26 вариантов ЕГЭ по математике образца 2016г

Вариант № 25

1. Бегун про­бе­жал 180 мет­ров за 20 се­кунд. Най­ди­те сред­нюю ско­рость бе­гу­на. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

Ре­ше­ние.

Чтобы пе­ре­ве­сти метры в се­кун­ду в ки­ло­мет­ры в час нужно умно­жать на 3,6. Ско­рость бе­гу­на 180/20 м/c, она равна

Ответ: 32,4

509874

32,4

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 26.03.2015. До­сроч­ная волна, Восток.

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс дол­ла­ра, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 22 сен­тяб­ря по 22 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена дол­ла­ра в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­ший курс дол­ла­ра за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­ший курс дол­ла­ра за ука­зан­ный пе­ри­од со­ста­вил 29,6 руб­лей. (см. ри­су­нок).

Ответ: 29,6.

Ответ: 29,6

263677

29,6

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длины на ши­ри­ну. По­это­му см².

Ответ: 15.

Ответ: 15

248703

15

4. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Швей­ца­рии, 5 из Гол­лан­дии и 4 из Фран­ции. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ше­стым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Швей­ца­рии.

Ре­ше­ние.

Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 3 + 5 + 4 = 12 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет ше­стым, ока­жет­ся из Швей­ца­рии, равна 3/12 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

286121

0,25

5.Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 321.

Ответ: 321

3325

321

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, , . Най­ди­те вы­со­ту CH.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку , имеем:

.

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

30741

2,4

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те , где  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции 

Ре­ше­ние.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

Ответ:12.

Ответ: 12

323275

12

8. Объём ко­ну­са, опи­сан­но­го около пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды, равен 76. Най­ди­те объём ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду.

Ре­ше­ние.

Объ­е­мы дан­ных ко­ну­сов со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний, и, сле­до­ва­тель­но, как квад­ра­ты их диа­мет­ров. Диа­метр впи­сан­но­го ко­ну­са равен сто­ро­не квад­ра­та, диа­метр опи­сан­но­го – диа­го­на­ли квад­ра­та, длина ко­то­рой равна   длины сто­ро­ны. По­это­му объем впи­сан­но­го ко­ну­са в 2 раза мень­ше объ­е­ма опи­сан­но­го, то есть равен 38.

Ответ: 38.

Ответ: 38

324435

38

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: 3.

Ответ: 3

282685

3

10. Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где p (Па) — дав­ле­ние в газе, V — объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a — по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a уве­ли­че­ние в 16 раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к умень­ше­нию дав­ле­ния не менее, чем в 32 раза?

Ре­ше­ние.

Пусть и – на­чаль­ные, а и – ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства , при­чем

Ответ: 1,25.

Ответ: 1,25

42863

1,25

11. При двух од­но­вре­мен­но ра­бо­та­ю­щих прин­те­рах рас­ход бу­ма­ги со­став­ля­ет 1 пачку за 12 минут. Опре­де­ли­те, за сколь­ко минут из­рас­хо­ду­ет пачку бу­ма­ги пер­вый прин­тер, если из­вест­но, что он сде­ла­ет это на 10 минут быст­рее, чем вто­рой.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый прин­тер рас­хо­ду­ет пачку бу­ма­ги за минут, тогда вто­рой — за минут. Прин­те­ры рас­хо­ду­ют бу­ма­гу со ско­ро­стью пачки в ми­ну­ту, при этом за ми­ну­ту прин­те­ры рас­хо­ду­ют пачки бу­ма­ги. Из урав­не­ния под­бо­ром на­хо­дим Ис­ко­мое ре­ше­ние един­ствен­но в силу убы­ва­ния левой части урав­не­ния на луче Тем самым, пер­вый прин­тер из­рас­хо­ду­ет пачку бу­ма­ги за 20 минут.

Ответ: 20.

Ответ: 20

509118

20

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 2.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4.

Ответ: -4

77471

-4

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

Из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что . В урав­не­нии сде­ла­ем за­ме­ну и решим урав­не­ние или Ра­вен­ствам и на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти со­от­вет­ству­ет че­ты­ре точки. Две из них, на­хо­дя­щи­е­ся в верх­ней по­лу­плос­ко­сти, не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию По­лу­ча­ем ре­ше­ния:

Ответ:

14. В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно а вы­со­та равна впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Ре­ше­ние.

Пусть — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной тогда тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке вы­со­та

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та

Центр сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те точка ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, по­это­му

где — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 10.06.2013. Вто­рая волна. Центр. Ва­ри­ант 602.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:

16. Пря­мые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 4 и 8. Пря­мая, со­дер­жа­щая ги­по­те­ну­зу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

а) До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка внут­рен­ней ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окруж­но­стей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСВ.

Ре­ше­ние.

а) Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть — точки ка­са­ния. Ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки равны: По­это­му:

от­ку­да

б) Для опре­де­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ис­поль­зу­ем фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую её с по­лу­пе­ри­мет­ром, сто­ро­ной и ра­ди­у­сом внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся этой сто­ро­ны и про­дол­же­ний двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка:

17. Алек­сей при­обрёл цен­ную бу­ма­гу за 7 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на 2 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 10 %. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через трид­цать лет после по­куп­ки этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Если Алек­сей про­даст бу­ма­гу в те­че­ние k-го года, то через трид­цать лет после по­куп­ки сумма на его счёте будет равна Таким об­ра­зом, нам нужно найти номер мак­си­маль­но­го члена по­сле­до­ва­тель­но­сти , где k про­бе­га­ет целые зна­че­ния от 1 до 30. Рас­смот­рим при­ра­ще­ние

От­сю­да при и при Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние по­сле­до­ва­тель­ность при­ни­ма­ет при Про­дать бу­ма­гу сле­ду­ет в те­че­ние вось­мо­го года.

Ответ: в те­че­ние вось­мо­го года.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­дать цен­ную бу­ма­гу нужно в том мо­мент, когда 10% от сто­и­мо­сти ста­нут со­став­лять не мень­ше чем 2 тыс. руб­лей, что воз­мож­но при сто­и­мо­сти бу­ма­ги не менее 20 тыс. руб­лей.

Это про­изой­дет через семь лет после по­куп­ки цен­ной бу­ма­ги (7 + 7 · 2 = 21). Таким об­ра­зом цен­ную бу­ма­гу нужно про­дать в те­че­нии вось­мо­го года (сразу по про­ше­ствии семи лет).

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли: (x − 2y)(y − 2x) = 0. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние задаёт пару пря­мых x = 2y и y = 2x.

Вто­рое урав­не­ние при каж­дом a ≠ 0 — урав­не­ние окруж­но­сти c цен­тром (a, a) и ра­ди­у­сом

Если a = 0, то си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние и по­это­му не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Пусть a ≠ 0. Тогда усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность ка­са­ет­ся каж­дой из пря­мых. То есть рас­сто­я­ние от цен­тра до каж­дой из пря­мых равно ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Можно вос­поль­зо­вать­ся гео­мет­ри­че­ским ме­то­дом или ис­поль­зо­вать фор­му­лу рас­сто­я­ния от точки до пря­мой.

От­сю­да a = ± 0,2.

Ответ: a = ± 0,2

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.

19. По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a₁ = 5, a₂ = 8, ..., a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, ..., b_M сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

Вариант № 26

1. В сен­тяб­ре 1 кг ви­но­гра­да стоил 90 руб­лей, в ок­тяб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 25%, а в но­яб­ре еще на 20%. Сколь­ко руб­лей стоил 1 кг ви­но­гра­да после по­до­ро­жа­ния в но­яб­ре?

Ре­ше­ние.

В ок­тяб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 90  0,25 = 22,5 ру­бля и стал сто­ить 90 + 22,5 = 112,5 руб­лей. В но­яб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 112,5  0,2 = 22,5 рубля. Зна­чит, после по­до­ро­жа­ния в но­яб­ре 1 кг ви­но­гра­да стоил 112,5 + 22,5 = 135 руб­лей.

Ответ: 135.

Ответ: 135

82081

135

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да вы­па­да­ло более 3 мил­ли­мет­ров осад­ков.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что 3 дня из дан­но­го пе­ри­о­да (4, 11, 15 фев­ра­ля) вы­па­да­ло более 3 мм осад­ков (см. ри­су­нок).

Ответ: 3.

Ответ: 3

509050

3

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

3. Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки

1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь фи­гу­ры равна одной вось­мой пло­ща­ди круга, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен см. По­это­му

см².

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

250997

0,5

4. Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли хо­дить. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка за­сты­ла, до­стиг­нув от­мет­ки 10, но не дойдя до от­мет­ки 4 часа.

Ре­ше­ние.

На ци­фер­бла­те между де­ся­тью и че­тырь­мя ча­са­ми шесть ча­со­вых де­ле­ний. Всего на ци­фер­бла­те 12 ча­со­вых де­ле­ний. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

322521

0,5

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13685

5

6. У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 15 и 5 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к пер­вой сто­ро­не, равна 1. Чему равна вы­со­та, про­ве­ден­ная ко вто­рой сто­ро­не?

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим пло­щадь двумя спо­со­ба­ми

Тогда,

Ответ: 3.

Ответ: 3

56755

3

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции При каком зна­че­нии x эта функ­ция при­ни­ма­ет свое наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

508246

-4

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

8. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 2, 3, 1 и двух пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 2, 1:

.

Ответ: 18.

Ответ: 18

25541

18

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

26852

2

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 4 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно че­ты­ре метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 4 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее четырёх мет­ров 1,4 − 0,4 = 1 се­кун­ду.

Ответ: 1.

Ответ: 1

41337

1

11. Баржа в 10:00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 30 км от А. Про­быв в пунк­те В 1 час 40 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 21:00. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна 7 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость те­че­ния реки, тогда ско­рость баржи по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость баржи про­тив те­че­ния равна км/ч. Баржа вер­ну­лась в пункт A через 11 часов, но про­бы­ла в пунк­те B час 40 минут, по­это­му общее время дви­же­ния баржи да­ет­ся урав­не­ни­ем:

По­это­му ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2.

Ответ: 2

5997

2

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −16,5.

Ответ: -16,5

26701

-16,5

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

а) По фор­му­ле при­ве­де­ния имеем:

б) От­рез­ку при­над­ле­жат корни

Ответ: а) б)

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

14. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра равны . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти .

Ре­ше­ние.

Пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой . Плос­кость , со­дер­жа­щая пря­мую , пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти . Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка , в ко­то­ром , , . Тогда

.

Ответ: .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов, пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Пе­рейдём к си­сте­ме:

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства: или Из вто­ро­го ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что и Ре­ше­ние тре­тье­го не­ра­вен­ства:

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 06.05.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)

16. В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD= R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если из­вест­но, что R= 5 и CD =15.

Ре­ше­ние.

а) Пусть — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, зна­чит, — бис­сек­три­са угла Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

б) Обо­зна­чим По тео­ре­ме о ра­вен­стве от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ведённых к окруж­но­сти из одной точки, и По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра или Из этого урав­не­ния на­хо­дим, что Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 40.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10101.

17. 31 де­каб­ря 2014 года Дмит­рий взял в банке 4 290 000 руб­лей в кре­дит под 14,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 14,5%), затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Дмит­рий вы­пла­тил долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за два года)?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют а%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01а. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − X. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

По усло­вию двумя вы­пла­та­ми Дмит­рий дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му от­ку­да

При S = 4 290 000 и а = 14,5, по­лу­ча­ем: b = 1,145 и

(руб­лей).

Ответ: 2 622 050.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Най­ди­те это ре­ше­ние для каж­до­го зна­че­ния a.

Ре­ше­ние.

Пусть число — ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра Тогда число есть его ре­ше­ние при том же зна­че­нии Если ре­ше­ние един­ствен­но, то ре­ше­ния и сов­па­да­ют, то есть

Под­ста­вив это ре­ше­ние в ис­ход­ное урав­не­ние, по­лу­чим:

от­ку­да

Пусть Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

От­сю­да сле­ду­ет, что сле­до­ва­тель­но,

Ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и оно имеет един­ствен­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию Сле­до­ва­тель­но, удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: при един­ствен­ное ре­ше­ние

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505.

19. На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­ход­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа раз­лич­ны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-ни­будь из осталь­ных.

а) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?

Вар1	Вар2	Вар3	Вар4	Вар5	Вар6	Вар7	Вар8	Вар9	Вар10	Вар11	Вар12
147 -22 40 0.375 20 110 40 108 196 30 12 63	291 200 392 0.35 4 20 7 3 2 6 52 697	26 -10 10 0.26 -0.5 38 5 2 0 90 240 4	17 650000 3 0.3 -5 0.6 23 2 20 30 8 697	1400 15.4 8 0.0545 733 125 14 96 22 7 50 4	3 50 14 0.375 9 90 -0.25 72 7 288000 10 30	36 7 4 0.9975 4.5 12 2 60 -1.5 0.5 6 51	22 7 25 0.5 -7 0.6 2 10 12.8 288000 16 2	21 6 6 0.3 35 -0.25 39 80 10 2 12 10	202 44.3 6 0.275 -4 60 6 15 1 1.4 11 -77	10 1 12 0.5 4 0.6 50 9 0 2 90 -41	315 8 120 0.31 -4 27 72 4 2 6 69 -4
Вар13	Вар14	Вар15	Вар16	Вар17	Вар18	Вар19	Вар20	Вар21	Вар22	Вар23	Вар24	Вар25	Вар26	Вар27
15 6 28 0,4 14 0,1 4 1 7 4 342 -33	11 8 2 0,375 -13 120 2 54 5 30 5 36	26 30,3 1 0,01 5,5 59 -4 45 2,4 50 7 -24	5 9 -0,75 0,6174 2 3,2 1,75 46 14 10 3 4	267,2 -2 9 0,2 55 24 5 5 10 1 16 36	105 1010 9 0,12 -1 2,4 6 36 -25 15 3 17	291 -10 2,5 0,2 55 30 18 46 7 6050 5,6 15	25 30 12 0,1 4 4,8 -3 63 -12 6 11 -1	6 3 5 0,16 12 25,2 -1 4 -0,5 60 48 25	8 2000 14 0,65 -1 26 39 3 -2 8 20 -13	3000 2 22 0,65 -80 2 -4 2 25 0,75 63 -12	19 650000 6 0,4 8 -0,28 -19 4 -2 0,5 18 0,5	32,4 29,6 15 0,25 321 2,4 12 38 3 1,25 20 -4	135 3 0,5 0,5 5 3 -4 18 2 1 2 -16,5

Ответы к пробному 2016

Вариант 1.

1. В школе 1050 уче­ни­ков, из них 30% — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ло фран­цуз­ский язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют фран­цуз­ский язык, если в на­чаль­ной школе фран­цуз­ский язык не изу­ча­ет­ся?

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 23 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2; 6).

4. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

6. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

8. Вы­со­та ко­ну­са равна 72, а длина об­ра­зу­ю­щей — 90. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

10. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны  нм на ди­фрак­ци­он­ную решётку с пе­ри­о­дом  нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол  (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к ре­шет­ке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма  свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  Под каким ми­ни­маль­ным углом  (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решётке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1800 нм.

11. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 13-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

14. В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной ; вы­со­та приз­мы равна  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти BCM, где M — се­ре­ди­на ребра A₁C₁.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. Две окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 9 и 4, ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных окруж­но­стей и их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

18. При каких  урав­не­ние  имеет ровно три корня?

19. Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся 

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся 

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Вариант № 2

1. Дер­жа­те­ли дис­конт­ной карты книж­но­го ма­га­зи­на по­лу­ча­ют при по­куп­ке скид­ку 3%. Книга стоит 300 руб­лей. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит дер­жа­тель дис­конт­ной карты за эту книгу?

Ре­ше­ние.

Скид­ка на по­куп­ку со­ста­вит 300 · 0,03 = 9 руб­лей. Зна­чит, дер­жа­тель дис­конт­ной карты за­пла­тит за книгу 300 − 9 = 291 руб­лей.

Ответ: 291.

Ответ: 291

505159

291

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10602.

2.

Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат – сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, при какой ско­ро­сти (в ки­ло­мет­рах в час) подъ­ем­ная сила до­сти­га­ет 1 тонн силы?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км/ч подъ­ем­ная сила до­сти­га­ет 1.

Ответ: 200.

Ответ: 200

263879

200

3. Най­ди­те пло­щадь коль­ца, огра­ни­чен­но­го кон­цен­три­че­ски­ми окруж­но­стя­ми, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны  и

Ре­ше­ние.

Пло­щадь круга опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой S = πR². Пло­щадь коль­ца равна раз­но­сти пло­ща­дей пер­во­го и вто­ро­го круга. Тогда

,

По­это­му пло­щадь коль­ца: S = S₁ − S₂ = 2601 − 2209 = 392.

Ответ: 392.

Ответ: 392

57509

392

4. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 40 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 14 с ви­да­ми при­ро­ды и 26 с ис­то­ри­че­ски­ми до­сто­при­ме­ча­тель­но­стя­ми. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Пете до­ста­нет­ся пазл с видом при­ро­ды.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что Пете до­ста­нет­ся пазл с видом при­ро­ды равна

.

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

1028

0,35

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ответ: 4

26653

4

6.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, , . Най­ди­те AB.

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 20.

Ответ: 20

29579

20

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Ре­ше­ние.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

Ответ:7.

Ответ: 7

323078

7

Источник: Проб­ный эк­за­мен по математике. Санкт-Петербург 2013. Ва­ри­ант 1.

8. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда длина ребра равна

Ответ: 3.

Ответ: 3

916

3

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

69767

2

10.  В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па, его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну , где  — на­чаль­ная масса изо­то­па,  (мин) — про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та время, — пе­ри­од по­лу­рас­па­да в ми­ну­тах. В ла­бо­ра­то­рии по­лу­чи­ли ве­ще­ство, со­дер­жа­щее в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни  мг изо­то­па , пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го  мин. В те­че­ние сколь­ких минут масса изо­то­па будет не мень­ше 47 мг?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров мг и мин:

мин.

Таким об­ра­зом, масса ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па будет не мень­ше 47 мг в те­че­ние 6 минут.

Ответ: 6.

Ответ: 6

42837

6

11. Ире надо под­пи­сать 880 от­кры­ток. Еже­днев­но она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Ира под­пи­са­ла 10 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за вось­мой день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 16 дней.

Ре­ше­ние.

В пер­вый день Вера под­пи­са­ла от­кры­ток, во вто­рой — , …, в по­след­ний — от­кры­ток. Всего было под­пи­са­но от­кры­ток. Если ко­ли­че­ство под­пи­сы­ва­е­мых от­кры­ток уве­ли­чи­ва­лось на каж­дый день, то

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, за вось­мой день было под­пи­са­но 52 от­крыт­ки.

Ответ: 52.

Ответ: 52

112205

52

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 697.

Ответ: 697

124367

697

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­лу­ча­ем или от­ку­да или  где

б) На от­рез­ке корни отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

По­лу­ча­ем и

Ответ: а) б)

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны рёбра Точка при­над­ле­жит ребру и делит его в от­но­ше­нии 4:5, счи­тая от вер­ши­ны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и

Ре­ше­ние.

Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро в точке Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет плос­кость по пря­мой па­рал­лель­ной сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние — па­рал­ле­ло­грамм (рис. 1).

Тре­уголь­ни­ки и равны, сле­до­ва­тель­но,

Далее,

зна­чит,  — ромб со сто­ро­ной и диа­го­на­лью (рис. 2).

Тогда дру­гая диа­го­наль

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10116.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что в ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства вхо­дят все по­ло­жи­тель­ные числа за ис­клю­че­ни­ем Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Сде­ла­ем за­ме­ну имеем:

Тогда от­ку­да по­лу­ча­ем мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства:

Ответ:

16. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­сы углов при сто­ро­не AD делят сто­ро­ну BC точ­ка­ми M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Най­ди­те BC если AB = 12.

Ре­ше­ние.

Пусть E — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, Так как то точка M лежит между точ­ка­ми B и N воз­мож­ны два слу­чая.

1. Точка E — внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма. Тре­уголь­ни­ки ABN и DMC рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да, учи­ты­вая, что , по­лу­ча­ем

              

2. Точка E — вне па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда от­ку­да учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Ответ: или

17. Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Ре­ше­ние.

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Сер­гей взя­тую сумму, без учета про­цен­тов, воз­вра­щал рав­ны­ми до­ля­ми.

Общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку сверх кре­ди­та, обу­слов­ле­на толь­ко при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки.

В пер­вом ме­ся­це эта часть за­пла­чен­ной суммы со­став­ля­ла , во вто­ром — в тре­тьем — в вось­мом — на­ко­нец, в по­след­нем —

Всего за 9 ме­ся­цев:

Ис­ко­мое про­цент­ное от­но­ше­ние есть 60

Ответ: 60.

Источник: Интеллект-центр. Ре­пе­ти­ци­он­ные варианты ЕГЭ 2015.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет корни, но ни один из них не при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (4; 19).

Ре­ше­ние.

Раз­ность вы­ра­же­ний, сто­я­щих под зна­ка­ми мо­ду­ля, сов­па­да­ет с пра­вой ча­стью урав­не­ния:

Сде­ла­ем за­ме­ну: Тогда урав­не­ние имеет вид:

Это рав­но­силь­но усло­вию По­лу­ча­ем

Урав­не­ние имеет корни, ни один из ко­то­рых не при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (4; 19) , толь­ко если пра­вая гра­ни­ца от­рез­ка ре­ше­ний не боль­ше 4 или левая гра­ни­ца не мень­ше 19. По­лу­ча­ем

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10301 (Часть С).

19. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние .

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние тре­тье­го члена воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел , при­чем толь­ко если и . То есть если де­ся­тич­ная дробь на­чи­на­ет­ся так:

(чет­вер­тая цифра не ).

За­ме­тим, что таким об­ра­зом на­чи­на­ет­ся, на­при­мер, число

Най­дем число и про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ет ли оно усло­ви­ям за­да­чи. Для этого за­пи­шем сумму по­дроб­нее.

В каж­дой строч­ке — сумма гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем По фор­му­ле для суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,  — ра­ци­о­наль­ное число, и оно пред­став­ля­ет­ся дро­бью со зна­ме­на­те­лем 81, что мень­ше ста. Число удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и для этого числа

Ответ: 3.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ясно, что если дробь можно за­пи­сать в виде 0,123..., то Вспом­ним, что Чтобы умень­шить ве­ли­чи­ну дроби, уве­ли­чим ее зна­ме­на­тель на 1, по­лу­чим Это число дает ис­ко­мый при­мер.

При­ме­ча­ние.

Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры:

Вариант № 3

1. Опто­вая цена учеб­ни­ка 150 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 15% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 4550 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки учеб­ник будет сто­ить 150 + 0,15  150 = 172,5 рубля. Раз­де­лим 4550 на 172,5:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 26 учеб­ни­ков.

Ответ: 26.

Ответ: 26

77101

26

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 22 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха 22 ян­ва­ря со­став­ля­ла −10 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: −10.

Ответ: -10

5327

-10

3. Най­ди­те длину век­то­ра (6; 8).

Ре­ше­ние.

Длина век­то­ра опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27663

10

4. В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 50 спортс­ме­нок: 24 из США, 13 из Мек­си­ки, осталь­ные — из Ка­на­ды. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Ка­на­ды.

Ре­ше­ние.

В чем­пи­о­на­те при­ни­ма­ет уча­стие 50 − (24 + 13) = 13 спортс­ме­нок из Ка­на­ды. Тогда ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Ка­на­ды, равна

Ответ: 0,26.

Ответ: 0,26

283479

0,26

5. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния за­да­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем . На об­ла­сти опре­де­ле­ния имеем:

Оба най­ден­ных ре­ше­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию , мень­ший из них равен −0,5.

Ответ: −0,5.

Ответ: -0,5

77367

-0,5

6. Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 104°, угол CAD равен 66°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит

Ответ: 38.

Ответ: 38

505378

38

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка   при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

6415

5

8. Най­ди­те тан­генс угла DCD₃ мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр D₃K из точки D₃ на от­ре­зок DC. Угол DCD₃ равен углу KCD₃. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке СKD₃ имеем:

Ответ: 2.

Ответ: 2

279869

2

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0.

Ответ: 0

69205

0

10. Два тела мас­сой  кг каж­дое, дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью  м/с под углом друг к другу. Энер­гия (в джо­у­лях), вы­де­ля­ю­ща­я­ся при их аб­со­лют­но не­упру­гом со­уда­ре­нии опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем . Под каким наи­мень­шим углом (в гра­ду­сах) долж­ны дви­гать­ся тела, чтобы в ре­зуль­та­те со­уда­ре­ния вы­де­ли­лось не менее 100 джо­у­лей?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства Дж на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях массы тел кг и их ско­ро­стей м/с:

.

Зна­чит, наи­мень­ший угол

Ответ: 90.

Ответ: 90

43741

90

11. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми и равно 435 км. Из го­ро­да в город со ско­ро­стью 60 км/ч вы­ехал пер­вый ав­то­мо­биль, а через час после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да вы­ехал со ско­ро­стью 65 км/ч вто­рой ав­то­мо­биль. На каком рас­сто­я­нии от го­ро­да ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся? Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пусть ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся на рас­сто­я­нии км от го­ро­да , тогда вто­рой ав­то­мо­биль прой­дет рас­сто­я­ние км. Вто­рой ав­то­мо­биль на­хо­дил­ся в пути на 1 час мень­ше пер­во­го, от­сю­да имеем:

.

Ответ: 240.

Ответ: 240

99590

240

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке будет наи­боль­шее из чисел и . Най­дем их:

,

За­ме­тим, что , по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке равно 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

26709

4

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния будут те x, при ко­то­рых чис­ли­тель об­ра­ща­ет­ся в нуль, а зна­ме­на­тель — нет.

Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при , то есть при . Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен :

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.02.2014 ва­ри­ант МА00202.

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — бис­сек­три­са угла SAC. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­ще­го через точки A, M и B.

Ре­ше­ние.

Нуж­ное се­че­ние — тре­уголь­ник .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник он рав­но­бед­рен­ный: по­это­му Зна­чит,

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник Сумма его углов зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, и по­это­му Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний со сто­ро­ной 8. Его пло­щадь равна

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

Сде­ла­ем за­ме­ну

Если то

Если то

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства: или

Ответ:

16. Хорды AD, BE и CF окруж­но­сти делят друг друга на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что эти хорды равны.

б) Най­ди­те пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, если точки A, B, C, D, E по­сле­до­ва­тель­но рас­по­ло­же­ны на окруж­но­сти, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Ре­ше­ние.

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд 2x · x = 2y · y. От­сю­да на­хо­дим, что x = y, зна­чит, эти хорды равны. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что тре­тья хорда равна каж­дой из пер­вых двух.

б) Рав­ные хорды рав­но­уда­ле­ны от цен­тра окруж­но­сти, по­это­му центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках по­пар­но­го пе­ре­се­че­ния хорд сов­па­да­ет с цен­тром дан­ной окруж­но­сти. Пусть хорды BE и CF пе­ре­се­ка­ют хорду AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но, хорды BE и FC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T, а H — про­ек­ция цен­тра O на хорду AD. Тогда H — общая се­ре­ди­на от­рез­ков AD и PQ, а OH — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка PQT со сто­ро­ной PQ.

Через точку T про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную AD, через точку P — пря­мую, па­рал­лель­ную CF, а через точку Q — пря­мую, па­рал­лель­ную BE. Эти пря­мые и хорды AD, BE и CF раз­би­ва­ют ше­сти­уголь­ник ABCDEF на 13 оди­на­ко­вых рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

Обо­зна­чим PQ = 2a. Тогда

От­сю­да на­хо­дим, что a = 3, зна­чит, PQ = 2a = 6,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.

17. 31 де­каб­ря 2014 года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Ти­мо­фей вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна а го­до­вые со­став­ля­ют Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Ти­мо­фей по­га­сил кре­дит пол­но­стью, по­это­му

от­ку­да

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что если бы Ти­мо­фей гасил долг двумя рав­ны­ми вы­пла­та­ми, то каж­дый год он дол­жен был бы вы­пла­чи­вать руб­лей. Зна­чит, он отдал банку на боль­ше.

При и по­лу­ча­ем: и

(руб­лей).

(руб­лей).

Зна­чит,

Ответ: 806400.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ния не­ра­вен­ства об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­не­сем еди­ни­цу:

По­стро­им схе­ма­тич­но гра­фи­ки функ­ций и

На ри­сун­ке видно, что не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния толь­ко при или

1)

Ре­ше­ния об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

2)

Ре­ше­ния об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).

19. На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­ход­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа раз­лич­ны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-ни­будь из осталь­ных.

а) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?

Вариант № 4

1. Для при­го­тов­ле­ния яб­лоч­но­го ва­ре­нья на 1 кг яблок нужно 1,2 кг са­ха­ра. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра нужно ку­пить, чтобы сва­рить ва­ре­нье из 14 кг яблок?

Ре­ше­ние.

Чтобы сва­рить 14 кг яблок, нужно ку­пить 14  1,2 = 16,8 кг са­ха­ра. Зна­чит, нужно ку­пить 17 упа­ко­вок са­ха­ра.

Ответ: 17.

Ответ: 17

24455

17

2. На ри­сун­ке точ­ка­ми по­ка­за­на ауди­то­рия по­ис­ко­во­го сайта Ya.ru во все ме­ся­цы с де­каб­ря 2008 по ок­тябрь 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли − ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта хотя бы раз в дан­ном ме­ся­це. Для на­гляд­но­сти точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей ауди­то­ри­ей сайта Ya.ru в ука­зан­ный пе­ри­од.

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что наи­боль­шая ауди­то­рия − 3 450 000 по­се­ти­те­лей сайт − была ок­тяб­ре, а наи­мень­шая в мае — 2 800 000 по­се­ти­те­лей. Най­дем раз­ность: 3 450 000 − 2 800 000 = 650 000 по­се­ти­те­лей.

Ответ: 650 000.

Ответ: 650000

500948

650000

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2012 ва­ри­ант 5.

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

 см².

Ответ: 3

244985

3

4. В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 3 спортс­ме­на из Ма­ке­до­нии, 9 спортс­ме­нов из Сер­бии, 8 спортс­ме­нов из Хор­ва­тии и 10 — из Сло­ве­нии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Сер­бии.

Ре­ше­ние.

Всего в со­рев­но­ва­ни­ях при­ни­ма­ет уча­стие спортс­ме­нов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Сер­бии, равна

Ответ: 0,3.

Ответ: 0,3

283821

0,3

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

.

Ответ: −5.

Ответ: -5

26663

-5

6. В тре­уголь­ни­ке АВС АС = ВС = 25, вы­со­та СН равна 20. Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АНС имеем:

.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27309

0,6

7. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

Таким об­ра­зом, с = 23.

Ответ: 23.

Ответ: 23

121715

23

8. Диа­го­наль куба равна 1. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на куба мень­ше диа­го­на­ли в раз и равна в дан­ном слу­чае . Тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27139

2

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 20.

Ответ: 20

26927

20

10. Мо­то­цик­лист, дви­жу­щий­ся по го­ро­ду со ско­ро­стью  км/ч, вы­ез­жа­ет из него и сразу после вы­ез­да на­чи­на­ет раз­го­нять­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем  км/ч. Рас­сто­я­ние от мо­то­цик­ли­ста до го­ро­да, из­ме­ря­е­мое в ки­ло­мет­рах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время, в те­че­ние ко­то­ро­го мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если опе­ра­тор га­ран­ти­ру­ет по­кры­тие на рас­сто­я­нии не далее чем в 30 км от го­ро­да. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если км. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства км при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров и :

Учи­ты­вая то, что время — не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем ч, то есть мин.

Ответ: 30.

Ответ: 30

28135

30

11. В сосуд, со­дер­жа­щий 8 лит­ров 11-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 3 литра воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен литра. При до­бав­ле­нии 3 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

.

Ответ: 8

Ответ: 8

108651

8

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 697.

Ответ: 697

124367

697

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при , то есть при . Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен :

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10402.

14. Длины ребер BC, BB₁ и BA пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равны со­от­вет­ствен­но 8, 12 и 9. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D₁ до пря­мой A₁C.

Ре­ше­ние.

Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую Так как то а, зна­чит, от­ре­зок ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­ку­да Далее на­хо­дим:

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по математике. Санкт-Петербург 2013. Ва­ри­ант 2.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Тогда или от­ку­да на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства:

Ответ:

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Тре­уголь­ник AKB, у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, пря­мо­уголь­ный. Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD ⊥ AB. Ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем, что BC ⊥ AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть, для опре­делённо­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а вто­рая — ра­ди­ус 1.

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, Пусть S_BKC = S, тогда S_AKD = 16S. У тре­уголь­ни­ков AKD и AKB общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, то есть S_AKB = 4S. Ана­ло­гич­но, S_CKD = 4S. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 25S.

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции ABCD. Про­ведём к AD пер­пен­ди­ку­ляр O₂H, рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₂HO₁:

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, 25S = 20, от­ку­да S = 0,8 и S_AKB = 4S = 3,2.

Ответ: 3,2.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 510053.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Ба­зо­вый уровень. Ва­ри­ант 2.

17. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x² + x + 7 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся ве­ли­чи­ной

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 1. При­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей, если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 9, ис­ко­мая наи­мень­шая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сме­шан­ной си­сте­ме

По­лу­чен­ная сме­шан­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния в том и толь­ко в том слу­чае, когда се­мей­ство пря­мых имеет с гра­фи­ком си­сте­мы

ровно две общие точки, то есть при

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2015. До­сроч­ная волна, Запад.

19. Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а) Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а) и б)?

Вариант № 5

1. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 14% и со­ста­ви­ла 1596 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

Ре­ше­ние.

Цена чай­ни­ка после по­вы­ше­ния стала со­став­лять 114% от на­чаль­ной цены. Раз­де­лим 1596 на 1,14:

Зна­чит, цена чай­ни­ка до по­вы­ше­ния со­став­ля­ла 1400 руб­лей.

Ответ: 1400.

Ответ: 1400

25055

1400

2.На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена се­реб­ра, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена се­реб­ра в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какой была цена се­реб­ра 30 ок­тяб­ря. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что 30 ок­тяб­ря цена се­реб­ра со­став­ля­ла 15,4 рубля за грамм.

Ответ: 15,4.

Ответ: 15,4

263791

15,4

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;7), (5;5), (5;7), (1;9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 8.

Ответ: 8

21377

8

4. Всем па­ци­ен­там с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит де­ла­ют ана­лиз крови. Если ана­лиз вы­яв­ля­ет ге­па­тит, то ре­зуль­тат ана­ли­за на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. У боль­ных ге­па­ти­том па­ци­ен­тов ана­лиз даёт по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,9. Если па­ци­ент не болен ге­па­ти­том, то ана­лиз может дать лож­ный по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,01. Из­вест­но, что 5% па­ци­ен­тов, по­сту­па­ю­щих с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, дей­стви­тель­но боль­ны ге­па­ти­том. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным.

Ре­ше­ние.

Ана­лиз па­ци­ен­та может быть по­ло­жи­тель­ным по двум при­чи­нам: А) па­ци­ент бо­ле­ет ге­па­ти­том, его ана­лиз верен; B) па­ци­ент не бо­ле­ет ге­па­ти­том, его ана­лиз ложен. Это не­сов­мест­ные со­бы­тия, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

Ответ: 0,0545

320207

0,0545

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 733.

Ответ: 733

14673

733

6. Один угол па­рал­ле­ло­грам­ма боль­ше дру­го­го на . Най­ди­те боль­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна , а их раз­ни­ца равна .

.

Ответ: 125.

Ответ: 125

27807

125

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 38 м/с?

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни t ско­рость была равна 38 м/с, решим урав­не­ние:

с.

Сле­до­ва­тель­но, ско­рость точки была равна 38 м/с на че­тыр­на­дца­той се­кун­де дви­же­ния.

Ответ: 14.

Ответ: 14

124215

14

8. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 48. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми и .

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит,

Ответ: 96.

Ответ: 96

272553

96

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 22.

Ответ: 22

77415

22

10. За­ви­си­мость объeма спро­са  (еди­ниц в месяц) на про­дук­цию пред­при­я­тия-мо­но­по­ли­ста от цены  (тыс. руб.) задаeтся фор­му­лой . Вы­руч­ка пред­при­я­тия за месяц  (в тыс. руб.) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Опре­де­ли­те наи­боль­шую цену , при ко­то­рой ме­сяч­ная вы­руч­ка со­ста­вит не менее 350 тыс. руб. Ответ при­ве­ди­те в тыс. руб.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства :

Таким об­ра­зом, наи­боль­шая цена, при ко­то­рой ме­сяч­ная вы­руч­ка со­ста­вит не менее 350 тыс. руб. равна 7 тыс. руб.

Ответ: 7.

Ответ: 7

41313

7

11. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой  — 35% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 250 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

Пусть масса пер­во­го спла­ва кг, а масса вто­ро­го — кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние ни­ке­ля в пер­вом и вто­ром спла­вах и , со­от­вет­ствен­но. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 250 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Сле­до­ва­тель­но, масса вто­ро­го спла­ва 150 кг. Раз­ность масс — 50 кг.

Ответ: 50.

Ответ: 50

109157

50

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 4.

Ответ: 4

127833

4

13. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Если то ре­ше­ний нет.

Если то

Если то от­ку­да или . Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Учи­ты­вая, что , из урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Ответ: .

14. На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­на точка E так, что CE : EC₁ = 2 : 1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC₁.

Ре­ше­ние.

При­мем ребро куба за Тогда

По­сколь­ку по­лу­ча­ем: и

Про­ве­дем через точку пря­мую, па­рал­лель­ную Она пе­ре­се­ка­ет ребро в точке при­чем тре­уголь­ни­ки и равны. Ис­ко­мый угол равен углу (или смеж­но­му с ним).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В тре­уголь­ни­ке

от­ку­да

тогда

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гом виде: или

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Сде­лав за­ме­ну по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство от­ку­да

Тогда: от­ку­да или

Ответ:

16. Ме­ди­а­ны АА₁ и ВВ₁ и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и МС со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.

