_6bae554d.png, в котором hello_html_m138a1dd0.png, hello_html_7f1dd7f5.png, hello_html_2402243a.png. Поэтому

 

hello_html_50f25941.png.

 

 

Ответ: hello_html_mbe353a2.png.

15. Решите неравенство: hello_html_mdd3589e.png

Решение.

Сделаем замену hello_html_55ea050a.png

hello_html_m24d0eaf5.png

 

Учитывая, что hello_html_m705c6494.pngполучаем hello_html_ccdccf9.pngили hello_html_m5e273c82.pngоткуда находим множество решений первого неравенства системы: hello_html_m5e6fcfb.png

 

Ответ: hello_html_m5e6fcfb.png

16. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение.

hello_html_m7ad755d7.pngЗадание а). Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD  AB. Аналогично получаем, что BC  AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, hello_html_35a15b39.pngПусть hello_html_m2b6efc48.png, тогда hello_html_m3aafdc23.png

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, hello_html_44c29470.pngто есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:

hello_html_67f63745.png

Тогда

hello_html_m50a5c506.png

 

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

 

Ответ: 3,2.

Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике.

17. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?

Решение.

Прибыль (в млн рублей) за один год выражается величиной

 

hello_html_af88ea1.png

 

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения hello_html_762ec2d3.pngпри x = p − 1. Прибыль составит не менее 75 млн рублей, если

 

hello_html_m5266a1fb.png

 

то есть при p ≥ 9, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 9, искомая наименьшая цена 9 тыс. руб.

 

Ответ: p = 9.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 24.09.2015 вариант МА10107.

18. Найдите все значения а, при каждом из которых система

 

hello_html_47c3cc76.png

 

имеет единственное решение.

Решение.

hello_html_m44d79eb6.pngПреобразуем первое уравнение системы:

 

hello_html_2df684eb.png

 

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (3; 3) радиуса 4. Преобразуем второе уравнение системы:

 

hello_html_1aa3df71.png

 

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (аа) радиуса 4. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначив полуокружности через F и Fa, а их центры — О и Оа.

Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и Fa имеют единственную общую точку. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.

При a = 3 полуокружности F и Fa совпадают, т. е. a = 3 не является искомым.

При a > 3, точка О расположена выше точки Оа. В этом случае полуокружности F и Fa имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности Fa имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку полуокружностью F является положение на нижнем рисунке, при этом точка Оа имеет координаты (7; 7)., т. е. a = 7. При a > 7 полуокружности F и Fa не имеют общих точек. Таким образом, все значения hello_html_2f4f4049.pngявляются искомыми.

При a < 3 полуокружность Fa может быть получена параллельным переносом полуокружности F на вектор hello_html_6d505b4.pngгде b = a − 3. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор hello_html_m30249f00.pngполученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор hello_html_7d9e9dec.pngПоэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = 3, поэтому hello_html_m1877d656.png

Ответ: hello_html_me3ad07.png

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.

19. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?

б) Может ли S равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать S.



Выбранный для просмотра документ Вариант14.docx

библиотека
материалов

Вариант № 14

1. В доме, в котором живёт Женя, один подъезд. На каждом этаже по восемь квартир. Женя живёт в квартире 87. На каком этаже живёт Женя?

Решение.

Разделим 87 на 8:

hello_html_5860b44f.png.

Значит, Женя живет на 11 этаже.

 

Ответ: 11.

 

Приведём другое решение.

Составим таблицу этажей.

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 28.01.2014 вариант МА10401.

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по май 1999 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

hello_html_23bcc57.png

Решение.

Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура в период с января по май (т. е. с 1 по 5 месяц) составляла 8 °C (см. рисунок).

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

77251

8

3. hello_html_38ad3af6.pngНайдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_1e8a8196.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

 

 

Решение.

hello_html_m4a5258e9.pngПлощадь трапеции равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

 

hello_html_741100e1.pnghello_html_6d2ba6d5.png.

 

 

Ответ: 2

244986

2

4.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Сапфир» выиграет жребий ровно два раза.

 

Решение.

Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Сапфир», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

 

hello_html_m358f98b3.png

 

Ответ: 0,375.

Ответ: 0,375

321035

0,375

5.

Найдите корень уравнения hello_html_216e4c08.png.

Решение.

Последовательно получаем:

hello_html_m72e212f7.png

Ответ: −13.

Ответ: -13

3231

-13

6. hello_html_m53075a96.pngНайдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 60°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180°, тогда hello_html_m41a73af4.png.

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

27805

120

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−15; 2). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−11;0].hello_html_78d1f243.png

Решение.

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−11; 0] функция имеет две точки максимума x = −10 и x = −1.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

8037

2

8. hello_html_m31789293.pngНайдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности куба с ребром 3:

 

hello_html_m2829c284.png.

 

Ответ: 54.

Ответ: 54

505146

54

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 22.04.2014 вариант МА10601.

9. Найдите значение выражения hello_html_m562eb54b.png

Решение.

Упростим выражение: hello_html_m7616a048.png

 

Ответ: 5

Ответ: 5

512352

5

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 18.12.2015 вариант МА10211.

10. При нормальном падении света с длиной волны hello_html_m71239389.png нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол hello_html_m440f747c.png(отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением hello_html_69bac94.png. Под каким минимальным углом hello_html_m440f747c.png(в градусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства hello_html_m7710cc48.pngнм на интервале hello_html_m5b95471c.pngпри заданных значениях длины волны света hello_html_m71239389.pngнм и номера максимума hello_html_m278ce32f.png:

 

hello_html_6274e80f.png.

Ответ: 30.

Ответ: 30

28639

30

11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_7243bb48.pngкм/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна hello_html_c2a1b8a.pngкм/ч, а скорость теплохода против течения равна hello_html_3cb40fb6.pngкм/ч. На весь путь теплоход затратил 40 – 10 = 30 часов, отсюда имеем:

 

hello_html_m41618992.png

hello_html_3d00d387.png

 

Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

26588

5

12. Найдите точку минимума функции hello_html_m523271a.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_71e78939.png.

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

hello_html_1c6fba57.png

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

hello_html_5dc85bdf.png

Искомая точка минимума hello_html_369c83d3.png.

Ответ: 36.

Ответ: 36

128103

36

13. Решите уравнение hello_html_3f14f260.png

Решение.

 

hello_html_m3abe94e1.png

 

Решим уравнение hello_html_62948bcb.png

 

hello_html_m3967ae04.png

 

Из найденный решений условию hello_html_3541b9f4.pngудовлетворяет только hello_html_83b88ed.pngи hello_html_2c1b6347.png

Ответ: hello_html_m1a738e42.png

14. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Решение.

Пусть точка hello_html_m36fa57aa.png — центр куба, а hello_html_m6f701d24.png — середина hello_html_m2932e00f.pnghello_html_1e1954ff.pngа hello_html_66c2b1fa.png — средняя линия треугольника hello_html_fb70097.png, поэтому hello_html_mfc31a91.pngТреугольник hello_html_6a41376.png — равносторонний, hello_html_m62670b14.pngследовательно, искомый угол равен углу hello_html_m22e8ad71.png

 

hello_html_m3d7fa323.png

Примем длины ребер куба за hello_html_m9ca0d5f.png. Найдем стороны треугольника hello_html_m22e8ad71.pngИз треугольника hello_html_fb70097.pngнаходим hello_html_m3b6078f0.pngиз равностороннего треугольника hello_html_6a41376.pngнаходим

 

hello_html_4ac28919.png

поскольку hello_html_m36fa57aa.png — середина диагонали hello_html_5bcbf70e.pngто hello_html_703553d5.pngТеперь применим к треугольнику hello_html_m46f508b.pngтеорему косинусов:

 

hello_html_1ace8dc6.png

Ответ: hello_html_m1039f6e5.png

 

 

 

 

15. Решите неравенство: hello_html_474b47cc.png

Решение.