Ре­ше­ние.

а) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка А₁МВ₂ в два раза мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка А₁МВ, по­сколь­ку MB = 2MB₂, а вы­со­та, про­ведённая из вер­ши­ны А₁ у этих тре­уголь­ни­ков общая: S_A1MB = 2SA₁MB₁.

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем еще 5 ра­венств:

Скла­ды­вая эти ра­вен­ства почлен­но, по­лу­ча­ем

б) Обо­зна­чим длины сто­рон ВС, АС, АВ тре­уголь­ни­ка ABC через а, b, с.

До­ка­жем, что квад­рат ме­ди­а­ны AA₁ равен

Для до­ка­за­тель­ства на про­дол­же­нии от­рез­ка AA₁ за точку А₁ от­ло­жим от­ре­зок А₁Р = AA₁. По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм АСРВ со сто­ро­на­ми АС = РВ = b и АВ = CP = с и диа­го­на­ля­ми ВС& а и АР = 2AA₁. Сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов его сто­рон:

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что a От­ре­зок C₁A₂ — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка АВМ, зна­чит,

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, мы по­лу­чим, что сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка втрое мень­ше ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC: Сле­до­ва­тель­но, сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

Под­став­ляя в эту фор­му­лу длины сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, по­лу­ча­ем ответ: сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

Ответ:

17. Оля хочет взять в кре­дит 100 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 24000 руб­лей?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %. Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат.

Зна­чит, Оля по­га­сит кре­дит за 6 лет.

Ответ: 6.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.

18. Най­ди­те все це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Пусть (x, y) — ре­ше­ние си­сте­мы. Тогда при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a левая часть пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы есть сумма рас­сто­я­ний от точки (x, y) до точек (1, a) и (5, a), ле­жа­щих на пря­мой y = a , па­рал­лель­ной оси абс­цисс. Но рас­сто­я­ние между точ­ка­ми (1, a) и (5, a) равно 4, и по­это­му ре­ше­ние пер­во­го урав­не­ния — мно­же­ство точек (x, y), причём 1 ≤ x ≤ 5, y = a, по­сколь­ку иначе

Сле­до­ва­тель­но, дан­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда вто­рое урав­не­ние си­сте­мы имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке 1 ≤ x ≤ 5.

Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию

Её гра­фик — па­ра­бо­ла, на­прав­лен­ная вет­вя­ми вверх. По­сколь­ку сво­бод­ный при любом a, то корни этой функ­ции имеют раз­ные знаки. Из­вест­но, что в этом слу­чае един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень функ­ции лежит на от­рез­ке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и толь­ко тогда, когда и По­лу­ча­ем си­сте­му

По­сколь­ку любое ре­ше­ние по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства долж­но удо­вле­тво­рять усло­вию то есть и по усло­вию a — целое число, то ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства могут быть толь­ко Из этих усло­вий про­вер­кой по­лу­ча­ем все ре­ше­ния: −2, ±1, 0.

Ответ: −2, ±1, 0.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

19. Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ре­ше­ние.

1. Если все про­из­ве­де­ния взяты со зна­ком плюс, то их сумма мак­си­маль­на и равна

.

2. Так как сумма ока­за­лась не­чет­ной, то чисто не­чет­ных сла­га­е­мых в ней не­чет­но, при­чем это свой­ство всей суммы не ме­ня­ет­ся при смене знака лю­бо­го ее сла­га­е­мо­го. По­это­му любая из по­лу­ча­ю­щих­ся сумм будет не­чет­ной, а зна­чит, не будет равна 0.

3. Зна­че­ние 1 сумма при­ни­ма­ет, на­при­мер, при такой рас­ста­нов­ке зна­ков у про­из­ве­де­ний, ко­то­рая по­лу­чит­ся при рас­кры­тии сле­ду­ю­щих ско­бок:

.

Ответ: 1 и 4131.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)

Вариант № 6

1. Боль­но­му про­пи­са­но ле­кар­ство, ко­то­рое нужно при­ни­мать по 0,5 г 2 раза в день в те­че­ние 7 дней. В одной упа­ков­ке 10 таб­ле­ток по 0,25г. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства упа­ко­вок хва­тит на весь курс ле­че­ния?

Ре­ше­ние.

Боль­но­му нужно вы­пить 0,5 · 2 · 7 = 7 г ле­кар­ства. В одной упа­ков­ке со­дер­жит­ся 0,25 · 10 = 2,5 г ле­кар­ства. Раз­де­лим 7 на 2,5:

.

Зна­чит, на курс ле­че­ния не­об­хо­ди­мо 3 упа­ков­ки.

Ответ: 3

Ответ: 3

505456

3

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

2. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель с тре­тьей по вось­мую ми­ну­ту разо­гре­ва.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля на тре­тью ми­ну­ту на­гре­ва равно 40°C, а на вось­мую — 90°C. Сле­до­ва­тель­но, дви­га­тель на­грел­ся на 50°C.

Ответ: 50.

Ответ: 50

507873

50

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.

3. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­же­на тра­пе­ция (см. ри­су­нок). Най­ди­те ее пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

см².

Ответ: 14.

Ответ: 14

27558

14

4. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Фи­зи­ком», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ответ: 0,375

320183

0,375

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 9.

Ответ: 9

101881

9

6. Точки A, B, C, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 8 : 9. Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пусть мень­шая часть окруж­но­сти равна x, тогда

Боль­ший угол опи­ра­ет­ся на боль­шую дугу; впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен по­ло­ви­не от 9 · 20° или 90°.

Ответ: 90.

Ответ: 90

51383

90

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке .

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−4; 6), B (−4; 4), C (4; 4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

.

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

9627

-0,25

8. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 5, 4, 4 и 2, 2, 2:

.

Ответ: 72.

Ответ: 72

25619

72

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

26815

7

10. При дви­же­нии ра­ке­ты еe ви­ди­мая для не­по­движ­но­го на­блю­да­те­ля длина, из­ме­ря­е­мая в мет­рах, со­кра­ща­ет­ся по за­ко­ну , где  м — длина по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты,  км/с — ско­рость света, а v — ско­рость ра­ке­ты (в км/с). Ка­ко­ва долж­на быть ми­ни­маль­ная ско­рость ра­ке­ты, чтобы еe на­блю­да­е­мая длина стала не более 21 м? Ответ вы­ра­зи­те в км/с.

Ре­ше­ние.

Най­дем, при какой ско­ро­сти длина ра­ке­ты ста­нет равна 21 м. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ном зна­че­нии длины по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты м и из­вест­ной ве­ли­чи­не ско­ро­сти света км/с:

км/с.

Если ско­рость будет пре­вос­хо­дить най­ден­ную, то длина ра­ке­ты будет менее 21 метра, по­это­му ми­ни­маль­ная не­об­хо­ди­мая ско­рость равна 288 000 км/с.

Ответ: 288 000

Ответ: 288000

28343

288000

11. Кли­ент А. сде­лал вклад в банке в раз­ме­ре 7700 руб­лей. Про­цен­ты по вкла­ду на­чис­ля­ют­ся раз в год и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. Ровно через год на тех же усло­ви­ях такой же вклад в том же банке сде­лал кли­ент Б. Еще ровно через год кли­ен­ты А. и Б. за­кры­ли вкла­ды и за­бра­ли все на­ко­пив­ши­е­ся день­ги. При этом кли­ент А. по­лу­чил на 847 руб­лей боль­ше кли­ен­та Б. Какой про­цент го­до­вых на­чис­лял банк по этим вкла­дам?

Ре­ше­ние.

Пусть банк на­чис­лял го­до­вых. Тогда кли­ент А. за два года по­лу­чил руб., а кли­ент В. за один год по­лу­чил руб. Обо­зна­чим , тогда по­сколь­ку А. по­лу­чил на 847 руб. боль­ше, имеем:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем: , от­ку­да Тем самым, банк на­чис­лял вклад­чи­кам по 10% го­до­вых.

Ответ: 10.

Ответ: 10

323855

10

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

.

Ответ: 30.

Ответ: 30

132517

30

13. За­да­ние 13 № 511289. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Если то ре­ше­ний нет.

Если то

Если то от­ку­да или . Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Учи­ты­вая, что , из урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Ответ: .

14. Ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Пусть — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной — ее вы­со­та, — се­ре­ди­на , — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Угол — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть тогда

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя спо­со­ба­ми: Зна­чит,

Ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти по­это­му и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Из усло­вия сле­ду­ет, что и по­это­му

Пусть Решим не­ра­вен­ство:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

16. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 13, вы­со­та, про­ведённая к сто­ро­не BC, равна 5. Най­ди­те длину той хорды AM опи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рая де­лит­ся по­по­лам сто­ро­ной BC.

Ре­ше­ние.

Пусть K — се­ре­ди­на ис­ко­мой хорды AM. Через точку M про­ведём хорду MN, па­рал­лель­ную сто­ро­не BC. Тогда точка L пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AN и BC — се­ре­ди­на AN, зна­чит за­да­ча имеет два ре­ше­ния. Кроме того, вы­со­та AP тре­уголь­ни­ка AMN вдвое боль­ше вы­со­ты AH тре­уголь­ни­ка ABC, зна­чит AP = 10 и PH = 5. Пусть R = 13 — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. По тео­ре­ме си­ну­сов

Пусть O — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, Q — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OQB на­хо­дим, что

а так как рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми хор­да­ми BC и MN также равно 5, то точка O лежит на от­рез­ке MN. Сле­до­ва­тель­но, MN — диа­метр окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOP на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но,

Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 15.04.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)

17. Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Вид тары	Се­бе­сто­и­мость, 1 ц.	От­пуск­ная цена, 1 ц.
стек­лян­ная	1500 руб.	2100 руб.
же­стя­ная	1100 руб.	1750 руб.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

Ре­ше­ние.

Пусть — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в стек­лян­ной таре, а — доля мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в же­стя­ной банке. Тогда при этом ком­по­тов в стек­лян­ной таре про­из­во­дит­ся цент­не­ров, а в же­стя­ной таре — цент­не­ров. При­быль за­во­да с 1 цент­не­ра про­дук­ции в стек­лян­ной таре равна руб., при­быль с 1 цент­не­ра в же­стя­ной таре равна руб., а общая при­быль с про­из­ведённой за день про­дук­ции равна

Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что и то есть и

Таким об­ра­зом, в пе­ре­во­де на ма­те­ма­ти­че­ский язык, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

Под­став­ляя в вы­ра­же­ние по­лу­ча­ем: оче­вид­но, что это вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при и, сле­до­ва­тель­но, По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за день равна

руб.

Ответ: 53 500 руб.

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 2.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку (−1; 1].

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

Эта си­сте­ма имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий либо про­ме­жут­ку либо про­ме­жут­ку

По­сколь­ку гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на на­хо­дит­ся в точке урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при усло­вии

(рис. 1).

Урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при усло­вии

(рис. 2).

Урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при и при

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 901.

19. На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a² − b² + с² − d² = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a² − b² + с² − d² = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a² − b² + с² − d² = 1200. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

Вариант № 7

1.

Бегун про­бе­жал 300 м за 30 се­кунд. Най­ди­те сред­нюю ско­рость бе­гу­на на ди­стан­ции. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

Ре­ше­ние.

Сред­няя ско­рость бе­гу­на 300 : 30 = 10 м/с. Пе­ре­ве­дем метры в се­кун­ду в ки­ло­мет­ры в час:

1 м/с = 60 м/мин = 3600 м/ч = 3,6 км/ч. По­это­му 10 м/с = 36 км/ч.

Ответ: 36.

Ответ: 36

318753

36

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ниж­нем Нов­го­ро­де (Горь­ком) за каж­дый месяц 1994 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев с по­ло­жи­тель­ной сред­не­ме­сяч­ной тем­пе­ра­ту­рой.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что было 7 ме­ся­цев с тем­пе­ра­ту­рой выше нуля (см. ри­су­нок).

Ответ: 7.

Ответ: 7

27519

7

3.Вы­со­та тра­пе­ции равна 12, пло­щадь равна 48. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 4.

Ответ: 4

57051

4

4. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.

Ре­ше­ние.

Най­дем ве­ро­ят­ность того, что не­ис­прав­ны оба ав­то­ма­та. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Ответ: 0,9975

320571

0,9975

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

509879

4,5

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 26.03.2015. До­сроч­ная волна, Восток.

6. Мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна 6, диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 60°. Най­ди­те диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку OD = OA и , тре­уголь­ник – рав­но­сто­рон­ний. Тогда

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

27810

12

7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 8). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−9;6].

Ре­ше­ние.

Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с плюса на минус. На от­рез­ке [−9;6] функ­ция имеет две точки мак­си­му­ма x = − 4 и x = 4.

Ответ: 2.

Ответ: 2

8045

2

8. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 36π, вы­со­та — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са, а ос­но­ва­ние яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния ко­ну­са. По­это­му пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния вы­со­ты ко­ну­са на диа­метр его ос­но­ва­ния или про­из­ве­де­нию вы­со­ты ко­ну­са на ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. По­сколь­ку по усло­вию ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а тогда ис­ко­мая пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 60.

Ответ: 60.

Ответ: 60

505467

60

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: −1,5.

Ответ: -1,5

245172

-1,5

10.

Груз мас­сой 0,8 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не со ско­ро­стью, ме­ня­ю­щей­ся по за­ко­ну , где  — время в се­кун­дах. Ки­не­ти­че­ская энер­гия груза, из­ме­ря­е­мая в джо­у­лях, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  — масса груза (в кг),  — ско­рость груза (в м/с). Опре­де­ли­те, какую долю вре­ме­ни из пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла дви­же­ния ки­не­ти­че­ская энер­гия груза будет не менее  Дж. Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства Дж при за­дан­ных зна­че­нии массы груза  кг и за­ко­ну из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Таким об­ра­зом, 0,5 c из пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла дви­же­ния ки­не­ти­че­ская энер­гия груза будет не менее Дж. Это со­став­ля­ет 0,5 пер­вой се­кун­ды.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

43873

0,5

11. В по­мощь са­до­во­му на­со­су, пе­ре­ка­чи­ва­ю­ще­му 5 лит­ров воды за 2 ми­ну­ты, под­клю­чи­ли вто­рой насос, пе­ре­ка­чи­ва­ю­щий тот же объем воды за 3 ми­ну­ты. Сколь­ко минут эти два на­со­са долж­ны ра­бо­тать сов­мест­но, чтобы пе­ре­ка­чать 25 лит­ров воды?

Ре­ше­ние.

Ско­рость сов­мест­ной ра­бо­ты на­со­сов

.

Для того, чтобы пе­ре­ка­чать 25 лит­ров воды, по­на­до­бит­ся

мин мин.

Ответ: 6.

Ответ: 6

99620

6

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 51.

Ответ: 51

26717

51

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при и Вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при всех до­пу­сти­мых Зна­чит,

Учи­ты­вая, что и по­лу­ча­ем, что ре­ше­ни­я­ми яв­ля­ют­ся числа

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 12. Точки M и N— се­ре­ди­ны рёбер AA₁ и A₁C₁ со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB₁.

Ре­ше­ние.

а) Пусть точка H — се­ре­ди­на AC.

Тогда

Вме­сте с тем,

а тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник BMN яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным с пря­мым углом M.

б) Про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр NP к пря­мой A₁B₁.

Тогда NP ⊥ A₁B₁ и NP ⊥ A₁A. Сле­до­ва­тель­но, NP ⊥ ABB₁. По­это­му MP — про­ек­ция MN на плос­кость ABB₁.

Пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на MN, тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах BM ⊥ MP. Сле­до­ва­тель­но, угол NMP — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла.

Длина NP равна по­ло­ви­не вы­со­ты тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁, то есть

По­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим: или

Ответ:

16. Ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂ равны со­от­вет­ствен­но 1 и 3. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных и пря­мой O₁O₂, если O₁O₂ = 14.

Ре­ше­ние.

Пусть O — центр тре­тьей окруж­но­сти, A — точка ка­са­ния пер­вой и тре­тьей окруж­но­стей, B — вто­рой и тре­тьей, C — тре­тьей окруж­но­сти и пря­мой O₁O₂. Точки O₁, A и O лежат на одной пря­мой. Точки O₂, B и O также лежат на одной пря­мой.

Пусть ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти равен x, тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OCO₁ имеем

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OCO₂ имеем

Воз­мож­ны два слу­чая. пер­вый слу­чай: точка С лежит между точ­ка­ми O₁ и O₂ (ри­су­нок 1), тогда

от­ку­да x = 12.

Вто­рой слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми C и O₂ (ри­су­нок 2), тогда

от­ку­да x = 180.

Ответ: 12 или 180.

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

Ре­ше­ние.

Пусть на каж­дый тип вкла­да была вне­се­на оди­на­ко­вая сумма S. На вкла­де «А» каж­дый год сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20%, то есть умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент 1,2. По­это­му через три года сумма на вкла­де «А» будет равна

Ана­ло­гич­но сумма на вкла­де «Б» будет равна

где n — не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число.

По усло­вию тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

При n = 26 не­ра­вен­ство

верно, а при n = 25 не­ра­вен­ство

не­вер­но, как и при всех мень­ших n.

Ответ: 26.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2016 ва­ри­ант МА10310

18. Най­ди­те все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет более двух кор­ней.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим функ­ции и . Ис­сле­ду­ем урав­не­ние .

На про­ме­жут­ке функ­ция воз­рас­та­ет. Функ­ция убы­ва­ет на этом про­ме­жут­ке, по­это­му урав­не­ние имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке , при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, , то есть при .

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид . При левая часть этого урав­не­ния от­ри­ца­тель­на, сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ний нет. При это урав­не­ние сво­дит­ся к квад­рат­но­му урав­не­нию дис­кри­ми­нант ко­то­ро­го , по­это­му при это урав­не­ние не имеет кор­ней; при урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, рав­ный ; при урав­не­ние имеет два корня.

Пусть урав­не­ние имеет два корня,

и .

Тогда мень­ший ко­рень все­гда мень­ше , а боль­ший ко­рень не пре­вос­хо­дит , если , то есть при .

По тео­ре­ме Виета:

, ,

по­это­му знаки кор­ней и за­ви­сят от зна­ков вы­ра­же­ний и . Зна­чит, при оба корня от­ри­ца­тель­ны, при один из кор­ней от­ри­ца­тель­ный, а дру­гой не­от­ри­ца­тель­ный, при оба корня не­от­ри­ца­тель­ны.

Таким об­ра­зом, при урав­не­ние не имеет кор­ней при и , имеет один ко­рень при и , имеет два корня при .

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней:

— нет кор­ней при ;

— один ко­рень при и ;

— два корня при и ;

— три корня при .

Ответ: .

19. В ряд вы­пи­са­ны числа: Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки «» и «» и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму.

Может ли такая сумма рав­нять­ся:

а) 12, если ?

б) 0, если ?

в) 0, если ?

г) 5, если ?

Вариант № 8

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1800 ли­стов. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пачек бу­ма­ги нужно ку­пить в офис на 6 не­дель?

Ре­ше­ние.

За 6 не­дель в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1800  6 = 10 800 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 10 800 на 500:

.

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 22 пачек.

Ответ: 22.

Ответ: 22

25251

22

2.

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ниж­нем Нов­го­ро­де (Горь­ком) за каж­дый месяц 1994 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 4 гра­ду­са Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что было 7 ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 4 гра­ду­са Цель­сия (см. ри­су­нок).

Ответ: 7.

Ответ: 7

77261

7

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 13), (6; 15), (6; 21), (1; 17).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 6 и 4. Вы­со­та тра­пе­ции равна 6 − 1 = 5. По­это­му

.

Ответ: 25.

Ответ: 25

60055

25

4. В груп­пе ту­ри­стов 6 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют трёх че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село в ма­га­зин за про­дук­та­ми. Ту­рист К. хотел бы схо­дить в ма­га­зин, но он под­чи­ня­ет­ся жре­бию. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что К. пойдёт в ма­га­зин?

Ре­ше­ние.

Всего ту­ри­стов 6, слу­чай­ным об­ра­зом из них вы­би­ра­ют 3. Ве­ро­ят­ность быть вы­бран­ным равна 3 : 6 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

321005

0,5

5. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­ве­дем число в пра­вой части урав­не­ния в не­пра­виль­ную дробь и умно­жим обе части урав­не­ния на 3, по­лу­ча­ем:

Ответ:  −7.

Ответ: -7

77371

-7

6.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27380

0,6

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x) и шесть точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, …, x₆. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на?

Ре­ше­ние.

По­ло­жи­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ет ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет. На них лежат точки Таких точек 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

509151

2

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00410.

8. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 4. Пло­щадь ее по­верх­но­сти равна 132. Най­ди­те вы­со­ту приз­мы.

Ре­ше­ние.

Ги­по­те­ну­за ос­но­ва­ния равна 5. Вы­со­ту най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти :

Ответ: 10.

Ответ: 10

27169

10

9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

Ре­ше­ние.

В силу пе­ри­о­дич­но­сти си­ну­са Далее по фор­му­лам при­ве­де­ния имеем:

.

Ответ: 12,8.

Ответ: 12,8

65547

12,8

10. При дви­же­нии ра­ке­ты еe ви­ди­мая для не­по­движ­но­го на­блю­да­те­ля длина, из­ме­ря­е­мая в мет­рах, со­кра­ща­ет­ся по за­ко­ну , где  м — длина по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты,  км/с — ско­рость света, а v — ско­рость ра­ке­ты (в км/с). Ка­ко­ва долж­на быть ми­ни­маль­ная ско­рость ра­ке­ты, чтобы еe на­блю­да­е­мая длина стала не более 21 м? Ответ вы­ра­зи­те в км/с.

Ре­ше­ние.

Най­дем, при какой ско­ро­сти длина ра­ке­ты ста­нет равна 21 м. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ном зна­че­нии длины по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты м и из­вест­ной ве­ли­чи­не ско­ро­сти света км/с:

км/с.

Если ско­рость будет пре­вос­хо­дить най­ден­ную, то длина ра­ке­ты будет менее 21 метра, по­это­му ми­ни­маль­ная не­об­хо­ди­мая ско­рость равна 288 000 км/с.

Ответ: 288 000

Ответ: 288000

28343

288000

11. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 18-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 14-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна . Пусть масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

Ответ: 16.

Ответ: 16

108671

16

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 2.

Ответ: 2

26727

2

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние:

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лу при­ве­де­ния и фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла , по­лу­ча­ем:

При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, ле­жа­щие на от­резке

По­лу­чим

Ответ: а) б)

14. На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 4 . Точка T — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AB = 9, AD = 6 , AA₁ = 14 .

а) В каком от­но­ше­нии плос­кость ETD₁ делит ребро BB₁?

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью ETD₁ и плос­ко­стью AA₁B₁.

Ре­ше­ние.

а) Так как и то и Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти и по па­рал­лель­ным пря­мым, по­это­му она пе­ре­се­ка­ет ребро в такой точке что пря­мая па­рал­лель­на пря­мой Зна­чит, ттре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, а по­сколь­ку то и Зна­чит, и

б) Так как пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти опу­стим пер­пен-

ди­ку­ляр из точки на пря­мую пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей. Угол будет ис­ко­мым. Найдём Для этого про­ведём в тра­пе­ции вы­со­ту (оче­вид­но, — се­ре­ди­на ). Те­перь, вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка найдём то есть Тогда

Ответ: а) б)

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пусть тогда:

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем: или

Ответ:

16. Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 3 и 5 с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке B, а боль­шую — в точке С. Най­ди­те пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки O₁, O2, B и C, если ∠ABO₁ = 15°.

Ре­ше­ние.

Точки O₁, O₂ и A лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BO₁A и CO₂A рав­но­бед­рен­ные, ∠ABO₁ = ∠BAO₁ = ∠CAO₂ = ∠ACO₁ = 15°.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (ри­су­нок 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми A и C, а O₁O₂ = O₂A − O₁A = 2. По­сколь­ку ∠ABO₁ = ∠ACO₂, пря­мые O₁B и O₂C па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый четырёхуголь­ник — тра­пе­ция O₁BCO₂.

Пусть O₂H — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки O₂ к пря­мой O₁B. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₂O₁H имеем ∠O₂O₁H = 30°, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (ри­су­нок 2), тогда точка A лежит между точ­ка­ми B и C, а O₁O₂ = O₂A + O₁A = 8. По­сколь­ку ∠ABO₁ = ∠ACO₂, пря­мые O₁B и CO₂ па­рал­лель­ны. сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый четырёхуголь­ник — тра­пе­ция O₁BO₂C.

Пусть O₂H — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки O₂ к пря­мой O₁B. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₂O₁H имеем ∠O₂O₁H = 30°, от­ку­да

Ответ: 4 или 16.

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.

17. Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудт­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Ре­ше­ние.

До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x² часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y² часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но 2x + 5y еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят 500(x² + y²) руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние 500(x² + y²) при усло­вии 2x + 5y =580. Вы­ра­зим y через x:

Таким об­ра­зом, нам нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

при 0 ≤ x ≤ 290. После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем:

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на до­сти­га­ет­ся при

причём При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем:

Ответ: 5 800 000.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 26.03.2015. До­сроч­ная волна, Восток.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы.

Рас­смот­рим два слу­чая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₁(2; 4) и ра­ди­у­сом

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₂(0; 0) и ра­ди­у­сом

По­лу­чен­ные окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в двух точ­ках A(−1; 3) и B(3; 1), ле­жа­щих на пря­мой x + 2y − 5 = 0, по­это­му в пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем дугу ω₁ с кон­ца­ми в точ­ках A и B, во вто­ром — дугу ω₂ с кон­ца­ми в тех же точ­ках (см. рис.).

За­ме­тим, что точка лежит на дуге ω₂ и пря­мая O₂C пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой O₁O₂.

Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы. Оно задаёт пря­мую m, па­рал­лель­ную пря­мой O₁O₂ или сов­па­да­ю­щую с ней.

При a = −5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, от­лич­ной от точки A, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при a = 5 пря­мая m про­хо­дит через точку B и ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

При пря­мая m про­хо­дит через точку C, зна­чит, пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При или пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точ­ках, от­лич­ных от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

При −5 < a < 5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, от­лич­ной от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При или пря­мая m не пе­ре­се­ка­ет дуги ω₁ и ω₂, то есть ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет более двух ре­ше­ний при или

Ответ:

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С).

19. Каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на 8 кар­точ­ках. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те

по­лу­чить­ся?

Ре­ше­ние.

а) Среди вось­ми дан­ных чисел нет про­ти­во­по­лож­ных. Зна­чит, сумма чисел на каж­дой кар­точ­ке не равна 0. По­это­му всё про­из­ве­де­ние не может рав­нять­ся нулю.

б) Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, на какой-то кар­точ­ке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние чётно и не может рав­нять­ся 1.

в) Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, хотя бы на двух кар­точ­ках с обеих сто­рон на­пи­са­ны нечётные числа, и сумма чисел на каж­дой из этих кар­то­чек чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 4.

Наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, де­ля­ще­е­ся на 4, это 4. Оно по­лу­ча­ет­ся при сле­ду­ю­щем на­бо­ре пар чисел на кар­точ­ках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Вариант № 9

1. В об­ще­жи­тии ин­сти­ту­та в каж­дой ком­на­те можно по­се­лить че­ты­рех че­ло­век. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ком­нат не­об­хо­ди­мо для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 83 на 4:

.

Зна­чит, для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов не­об­хо­ди­ма 21 ком­на­та.

Ответ: 21.

Ответ: 21

77338

21

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 5 по 28 марта 1996 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена унции зо­ло­та в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа цена зо­ло­та на мо­мент за­кры­тия тор­гов была наи­мень­шей за дан­ный пе­ри­од.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шей цена была 6 марта (см. ри­су­нок).

Ответ: 6.

Ответ: 6

26874

6

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

24211

6

4. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

Ре­ше­ние.

Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 3 + 3 + 4 = 10 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет вось­мым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Ответ: 0,3

285924

0,3

5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

.

Ответ: 35.

Ответ: 35

3331

35

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: –0,25.

Ответ: -0,25

27367

-0,25

7.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 4 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Тогда на­хо­дим:

м/с.

Ответ: 39.

Ответ: 39

123215

39

8. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 2, 5, 2 и 4, 5, 3:

.

Ответ: 80.

Ответ: 80

25559

80

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

77391

10

10. Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где (Па) – дав­ле­ние в газе, – объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a – по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние вдвое раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 4 раза?

Ре­ше­ние.

Пусть и – на­чаль­ные, а и – ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства , при­чем :

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27992

2

11. Заказ на 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час де­ла­ет на 1 де­та­ль боль­ше?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час вто­рой ра­бо­чий. Тогда пер­вый ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­таль. На из­го­тов­ле­ние 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 3 час мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий, от­сю­да имеем:

Ответ: 12.

Ответ: 12

508998

12

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.

1.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

.

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: 10.

Ответ: 10

127137

10

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние:

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Из неё сле­ду­ет, что По­это­му из ис­ход­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку.

По­лу­чим

Ответ: а) б)

14. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра ко­то­рой равны 1, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

Ре­ше­ние.

Ответ: 0,75.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство имеет смысл при

Для таких по­лу­ча­ем:

Зна­чит,

Ответ:

16. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­сы углов при сто­ро­не AD делят сто­ро­ну BC точ­ка­ми M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Най­ди­те BC если AB = 12.

Ре­ше­ние.

Пусть E — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, Так как то точка M лежит между точ­ка­ми B и N воз­мож­ны два слу­чая.

1. Точка E — внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма. Тре­уголь­ни­ки ABN и DMC рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да, учи­ты­вая, что , по­лу­ча­ем

              

2. Точка E — вне па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда от­ку­да учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Ответ: или

17. По вкла­ду «А» банк в те­че­ние трёх лет в конце каж­до­го года уве­ли­чи­ва­ет на 20 % сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­ва­ет на 21 % в те­че­ние каж­до­го из пер­вых двух лет. Най­ди­те наи­мень­шее целое число про­цен­тов за тре­тий год по вкла­ду «Б», при ко­то­ром за все три года этот вклад всё ещё оста­нет­ся вы­год­нее вкла­да «А».

Ре­ше­ние.

Пусть на каж­дый тип вкла­да была вне­се­на сумма S. На вкла­де «А» каж­дый год сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20%, т. е. умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент 1,2.

Тогда через три года сумма на вкла­де «А» равна 1,2³S = 1,728S. Ана­ло­гич­но на вкла­де «Б» сумма через три года будет равна

где n — на­ту­раль­ное число.

По усло­вию тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее целое ре­ше­ние не­ра­вен­ства

Ответ: 19.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра при каж­дом из ко­то­рых на от­рез­ке су­ще­ству­ет хотя бы одно число удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Не­ра­вен­ство опре­де­ля­ет на плос­ко­сти по­ло­су, за­клю­чен­ную между пря­мы­ми и Не­ра­вен­ство задаёт часть плос­ко­сти, огра­ни­чен­ную свер­ху па­ра­бо­лой.

На ри­сун­ке видно, что на ин­тер­ва­ле есть , удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ству, толь­ко если

Ответ:

19. Из­вест­но, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Вариант № 10

1. На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и залил в бак 28 лит­ров бен­зи­на по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить у кас­си­ра?

Ре­ше­ние.

Цена бен­зи­на со­став­ля­ет 28  28,5 = 798 руб. По­это­му при­чи­та­ю­ща­я­ся сдача 202 рубля.

Ответ: 202

282847

202

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс ки­тай­ско­го юаня, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 23 сен­тяб­ря по 23 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена ки­тай­ско­го юаня в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­ший курс ки­тай­ско­го юаня за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что наи­мень­ший курс ки­тай­ско­го юаня был уста­нов­лен 8 ок­тяб­ря и со­ста­вил 44,3 рубля.

Ответ: 44,3.

Ответ: 44,3

500904

44,3

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.

3. Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем: Сле­до­ва­тель­но, ор­ди­на­та точки С равна 6.

Ответ: 6

27680

6

4.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 40 до­кла­дов — пер­вые два дня по 9 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между тре­тьим и чет­вер­тым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Ре­ше­ние.

За пер­вые два дня будет про­чи­та­но 18 до­кла­дов, на по­след­ние два дня пла­ни­ру­ет­ся 22 до­кла­да. По­это­му на по­след­ний день за­пла­ни­ро­ва­но 11 до­кла­дов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции, равна

Ответ: 0,275.

Ответ: 0,275

286031

0,275

5. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Мень­ший ко­рень равен −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

99623

-4

6.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все его углы равны 60°. Тогда имеем:

Ответ: 60.

Ответ: 60

52493

60

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 6.

Ответ: 6

323383

6

8.

Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 5. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку

а конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и ос­но­ва­ние, имеем:

.

Ответ: 15.

Ответ: 15

245350

15

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

67487

1

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 3 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно три метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 3 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее трёх мет­ров 1,6 − 0,2 = 1,4 се­кун­ды.

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

28059

1,4

11. От при­ста­ни А к при­ста­ни В от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 8 часов после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми равно 209 км. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 8 часов боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

Ответ: 11

39507

11

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [9; 36].

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что и най­дем про­из­вод­ную этой функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Точка ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жит от­рез­ку [9; 36]. При дан­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та функ­ция при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние:

Ответ: -77.

Ответ: -77

509996

-77

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при По­это­му мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: тогда

Вто­рой слу­чай: тогда

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем, что числа не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми дан­но­го урав­не­ния.

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние — тре­уголь­ник (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки и пря­мо­уголь­ные, — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный. Про­ведём в нём вы­со­ту она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тем самым, ре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ:

16. Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 0,5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны за точку или на про­дол­же­нии сто­ро­ны за точку Пусть — угол между пря­мы­ми и

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. За­ме­тим, что От­ре­зок по­это­му Зна­чит, Кроме того, Сле­до­ва­тель­но,

Во вто­ром слу­чае По-преж­не­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 12 или 20.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

17. Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3. В ре­зуль­та­те вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций на 20% (после вто­рой скуп­ки общее число вы­куп­лен­ных акций уве­ли­чи­лось на 20%), а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене — еще на 20%. Най­ди­те цену тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций FAC, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла 15 тысяч акций.

Ре­ше­ние.

Пред­ло­же­ния	Цена одной акции ($)	Ко­ли­че­ство вы­куп­лен­ных акций
		При дан­ном пред­ло­же­нии	Общее ко­ли­че­ство вы­куп­лен­ных акций
1	27		75 000
2	36	15 000	90 000
3	48		108 000

Ответ: цена тре­тьего пред­ло­же­ния со­ста­ви­ла $48 за одну акцию; всего было вы­куп­ле­но 108 000 акций.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство (1) за­да­ет пару вер­ти­каль­ных углов на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oxy (см. ри­су­нок). Гра­фи­ком урав­не­ния (2) яв­ля­ет­ся окруж­ность ра­ди­у­са , центр ко­то­рой ― точка ― лежит на пря­мой . По­сколь­ку оба гра­фи­ка сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой , си­сте­ма будет иметь ровно два ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда рас­сто­я­ние PK от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой

будет рав­нять­ся ра­ди­у­су дан­ной окруж­но­сти. Из тре­уголь­ни­ка POK на­хо­дим: , где ― уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой . Таким об­ра­зом, ,

, , от­ку­да

.

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем: , , или .

Ответ: или .

19. Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Вариант № 11

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 ли­стов. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пачек бу­ма­ги нужно ку­пить в офис на 4 не­де­ли?

Ре­ше­ние.

За 4 не­де­ли в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 · 4 = 4800 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 4800 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 10 пачек бу­ма­ги.

Ответ: 10.

Ответ: 10

26622

10

2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат – сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км/час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна 1 тонне силы.

Ответ: 1.

Ответ: 1

263867

1

3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 6), (9; 6), (7; 9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 12.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 27564.

Ответ: 12

21863

12

4. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 30 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 15 с пер­со­на­жа­ми мульт­филь­мов и 15 с ви­да­ми при­ро­ды. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов.

Ре­ше­ние.

ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов равна

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

1027

0,5

5. Най­ди­те ре­ше­ние урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ответ: 4

13689

4

6.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27380

0,6

7. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость, не­об­хо­ди­мо прой­ден­ное рас­сто­я­ние раз­де­лить на время про­хож­де­ния: км/ч

Ответ: 50.

Ответ: 50

512495

50

8. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 1, 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ре­ше­ние.

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . По­это­му cумма объёмов трёх шаров равна

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый ра­ди­ус равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

75307

9

9. Най­ди­те , если  при

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0.

Ответ: 0

65919

0

10. Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна , где – масса воды в ки­ло­грам­мах, ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, – длина верeвки в мет­рах, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ной длине верёвки м:

Ответ: 2.

Ответ: 2

27958

2

11. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми и равно 150 км. Из го­ро­да в город вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 30 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 90 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист, до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де и по­вер­нул об­рат­но. Когда он вер­нул­ся в , ав­то­мо­биль при­был в . Най­ди­те рас­сто­я­ние от до . Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим км – рас­сто­я­ние от A до C, км/ч – ско­рость ав­то­мо­би­ля, ч – время дви­же­ния мо­то­цик­ли­ста от A до C. Тогда и Решим си­сте­му по­лу­чен­ных урав­не­ний:

Тогда км.

Ответ: 90.

Ответ: 90

99594

90

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −41.

Ответ: -41

70487

-41

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра: AB = 6, AD = 8, CC₁ = 16. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A₁DB.

Ре­ше­ние.

Плос­ко­сти и имеют общую пря­мую Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр к По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах Зна­чит, ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и  — это угол Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

16. Около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окруж­ность. Через точку C про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BCK, если

Ре­ше­ние.

а) Угол KBC равен углу BAC как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Пря­мые AB и CK па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, ∠ABC = ∠BCK. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки ABC и BCK по­доб­ны. Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.

б) Тре­уголь­ни­ки ABC и BCK по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен От­но­ше­ние пло­ща­дей В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

Ответ: 2.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.

17. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1 + 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му от­ку­да При a = 9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1 и

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть — один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом году со­ста­вит: После вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной Сумма долга после тре­тье­го пла­те­жа: Тре­тьим пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю:

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень.

18. Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы: Если то не­ра­вен­ство, а зна­чит и си­сте­ма не имеет ре­ше­ний. Если то ре­ше­ние не­ра­вен­ства — луч Если то ре­ше­ние не­ра­вен­ства — луч

При пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Если то ре­ше­ние этой си­сте­мы — два луча с кон­ца­ми в точ­ках Если то ре­ше­ние этой си­сте­мы — по­лу­ин­тер­вал с кон­ца­ми в точ­ках

Оче­вид­но, что при , ре­ше­ние си­сте­мы будет со­дер­жать луч, вида , где мень­шее из чисел и , а зна­чит си­сте­ма будет иметь ре­ше­ние.

Чтобы ре­ше­ния были при не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма не­ра­венств имеет ре­ше­ния при

Ответ:

19. По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a₁ = 5, a₂ = 8, ..., a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, ..., b_M сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

Вариант № 12

1. В квар­ти­ре уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). По­ка­за­ния счётчика 1 фев­ра­ля со­став­ля­ли 142 куб. м воды, а 1 марта — 156 куб. м. Сколь­ко нужно за­пла­тить за хо­лод­ную воду за фев­раль, если сто­и­мость 1 куб. м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 22 руб. 50 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим, сколь­ко ку­бо­мет­ров воды было из­рас­хо­до­ва­но за фев­раль: куб.м. Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо за­пла­тить: руб.

Ответ: 315

Ответ: 315

512323

315

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ве­ден­ной диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что 8 ме­ся­цев сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Ответ: 8.

Ответ: 8

509984

8

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.

3. На ри­сун­ке угол 1 равен 46°, угол 2 равен 30°, угол 3 равен 44°. Най­ди­те угол 4. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

сумма углов в вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке равна 360°.

Ответ: 120.

Ответ: 120

27780

120

4. Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 18 пас­са­жи­ров, равна 0,82. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 10 пас­са­жи­ров, равна 0,51. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 10 до 17.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия A = «в ав­то­бу­се мень­ше 10 пас­са­жи­ров» и В = «в ав­то­бу­се от 10 до 17 пас­са­жи­ров». Их сумма — со­бы­тие A + B = «в ав­то­бу­се мень­ше 18 пас­са­жи­ров». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,82 = 0,51 + P(В), от­ку­да P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

Ответ: 0,31

509916

0,31

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −4.

Ответ: -4

26659

-4

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, , . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Углы A и HCB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, по­это­му

Ответ: 27.

Ответ: 27

27431

27

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну где х — рас­сто­я­ние от точки отсчёта (в мет­рах), t — время дви­же­ния (в се­кун­дах). Най­ди­те её ско­рость (в мет­рах в се­кун­ду) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: м/с. При имеем: м/с.

Ответ: 72.

Ответ: 72

512493

72

8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27172

4

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ства сте­пе­ней:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

26798

2

10. Eмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре  Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре  кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем (с), где  — по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те (в ки­ло­воль­тах), наи­боль­шее воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло не менее 28 с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

кВ.

Ответ: 6.

Ответ: 6

28463

6

11. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 22 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 113 км/ч, и через 30 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна км/ч. За 1/2 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 22 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 69.

Ответ: 69

509156

69

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00410.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4.

Ответ: -4

26728

-4

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Тогда,

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.

14. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние — тре­уголь­ник (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки и пря­мо­уголь­ные, — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный. Про­ведём в нём вы­со­ту она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тем самым, ре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­сколь­ку рав­но­силь­ны сле­ду­ю­щие не­ра­вен­ства

С учётом этого имеем

Ответ:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2016 ва­ри­ант МА10410

16.В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а) До­ка­жи­те, что угол ABK равен углу ANK.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что и

Ре­ше­ние.

а) Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM равен

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

Ре­ше­ние.

Пусть на каж­дый тип вкла­да была вне­се­на оди­на­ко­вая сумма S. На вкла­де «А» каж­дый год сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20%, то есть умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент 1,2. По­это­му через три года сумма на вкла­де «А» будет равна

Ана­ло­гич­но сумма на вкла­де «Б» будет равна

где n — не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число.

По усло­вию тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

При n = 26 не­ра­вен­ство

верно, а при n = 25 не­ра­вен­ство

не­вер­но, как и при всех мень­ших n.

Ответ: 26.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2016 ва­ри­ант МА10310

18. Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Пе­ре­пи­шем дан­ное урав­не­ние в виде и по­ло­жим где Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Най­дем мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2].

Так как то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Зна­чит, функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [0; 1] и воз­рас­та­ет на от­рез­ке [1; 2]. По­сколь­ку то мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2] ― от­ре­зок [f (1); f (2)], т. е. от­ре­зок Таким об­ра­зом, урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или

Ре­ше­ние 2. По­ло­жим где и рас­смот­рим функ­цию Так как ее про­из­вод­ная то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Зна­чит, на про­ме­жут­ке [0; 2) функ­ция имеет един­ствен­ный экс­тре­мум ― ми­ни­мум Так как урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или Таким об­ра­зом, при­хо­дим к со­во­куп­но­сти

Ре­ше­ние 3. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке [0; 2] (см. ре­ше­ние 1) и ис­сле­до­вать вза­им­ное рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка этой функ­ции и пря­мой

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

19. За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и все их воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т.д.) вы­пи­сы­ва­ют на доске в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доске, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.

Вариант № 13

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 800 ли­стов. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства пачек бу­ма­ги хва­тит на 9 не­дель?

Ре­ше­ние.

За 9 не­дель в офисе рас­хо­ду­ет­ся 800 · 9 = 7200 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 7200 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 15 пачек бу­ма­ги.

Ответ: 15.

Ответ: 15

508957

15

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

2. За­да­ние 2 № 27510.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с пя­то­го по две­на­дца­тый месяц (с мая по де­кабрь) была в но­яб­ре и со­став­ля­ла 6 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 6.

Ответ: 6

27510

6

3. Чему равна сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 28?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что Зна­чит, тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний. Тогда

Ответ: 28.

Ответ: 28

53073

28

4. В блюде 35 пи­рож­ков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с рыбой.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с рыбой равна

.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

1025

0,4

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­ля:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26664

14

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не равен -0,1. Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

27400

0,1

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма. На от­рез­ке [–2; 6] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, точка 4 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27502

4

8. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 3, MS = 1. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, M яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а MS — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Тогда

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

284355

1

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

77398

7

10. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где t — время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1600 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, в какой мо­мент вре­ме­ни после на­ча­ла ра­бо­ты тем­пе­ра­ту­ра ста­нет рав­ной К. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров a и b:

Через 4 ми­ну­ты после вклю­че­ния при­бор на­гре­ет­ся до 1600 К, и при даль­ней­шем на­гре­ва­нии может ис­пор­тить­ся. Таким об­ра­зом, при­бор нужно вы­клю­чить через 4 ми­ну­ты.

Ответ: 4.

Ответ: 4

41493

4

11. Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 36 ки­ло­грам­мов изюма?

Ре­ше­ние.

Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. 36 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 36 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.

Ответ: 342.

Ответ: 342

109109

342

12.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке будет наи­боль­шее из чисел и . Най­дем их:

,

За­ме­тим, что , по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке равно −33.

Ответ: −33.

Ответ: -33

70787

-33

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем,

Ответ:

14. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти .

Ре­ше­ние.

Пря­мые и FB пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой EF. Плос­кость , со­дер­жа­щая пря­мую EF, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти , зна­чит ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те BH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка , в ко­то­ром , , . По­это­му

.

Ответ: .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем или от­ку­да на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Ответ:

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Ре­ше­ние.

За­да­ние а). Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Тре­уголь­ник AKB, у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, — пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD ⊥ AB. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что BC ⊥ AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

За­да­ние б). Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а ра­ди­ус вто­рой равен 1.

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, Пусть , тогда

У тре­уголь­ни­ков AKD и AKB общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, то есть S_AKB = 4S. Ана­ло­гич­но, S_CKD = 4S. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 25S.

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции ABCD. Про­ведём к AD пер­пен­ди­ку­ляр O2H, рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₂HO₁:

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, 25S = 20, от­ку­да S = 0,8 и S_AKB = 4S = 3,2.

Ответ: 3,2.

Источник: Про­ект демонстрационной вер­сии ЕГЭ—2014 по математике.

17. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x² + x + 7 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся ве­ли­чи­ной

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 1. При­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей, если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 9, ис­ко­мая наи­мень­шая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Эти усло­вия за­да­ют «верх­нюю» по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (3; 3) ра­ди­у­са 4. Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

Эти усло­вия за­да­ют «верх­нюю» по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (а; а) ра­ди­у­са 4. По­лу­окруж­но­сти, опре­де­ля­е­мые урав­не­ни­я­ми си­сте­мы, изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке 1, обо­зна­чив по­лу­окруж­но­сти через F и Fa, а их цен­тры — О и Оа.

Дан­ная в усло­вии си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если по­лу­окруж­но­сти F и Fa имеют един­ствен­ную общую точку. Две «верх­ние» по­лу­окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо сов­па­да­ют.

При a = 3 по­лу­окруж­но­сти F и Fa сов­па­да­ют, т. е. a = 3 не яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

При a > 3, точка О рас­по­ло­же­на выше точки Оа. В этом слу­чае по­лу­окруж­но­сти F и Fa имеют общую точку, если диа­метр BC по­лу­окруж­но­сти Fa имеет общую точку с по­лу­окруж­но­стью F. Край­нее по­ло­же­ние диа­мет­ра BC, при ко­то­ром он ещё имеет общую точку по­лу­окруж­но­стью F яв­ля­ет­ся по­ло­же­ние на ниж­нем ри­сун­ке, при этом точка Оа имеет ко­ор­ди­на­ты (7; 7)., т. е. a = 7. При a > 7 по­лу­окруж­но­сти F и Fa не имеют общих точек. Таким об­ра­зом, все зна­че­ния яв­ля­ют­ся ис­ко­мы­ми.

При a < 3 по­лу­окруж­ность Fa может быть по­лу­че­на па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом по­лу­окруж­но­сти F на век­тор где b = a − 3. Если при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се по­лу­окруж­но­сти F на век­тор по­лу­чен­ная по­лу­окруж­ность имеет общую точку с F, то это же спра­вед­ли­во и при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се по­лу­окруж­но­сти F на век­тор По­это­му ис­ко­мое мно­же­ство зна­че­ний па­ра­мет­ра а сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но точки a = 3, по­это­му

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

19. Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а) Может ли S рав­нять­ся 8?

б) Может ли S рав­нять­ся 1?

в) Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

Вариант № 14

1. В доме, в ко­то­ром живёт Женя, один подъ­езд. На каж­дом этаже по во­семь квар­тир. Женя живёт в квар­ти­ре 87. На каком этаже живёт Женя?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 87 на 8:

.

Зна­чит, Женя живет на 11 этаже.

Ответ: 11.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Со­ста­вим таб­ли­цу эта­жей.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10401.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с ян­ва­ря по май 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с ян­ва­ря по май (т. е. с 1 по 5 месяц) со­став­ля­ла 8 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 8.

Ответ: 8

77251

8

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

.

Ответ: 2

244986

2

4.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Сап­фир», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ответ: 0,375

321035

0,375

5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −13.

Ответ: -13

3231

-13

6. Най­ди­те тупой угол па­рал­ле­ло­грам­ма, если его ост­рый угол равен 60°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, тогда .

Ответ: 120.

Ответ: 120

27805

120

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−15; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−11;0].

Ре­ше­ние.

Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с плюса на минус. На от­рез­ке [−11; 0] функ­ция имеет две точки мак­си­му­ма x = −10 и x = −1.

Ответ: 2.

Ответ: 2

8037

2

8. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти куба с реб­ром 3:

.

Ответ: 54.

Ответ: 54

505146

54

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Ответ: 5

Ответ: 5

512352

5

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.

10. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны  нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом d нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом ост­рый угол (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма k свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать тре­тий мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 2400 нм?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства нм на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины волны света нм и но­ме­ра мак­си­му­ма :

.

Ответ: 30.

Ответ: 30

28639

30

11. Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 200 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде равна 15 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 10 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 40 часов после от­плы­тия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость те­че­ния, тогда ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния равна км/ч. На весь путь теп­ло­ход за­тра­тил 40 – 10 = 30 часов, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

Ответ: 5

26588

5

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 36.

Ответ: 36

128103

36

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми BA₁C₁ и BA₁D₁.

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — центр куба, а  — се­ре­ди­на а  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му Тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу

При­мем длины ребер куба за . Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка Из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

по­сколь­ку  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли то Те­перь при­ме­ним к тре­уголь­ни­ку тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

По­это­му

Ответ:

16. Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 13 и 7.25, а его вы­со­та BD равна 5. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

Ре­ше­ние.

Пусть точки и ― цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки и со­от­вет­ствен­но, и ― ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки и ― точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­вый слу­чай (точка лежит между точ­ка­ми и см. рис. 1):

Вто­рой слу­чай (точка C лежит между точ­ка­ми и см. рис. 2):

Ответ: или

17. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на это тоже самое, что умно­жить это число на Пусть Яро­слав взял в банке руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж равен (в дан­ном слу­чае ). Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние: Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

От­сю­да

Ответ: 6409000 руб­лей.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при всех

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку для всех зна­че­ний по­лу­ча­ем:

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

Для того, чтобы любое зна­че­ние удо­вле­тво­ря­ло этой си­сте­ме не­ра­венств, нужно, чтобы каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы было вер­ным для лю­бо­го зна­че­ния , то есть дис­кри­ми­нан­ты левых ча­стей этих не­ра­венств долж­ны быть от­ри­ца­тель­ны­ми:

Ответ:

19. Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число ин­те­рес­ным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. На­при­мер, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а) При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна пяти.

б) Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 91?

в) Най­ди­те наи­мень­шее нечётное число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа.

Вариант № 15

1.

Опто­вая цена учеб­ни­ка 150 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 15% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 4550 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки учеб­ник будет сто­ить 150 + 0,15  150 = 172,5 рубля. Раз­де­лим 4550 на 172,5:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 26 учеб­ни­ков.

Ответ: 26.

Ответ: 26

77101

26

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс дол­ла­ра, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена дол­ла­ра в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­ший курс дол­ла­ра за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­ший курс дол­ла­ра был 22 ок­тяб­ря 2010 года и со­став­лял 30,3 рубля

Ответ: 30,3.

Ответ: 30,3

512366

30,3

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10108.

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

До­стро­им четырёхуголь­ник до пря­мо­уголь­ни­ка пло­ща­ди 2 как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­ща­ди белых и серых ча­стей пря­мо­уголь­ни­ка равны, по­это­му ис­ко­мая пло­щадь се­ро­го четырёхуголь­ни­ка равна 1 см².

Ответ: 1

244984

1

4. За круг­лый стол на 201 стул в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 199 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, тогда есть два места через одно от нее , на каж­дое из ко­то­рых пре­тен­ду­ет 200 че­ло­век, из ко­то­рых толь­ко одна де­воч­ка. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна

Ответ: 0,01

Дру­гое ре­ше­ние:

Число спо­со­бов рас­са­дить 201 че­ло­век на 201 стул рав­ня­ет­ся .

Бла­го­при­ят­ным для нас ис­хо­дом будет ва­ри­ант рас­сад­ки, когда на "пер­вом" стуле сидит де­воч­ка, и через одно место спра­ва сидит де­воч­ка, а на осталь­ных ста де­вя­но­ста де­вя­ти сту­льях про­из­воль­но рас­са­же­ны маль­чи­ки. Ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно Так как "пер­вым" сту­лом может быть любой из двух­сот од­но­го стула (сту­лья стоят по кругу), то ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов нужно умно­жить на 201. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна

Ответ: 0,01

325909

0,01

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 5,5.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 26653.

Ответ: 5,5

509033

5,5

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 1.

6. Угол ACB равен . Гра­дус­ная ве­ли­чи­на дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна . Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между се­ку­щи­ми CB и CA по­лу­раз­но­сти дуг AB и DE:

Ответ: 59.

Ответ: 59

52339

59

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции При каком зна­че­нии x эта функ­ция при­ни­ма­ет свое наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

508246

-4

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

8. Най­ди­те угол мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

 — диа­го­наль квад­ра­та со сто­ро­ной 3, зна­чит, тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, угол при ос­но­ва­нии равен .

Ответ: 45.

Ответ: 45

281867

45

9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

61455

2,4

10. Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна  кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь  мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше 1200 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, за какое время ав­то­мо­биль прой­дет путь мет­ров, учи­ты­вая, что сила при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля 1200 H. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля кг:

с.

Ответ: 50.

Ответ: 50

42735

50

11.

В сосуд, со­дер­жа­щий 7 лит­ров 14-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен литра. При до­бав­ле­нии 7 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

108487

7

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: −24.

Ответ: -24

77478

-24

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

а) Пе­ре­несём все члены в левую часть, пре­об­ра­зу­ем и раз­ло­жим левую часть на мно­жи­те­ли:

1 слу­чай. Если то

2 слу­чай. Если то При ре­ше­ний нет. Раз­де­лим обе части урав­не­ния на По­лу­ча­ем

Тогда

От­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б) и

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.04.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

Ре­ше­ние.

Пусть точка E — се­ре­ди­на ребра MD. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет плос­кость MAC в точке P. В тре­уголь­ни­ке MBD точка Р яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, MP:РО = 2 : 1, где O — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок FG па­рал­ле­лен AC и про­хо­дит через точку P (точка F при­над­ле­жит ребру MA, G — ребру MC), от­ку­да

Четырёхуголь­ник BFEG — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок BE — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка MBD, зна­чит,

По­сколь­ку пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MAC, диа­го­на­ли BE и FG четырёхуголь­ни­ка BFEG пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:

16. В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, если из­вест­но, что R = 4.

Ре­ше­ние.

а) Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK = x. Пусть S — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R = x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б) Пусть I и O — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.

Тогда

Ответ: б)

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

17. Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство зна­че­ний функ­ции со­дер­жит от­ре­зок

Ре­ше­ние.

За­пи­шем функ­цию в виде

От­ре­зок со­дер­жит­ся в мно­же­стве зна­че­ний дан­ной функ­ции тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ния и имеют ре­ше­ния.

Решим пер­вое урав­не­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ние при любом

Решим вто­рое урав­не­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда его дис­кри­ми­нант не­от­ри­ца­те­лен:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но,

или

Ответ:

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.

19. Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Вариант № 16

1.

Сту­дент по­лу­чил свой пер­вый го­но­рар в раз­ме­ре 900 руб­лей за вы­пол­нен­ный пе­ре­вод. Он решил на все по­лу­чен­ные день­ги ку­пить букет лилий для своей учи­тель­ни­цы ан­глий­ско­го языка. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство лилий смо­жет ку­пить сту­дент, если удер­жан­ный у него налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, лилии стоят 120 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?

Ре­ше­ние.

Налог со­ста­вит 900  0,13 = 117 руб­лей. После вы­пла­ты на­ло­га оста­нет­ся 900 − 117 = 783 рубля. Раз­де­лим 783 на 120:

.