Заметим, что

hello_html_m59c402b0.png

 

Поэтому

hello_html_m47617f27.png

 

Ответ: hello_html_m1fa9dad5.png

16. Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 13 и 7.25, а его высота BD равна 5. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.

Решение.

Пусть точки hello_html_m36fa57aa.pngи hello_html_m55509c62.png― центры окружностей, вписанных в треугольники hello_html_218973f.pngи hello_html_6730ff3d.pngсоответственно, hello_html_6c5fe859.pngи hello_html_60fa01b5.png― радиусы этих окружностей, а точки hello_html_4253be82.pngи hello_html_1be7b9c2.png― точки, в которых окружности касаются отрезка hello_html_m49d99713.pngИз прямоугольных треугольников hello_html_218973f.pngи hello_html_6730ff3d.pngнаходим:

 

hello_html_1410b067.pnghello_html_53797402.png

hello_html_56687aaf.png

 

Опустим из точки hello_html_m36fa57aa.pngперпендикуляр hello_html_m2970d0e0.pngна прямую hello_html_m5ca5e2df.png(см. рис. 1, 2). Искомое расстояние hello_html_me2ac516.pngнаходим из прямоугольного треугольника hello_html_m3642d1bf.png

Первый случай (точка hello_html_44d1c288.pngлежит между точками hello_html_m72b00d28.pngи hello_html_4a1b3487.pngсм. рис. 1):

 

hello_html_m5201747d.png

 

hello_html_1f2b6f2e.png

 

hello_html_62f6aa00.png

hello_html_644164bf.png

 

Второй случай (точка C лежит между точками hello_html_m72b00d28.pngи hello_html_m33193f23.pngсм. рис. 2):

 

hello_html_m5201747d.png

 

hello_html_5d6393ca.png

 

hello_html_m3a5e0f06.png

Ответ: hello_html_m14c9613.pngили hello_html_m69616923.png

17. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Заметим сначала, что увеличить число на hello_html_m6ecbb388.pngэто тоже самое, что умножить это число на hello_html_mf091875.pngПусть Ярослав взял в банке hello_html_cff89cd.pngрублей, а его ежегодный платеж равен hello_html_m9ca0d5f.png(в данном случае hello_html_eccf7a6.png). Тогда из условия следует уравнение: hello_html_564de18c.pngРаскрывая скобки, получаем следующее:

hello_html_60d837a8.png

Отсюда

hello_html_580e0130.pnghello_html_199ca60b.png

Ответ: 6409000 рублей.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

18. Найдите все значения hello_html_m9ca0d5f.png, при каждом из которых неравенство

 

hello_html_m15ed6e21.png

выполняется при всех hello_html_6d27095b.png

Решение.

Поскольку hello_html_684a1742.pngдля всех значений hello_html_m1728f1bf.pngполучаем:

 

hello_html_35d8994e.png

 

Решим полученное неравенство:

 

hello_html_4f7fc77b.png

 

Для того, чтобы любое значение hello_html_m2e1cf45c.pngудовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения hello_html_m2e1cf45c.png, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

 

hello_html_217a39c.png

 

Ответ: hello_html_61e1e7b5.png

19. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.



Выбранный для просмотра документ Вариант15.docx

библиотека
материалов

Вариант № 15

1.

Оптовая цена учебника 150 рублей. Розничная цена на 15% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 4550 рублей?

Решение.

С учетом наценки учебник будет стоить 150 + 0,15 hello_html_1c73b5a1.png 150 = 172,5 рубля. Разделим 4550 на 172,5:

 

hello_html_m7a4705d6.png.

Значит, можно будет купить 26 учебников.

 

Ответ: 26.

Ответ: 26

77101

26

2. На рисунке жирными точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольший курс доллара за указанный период. Ответ дайте в рублях.

hello_html_m7e8a4014.png

Решение.

Из графика видно, что наибольший курс доллара был 22 октября 2010 года и составлял 30,3 рубля

 

Ответ: 30,3.

Ответ: 30,3

512366

30,3

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 24.09.2015 вариант МА10108.

3. hello_html_m6d770e87.pngНайдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_1e8a8196.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Решение.

hello_html_m5f478c94.pngДостроим четырёхугольник до прямоугольника площади 2 как показано на рисунке. Площади белых и серых частей прямоугольника равны, поэтому искомая площадь серого четырёхугольника равна 1 см2.

Ответ: 1

244984

1

4. За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.

 

Решение.

Пусть первой за стол сядет девочка, тогда есть два места через одно от нее , на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна hello_html_m16c5f42f.png

Ответ: 0,01

 

Другое решение:

Число способов рассадить 201 человек на 201 стул равняется hello_html_m432ac862.png.

Благоприятным для нас исходом будет вариант рассадки, когда на "первом" стуле сидит девочка, и через одно место справа сидит девочка, а на остальных ста девяноста девяти стульях произвольно рассажены мальчики. Количество таких исходов равно hello_html_3f0cfc76.pngТак как "первым" стулом может быть любой из двухсот одного стула (стулья стоят по кругу), то количество благоприятных исходов нужно умножить на 201. Таким образом, вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна hello_html_m3dd77134.png

Ответ: 0,01

325909

0,01

5. Найдите корень уравнения hello_html_5af1c99b.png

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

 

hello_html_m673f1e96.png

 

Ответ: 5,5.

 

----------

Дублирует задание 26653.

Ответ: 5,5

509033

5,5

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

6. hello_html_30c48dfd.pngУгол ACB равен hello_html_70899438.png. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна hello_html_bcc0358.png. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть искомый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между секущими CB и CA полуразности дуг AB и DE:

 

hello_html_m45cfe13c.png

 

 

Ответ: 59.

Ответ: 59

52339

59

7. hello_html_2d34162a.pngНа рисунке изображен график производной функции hello_html_5dcd543.pngПри каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке hello_html_585a6d39.png

Решение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −4.

 

Ответ: −4.

Ответ: -4

508246

-4

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

8. hello_html_m3fe56366.pngНайдите угол hello_html_4f8e6eec.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение.

hello_html_m35416298.pnghello_html_62381950.png — диагональ квадрата со стороной 3, значит, треугольник hello_html_4f8e6eec.png — прямоугольный и равнобедренный, угол hello_html_4f8e6eec.pngпри основании равен hello_html_6bcb6c59.png.

Ответ: 45.

Ответ: 45

281867

45

9.

Найдите значение выражения hello_html_3fb2cf8c.png.

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_3fb2cf8c.png= hello_html_m4ab4f8c3.png.

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

61455

2,4

10. Автомобиль, масса которого равна hello_html_70413df4.png кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь hello_html_22da96c.png метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно hello_html_m170692ba.png. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1200 Н. Ответ выразите в секундах.

Решение.

Найдем, за какое время автомобиль пройдет путь hello_html_22da96c.pngметров, учитывая, что сила hello_html_1be7b9c2.pngпри заданном значении массы автомобиля 1200 H. Задача сводится к решению неравенства hello_html_77f9e7af.pngпри заданном значении массы автомобиля hello_html_70413df4.pngкг:

hello_html_310e93b1.pngс.

Ответ: 50.

Ответ: 50

42735

50

11.

В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Концентрация раствора равна

hello_html_m7aa8cb22.png.

 

Объем вещества в исходном растворе равен hello_html_m13d1cfca.pngлитра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

 

hello_html_5a4bb23b.png.

Ответ: 7.

Ответ: 7

108487

7

12. Найдите наименьшее значение функции hello_html_mae97a8.pngна отрезке hello_html_m2bc34026.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_6b7bfbfb.png

hello_html_m59f24060.png

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

hello_html_6bf3791d.png.

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_m3ba3bd68.png

В точке hello_html_m2d64124b.pngзаданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: hello_html_m4c8a2e86.png.

 

Ответ: −24.

Ответ: -24

77478

-24

13. а) Решите уравнение hello_html_m1dd752d.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m3bb67b73.png

Решение.

hello_html_b3dc46d.pngа) Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

 

hello_html_m7f369240.png

hello_html_2ed6df43.png

hello_html_m3a4302fa.png

 

1 случай. Если hello_html_m56abe2a0.pngто hello_html_m536f3c54.png

2 случай. Если hello_html_m7723a503.pngто hello_html_m274ee94.pngПри hello_html_m17d34ab.pngрешений нет. Разделим обе части уравнения на hello_html_m737930d0.pngПолучаем hello_html_7b75a35f.png

Тогда hello_html_3031a0eb.png

Отрезку hello_html_2d09f81e.pngпринадлежат корни hello_html_4bb62662.pngи hello_html_m775108f3.png

 

Ответ: а) hello_html_5c6602e1.pngб) hello_html_4bb62662.pngи hello_html_m775108f3.png

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 24.04.2012 вариант 2. (Часть С)

14. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Решение.

Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP:РО = 2 : 1, где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MA, G — ребру MC), откуда

 

hello_html_m5919dace.png

hello_html_m404d5314.png

hello_html_m72ce9409.png

 

Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,

hello_html_m4855abdc.png

 

Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно, hello_html_m2ea98320.png

Ответ: hello_html_mfaa3873.png

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.

15. Решите неравенство: hello_html_2e6bf2dd.png

Решение.

Имеем:

 

hello_html_68f0731.png

 

Ответ: hello_html_79e7a460.png

16. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.

Решение.

hello_html_4f4e46a0.pngа) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда

 

hello_html_m37a4caef.png

 

С другой стороны, по формуле Герона

 

hello_html_m3b193772.png

 

Из уравнения hello_html_m5032bae.pngполучаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.

Тогда

hello_html_60915853.png

 

Ответ: б) hello_html_57372a54.png

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 18.12.2015 вариант МА10212.

17. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производт t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение.

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено x руб., а второго — оставшиеся (900 000 − x) руб. Тогда на первом заводе можно оплатить hello_html_m5918279c.pngчасов работы, а на втором — hello_html_m1112f9db.pngчасов работы. Количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее значение функции

 

hello_html_42e3e549.png

 

на отрезке hello_html_mf344b6e.pngНайдём производную:

 

hello_html_1aac93a9.png

 

Решая уравнение hello_html_6e58ebca.pngполучаем:

 

hello_html_m437d53bc.png

 

Поскольку производная непрерывной функции f положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000. Найдём его:

 

hello_html_cb244b.png

 

Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.

 

Ответ: 90.

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, резервный день (часть С).

18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции hello_html_7bd2eba8.pngсодержит отрезок hello_html_m2371273b.png

Решение.

Запишем функцию в виде hello_html_m14e554e6.png

Отрезок hello_html_1a3bcad8.pngсодержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения hello_html_m76d53174.pngи hello_html_302f5e7a.pngимеют решения.

Решим первое уравнение. Уравнение hello_html_18963a4.pngимеет решение при любом hello_html_m59d66a62.png

Решим второе уравнение. Уравнение hello_html_1b9c3eee.pngимеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

 

hello_html_m257cd141.png

 

hello_html_17b62300.png

 

откуда hello_html_m2af42fc3.png

Следовательно,

 

hello_html_m35ad2359.pngили hello_html_699a6413.png

 

Ответ: hello_html_m710ffbe9.png

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 21.01.2015 вариант МА10110.

19. Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?



Выбранный для просмотра документ Вариант16.docx

библиотека
материалов

Вариант № 16

1.

Студент получил свой первый гонорар в размере 900 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет лилий для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество лилий сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, лилии стоят 120 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Решение.

Налог составит 900 hello_html_1c73b5a1.png 0,13 = 117 рублей. После выплаты налога останется 900 − 117 = 783 рубля. Разделим 783 на 120:

hello_html_1158db45.png.

Значит, денег хватает на 6 лилий. В букете должно быть нечетное число цветов, поэтому студент купит 5 лилий.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

83781

5

2. Задание 2 № 18893. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

 

hello_html_m730c03c3.png

 

 

Решение.

Из графика видно, впервые 1,5 мм осадков выпало 9 января (см. рисунок).

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

18893

9

3. hello_html_m506cf552.pngНайдите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 3x + 4y = 6.

Решение.

Общий вид уравнения прямой y = kx + b. Тогда выражая y из исходного уравнения, получаем:

 

hello_html_m3b251e0d.png

 

Поэтому k = −0,75.

 

Ответ: −0,75.

Ответ: -0,75

27691

-0,75

4. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию — 0,9.

Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на «Переводчика»: 0,9 · 0,7 · 0,8 = 0,504, вероятность успешно сдать экзамены на «Таможенное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,9 = 0,567, вероятность успешно сдать экзамены и на «Переводчика», и на «Таможенное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,4536. Успешная сдача экзаменов на «Переводчика» и на «Таможенное дело» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,504 + 0,567 − 0,4536 = 0,6174.

 

Ответ: 0,6174.

Ответ: 0,6174

321893

0,6174

5. Найдите корень уравнения hello_html_m495a6a28.png

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

 

hello_html_6e85b023.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

509012

2

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 13.02.2015 вариант МА00409.

6. hello_html_64603489.pngВ треугольнике ABC угол C равен hello_html_6735e1f8.png, CH — высота, АВ = 5, hello_html_m18ed9c6d.pngНайдите AH.

Решение.

Заметим, что hello_html_m5be0c3b1.png. Тогда

hello_html_59b55f22.png.

Ответ: 3,2.

Ответ: 3,2

4817

3,2

7. hello_html_m116e8b6c.png

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

hello_html_m7ebcb4e0.pngЗначение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−5; −13), B (7; 8), C (7; −13). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу BAC

hello_html_m44f4ebb9.png

 

Ответ: 1,75.

<>

Ответ: 1,75

9641

1,75

8. hello_html_ef669fe.png

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен hello_html_4dab96d4.pngНайдите образующую конуса.

Решение.

hello_html_35326d8f.png

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

 

hello_html_3a2821d1.png

 

Радиус сферы равен hello_html_m3fab6e4e.pngпоэтому образующая равна hello_html_a0fea44.png

 

Ответ:46.

Ответ: 46

501938

46

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 101.

9. Найдите значение выражения hello_html_1c862ee9.png.

Решение.

Воспользуемся периодичностью синуса:

hello_html_39aaad78.png.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26769

14

10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет hello_html_6f3107ad.pngОм. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление hello_html_m714fee6d.pngэтого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями hello_html_m15cb279.pngОм и hello_html_m714fee6d.pngОм их общее сопротивление даeтся формулой hello_html_m66ff2164.png(Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства hello_html_46dc37b.pngОм при известном значении сопротивления приборов hello_html_m5bb7bc82.pngОм:

 

hello_html_65be522c.pngОм.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27975

10

11.

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 25 метрам?

Решение.