Зна­чит, денег хва­та­ет на 6 лилий. В бу­ке­те долж­но быть не­чет­ное число цве­тов, по­это­му сту­дент купит 5 лилий.

Ответ: 5.

Ответ: 5

83781

5

2. За­да­ние 2 № 18893. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа за дан­ный пе­ри­од впер­вые вы­па­ло ровно 1,5 мил­ли­мет­ра осад­ков.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, впер­вые 1,5 мм осад­ков вы­па­ло 9 ян­ва­ря (см. ри­су­нок).

Ответ: 9.

Ответ: 9

18893

9

3. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, за­дан­ной урав­не­ни­ем 3x + 4y = 6.

Ре­ше­ние.

Общий вид урав­не­ния пря­мой y = kx + b. Тогда вы­ра­жая y из ис­ход­но­го урав­не­ния, по­лу­ча­ем:

По­это­му k = −0,75.

Ответ: −0,75.

Ответ: -0,75

27691

-0,75

4. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Пе­ре­вод­чик», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 79 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на на спе­ци­аль­ность «Та­мо­жен­ное дело», нужно на­брать не менее 79 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент Б. по­лу­чит не менее 79 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,9, по рус­ско­му языку — 0,7, по ино­стран­но­му языку — 0,8 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,9.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Б. смо­жет по­сту­пить на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей.

Ре­ше­ние.

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на «Пе­ре­вод­чи­ка»: 0,9 · 0,7 · 0,8 = 0,504, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать экза­ме­ны на «Та­мо­жен­ное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,9 = 0,567, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Пе­ре­вод­чи­ка», и на «Та­мо­жен­ное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,4536. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Пе­ре­вод­чи­ка» и на «Та­мо­жен­ное дело» — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Тем самым, по­сту­пить на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,504 + 0,567 − 0,4536 = 0,6174.

Ответ: 0,6174.

Ответ: 0,6174

321893

0,6174

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 2.

Ответ: 2

509012

2

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен , CH — вы­со­та, АВ = 5, Най­ди­те AH.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что . Тогда

.

Ответ: 3,2.

Ответ: 3,2

4817

3,2

7.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−5; −13), B (7; 8), C (7; −13). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу BAC

<center< center="">

Ответ: 1,75.

</center<>

Ответ: 1,75

9641

1,75

8.

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Ра­ди­ус сферы равен по­это­му об­ра­зу­ю­щая равна

Ответ:46.

Ответ: 46

501938

46

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 101.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся пе­ри­о­дич­но­стью си­ну­са:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26769

14

10. В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми Ом и Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой (Ом), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства Ом при из­вест­ном зна­че­нии со­про­тив­ле­ния при­бо­ров Ом:

Ом.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27975

10

11.

Два пе­ше­хо­да от­прав­ля­ют­ся од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места на про­гул­ку по аллее парка. Ско­рость пер­во­го на 0,5 км/ч боль­ше ско­ро­сти вто­ро­го. Через сколь­ко минут рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми ста­нет рав­ным 25 мет­рам?

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч – ско­рость вто­ро­го пе­ше­хо­да, тогда ско­рость пер­во­го − км/ч. Пусть через часов рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми ста­нет рав­ным 0,025 ки­ло­мет­ра. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние ста­нет рав­ным 25 мет­рам через часа или ми­ну­там.

Ответ: 3.

Ответ: 3

113441

3

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 4.

Ответ: 4

77420

4

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что:

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.04.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а) Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

Ре­ше­ние.

а) Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б) Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок — бис­сек­три­са угла и пусть имеем:

Тогда Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем: Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно или 8:3.

Ответ: 8:3.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

Таким об­ра­зом,

Ответ:

16. На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M — се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 27.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Пусть O – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда AO и BM — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABD, зна­чит,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA на­хо­дим, что

Зна­чит, Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что

б) Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S . Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MRA и BRC с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­ду­ет, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка BRC, про­ведённая к сто­ро­не BC, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к той же сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка BRC равна

Ана­ло­гич­но найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNP . Его вы­со­та, про­ведённая к BN , со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC , а сама сто­ро­на BN в че­ты­ре раза мень­ше сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма BC. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка PRCN равна

Ответ: .

17. Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил 60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма денег, ко­то­рые Сте­пан по­ло­жил в два раз­ных банка, со­став­ля­ет х руб. Ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы, обу­слов­лен­ный го­до­вой про­цент­ной став­кой на вклад, со­став­ля­ет в пер­вом банке u, во вто­ром v (это — не про­цент­ная став­ка).

Тогда к концу пер­во­го года хра­не­ния (60% про­цен­тов в пер­вом банке и 40% во вто­ром банке) вся сумма вкла­да стала (руб.).

Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% всей суммы во вто­рой банк, а 40% — в пер­вый банк, то вся сумма была бы равна (руб.).

Решим си­сте­му урав­не­ний от­но­си­тель­но xu и xv.

Для удоб­ства в рас­че­тах за­ме­ним число 590 000 вы­ра­же­ни­ем 590t, 610 000 — вы­ра­же­ни­ем 610t, t = 1000.

Тогда при­ве­ден­ная си­сте­ма урав­не­ний после не­ко­то­рых пре­об­ра­зо­ва­ний будет вы­гля­деть так:

Решим ее от­но­си­тель­но xu и xv.

Те­перь вос­поль­зу­ем­ся тем, что к концу вто­ро­го года сумма вкла­дов (в реале) стала 701 000 руб., т.е. 701t руб.

При

Те­перь не­труд­но найти и ис­ко­мую сумму.

(руб.)

Ответ: 749 000.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим две функ­ции: и По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Функ­ция яв­ля­ет­ся ку­соч­но-ли­ней­ной, причём при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо 3, либо 9, а при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо –3, либо –9. Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при по­это­му

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда

Зна­чит, либо

от­ку­да

либо

от­ку­да

Ответ:

19. Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2^m − 3ⁿ = 1.

Вариант № 17

1. 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 60 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 сен­тяб­ря по­ка­зы­вал 79 991 ки­ло­ватт-час, а 1 ок­тяб­ря по­ка­зы­вал 80 158 ки­ло­ватт-часов. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за сен­тябрь?

Ре­ше­ние.

Рас­ход элек­тро­энер­гии за сен­тябрь со­став­ля­ет 80 158 − 79 991 = 167 ки­ло­ватт-часов. Зна­чит, за элек­тро­энер­гию за сен­тябрь нужно за­пла­тить 1,6  167 = 267,2 рубля.

Ответ: 267,2.

Ответ: 267,2

78797

267,2

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года со­став­ля­ла −2 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: −2.

Ответ: -2

27516

-2

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

см².

Ответ: 9.

Ответ: 9

24209

9

4

В клас­се 16 уча­щих­ся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 4 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Олег и Вадим ока­жут­ся в одной груп­пе.

Ре­ше­ние.

Пусть один из дру­зей на­хо­дит­ся в не­ко­то­рой груп­пе. Вме­сте с ним в груп­пе ока­жут­ся 3 че­ло­ве­ка из 15 остав­ших­ся од­но­класс­ни­ков. Ве­ро­ят­ность того, что вто­рой друг ока­жет­ся среди этих 3 че­ло­век, равна 3 : 15 = 0,2.

Ответ: 0,2

321495

0,2

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 55.

Ответ: 55

3329

55

6. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 4 и 12.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27614

24

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка   при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

6415

5

8. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O — центр ос­но­ва­ния, S вер­ши­на, SO = 4, AC = 6. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SC.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOC. Он пря­мо­уголь­ный, т. к. SO — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой AC. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ответ: 5

284348

5

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

77413

10

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 4 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно че­ты­ре метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 4 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее четырёх мет­ров 1,4 − 0,4 = 1 се­кун­ду.

Ответ: 1.

Ответ: 1

41337

1

11. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 255 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость мо­тор­ной лодки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На путь по те­че­нию лодка за­тра­ти­ла на 2 часа мень­ше, от­сю­да имеем:

Ответ: 16.

Ответ: 16

5687

16

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: .

Ответ: 36.

Ответ: 36

77479

36

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щее от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, от­ку­да или

Урав­не­ние кор­ней не имеет.

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим число

Ответ:а) б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

14. Рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и CC₁ равно 8. Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C, если из­вест­но, что дву­гран­ный угол приз­мы при ребре AA₁ равен 60°.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку  ― пря­мая приз­ма, ее бо­ко­вые грани ― пря­мо­уголь­ни­ки, сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и равно а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и равно Кроме того, угол  ― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре

Таким об­ра­зом,

Пусть от­ре­зок  ― вы­со­та ос­но­ва­ния (см. ри­су­нок). По­сколь­ку и то и, зна­чит, длина от­рез­ка и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние от пря­мой до па­рал­лель­ной ей плос­ко­сти

Рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник на­хо­дим:

Ответ:

Источник: Доб­ро­воль­ное тре­ни­ро­воч­ное те­сти­ро­ва­ние Санкт-Пе­тер­бург 2013.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние будем ис­кать при усло­ви­ях:

.

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть .

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть или

Ответ: .

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC = 12.

Ре­ше­ние.

а) Пусть O — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но, M — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б) От­пу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сред­няя AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

17. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на это тоже самое, что умно­жить это число на Пусть Яро­слав взял в банке руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж равен (в дан­ном слу­чае ). Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние: Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

От­сю­да

Ответ: 6409000 руб­лей.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

   (1)

от­ку­да

   (2)

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ние урав­не­ний или Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от и За­пи­шем урав­не­ние в виде Левая часть этого урав­не­ния — гра­фик мо­ду­ля с вер­ши­ной в точке гра­фик левой части — гра­фик мо­ду­ля, с вер­ши­ной в точке Это урав­не­ние может иметь одно, либо бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Урав­не­ние будет иметь одно ре­ше­ние, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит выше пря­мой и пря­мая лежит ниже пря­мой либо, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит ниже пря­мой и пря­мая лежит выше пря­мой По­лу­ча­ем со­во­куп­ность двух си­стем урав­не­ний:

   (3)

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, если оба урав­не­ния со­во­куп­но­сти (2) имеют по од­но­му ре­ше­нию.

Для пер­во­го урав­не­ния имеем

Для вто­ро­го урав­не­ния:

Если урав­не­ния со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, то тогда, даже если каж­дое из них имеет по од­но­му ре­ше­нию, то эти ре­ше­ния сов­па­дут и ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь не два, а одно ре­ше­ние. Ис­клю­чим дан­ный слу­чай, найдём при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра урав­не­ния сов­па­да­ют:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 2.

19. Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное n.

а) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в) Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?

Вариант № 18

1. Павел Ива­но­вич купил аме­ри­кан­ский ав­то­мо­биль, спи­до­метр ко­то­ро­го по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Аме­ри­кан­ская миля равна 1609 м. Ка­ко­ва ско­рость ав­то­мо­би­ля в ки­ло­мет­рах в час, если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет 65 миль в час? Ответ округ­ли­те до це­ло­го числа.

Ре­ше­ние.

Если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет ско­рость 65 миль в час, зна­чит, в ки­ло­мет­рах это будет 65  1,609 = 104,585 км в час.

Ответ: 105.

Ответ: 105

26640

105

2.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую цену зо­ло­та за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая цена зо­ло­та за ука­зан­ный пе­ри­од со­ста­ви­ла 1010 руб­лей. (см. ри­су­нок).

Ответ: 1010.

Ответ: 1010

263795

1010

3. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 4 и 5. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны сред­ним ли­ни­ям тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­е­мых диа­го­на­ля­ми и сто­ро­на­ми дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны по­ло­ви­нам диа­го­на­лей. Со­от­вет­ствен­но,

.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27845

9

4. Ве­ро­ят­ность того, что на тесте по ис­то­рии уча­щий­ся Т. верно решит боль­ше 8 задач, равна 0,76. Ве­ро­ят­ность того, что Т. верно решит боль­ше 7 задач, равна 0,88. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия A = «уча­щий­ся решит 8 задач» и В = «уча­щий­ся решит боль­ше 8 задач». Их сумма — со­бы­тие A + B = «уча­щий­ся решит боль­ше 7 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,88 = P(A) + 0,76, от­ку­да P(A) = 0,88 − 0,76 = 0,12.

Ответ: 0,12.

Ответ: 0,12

321791

0,12

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: −1.

Ответ: -1

2737

-1

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции до­пол­ни­тель­ных углов яв­ля­ют­ся сход­ствен­ны­ми. По­это­му

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

28979

2,4

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Наи­боль­ший из них — ин­тер­вал (−7; −1), длина ко­то­ро­го 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27499

6

8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если его об­ра­зу­ю­щую уве­ли­чить в 36 раз?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна , где  — длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а  — об­ра­зу­ю­щая. При уве­ли­че­нии об­ра­зу­ю­щей в 36 раз пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са уве­ли­чит­ся в 36 раз.

Ответ: 36.

Ответ: 36

75697

36

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: −25.

Ответ: -25

26989

-25

10. Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  (м), где  м/с — на­чаль­ная ско­рость мяча, а g — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те  м/с). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) мяч пе­ре­ле­тит реку ши­ри­ной 8,45 м?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния :

Ответ: 15.

Ответ: 15

28589

15

11. Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 3 ра­бо­чих, а во вто­рой — 9 ра­бо­чих. Через 4 дня после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 7 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

Ре­ше­ние.

Пусть про­из­во­ди­тель­ность каж­до­го из ра­бо­чих равна дома в день, и пусть в новом со­ста­ве бри­га­ды до­стра­и­ва­ли дома дней. Тогда за пер­вые 4 дня ра­бо­ты бри­га­да­ми в 3 и 9 че­ло­век было по­стро­е­но и ча­стей домов, а за сле­ду­ю­щие дней бри­га­да­ми в 10 че­ло­ве­к и 2 че­ло­века были по­стро­е­ны остав­ши­е­ся и части домов. По­сколь­ку в ре­зуль­та­те были це­ли­ком по­стро­е­ны два дома, имеем:

Тем самым, в новом со­ста­ве бри­га­ды ра­бо­та­ли 3 дня.

Ответ: 3.

Ответ: 3

324107

3

12.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 17.

Ответ: 17

71571

17

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при то есть при и при Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен нулю:

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:  и

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­чим:

Ответ: а) б)

14. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны а бо­ко­вые ребра равны На ребре от­ме­че­на точка так, что Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и

Ре­ше­ние.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке Плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой

Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую тогда от­ре­зок (про­ек­ция ) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой Угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом , от­ку­да вы­со­та

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с пря­мым углом по­лу­ча­ем:

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гой форме: или

Ответ: .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

Сде­ла­ем за­ме­ну

Если то

Если то

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства: или

Ответ:

16. Точка — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков и

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­это­му вер­ши­на — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка Ана­ло­гич­но, точки и — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­но.

Воз­мож­ны два слу­чая: либо ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся всех трех дан­ных внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), либо одной из дан­ных — внут­рен­ним об­ра­зом, а двух дру­гих — внеш­ним (рис. 2).

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. Про­дол­жим от­рез­ки и за точки и до пе­ре­се­че­ния с со­от­вет­ству­ю­щи­ми окруж­но­стя­ми в точ­ках Тогда — диа­мет­ры дан­ных окруж­но­стей. Окруж­ность про­хо­дя­щая через точки и ка­са­ет­ся внут­рен­ним об­ра­зом окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , так как рас­сто­я­ние между цен­тра­ми этих окруж­но­стей равно раз­но­сти их ра­ди­у­сов. Ана­ло­гич­но, окруж­ность ка­са­ет­ся осталь­ных двух окруж­но­стей.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Пусть — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са , ка­са­ю­щей­ся внут­рен­ним об­ра­зом опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка и внеш­ним об­ра­зом — опи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков и Пусть  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка на хорду Тогда  — вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка по­это­му Линия цен­тров двух ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра или

Ответ: 28, 12.

17. 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 19 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

Ре­ше­ние.

Пусть на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна S₀, тогда вы­пла­та за пер­вый месяц равна По усло­вию, долг перед бан­ком дол­жен умень­шить­ся рав­но­мер­но:

Ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты равна

Ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты равна

По усло­вию общая сумма вы­плат на 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, тогда:

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния задач этого типа. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на q% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты П и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми

В усло­ви­ях нашей за­да­чи по­лу­ча­ем: от­ку­да для n = 19 устно на­хо­дим q = 3.

До­ка­за­тель­ство фор­мул, на­при­мер, не­мед­лен­но сле­ду­ет из вы­ше­при­ведённого ре­ше­ния за­да­чи путём за­ме­ны 19 ме­ся­цев на n ме­ся­цев и ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы суммы n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С).

18. При каких урав­не­ние имеет ровно три корня?

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде

По­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей урав­не­ния (см. рис.) Из ри­сун­ка видно, что под­хо­дя­щих зна­че­ний ровно два — при одном из них гра­фик пра­вой части про­хо­дит через точку при дру­гом — ка­са­ет­ся от­ра­жен­но­го участ­ка па­ра­бо­лы.

Пер­вое про­ис­хо­дит при , а вто­рое — когда урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При­рав­ни­вая дис­кри­ми­нант к нулю, на­хо­дим

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.03.2012 ва­ри­ант 1. (Часть С)

19. Из­вест­но, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Вариант № 19

1. Дер­жа­те­ли дис­конт­ной карты книж­но­го ма­га­зи­на по­лу­ча­ют при по­куп­ке скид­ку 3%. Книга стоит 300 руб­лей. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит дер­жа­тель дис­конт­ной карты за эту книгу?

Ре­ше­ние.

Скид­ка на по­куп­ку со­ста­вит 300 · 0,03 = 9 руб­лей. Зна­чит, дер­жа­тель дис­конт­ной карты за­пла­тит за книгу 300 − 9 = 291 рубль.

Ответ: 291.

Ответ: 291

505180

291

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 22 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха 22 ян­ва­ря со­став­ля­ла −10 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: −10.

Ответ: -10

26868

-10

3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка, равен по­ло­ви­не его диа­го­на­ли. Диа­го­наль равна 5, по­это­му ра­ди­ус равен 2,5.

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

27947

2,5

4. В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 20 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на пять групп по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Китая ока­жет­ся в четвёртой груп­пе?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Китая ока­жет­ся в чет­вер­той груп­пе, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства кар­то­чек с но­ме­ром 4, к об­ще­му числу кар­то­чек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

320345

0,2

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 55.

Ответ: 55

3329

55

6. В тре­уголь­ни­ке , — вы­со­та, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы и равны как углы при его ос­но­ва­нии, а вы­со­та, про­ве­ден­ная из точки , делит ос­но­ва­ние по­по­лам. Имеем:

.

Ответ: 30.

----------------

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что рас­сто­я­ние BH по­лу­чи­лась боль­ше, чем длина BС. Свя­за­но это с тем, что на самом деле опи­сан­ный в усло­вии тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным. Од­на­ко это не вли­я­ет на кор­рект­ность ре­ше­ния за­да­чи.

Ответ: 30

27327

30

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лу (−2,5; 6,5). Дан­ный ин­тер­вал со­дер­жит сле­ду­ю­щие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма ко­то­рых равна 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

27498

18

8. Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Най­ди­те объем ко­ну­са, если объем ци­лин­дра равен 138.