Пусть hello_html_m6e867c2.pngкм/ч – скорость второго пешехода, тогда скорость первого − hello_html_m35473ff8.pngкм/ч. Пусть через hello_html_5f8efe6d.pngчасов расстояние между пешеходами станет равным 0,025 километра. Таким образом,

 

hello_html_183c097e.png

 

Следовательно, расстояние станет равным 25 метрам черезhello_html_672a3cca.png часа или hello_html_20ad84a2.pngминутам.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

113441

3

12. Найдите точку минимума функции hello_html_5dc46082.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_64bf2e91.png

 

Найдем нули производной:

hello_html_m1fcb080.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_3b97643a.png

Искомая точка минимума hello_html_4618803d.png

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

77420

4

13. Решите уравнение: hello_html_m3a54bb17.png

Решение.

Преобразуем уравнение:

 

hello_html_m2504f9c1.png

 

Откуда получаем, что:

 

hello_html_1fe6985a.png

 

 

hello_html_12624b9f.png

Ответ: hello_html_m347aba07.png

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 12.04.2011 вариант 2. (Часть С)

14. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Решение.

hello_html_1c72db58.pngа) Осевым сечением является равнобедренный треугольник hello_html_m3f77a547.pngбоковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).

б) Введём обозначения как показано на рисунке. Пусть hello_html_m36fa57aa.png— центр вписанной окружности, отрезок hello_html_5ae037e7.png— биссектриса угла hello_html_33b17553.pngи пусть hello_html_4822f710.pngимеем:

 

hello_html_58d6244b.png

 

Тогда hello_html_m77bfdc68.pngДля площадей поверхностей конуса и шара имеем: hello_html_5e51c26b.pngТем самым, искомое отношение равно hello_html_m5ea78b2c.pngили 8:3.

 

Ответ: 8:3.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

15. Решите неравенство: hello_html_2261b765.png

Решение.

Пусть hello_html_4b818318.pngтогда неравенство примет вид:

 

hello_html_m68f9d094.png

Таким образом,

hello_html_23f68209.png

Ответ: hello_html_m1221297d.png

16. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 27.

Решение.

hello_html_44ea75a7.pngа) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

 

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,

 

hello_html_m1fd174ec.png

 

Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что

 

hello_html_m306110da.png

 

Значит, hello_html_3809f0fd.pngИз доказанного следует, что hello_html_m12e52f99.png

 

б) Пусть площадь параллелограмма равна S . Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом hello_html_344b228d.pngследует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет hello_html_4de03aa8.pngвысоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна

 

hello_html_25d5c801.png

 

Аналогично найдём площадь треугольника BNP . Его высота, проведённая к BN , составляет hello_html_5aec256d.pngвысоты параллелограмма, проведённой к стороне BC , а сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

 

hello_html_1440c13e.png

 

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна

 

hello_html_54170d59.png

 

Ответ: hello_html_m265a434.png.

17. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?

Решение.

Пусть сумма денег, которые Степан положил в два разных банка, составляет х руб. Коэффициент повышения суммы, обусловленный годовой процентной ставкой на вклад, составляет в первом банке u, во втором v (это — не процентная ставка).

Тогда к концу первого года хранения (60% процентов в первом банке и 40% во втором банке) вся сумма вклада стала hello_html_m7bc62f21.png(руб.).

Если бы Степан первоначально положил 60% всей суммы во второй банк, а 40% — в первый банк, то вся сумма была бы равна hello_html_3b5117ec.png(руб.).

Решим систему уравнений hello_html_39a0697f.pngотносительно xu и xv.

Для удобства в расчетах заменим число 590 000 выражением 590t, 610 000 — выражением 610t, t = 1000.

Тогда приведенная система уравнений после некоторых преобразований будет выглядеть так: hello_html_2f25d824.png

Решим ее относительно xu и xv.

 

hello_html_m4c159901.png

hello_html_m6b40462e.png

 

Теперь воспользуемся тем, что к концу второго года сумма вкладов (в реале) стала 701 000 руб., т.е. 701t руб.

 

hello_html_ebd99b3.pnghello_html_3744fb31.png

 

При hello_html_m799b06f9.png

Теперь нетрудно найти и искомую сумму.

 

hello_html_3786e679.png(руб.)

 

Ответ: 749 000.

18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение hello_html_m4b8295b0.pngимеет хотя бы один корень.

Решение.

Рассмотрим две функции: hello_html_7a4312fe.pngи hello_html_6e9bde1a.pngПоскольку hello_html_268ed0d7.pngполучаем: hello_html_m6b5347e1.png

Функция hello_html_m632427fb.pngявляется кусочно-линейной, причём при hello_html_121aaafb.pngугловой коэффициент равен либо 3, либо 9, а при hello_html_5384e941.pngугловой коэффициент равен либо –3, либо –9. Значит, функция hello_html_1ed34512.pngвозрастает при hello_html_121aaafb.pngи убывает при hello_html_m6dcd232a.pngпоэтому hello_html_m2fac7b0a.png

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда hello_html_m5d806b6a.png

 

hello_html_m3293b05b.png

 

Значит, либо

hello_html_m79b4aa33.pngоткуда hello_html_m3ecb33c2.png

 

либо

hello_html_m61701359.pngоткуда hello_html_m13c1af4d.png

 

Ответ: hello_html_m7653014a.png

19. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 2m − 3n = 1.



Выбранный для просмотра документ Вариант17.docx

библиотека
материалов

Вариант № 17

1. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 60 копеек. Счетчик электроэнергии 1 сентября показывал 79 991 киловатт-час, а 1 октября показывал 80 158 киловатт-часов. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь?

Решение.

Расход электроэнергии за сентябрь составляет 80 158 − 79 991 = 167 киловатт-часов. Значит, за электроэнергию за сентябрь нужно заплатить 1,6 hello_html_1c73b5a1.png 167 = 267,2 рубля.

 

Ответ: 267,2.

Ответ: 267,2

78797

267,2

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1999 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

hello_html_1cb20a1e.png

Решение.

Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура во второй половине года составляла −2 °C (см. рисунок).

 

Ответ: −2.

Ответ: -2

27516

-2

3. hello_html_m33cf78d4.pngНайдите площадь прямоугольной трапеции, изображенной на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

 

hello_html_ma562fbf.pngсм2.

Ответ: 9.

Ответ: 9

24209

9

4

В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Вадим окажутся в одной группе.

 

Решение.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 3 человека из 15 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 3 человек, равна 3 : 15 = 0,2.

Ответ: 0,2

321495

0,2

5. Найдите корень уравнения hello_html_d8d38a2.png.

Решение.

Возведем в квадрат:

 

hello_html_m4162b9c3.png

Ответ: 55.

Ответ: 55

3329

55

6. hello_html_m791765c.pngНайдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

 

hello_html_m5435fbda.png.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27614

24

7. На рисунке изображен график производной функции hello_html_m7847ab84.png, определенной на интервале hello_html_mb08284d.png. В какой точке отрезка hello_html_374c7a61.png hello_html_m7847ab84.png принимает наибольшее значение.

 

hello_html_m7dd7f2fe.jpg

Решение.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

6415

5

8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

Решение.

hello_html_m648073d9.pngРассмотрим треугольник SOC. Он прямоугольный, т. к. SO — высота, она перпендикулярна основанию ABCD, а значит, и прямой AC. Тогда по теореме Пифагора

 

hello_html_454c4243.png

Ответ: 5.

Ответ: 5

284348

5

9. Найдите значение выражения hello_html_34fab0.png.

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_48c5d152.png.

Ответ: 10.

Ответ: 10

77413

10

10. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону hello_html_6fb71afc.png, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Решение.

Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно четыре метра. Для этого решим уравнение hello_html_36c2139b.png:

 

hello_html_38e74b6d.png

 

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени hello_html_m68f9920e.png (с) мяч находился на высоте 4 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени hello_html_m454a710e.png (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее четырёх метров 1,4 − 0,4 = 1 секунду.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

41337

1

11. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_7243bb48.pngкм/ч — скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна hello_html_m5557c3ec.pngкм/ч, а скорость лодки против течения равна hello_html_152a49a5.pngкм/ч. На путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:

 

hello_html_m49ebb0f3.png

Ответ: 16.