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

где   — пло­щадь ос­но­ва­ния, а   — вы­со­та ко­ну­са. Объем ци­лин­дра равен   и, как видно, в 3 раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са. По­это­му объем ко­ну­са равен 46.

Ответ: 46.

Ответ: 46

74397

46

9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

62059

7

10. Ско­рость ав­то­мо­би­ля, раз­го­ня­ю­ще­го­ся с места стар­та по пря­мо­ли­ней­но­му от­рез­ку пути дли­ной  км с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем , вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Опре­де­ли­те наи­мень­шее уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав один ки­ло­метр, при­об­ре­сти ско­рость не менее 110 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч.

Ре­ше­ние.

Найдём, при каком уско­ре­нии гон­щик до­стиг­нет тре­бу­е­мой ско­ро­сти, про­ехав один ки­ло­метр. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­нии длины пути км:

км/ч².

Если его уско­ре­ние будет пре­вос­хо­дить най­ден­ное, то, про­ехав один ки­ло­метр, гон­щик наберёт боль­шую ско­рость, по­это­му наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое уско­ре­ние равно 6050 км/ч².

Ответ: 6050.

Ответ: 6050

28331

6050

11. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 6 минут, вто­рой и тре­тий — за 7 минут, а пер­вый и тре­тий — за 21 ми­ну­ту. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Если бы два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са ра­бо­та­ли по 42 ми­ну­ты каж­дый, они за­пол­ни­ли бы 7 + 6 + 2 = 15 бас­сей­нов. По­это­му один бас­сейн они за­пол­ня­ют за (42 : 15) · 2 = 5,6 мин.

Ответ: 5,6

513711

5,6

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках и , за­дан­но­му от­рез­ку при­над­ле­жит число 0. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

.

Ответ: 15.

Ответ: 15

124715

15

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

от­ку­да

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10101.

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — бис­сек­три­са угла SAC. Пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­ще­го через точки A, M и B, равна Най­ди­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние.

Нуж­ное се­че­ние — тре­уголь­ник AMB.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ASC. Он рав­но­бед­рен­ный, и Зна­чит,

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник CAM. Сумма его углов 180°, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CAM рав­но­бед­рен­ный, и по­это­му AC=AM. Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что BM=BC.

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник AMB рав­но­сто­рон­ний, и его сто­ро­на AB од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся сто­ро­ной ос­но­ва­ния. По усло­вию со­ста­вим урав­не­ние от­ку­да AB = 10.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть С).

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде:

Сде­ла­ем за­ме­ну и при­ве­дем левую часть к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ре­ше­ни­ем по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство Воз­вра­ща­ясь к пе­ре­мен­ной , на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC = 12.

Ре­ше­ние.

а) Пусть O — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но, M — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б) От­пу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сред­няя AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

17. В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 28 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 9 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

(млн. руб­лей).

Ответ: 80,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та — пер­вая, d = 2, вы­плат — 14 штук и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, но с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 80,5.

Источник: Ма­те­ри­а­лы для экс­пер­тов ЕГЭ 2016

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Не­ра­вен­ство задаёт на плос­ко­сти по­ло­су, гра­ни­ца ко­то­рой — пара па­рал­лель­ных пря­мых: и

Если то си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, по­сколь­ку пра­вая часть урав­не­ния ста­но­вит­ся от­ри­ца­тель­ной. Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: и задаёт един­ствен­ную точку ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству: Сле­до­ва­тель­но, при си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Рас­смот­рим слу­чай Тогда урав­не­ние опре­де­ля­ет окруж­ность ра­ди­у­сом Центр окруж­но­сти лежит на пря­мой , ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на гра­нич­ным пря­мым по­ло­сы и пе­ре­се­ка­ет их в точ­ках и Си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если толь­ко окруж­ность внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся по­ло­сы в точке или в точке Если точка ка­са­ния — то что не­воз­мож­но, по­сколь­ку Окруж­ность ка­са­ет­ся по­ло­сы в точке B, толь­ко если и По­лу­ча­ем:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко ко­рень

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

19. Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число а, что дробь можно со­кра­тить на b.

Вариант № 20

1. Бегун про­бе­жал 250 м за 36 се­кунд. Най­ди­те сред­нюю ско­рость бе­гу­на на ди­стан­ции. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

Ре­ше­ние.

Чтобы пе­ре­ве­сти метры в се­кун­ду в ки­ло­мет­ры в час нужно умно­жать на 3,6. Ско­рость бе­гу­на 250/36 м/c, она равна

Ответ: 25.

Ответ: 25

509827

25

Источник: ЕГЭ — 2015. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант А. Ларина.

2. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель со вто­рой по пятую ми­ну­ту разо­гре­ва.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля на вто­рую ми­ну­ту на­гре­ва равно 30°C, а на пятую — 60°C. Сле­до­ва­тель­но, дви­га­тель на­грел­ся на 30°C.

Ответ: 30.

Ответ: 30

507896

30

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.

3.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;6), (9;6), (10;9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния (его длина равна 8) на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или к его про­дол­же­нию (длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной к про­дол­же­нию ос­но­ва­ния, равна 3). По­это­му

Ответ: 12.

Ответ: 12

27565

12

4. В клас­се учит­ся 21 че­ло­век. Среди них две по­дру­ги: Аня и Нина. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на 7 групп, по 3 че­ло­ве­ка в каж­дой. Найти ве­ро­ят­ность того. что Аня и Нина ока­жут­ся в одной груп­пе.

Ре­ше­ние.

Пусть Аня ока­за­лась в не­ко­то­рой груп­пе. Тогда для 20 остав­ших­ся уча­щих­ся ока­зать­ся с ней в одной груп­пе есть две воз­мож­но­сти. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна 2 : 20 = 0,1.

При­ве­дем ком­би­на­тор­ное ре­ше­ние.

Всего спо­со­бов вы­брать 3 уча­щих­ся из 21 уча­ще­го­ся клас­са равно . Вы­брать пару «Аня и Нина» и по­ме­стить их в одну из семи групп можно спо­со­ба­ми. До­ба­вить в эту груп­пу еще од­но­го из остав­ших­ся 19 уча­щих­ся можно спо­со­ба­ми. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки ока­жут­ся в одной груп­пе равна

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Рас­смот­рим первую груп­пу. Ве­ро­ят­ность того, что Аня ока­жет­ся в ней, равна . Если Аня уже на­хо­дит­ся в пер­вой груп­пе, то ве­ро­ят­ность того, что Нина ока­жет­ся этой же груп­пе равна . По­сколь­ку все семь групп рав­но­прав­ны, ве­ро­ят­ность того, что по­дру­ги ока­жут­ся в одной груп­пе, равна

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

500997

0,1

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ответ: 4

2857

4

6.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не равен , . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 4,8.

Ответ: 4,8

27407

4,8

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Дан­ные ин­тер­ва­лы со­дер­жат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.

Ответ: –3.

Ответ: -3

27497

-3

8. Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 21. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку

а конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и ос­но­ва­ние, имеем:

.

Ответ: 63.

Ответ: 63

269437

63

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −12.

Ответ: -12

64043

-12

10. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те h м над землeй, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  км — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 5,6 км. На сколь­ко мет­ров нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы рас­сто­я­ние до го­ри­зон­та уве­ли­чи­лось до 10,4 ки­ло­мет­ров?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ний и при за­дан­ном зна­че­нии R:

Сле­до­ва­тель­но, чтобы ви­деть го­ри­зонт на более да­ле­ком рас­сто­я­нии, на­блю­да­те­лю нужно под­нять­ся на мет­ров.

Ответ: 6.

Ответ: 6

28365

6

11. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 154 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но со ско­ро­стью на 3 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 3 часа. В ре­зуль­та­те он за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из A в B, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из B в A —  км/ч. Сде­лав на об­рат­ном пути оста­нов­ку на 3 часов, ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста была равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

Ответ: 11

39257

11

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­мень­шим зна­че­ни­ем за­дан­ной функ­ции на от­рез­ке будет .

Ответ: −1.

Ответ: -1

3383

-1

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­лу­ча­ем или от­ку­да или  где

б) На от­рез­ке корни отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

По­лу­ча­ем и

Ответ: а) б)

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

14. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра ко­то­рой равны 1, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

Ре­ше­ние.

Ответ: 0,75.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Тогда или , от­ку­да на­хо­дим ре­ше­ние не­ра­вен­ства:

Ответ:

16. Пер­вая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OLO₁ пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой равен 15 и AK = 32.

Ре­ше­ние.

а) Пусть окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке C. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му LO и LO₁ — бис­сек­три­сы смеж­ных углов KLM и CLM. Сле­до­ва­тель­но, ∠OLO₁ = 90°.

б) Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KBO и KAL по­доб­ны, по­это­му

Зна­чит,

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром O₁ равен r₁. Тре­уголь­ник KLM

рав­но­бед­рен­ный, по­это­му окруж­но­сти с цен­тра­ми O и O₁ ка­са­ют­ся ос­но­ва­ния ML в одной и той же точке A. Зна­чит, точка A лежит на от­рез­ке OO₁, причём LA — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OLO₁, про­ведённая из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 240.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2016 ва­ри­ант МА10310

17. 1 ян­ва­ря 2015 года Тарас Пав­ло­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тарас Пав­ло­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тарас Пав­ло­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ясно, что чем боль­ше ме­сяч­ные вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты со­став­ля­ют 220 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой будем ука­зы­вать долг на пер­вое число ме­ся­ца, а во вто­ром — долг в том же ме­ся­це, но уже после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять толь­ко два знака после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

Месяц	Долг на пер­вое число ме­ся­ца (тыс. руб)	Долг после вы­пла­ты (тыс. руб)
1	1122	902
2	920,04	700,04
3	714,04	494,04
4	503,92	283,92
5	289,60	69,60
6	70,99	0

За­ме­тим, что в по­след­ний месяц вы­пла­та со­ста­вит менее 220 тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи со­став­ля­ет 6 ме­ся­цев.

Ответ: 6.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния при ко­то­рых урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай: Ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

По­след­нее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при от­ку­да Под­ста­вив в не­ра­вен­ство по­лу­чим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при и при

Вто­рой слу­чай: Ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

По­след­нее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень Под­ста­вив в не­ра­вен­ство по­лу­чим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при

Урав­не­ние на про­ме­жут­ке

 • при не имеет кор­ней;

 • при имеет един­ствен­ный ко­рень

 • при имеет два раз­лич­ных корня и

 • при имеет един­ствен­ный ко­рень

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2013. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Центр. Ва­ри­ант 501.

19. Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хо­ро­шим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} хо­ро­шим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Вариант № 21

1. Шо­ко­лад­ка стоит 40 руб­лей. В вос­кре­се­нье в су­пер­мар­ке­те дей­ству­ет спе­ци­аль­ное пред­ло­же­ние: за­пла­тив за три шо­ко­лад­ки, по­ку­па­тель по­лу­ча­ет че­ты­ре (одну в по­да­рок). Сколь­ко шо­ко­ла­док можно по­лу­чить на 200 руб­лей в вос­кре­се­нье?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 200 на 40:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 5 шо­ко­ла­док. Еще 1 будет дана в по­да­рок. Всего можно будет по­лу­чить 6 шо­ко­ла­док.

Ответ: 6.

Ответ: 6

25001

6

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство осад­ков вы­па­да­ло в пе­ри­од с 13 по 20 ян­ва­ря. Ответ дайте в мил­ли­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шее ко­ли­че­ство осад­ков в пе­ри­од с 13 по 20 ян­ва­ря вы­па­ло 14 ян­ва­ря и со­став­ля­ло 3 мм (см. ри­су­нок).

Ответ: 3.

Ответ: 3|3,0

26876

3|3,0

3. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 6 и 12. Синус остро­го угла тра­пе­ции равен 0,8. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну.

Ре­ше­ние.

тре­уголь­ни­ки и равны (), зна­чит,

Ответ: 5.

Ответ: 5

77152

5

4. Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А. иг­ра­ет чёрными, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,32. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

Ре­ше­ние.

Со­бы­тия вы­иг­рать бе­лы­ми и чер­ны­ми фи­гу­ра­ми не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей: 0,5 · 0,32 = 0,16.

Ответ: 0,16

509831

0,16

Источник: ЕГЭ — 2015. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант А. Ларина.

5. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

Ре­ше­ние.

На ОДЗ пе­рей­дем к урав­не­нию на ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма:

Итак, на ОДЗ урав­не­ние имеет толь­ко один ко­рень.

Ответ: 12.

Ответ: 12

77382

12

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, , . Най­ди­те вы­со­ту CH.

Ре­ше­ние.

Углы и равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

.

Ответ: 25,2.

Ответ: 25,2

30385

25,2

7. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния:

Кор­ня­ми вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа и из них кор­нем пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся толь­ко число −1.

Ответ: -1

513677

-1

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 1.

8. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 5. Объем приз­мы равен 30. Най­ди­те ее бо­ко­вое ребро.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мой приз­мы равен где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – бо­ко­вое ребро. Тогда длина ее бо­ко­во­го ребра равна

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27083

4

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: −0,5.

Ответ: -0,5

26846

-0,5

10. Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью м/с под ост­рым углом к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью (м/с), где кг – масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а кг – масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях массы скейт­бор­ди­ста кг и массы плат­фор­мы кг:

.

Ответ: 60.

Ответ: 60

28011

60

11. Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 16 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 10 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через часов. Для того, чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы. По­это­му

Таким об­ра­зом, мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через  часа или через 48 минут.

Ответ: 48.

Ответ: 48

113587

48

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 25.

Ответ: 25

70187

25

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при , то есть при . Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен :

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10402.

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и

Ре­ше­ние.

Пусть и  — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но. — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки  — точка  — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой сле­до­ва­тель­но, угол — ис­ко­мый.

где  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

От­но­си­тель­но не­ра­вен­ство имеет вид:

от­сю­да или Воз­вра­ща­ясь к x, по­лу­ча­ем: или

Ответ:

Источник: Ма­те­ри­а­лы для экс­пер­тов ЕГЭ 2016

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Ре­ше­ние.

За­да­ние а). Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей и со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке пе­ре­се­ка­ет в точке По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, и. Тре­уголь­ник у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, — пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр Зна­чит, Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, пря­мые и па­рал­лель­ны.

За­да­ние б). Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а ра­ди­ус вто­рой равен 1.

Тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, Пусть , тогда

У тре­уголь­ни­ков общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, то есть Ана­ло­гич­но, Пло­щадь тра­пе­ции равна

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции Про­ведём к пер­пен­ди­ку­ляр рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да и

Ответ: 3,2.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная версия ЕГЭ—2014 по математике.

17. В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Ре­ше­ние.

Пусть в ян­ва­ре 2000 года вклад­чик по­ло­жил на счет у.е. Тогда в ян­ва­ре 2001 года на счету сумма ста­нет у.е. Но в ян­ва­ре же 2001 года вклад­чик снял у.е. На счету оста­лось:

у.е.

В ян­ва­ре 2002 года сумма на счету будет равна:

Функ­ция яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной от .

У нее есть наи­боль­шее зна­че­ние при

Ответ: 25.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 88.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ре­ше­ние.

Если яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го урав­не­ния, то и яв­ля­ет­ся его кор­нем. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, толь­ко если то есть Под­ста­вим зна­че­ние в ис­ход­ное урав­не­ние:

от­ку­да либо либо или

При ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа и то есть ис­ход­ное урав­не­ние имеет более од­но­го корня.

При и при урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

При это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию ко­то­рое не имеет кор­ней.

При по­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое имеет един­ствен­ный ко­рень.

При по­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое не имеет кор­ней.

При и при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 402.

19. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −5.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Вариант № 22

1. Ша­ри­ко­вая ручка стоит 30 руб­лей. Какое наи­боль­шее число таких ручек можно будет ку­пить на 300 руб­лей после по­вы­ше­ния цены на 25%?

Ре­ше­ние.

После по­вы­ше­ния цены ручка ста­нет сто­ить 30 + 0,25  30=37,5 рубля. Раз­де­лим 300 на 37,5:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 8 ручек.

Ответ: 8.

Ответ: 8

25479

8

2. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та ав­то­мо­биль­но­го дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси ор­ди­нат — кру­тя­щий мо­мент в Н  м. Чтобы ав­то­мо­биль начал дви­же­ние, кру­тя­щий мо­мент дол­жен быть не менее 60 Н  м. Какое наи­мень­шее число обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту до­ста­точ­но, чтобы ав­то­мо­биль начал дви­же­ние?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что кру­тя­щий мо­мент 60 Н  м до­сти­га­ет­ся при 2000 обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту (см. ри­су­нок).

Ответ: 2000.

Ответ: 2000

26864

2000

3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 7), (8; 2), (8; 4), (1; 9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 14.

Ответ: 14

27575

14

4. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,25. Такая же ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру во вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе». Ве­ро­ят­ность того, что кофе к ве­че­ру за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,15. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ве­че­ру дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия

А = кофе за­кон­чит­ся в пер­вом ав­то­ма­те,

В = кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те.

Тогда

A·B = кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах,

A + B = кофе за­кон­чит­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те.

По усло­вию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,15.

Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те равна 1 − 0,25 = 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,25 = 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом или вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,15 = 0,85. По­сколь­ку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­я­тость х = 0,65.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,15.

Ответ: 0,65

508961

0,65

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние:

где — целое число.

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные корни.

Если , то и .

Если , то и .

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней.

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим от­ри­ца­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число .

Ответ: −1.

Ответ: -1

12957

-1

6. Най­ди­те угол ACO, если его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти, O — центр окруж­но­сти, а боль­шая дуга AD окруж­но­сти, за­клю­чен­ная внут­ри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что DB — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му дуга AB, не со­дер­жа­щая точки D, равна 180° − 116° = 64°. На эту дугу опи­ра­ет­ся цен­траль­ный угол AOB, по­это­му он равен 64°. Ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ным, по­это­му тре­уголь­ник AOC пря­мо­уголь­ный. Тогда

Ответ: 26.

Ответ: 26

27883

26

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 4 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Тогда на­хо­дим:

м/с.

Ответ: 39.

Ответ: 39

123215

39

8. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми и мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 3.

Ответ: 3

245372

3

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: −2.

Ответ: -2

66269

-2

10. Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся вра­ща­ю­ща­я­ся ка­туш­ка. Она со­сто­ит из трeх од­но­род­ных со­ос­ных ци­лин­дров: цен­траль­но­го мас­сой  кг и ра­ди­у­са  см, и двух бо­ко­вых с мас­са­ми  кг и с ра­ди­у­са­ми . При этом мо­мент инер­ции ка­туш­ки от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, вы­ра­жа­е­мый в , даeтся фор­му­лой . При каком мак­си­маль­ном зна­че­нии h мо­мент инер­ции ка­туш­ки не пре­вы­ша­ет пре­дель­но­го зна­че­ния ? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров , и :

Решая квад­рат­ное не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим . Наи­боль­шее ре­ше­ние двой­но­го не­ра­вен­ства — число 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

41687

8

11. Двое ра­бо­чих, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить ра­бо­ту за 12 дней. За сколь­ко дней, ра­бо­тая от­дель­но, вы­пол­нит эту ра­бо­ту пер­вый ра­бо­чий, если он за два дня вы­пол­ня­ет такую же часть ра­бо­ты, какую вто­рой – за три дня?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим и  — объёмы работ, ко­то­рые вы­пол­ня­ют за день пер­вый и вто­рой ра­бо­чий, со­от­вет­ствен­но, пол­ный объём работ при­мем за 1. Тогда по усло­вию за­да­чи и . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му:

Тем самым, пер­вый ра­бо­чий за день вы­пол­ня­ет одну два­дца­тую всей ра­бо­ты, зна­чит, ра­бо­тая от­дель­но, он спра­вит­ся с ней за 20 дней.