Ответ: 16

5687

16

12. Найдите наибольшее значение функции hello_html_3398a319.pngна отрезке hello_html_2377b803.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_m324090a9.png

hello_html_m62f3011b.png

Найдем нули производной:

hello_html_m2f389ba6.png

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

hello_html_11efd999.png

В точке hello_html_me4a8cde.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: hello_html_3b291a8d.png.

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

77479

36

13. а) Решите уравнение hello_html_m357078a9.png

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащее отрезку hello_html_7dadcabe.png

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

 

hello_html_m473f75ff.png

 

Значит, hello_html_m68692aa0.pngоткуда hello_html_1572bd7c.pngили hello_html_6baa4220.png

Уравнение hello_html_58b9c918.pngкорней не имеет.

hello_html_m168ac01f.pngб) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_m27d13241.pngПолучим число hello_html_40d5ee0.png

Ответ:а) hello_html_3bcd7ae.pngб) hello_html_40d5ee0.png

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

14. Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.

Решение.

hello_html_42135db2.pngПоскольку hello_html_madc9a8c.png ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами hello_html_4128256d.pngи hello_html_aa894f2.pngравно hello_html_m61f9c210.pngа расстояние между боковыми ребрами hello_html_4128256d.pngи hello_html_6a764891.pngравно hello_html_m34e729b8.pngКроме того, угол hello_html_482a0d0a.png ― линейный угол двугранного угла при ребре hello_html_75fbd2a9.png

Таким образом, hello_html_m781929e.png

Пусть отрезок hello_html_m2a5dd0f7.png ― высота основания hello_html_m485e0c24.png(см. рисунок). Поскольку hello_html_m1be58ed1.pngи hello_html_24fceec5.pngто hello_html_3cfb2ff6.pngи, значит, длина отрезка hello_html_m2a5dd0f7.pngи есть искомое расстояние от прямой hello_html_4128256d.pngдо параллельной ей плоскости hello_html_m43627962.png

Рассматривая треугольник hello_html_m3f77a547.pngнаходим:

 

hello_html_4cc6e3c1.png

hello_html_efb58f.png

hello_html_473ce6bc.png

Ответ: hello_html_39245623.png

Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.

15. Решите неравенство hello_html_m1c64ea9c.png

Решение.

Решение будем искать при условиях:

 

hello_html_m2fe92155.png.

 

Рассмотрим исходное неравенство на множестве hello_html_54691268.pngтогда hello_html_m5c99ab34.pngоткуда hello_html_2fb32e3f.pngто есть hello_html_m391709da.png.

Рассмотрим исходное неравенство на множестве hello_html_m6d93dd8e.pngтогда hello_html_m1babd743.pngоткуда hello_html_m306c566.pngто есть hello_html_m6879d0c6.pngили hello_html_m505d094b.png

 

Ответ: hello_html_m22ba6ce8.png.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 12.

Решение.

hello_html_6ba15fc3.pngа) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

 

hello_html_m4724af89.png

 

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

 

hello_html_285a4d7a.png

hello_html_m693fe130.png

hello_html_m2ceea31f.png

 

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

 

hello_html_61e0883c.png

 

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средняя AP. Следовательно,

 

hello_html_m2aab652a.png

 

Ответ: б) hello_html_m3183466c.png

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

17. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Заметим сначала, что увеличить число на hello_html_m6ecbb388.pngэто тоже самое, что умножить это число на hello_html_mf091875.pngПусть Ярослав взял в банке hello_html_cff89cd.pngрублей, а его ежегодный платеж равен hello_html_m9ca0d5f.png(в данном случае hello_html_eccf7a6.png). Тогда из условия следует уравнение: hello_html_564de18c.pngРаскрывая скобки, получаем следующее:

hello_html_60d837a8.png

Отсюда

hello_html_580e0130.pnghello_html_199ca60b.png

Ответ: 6409000 рублей.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

18. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

 

hello_html_m6af05c43.png

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть hello_html_66b62a93.pngтогда исходное уравнение принимает вид:

 

hello_html_3dc8b55d.png   (1)

 

откуда

hello_html_m136c08f0.png   (2)

 

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений hello_html_m5c63f179.pngили hello_html_303e5f47.pngИсследуем сколько решений имеет уравнение hello_html_m6aeb3860.pngв зависимости от hello_html_m9ca0d5f.pngи hello_html_m6af2c497.pngЗапишем уравнение в виде hello_html_5d3b1b04.pngЛевая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке hello_html_23158214.pngграфик левой части — график модуля, с вершиной в точке hello_html_3201006.pngЭто уравнение может иметь одно, либо бесконечное множество решений. Уравнение будет иметь одно решение, если одновременно прямая hello_html_m164f71d0.pngлежит выше прямой hello_html_11805e81.pngи прямая hello_html_3d2e3d63.pngлежит ниже прямой hello_html_4906792e.pngлибо, если одновременно прямая hello_html_m164f71d0.pngлежит ниже прямой hello_html_11805e81.pngи прямая hello_html_3d2e3d63.pngлежит выше прямой hello_html_m38e27f50.pngПолучаем совокупность двух систем уравнений:

 

hello_html_184d08cd.png   (3)

 

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если оба уравнения совокупности (2) имеют по одному решению.

Для первого уравнения имеем

 

hello_html_m52e200ab.png

 

 

Для второго уравнения:

 

hello_html_m3f087a96.png

 

 

Если уравнения совокупности совпадают, то тогда, даже если каждое из них имеет по одному решению, то эти решения совпадут и исходное уравнение будет иметь не два, а одно решение. Исключим данный случай, найдём при каких значениях параметра hello_html_m9ca0d5f.pngуравнения совпадают:

 

hello_html_66c2a00a.png

 

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при значениях параметра hello_html_2211664b.png

 

hello_html_m6b4acd89.png

 

 

Ответ: hello_html_m67f86780.png

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 2.

19. Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.

а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?

б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?



Выбранный для просмотра документ Вариант18.docx

библиотека
материалов

Вариант № 18

1. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

 

Решение.

Если спидометр показывает скорость 65 миль в час, значит, в километрах это будет 65 hello_html_1c73b5a1.png 1,609 = 104,585 км в час.

 

Ответ: 105.

Ответ: 105

26640

105

2.

На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену золота за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

hello_html_17394894.png

Решение.

Из графика видно, что наибольшая цена золота за указанный период составила 1010 рублей. (см. рисунок).

 

Ответ: 1010.

Ответ: 1010

263795

1010

3. hello_html_74b91b30.pngДиагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

 

hello_html_m106e8fc9.png.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27845

9

4. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,76. Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.

Решение.

Рассмотрим события A = «учащийся решит 8 задач» и В = «учащийся решит больше 8 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 7 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 

P(A + B) = P(A) + P(B).

 

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,88 = P(A) + 0,76, откуда P(A) = 0,88 − 0,76 = 0,12.

 

Ответ: 0,12.

Ответ: 0,12

321791

0,12

5. Найдите корень уравнения hello_html_me26e825.png.

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

 

hello_html_m2eab467f.png

Ответ: −1.

Ответ: -1

2737

-1

6. hello_html_m5e50b43e.pngВ треугольнике ABC угол C равен 90°, hello_html_751db833.png. Найдите hello_html_m1afa5acf.png.

Решение.

Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными. Поэтому

 

hello_html_m6e3ce1bc.png

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

28979

2,4

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

hello_html_m78279000.png

Решение.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Наибольший из них — интервал (−7; −1), длина которого 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

27499

6

8. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз?

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса равна hello_html_m580dea17.png, где hello_html_77faa71c.png — длина окружности основания, а hello_html_2a3c476d.png — образующая. При увеличении образующей в 36 раз площадь боковой поверхности конуса увеличится в 36 раз.

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

75697

36

9. Найдите значение выражения hello_html_m5ced1dc1.png.

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_m7bcab77d.png.

Ответ: −25.

Ответ: -25

26989

-25

10. Небольшой мячик бросают под острым углом hello_html_1a432dab.pngк плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле hello_html_37d65855.png (м), где hello_html_m6211c497.png м/с — начальная скорость мяча, а g — ускорение свободного падения (считайте hello_html_3a0f5e60.png м/сhello_html_4fd47cb6.png). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мяч перелетит реку шириной 8,45 м?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства hello_html_182e07.pngна интервале hello_html_m3b277f12.pngпри заданных значениях начальной скорости hello_html_m7d770de6.pngи ускорения свободного падения hello_html_m5077f541.png:

 

hello_html_63ab5a9d.png

hello_html_m6e6a8c69.png

hello_html_m270c771d.png

Ответ: 15.

Ответ: 15

28589

15

11. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 3 рабочих, а во второй — 9 рабочих. Через 4 дня после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

 

Решение.

Пусть производительность каждого из рабочих равна hello_html_493d0e1.pngдома в день, и пусть в новом составе бригады достраивали дома hello_html_m401336e5.pngдней. Тогда за первые 4 дня работы бригадами в 3 и 9 человек было построено hello_html_mcec8b6.pngи hello_html_68244625.pngчастей домов, а за следующие hello_html_m401336e5.pngдней бригадами в 10 человек и 2 человека были построены оставшиеся hello_html_m2fe93b59.pngи hello_html_m4e826d38.pngчасти домов. Поскольку в результате были целиком построены два дома, имеем:

 

hello_html_m13097553.png

 

Тем самым, в новом составе бригады работали 3 дня.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

324107

3

12.

Найдите точку минимума функции hello_html_m242295d2.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_75fecf55.png

hello_html_241d0e1c.png

Найдем нули производной:

 

hello_html_m7197fc69.png

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

hello_html_58659cff.png

Искомая точка минимума hello_html_m6e6c92d6.png.

Ответ: 17.

Ответ: 17

71571

17

13. а) Решите уравнение hello_html_m5a821efd.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m219afb53.png

Решение.

а) Левая часть уравнения определена при hello_html_m1b78969a.pngто есть при hello_html_m6e80e29a.pngи при hello_html_3749b2fd.pngЧислитель дроби должен быть равен нулю:

 

hello_html_1065cc65.png

 

Серию hello_html_m7dcdf30a.pngнужно отбросить. Получаем ответ: hello_html_m20da2bb3.png и hello_html_32d20c2e.png

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке hello_html_2318c13c.pngПолучим: hello_html_6387f185.png

 

Ответ: а) hello_html_410f5a41.pngб) hello_html_m192d7137.png

 

hello_html_m2c412e20.png

14. В правильной четырёхугольной призме hello_html_7899e29d.pngстороны основания равны hello_html_mc6cdc5.pngа боковые ребра равны hello_html_71909e7b.pngНа ребре hello_html_4128256d.pngотмечена точка hello_html_4253be82.pngтак, что hello_html_34d4e2aa.pngНайдите угол между плоскостями hello_html_m485e0c24.pngи hello_html_22e1763a.png

Решение.

hello_html_m6fbf7e31.pngПрямая hello_html_6db2ce3d.pngпересекает прямую hello_html_73b6bec5.pngв точке hello_html_m6c3344c7.pngПлоскости hello_html_m485e0c24.pngи hello_html_m38590e95.pngпересекаются по прямой hello_html_4768b630.png

Из точки hello_html_4253be82.pngопустим перпендикуляр hello_html_m2216c665.pngна прямую hello_html_m3055cf7b.pngтогда отрезок hello_html_m2a5dd0f7.png(проекция hello_html_m2216c665.png) перпендикулярен прямой hello_html_4768b630.pngУгол hello_html_m1703198f.pngявляется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями hello_html_m485e0c24.pngи hello_html_22e1763a.png

Поскольку hello_html_789159c7.pngполучаем:

hello_html_60fe0a65.png

Из подобия треугольников hello_html_5d5b3032.pngи hello_html_5a3c115e.pngнаходим:

hello_html_m662cf98a.png

В прямоугольном треугольнике hello_html_m581e386c.pngс прямым углом hello_html_m30fc4907.pnghello_html_m7704ec64.png, откуда высота hello_html_2d0463b6.png

Из прямоугольного треугольника hello_html_m1703198f.pngс прямым углом hello_html_m72b00d28.pngполучаем:

hello_html_c7dfb9a.png

Ответ может быть представлен и в другой форме: hello_html_m1af32649.pngили hello_html_m1c331780.png

Ответ: hello_html_557e0972.png.

15. Решите неравенство: hello_html_7f1724f8.png

Решение.

Решим первое неравенство:

hello_html_m545d2085.png

 

Сделаем замену hello_html_5b00654e.png

hello_html_m7934904f.png

 

Если hello_html_m41669609.pngто

hello_html_7fdb7678.png

 

Если hello_html_578347fe.pngто

hello_html_m6935c57f.png

 

Решение первого неравенства: hello_html_4c532840.pngили hello_html_268639fb.png

 

Ответ: hello_html_m72b436.png

16. Точка hello_html_m36fa57aa.png— центр правильного шестиугольника hello_html_445b9ccd.pngсо стороной hello_html_m7e617397.pngНайдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников hello_html_25738571.pngи hello_html_27ad37f5.png

Решение.

hello_html_m517bb8f1.pngЗаметим, что hello_html_m6b26a89.pngпоэтому вершина hello_html_77faa71c.png— центр окружности, описанной около треугольника hello_html_m60216372.pngАналогично, точки hello_html_m72b00d28.pngи hello_html_4253be82.png— центры окружностей, описанных около треугольников hello_html_m4294d699.pngи hello_html_23f7484a.pngсоответственно.

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки hello_html_74a0a6df.pngи hello_html_m5f29e690.pngза точки hello_html_1ee3967c.pngи hello_html_4253be82.pngдо пересечения с соответствующими окружностями в точках hello_html_m4529db78.pngТогда hello_html_21480088.png— диаметры данных окружностей. Окружность hello_html_4cdc9a4f.pngпроходящая через точки hello_html_m21459f6f.pngи hello_html_m60e97d29.pngкасается внутренним образом окружности, описанной около треугольника hello_html_m4294d699.png, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность hello_html_75a9ccb.pngкасается остальных двух окружностей.

Рассмотрим второй случай. Пусть hello_html_m5f3f705d.png— центр окружности радиуса hello_html_m2e1cf45c.png, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника hello_html_m519594a1.pngи внешним образом — описанных окружностей треугольников hello_html_m4294d699.pngи hello_html_2eb8f8f5.pngПусть hello_html_m6f701d24.png — основание перпендикуляра, опущенного из центра hello_html_m72b00d28.pngописанной окружности треугольника hello_html_m4294d699.pngна хорду hello_html_m40c207b9.pngТогда hello_html_6961e751.png — высота равностороннего треугольника hello_html_m4d350fd.pngпоэтому hello_html_m7f31f343.pngЛиния центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

hello_html_379096d2.png

 

hello_html_m77db7fa7.png

 

По теореме Пифагора hello_html_5be6547.pngили

 

hello_html_m203170a5.pnghello_html_51f7fae7.png

 

Ответ: 28, 12.

17. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда выплата за первый месяц равна hello_html_34c241a4.pngПо условию, долг перед банком должен уменьшиться равномерно:

 

hello_html_6f7ddf25.png

 

Величина переплаты равна

 

hello_html_m569b333d.png

 

Величина переплаты равна

 

hello_html_m569b333d.png

 

По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

 

hello_html_m83736e.png

 

 

Ответ: 3.

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на q% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

 

hello_html_m40fc560a.png

 

В условиях нашей задачи получаем: hello_html_m4bb0202d.pngоткуда для n = 19 устно находим q = 3.

 

Доказательство формул, например, немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С).

18. При каких hello_html_m9ca0d5f.pngуравнение hello_html_54f5dd8.pngимеет ровно три корня?

Решение.

Запишем уравнение в виде hello_html_m7f0aabdb.png

hello_html_m753e8dcc.png

Построим графики левой и правой частей уравнения (см. рис.) Из рисунка видно, что подходящих значений hello_html_m9ca0d5f.pngровно два — при одном из них график правой части проходит через точку hello_html_m7f8ab972.pngпри другом — касается отраженного участка параболы.

Первое происходит при hello_html_m7da7586c.png, а второе — когда уравнение hello_html_50e6a3e7.pngимеет единственный корень. Приравнивая дискриминант к нулю, находим hello_html_m225cc5db.png

 

Ответ: hello_html_7761c0a5.png

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.03.2012 вариант 1. (Часть С)

19. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство hello_html_12a41b75.png

б) Может ли дробь hello_html_4c9b6d12.pngбыть в 11 раз меньше, чем сумма hello_html_29812fcf.png

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь hello_html_504001b6.pngесли hello_html_m452136e1.pngи hello_html_26e325a5.png



Выбранный для просмотра документ Вариант19.docx

библиотека
материалов

Вариант № 19

1. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 3%. Книга стоит 300 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение.

Скидка на покупку составит 300 · 0,03 = 9 рублей. Значит, держатель дисконтной карты заплатит за книгу 300 − 9 = 291 рубль.

 

Ответ: 291.

Ответ: 291

505180

291

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

hello_html_m2e9d8caa.png

 

Решение.

Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C (см. рисунок).

 

Ответ: −10.

Ответ: -10

26868

-10

3. hello_html_m68e2a8c5.pngНайдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. Диагональ равна 5, поэтому радиус равен 2,5.

 

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

27947

2,5

4. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

 

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

 

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в четвёртой группе?

Решение.

Вероятность того, что команда Китая окажется в четвертой группе, равна отношению количества карточек с номером 4, к общему числу карточек. Тем самым, она равна

 

hello_html_m68449440.png

 

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

320345

0,2

5. Найдите корень уравнения hello_html_d8d38a2.png.

Решение.

Возведем в квадрат:

 

hello_html_m4162b9c3.png

Ответ: 55.

Ответ: 55

3329

55

6. В треугольнике hello_html_m485e0c24.pnghello_html_m4ed3282c.png, hello_html_m2a5dd0f7.png— высота, hello_html_6dcf4170.png. Найдите hello_html_190d1a4.png.

Решение.

hello_html_m6c1f3f6e.pngТреугольник hello_html_m485e0c24.pngравнобедренный, значит, углы hello_html_482a0d0a.pngи hello_html_32f0aeaa.pngравны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки hello_html_77faa71c.png, делит основание hello_html_m6a8f3bbc.pngпополам. Имеем:

 

hello_html_m57090d99.png

hello_html_15b99dab.png.

Ответ: 30.

 

----------------

Примечание.

hello_html_m69d91616.png

Внимательный читатель заметит, что расстояние BH получилась больше, чем длина . Связано это с тем, что на самом деле описанный в условии треугольник является тупоугольным. Однако это не влияет на корректность решения задачи.

Ответ: 30

27327

30

7. hello_html_m310637c9.pngНа рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

 

Ответ: 18.

Ответ: 18

27498

18

8. hello_html_48be5ae5.pngЦилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 138.

Решение.

Объем конуса равен

 

hello_html_5302ded8.png

 

где  hello_html_75a9ccb.png — площадь основания, а  hello_html_2a093b83.png — высота конуса. Объем цилиндра равен  hello_html_m3ce63334.png и, как видно, в 3 раза больше объема конуса. Поэтому объем конуса равен 46.

Ответ: 46.

Ответ: 46

74397

46

9.

Найдите значение выражения hello_html_48f7b26f.png.

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_m1949df5c.png.

Ответ: 7.

Ответ: 7

62059

7

10. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной hello_html_2a3c476d.png км с постоянным ускорением hello_html_m4d63b343.png, вычисляется по формуле hello_html_2a1c66cd.png. Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 110 км/ч. Ответ выразите в км/чhello_html_4fd47cb6.png.

Решение.

Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения hello_html_m3ac0d84e.pngпри известном значении длины пути hello_html_m51a9bed9.pngкм:

 

hello_html_m60c9225b.pngкм/ч2.

 

Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, гонщик наберёт большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 6050 км/ч2.

 

Ответ: 6050.

Ответ: 6050

28331

6050

11. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 6 минут, второй и третий — за 7 минут, а первый и третий — за 21 минуту. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Решение.

Если бы два первых, два вторых и два третьих насоса работали по 42 минуты каждый, они заполнили бы 7 + 6 + 2 = 15 бассейнов. Поэтому один бассейн они заполняют за (42 : 15) · 2 = 5,6 мин.

Ответ: 5,6

513711

5,6

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 2.

12. Найдите наименьшее значение функции hello_html_6a1e4609.pngна отрезке hello_html_m11eee608.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_b1892c5.png.

Производная обращается в нуль в точках hello_html_me4a8cde.pngи hello_html_504a994d.png, заданному отрезку принадлежит число 0. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

hello_html_6f44c0d1.png

В точке hello_html_me4a8cde.pngзаданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

 

hello_html_m7accc2f8.png.

Ответ: 15.

Ответ: 15

124715

15

13. а) Решите уравнение hello_html_m4cf7583d.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_61f9ecde.png

Решение.

а) Преобразуем исходное уравнение:

 

hello_html_481fb0a2.png

 

hello_html_69df6070.pngоткуда hello_html_m65abbb10.png

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_61f9ecde.pngПолучим числа: hello_html_6bf9c2a9.png

 

Ответ: а) hello_html_m2aeb434a.pngб) hello_html_m16e2eb6c.png

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 24.09.2013 вариант МА10101.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна hello_html_386dd37e.pngНайдите сторону основания.

Решение.

hello_html_27a1a971.pngНужное сечение — треугольник AMB.

Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и hello_html_48380957.pngЗначит, hello_html_4808483a.png

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, hello_html_m7c2fe407.pngСледовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM. Аналогично находим, что BM=BC.

Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение hello_html_f131ca9.pngоткуда AB = 10.

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 24.01.2013 с решениями: вариант 2 (Часть С).

15. Решите неравенство hello_html_4930b182.png

Решение.

Запишем неравенство в виде:

 

hello_html_5fcd5028.png

 

Сделаем замену hello_html_30dba31.pngи приведем левую часть к общему знаменателю:

 

hello_html_m4fca5d6c.png

 

Решением полученного неравенства является множество hello_html_2268c0f7.pngВозвращаясь к переменной hello_html_m2e1cf45c.png, находим множество решений исходного неравенства: hello_html_12d41633.png

 

Ответ: hello_html_3d9c840f.png

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 12.