Ответ: 20.

Ответ: 20

26596

20

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на нем, по­это­му наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся:

Ответ: −13.

Ответ: -13

77449

-13

13. Дано урав­не­ние

а) Ре­ши­те урав­не­ние;

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

а)

Если то

Если то

б) От­ме­тим ре­ше­ния на еди­нич­ной окруж­но­сти.

От­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.05.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14.  Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 104, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды равна 120. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды и через диа­го­наль её ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 120 − 104 = 16, по­это­му AB = 4. Пло­щадь бо­ко­вой грани равна Пусть SM — вы­со­та грани SAB. Тогда по­это­му SM = 13. Пусть SH — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Имеем

Тогда

Ответ: .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Дан­ное не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде:

Вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой раз­но­сти квад­ра­тов и пре­об­ра­зуя вы­ра­же­ние по фор­му­лам суммы и раз­но­сти ло­га­риф­мов, по­лу­ча­ем, что дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти двух си­стем:

Решим си­сте­му (1), про­из­ве­дя её рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния:

Из при­ведённых вы­кла­док легко усмот­реть, что, пре­об­ра­зо­вы­вая ана­ло­гич­ным об­ра­зом си­сте­ма (2), рав­но­силь­на си­сте­ме

ко­то­рая не имеет ре­ше­ний. Таким об­ра­зом ответ:

Ответ:

16. Окруж­ность ра­ди­у­са 6 впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N . Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 4. Най­ди­те MN.

Ре­ше­ние.

Пусть O₁ — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са 6, O₂ — центр вто­рой окруж­но­сти, O — вер­ши­на угла, в ко­то­рый впи­са­ны окруж­но­сти, A и B — точки ка­са­ния со­от­вет­ствен­но пер­вой и вто­рой окруж­но­стей с одной из сто­рон угла, тогда OO₁ = 2O₁A = 12.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми O и O₂ (рис. 1), тогда OO₂ = OO₁ + O₁O₂ = 16, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂ = 4, O₁M = 6, O₂M = 8. По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми O и O₁ (рис. 2), тогда OO₂ = OO₁ − O₁O₂ = 8, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₁ = 4, O₁M = 6, O₂M = 4. Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

17. Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3. В ре­зуль­та­те вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций на 20% (после вто­рой скуп­ки общее число вы­куп­лен­ных акций уве­ли­чи­лось на 20%), а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене — еще на 20%. Най­ди­те цену тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций FAC, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла 15 тысяч акций.

Ре­ше­ние.

Ответ: цена тре­тьего пред­ло­же­ния со­ста­ви­ла $48 за одну акцию; всего было вы­куп­ле­но 108 000 акций.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Ре­ше­ние.

Пусть Если тогда и Если тогда

Обо­зна­чим Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два корня тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние имеет ровно один ко­рень боль­ший 1.

Урав­не­ние имеет ровно один ко­рень, если дис­кри­ми­нант равен нулю:

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет два корня.

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Для того чтобы урав­не­ние имело два корня, один из ко­то­рых боль­ше 1, а дру­гой мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

Ответ:

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.

19. На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a² − b² + с² − d² = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a² − b² + с² − d² = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a² − b² + с² − d² = 1000. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

Вариант № 23

1. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 16% и со­ста­ви­ла 3480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

Ре­ше­ние.

Цена чай­ни­ка после по­вы­ше­ния стала со­став­лять 116% от на­чаль­ной цены. Раз­де­лим 3480 на 1,16:

Зна­чит, цена чай­ни­ка до по­вы­ше­ния со­став­ля­ла 3000 руб­лей.

Ответ: 3000.

Ответ: 3000

2599

3000

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сим­фе­ро­по­ле за каж­дый месяц 1988 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 20 гра­ду­сов Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что было 2 ме­ся­ца, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 20 гра­ду­сов Цель­сия (см. ри­су­нок).

Ответ: 2.

Ответ: 2

27521

2

Источник: Проб­ный эк­за­мен по математике. Санкт-Петербург 2013. Ва­ри­ант 1.

3. Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, делит в точке ка­са­ния одну из бо­ко­вых сто­рон на два от­рез­ка, длины ко­то­рых равны 5 и 3, счи­тая от вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть точки H и K яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­сти и сто­рон AB и СВ со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки и равны, т. к. яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ны­ми с общей ги­по­те­ну­зой и рав­ны­ми ка­те­та­ми, зна­чит,

Ответ: 22.

Ответ: 22

27935

22

4. В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 20 би­ле­тов, в 7 из них встре­ча­ет­ся во­прос по про­из­вод­ной. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по про­из­вод­ной.

Ре­ше­ние.

Из 20 би­ле­тов 13 не со­дер­жат во­про­са по про­из­вод­ной, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по про­из­вод­ной, равна

Ответ: 0,65.

Ответ: 0,65

286311

0,65

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ:  −80.

Ответ: -80

102381

-80

6. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 1, угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Сумма двух рав­ных углов при ос­но­ва­нии тре­уголь­ни­ка равна 60°, по­это­му каж­дый из них равен 30°. Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов

Ответ: 2.

Ответ: 2

27900

2

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка   при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке .

Ответ: −4.

Ответ: -4

6403

-4

8. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 18, а диа­метр ос­но­ва­ния равен 9. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 2.

Ответ: 2

926

2

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 25.

Ответ: 25

62433

25

10. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При это объём и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем , где (атм) − дав­ле­ние в газе, — объём газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объём газа равен 24 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. До ка­ко­го объёма нужно сжать газ, чтобы дав­ле­ние в со­су­де под­ня­лось до 128 ат­мо­сфер? Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

Ре­ше­ние.

Пусть и — на­чаль­ные, а и — ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. Тогда за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию ра­вен­ства

, где , ,

Тогда

.

Зна­чит, ми­ни­маль­ный объем, до ко­то­ро­го можно сжать газ, равен 0,75 лит­ров.

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

504257

0,75

Раздел: Алгебра
Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10402.

11. Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 10 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 78 км/ч, и через 40 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна км/ч. За 2/3 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 10 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 63.

Ответ: 63

114117

63

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −12.

Ответ: -12

132669

-12

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние:

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лу при­ве­де­ния и фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла , по­лу­ча­ем:

За­дан­ный про­ме­жу­ток имеет длину π, по­это­му ему при­над­ле­жит не боль­ше двух кор­ней из пер­вой серии, не боль­ше од­но­го корня из вто­рой серии и не боль­ше од­но­го корня из тре­тьей серии. Во вто­рой серии ре­ше­ний из от­рез­ка нет, из пер­вой и тре­тьей серии это числа

Ответ: а) б)

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

14. На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 3. Точка T — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AB = 5, AD = 8, AA₁ = 14.

а) В каком от­но­ше­нии плос­кость ETD₁ делит ребро BB₁?

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью ETD₁ и плос­ко­стью AA₁B₁.

Ре­ше­ние.

а) Так как и то и Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти и по па­рал­лель­ным пря­мым, по­это­му она пе­ре­се­ка­ет ребро в такой точке что пря­мая па­рал­лель­на пря­мой Зна­чит, ттре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, а по­сколь­ку то и Зна­чит, и

б) Так как пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти опу­стим пер­пен-

ди­ку­ляр из точки на пря­мую пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей. Угол будет ис­ко­мым. Найдём Для этого про­ведём в тра­пе­ции вы­со­ту (оче­вид­но, — се­ре­ди­на ). Те­перь, вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка найдём то есть Тогда тан­генс ис­ко­мо­го угла равен

Ответ: а) б)

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Найдём, при каких зна­че­ни­ях под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние не­от­ри­ца­тель­но. Пусть

Сде­ла­ем об­рат­ную за­ме­ну:

Тем самым, об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства:

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Найдём нули левой части:

Рас­ста­вим точки на пря­мой и опре­де­лим знаки на об­ла­сти опре­де­ле­ния:

Таким об­ра­зом, ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.12.2009 ва­ри­ант 1. (Часть С)

16. Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BO в точке Q. При этом от­рез­ки OC и QP па­рал­лель­ны.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC ― рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BQP, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD = 3 : 1 и AC = 4.

Ре­ше­ние.

Пусть луч пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну в точке Вве­дем сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: , . Пря­мые и па­рал­лель­ны, а углы и ― на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии пря­мых и се­ку­щей сле­до­ва­тель­но Далее, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим , а из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим . Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, и, зна­чит, бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той, от­ку­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ― рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) От­ре­зок ― бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но:

от­ку­да .

Далее зна­чит, и, сле­до­ва­тель­но, От­ку­да

,

сле­до­ва­тель­но,

По фор­му­ле Ге­ро­на на­хо­дим:

Зна­чит,

Ответ:

17. Баба Валя, на­ко­пив часть своей пен­сии, ре­ши­ла улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние. Она узна­ла, что в Спёр­бан­ке от пен­си­о­не­ров при­ни­ма­ют вкла­ды под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых и на этих усло­ви­ях внес­ла свои сбе­ре­же­ния в бли­жай­шее от­де­ле­ние Спёрбан­ка. Но через не­ко­то­рое время со­сед­ка ей рас­ска­за­ла, что не­да­ле­ко от той мест­но­сти, где про­жи­ва­ют пен­си­о­не­ры, есть ком­мер­че­ский банк, в ко­то­ром про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров-вклад­чи­ков в 20 раз выше, чем в Спёрбан­ке. Баба Валя не до­ве­ря­ла ком­мер­че­ским бан­кам, но стрем­ле­ние улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние взяло верх. После дол­гих ко­ле­ба­ний и ровно через год после от­кры­тия счета в Спёр­бан­ке Баба Валя сняла по­ло­ви­ну об­ра­зо­вав­шей суммы от ее вкла­да, за­явив: «Такой навар меня не устра­и­ва­ет!» И от­кры­ла счет в том ком­мер­че­ском банке, о ко­то­ром го­во­ри­ла ее со­сед­ка, не теряя на­деж­ды на зна­чи­тель­ное улуч­ше­ние сво­е­го ма­те­ри­аль­но­го бла­го­со­сто­я­ния.

На­деж­ды оправ­да­лись: через год сумма Бабы Вали в ком­мер­че­ском банке пре­вы­си­ла ее пер­во­на­чаль­ные кров­ные сбе­ре­же­ния на 65%. Со­жа­ле­ла Баба Валя, что год назад в Зпер­бан­ке сняла не всю сумму, а лишь по­ло­ви­ну, од­на­ко, по­ду­ма­ла: «А где же мы не те­ря­ли?..»

Ген­ди­рек­тор ком­мер­че­ско­го банка ока­зал­ся хо­ро­шим: не оста­вил Бабу Валю без на­ва­ра!

А каков в Спёр­бан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров?

Ре­ше­ние.

Пусть Баба Валя внес­ла в Спёр­банк у. е. под го­до­вых. Тогда за год хра­не­ния вкла­да вне­сен­ная сумма вы­рос­ла до у. е. Баба Валя сняла со счета у. е. и по­ме­сти­ла эту сумму в ком­мер­че­ский банк. За год хра­не­ния вкла­да в ком­мер­че­ском банке сумма вы­рос­ла до у.е. А эта сумма по усло­вию за­да­чи со­став­ля­ет у. е.

Решим урав­не­ние

По усло­вию за­да­чи нам под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный ко­рень Зна­чит, в Зпер­бан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров равен 10.

Ответ: 10.

Источник: РЕШУ ЕГЭ

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет более двух кор­ней.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

По­след­нее урав­не­ние имеет более двух кор­ней или если a = −1, или если урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня, от­лич­ных от 3:

от­ку­да или

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет более двух раз­лич­ных кор­ней при при a = −1, при и при

Ответ:

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.

19. На­ту­раль­ные числа об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, причём все они боль­ше 500 и яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­ных чисел. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное, при ука­зан­ных усло­ви­ях, зна­че­ние

Вариант № 24

1. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 103 че­ло­ве­ка. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 6 дней?

Ре­ше­ние.

На 103 че­ло­ве­ка на 1 день по­ла­га­ет­ся 103 · 30 = 3090 г са­ха­ра, на 6 дней — 3090 · 6 = 18 540 г. Раз­де­лим 18 540 г на 1000 г в одной упа­ков­ке:

18 540 : 1000 = 18,54.

Тем самым, на весь ла­герь на 6 дней 18 упа­ко­вок не хва­тит, сле­до­ва­тель­но, по­на­до­бит­ся 19 ки­ло­грам­мо­вых упа­ков­ки са­ха­ра.

Ответ: 19.

Ответ: 19

505137

19

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, ка­ко­во наи­мень­шее су­точ­ное ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти в пе­ри­од с 16 по 21 но­яб­ря.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шее су­точ­ное ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей в пе­ри­од с 16 по 21 но­яб­ря со­ста­ви­ло 650 000 (см. ри­су­нок).

Ответ: 650 000.

Ответ: 650000

77247

650000

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длины на ши­ри­ну. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

24143

6

4. Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по на­столь­но­му тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 16 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 7 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Пла­тон Кар­пов. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо спортс­ме­ном из Рос­сии?

Ре­ше­ние.

В пер­вом туре Пла­тон Кар­пов может сыг­рать с 16 − 1 = 15 тен­ни­си­ста­ми, из ко­то­рых 7 − 1 = 6 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо тен­ни­си­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

505397

0,4

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10702.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

Ре­ше­ние.

Решим квад­рат­ное урав­не­ние:

При­ме­ча­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней урав­не­ния равна 17, а их про­из­ве­де­ние равно 72. Тем самым, это числа 8 и 9.

Ответ: 8.

Ответ: 8

26667

8

6. В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке , вы­со­та равна 24, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

.

Ответ: –0,28.

Ответ: -0,28

27352

-0,28

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик y=f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−8; −4,5), (−2,5; −0,5) и (1,8; 3). Дан­ные ин­тер­ва­лы со­дер­жат целые точки −7, −6, −5, −2, −1, 2. Их сумма равна −19.

Ответ: −19.

Ответ: -19

8299

-19

8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара вы­ра­жа­ет­ся через его ра­ди­ус фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии ра­ди­у­са вдвое пло­щадь уве­ли­чит­ся в 2² = 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

5075

4

9.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: −2.

Ответ: -2

61515

-2

10. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем , где p (атм.) — дав­ле­ние в газе, V — объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 16 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

Ре­ше­ние.

Пусть и - на­чаль­ные, а и - ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. Тогда за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства

, где атм., л., атм.

Тогда

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

28453

0,5

11. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 180 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в А со ско­ро­стью на 8 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 8 часов. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из B в A, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из A в B равна  км/ч. Сде­лав на об­рат­ном пути оста­нов­ку на 8 часов, ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста была равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

Ответ: 18

39213

18

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции , при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

77493

0,5

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

б) Ко­рень не при­над­ле­жит про­ме­жут­ку По­сколь­ку и ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку

Ответ: а) ; б)

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2013. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Центр. Ва­ри­ант 501.

14. Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 10, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен  Точка M — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ре­ше­ние.

Пусть — се­ре­ди­на По­сколь­ку по тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка, угол ис­ко­мый. Найдём сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

Чтобы найти найдём сна­ча­ла сто­ро­ну ос­но­ва­ния по тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка

Те­перь как вы­со­та в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке со сто­ро­ной 8. Оста­лось вы­чис­лить ко­си­нус нуж­но­го угла:

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10702.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пусть

Учи­ты­вая, что , по­лу­ча­ем: от­ку­да на­хо­дим ре­ше­ние не­ра­вен­ства:

Ответ:

16. Окруж­ность S ра­ди­у­са 12 впи­са­на в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию с ос­но­ва­ни­я­ми 18 и 32. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния, бо­ко­вой сто­ро­ны и окруж­но­сти S.

Ре­ше­ние.

Пусть — тра­пе­ция с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми и а окруж­ность с цен­тром впи­сан­ная в тра­пе­цию, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний и в точ­ках и со­от­вет­ствен­но.

Точки и — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний, по­это­му и Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим, что

Рас­смот­рим слу­чай, когда окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке а сто­ро­ны — в точке Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му:

а так как точки и лежат на одной пря­мой (бис­сек­три­се угла ), то

Тре­уголь­ни­ки O₁PD и OMD по­доб­ны, по­это­му или от­ку­да на­хо­дим, что

Если же окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол и ка­са­ет­ся окруж­но­сти то ана­ло­гич­но по­лу­чим урав­не­ние из ко­то­ро­го найдём, что

Ответ: 3 или

17. Граж­да­нин Пет­ров по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря 2008 года в банке счёт, на ко­то­рый он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет 20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счёте. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря 2014 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на ко­то­рый еже­год­но кладёт по 2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?

Ре­ше­ние.

Через лет 1 сен­тяб­ря на пер­вом счёте будет сумма

В это же время на вто­ром счёте будет сумма

При­рав­ня­ем эти суммы и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, суммы на сче­тах срав­ня­ют­ся через 11 лет после от­кры­тия пер­во­го вкла­да то есть в 2019 году.

Ответ: 2019.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.

18. Най­ди­те все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

на мно­же­стве не мень­ше 6.

Ре­ше­ние.

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты . Зна­чит, ми­ни­мум функ­ции на всей чис­ло­вой оси до­сти­га­ет­ся при .

На мно­же­стве эта функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния либо в точке , если эта точка при­над­ле­жит мно­же­ству, либо в одной из гра­нич­ных точек

Если наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6, то и вся­кое зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6. В част­но­сти,

от­ку­да по­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств

.

ре­ше­ни­я­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся ; ; .

При имеем: , зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке и , что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

При имеем: , зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в одной из гра­нич­ных точек , в ко­то­рых зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6.

При имеем: , зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке и , что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: ; .

19. Участ­ни­ки одной школы пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го уче­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 83 бал­лов. Из-за того, что за­да­ния ока­за­лись слиш­ком труд­ны­ми, было при­ня­то ре­ше­ние всем участ­ни­кам теста до­ба­вить по 5 бал­лов, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а) Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зил­ся?

б) Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зил­ся, и сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зил­ся?

в) Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 90, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 100, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 75. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, а не сдав­ших — 79. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?

Краткое описание документа:

Тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Сгенерированы на сайте Решу ЕГЭ. Ко всем тестам есть ответы. У нас в школе эти тесты были даны ученикам на пробном экзамене. Тесты даны в формате документа Word. Помещаются на одном листе ( с двухсторонней печатью). Удобно давать ученикам, так как количество вариантов соответствует количеству учеников в большинстве классов.