Решение.

hello_html_6ba15fc3.pngа) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

 

hello_html_m4724af89.png

 

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

 

hello_html_285a4d7a.png

hello_html_m693fe130.png

hello_html_m2ceea31f.png

 

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

 

hello_html_61e0883c.png

 

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средняя AP. Следовательно,

 

hello_html_m2aab652a.png

 

Ответ: б) hello_html_m3183466c.png

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

 

hello_html_m137d7d0f.png

 

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

 

hello_html_m6b01b21d.png

 

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

 

hello_html_m17e0ad2c.png

 

Получаем: hello_html_36ab7bac.pngоткуда hello_html_39688fd0.pngЗначит, всего следует выплатить

 

hello_html_316394b8.png(млн. рублей).

 

Ответ: 80,5.

 

Приведём другое решение:

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

 

hello_html_9d961af.png

 

Первая выплата равна hello_html_7c4af56e.png

Вторая выплата равна hello_html_m499b10d1.png

Третья выплата равна hello_html_38abd874.png

Четвертая выплата равна hello_html_3599d2b3.pngи так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, d = 2, выплат — 14 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью hello_html_m587c3b18.png

Общая выплата равна hello_html_64afada1.png

 

Ответ: 80,5.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

18. Найдите все значения параметра hello_html_m211109ce.pngпри каждом из которых система

 

hello_html_623c6094.png

 

имеет единственное решение.

Решение.

hello_html_66285f3d.pngПреобразуем систему:

 

hello_html_m489dfe63.png

 

Неравенство hello_html_e5958a1.pngзадаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: hello_html_6736cc77.pngи hello_html_m52207dd1.png

Если hello_html_6a9fb741.pngто система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если hello_html_mbe29282.pngто уравнение принимает вид: hello_html_m257e56f1.pngи задаёт единственную точку hello_html_m5eba9c4e.pngкоординаты которой удовлетворяют неравенству: hello_html_2cadc8f6.pngСледовательно, при hello_html_78c619e8.pngсистема имеет единственное решение.

Рассмотрим случай hello_html_m59707911.pngТогда уравнение hello_html_2b21a606.pngопределяет окружность радиусом hello_html_m797342ed.pngЦентр hello_html_m148f8cbc.pngокружности лежит на прямой hello_html_m72ed1474.png, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках hello_html_1c6e95dc.pngи hello_html_m7637a625.pngСистема имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке hello_html_m72b00d28.pngили в точке hello_html_m35ab5f9.pngЕсли точка касания — hello_html_7004baa2.pngто hello_html_529fda91.pngчто невозможно, поскольку hello_html_m59707911.pngОкружность касается полосы в точке B, только если hello_html_676147c3.pngи hello_html_15f67b7d.pngПолучаем:

hello_html_2fdfd966.png

 

Условию hello_html_676147c3.pngудовлетворяет только корень hello_html_m2d9b2d15.png

 

Ответ: hello_html_m7eac8c46.png

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 03.03.2011 вариант 2. (Часть С)

19. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь hello_html_5fad64c3.pngможно сократить на b.



Выбранный для просмотра документ Вариант2.docx

библиотека
материалов

Вариант № 2

1. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 3%. Книга стоит 300 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение.

Скидка на покупку составит 300 · 0,03 = 9 рублей. Значит, держатель дисконтной карты заплатит за книгу 300 − 9 = 291 рублей.

 

Ответ: 291.

Ответ: 291

505159

291

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 22.04.2014 вариант МА10602.

2. hello_html_3048a9d7.png

 

Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, при какой скорости (в километрах в час) подъемная сила достигает 1 тонн силы?

Решение.

Из графика видно, что при скорости 200 км/ч подъемная сила достигает 1.

 

Ответ: 200.

Ответ: 200

263879

200

3. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны hello_html_1cf8a3c6.png и hello_html_85f3fe6.png

Решение.

Площадь круга определяется формулой S = πR2. Площадь кольца равна разности площадей первого и второго круга. Тогда

hello_html_29350850.png, hello_html_m7f66c628.png

 

Поэтому площадь кольца: S = S1 − S2 = 2601 − 2209 = 392.

 

Ответ: 392.

Ответ: 392

57509

392

4. Родительский комитет закупил 40 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 14 с видами природы и 26 с историческими достопримечательностями. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Пете достанется пазл с видом природы.

Решение.

Вероятность того, что Пете достанется пазл с видом природы равна

 

hello_html_28ea0546.png.

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

1028

0,35

5. Найдите корень уравнения hello_html_m76f7b4e9.png.

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

 

hello_html_5812d8b0.png

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

26653

4

6.

hello_html_385a287a.pngВ треугольнике ABC угол C равен 90°, hello_html_7f000842.png, hello_html_3caca5c1.png. Найдите AB.

Решение.

Имеем:

hello_html_m462043b2.png

Ответ: 20.

Ответ: 20

29579

20

7. На рисунке изображён график некоторой функции hello_html_34d1a6b1.png(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

 

hello_html_m7c72c983.png

Решение.

hello_html_77e33613.pngРазность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции hello_html_m60874f1.pngПоэтому

 

hello_html_1886f30c.png

 

Ответ:7.

Ответ: 7

323078

7

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.

8. hello_html_m5182326c.pngВ прямоугольном параллелепипеде hello_html_5d0965de.pngизвестно, что hello_html_1ef2a731.pnghello_html_m57af125f.pnghello_html_18660745.pngНайдите длину ребра hello_html_m2ed32cc0.png.

Решение.

hello_html_3ed0be83.pngПо теореме Пифагора

 

hello_html_5d7d7086.png

Тогда длина ребра равна hello_html_m2ed32cc0.png

 

hello_html_m27f33ec2.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

916

3

9. Найдите значение выражения hello_html_10456e16.png.

Решение.

Выполним преобразования:

hello_html_m75d8f523.png.

Ответ: 2.

Ответ: 2

69767

2

10. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону hello_html_5dd54dfc.png, где hello_html_76e7777.png — начальная масса изотопа, hello_html_5f8efe6d.png (мин) — прошедшее от начального момента время, hello_html_m1d0a2499.png— период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени hello_html_m65623383.png мг изотопа hello_html_76462bd.png, период полураспада которого hello_html_11b4cc45.png мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 47 мг?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства hello_html_74cf4fec.pngпри заданных значениях параметров hello_html_m65623383.pngмг и hello_html_11b4cc45.pngмин:

 

hello_html_76ad0fe2.pngмин.

 

Таким образом, масса радиоактивного изотопа будет не меньше 47 мг в течение 6 минут.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

42837

6

11. Ире надо подписать 880 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Ира подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за восьмой день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Решение.

В первый день Вера подписала hello_html_5c858bff.pngоткрыток, во второй — hello_html_5cf604fe.png, …, в последний — hello_html_m7029dde2.pngоткрыток. Всего было подписано hello_html_51370769.pngоткрыток. Если количество подписываемых открыток увеличивалось на hello_html_m1d6fecc3.pngкаждый день, то

 

hello_html_709d4aba.png

 

Тогда

hello_html_m730a964b.png

 

Следовательно, за восьмой день было подписано 52 открытки.

 

Ответ: 52.

Ответ: 52

112205

52

12. Найдите наибольшее значение функции hello_html_m58a3c279.pngна отрезке hello_html_m7c2d49e0.png.


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

hello_html_3f2ba429.png

Найдем нули производной:

hello_html_233c8935.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_m5aec849e.png

В точке hello_html_m59c05127.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

hello_html_502810e6.png

 

Ответ: 697.

Ответ: 697

124367

697

13. а) Решите уравнение hello_html_a7a45fd.png

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_57876095.png

Решение.

hello_html_m527b54a7.pngа) Преобразуем уравнение:

 

hello_html_488bc229.png

hello_html_6ca7a20e.png

 

Получаем hello_html_ef1ebd2.pngили