Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Выступление на тему: "Занимательная математика"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Выступление на тему: "Занимательная математика"

Выбранный для просмотра документ Занимательная математика.pptx

библиотека
материалов
«Занимательная математика» Учитель математики ГБОУ СОШ 2105: Пикущий Н. В.
 Несколько занятных наблюдений.
А вот в чем секрет! 12345679 × 9 = 111 111 111.
Необычное свойство квадрата (98+01)2 = 9801. (30+25)2=3025.
Любопытные свойства числа 37 37 · 3 =111 37 · 6 =222 37 · 9 = 333 37 · 12 = 4...
259=7*37 592=16*37 925=25*37 185=5*37 851=23*37 518=14*37 Круговой перестанов...
Числовая карусель
142+857=999 285+714=999 428+571=999 571+428=999 714+285=999 857+142=999
Одна за всех и все за одну. 1=2+2-2-(2:2), 2=2+2+2-2-2, 3=2+2-2+(2:2), 4=2×2×...
11=22:(2:2×2), 12=2×2×2+2×2, 13=(22+2×2):2, 14=2×2×2×2-2, 15=((2)2)2-2:2, 16=...
Движение пальца (способ умножения) Положив обе руки рядом на стол, слева напр...
А теперь попробуем!
8 1 16 4 32 2 9 3 17 5 33 3 10 5 18 6 34 6 11 7 19 7 35 7 12 9 20 12 36 10 1...
13 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 «Занимательная математика» Учитель математики ГБОУ СОШ 2105: Пикущий Н. В.
Описание слайда:

«Занимательная математика» Учитель математики ГБОУ СОШ 2105: Пикущий Н. В.

№ слайда 2  Несколько занятных наблюдений.
Описание слайда:

Несколько занятных наблюдений.

№ слайда 3 А вот в чем секрет! 12345679 × 9 = 111 111 111.
Описание слайда:

А вот в чем секрет! 12345679 × 9 = 111 111 111.

№ слайда 4 Необычное свойство квадрата (98+01)2 = 9801. (30+25)2=3025.
Описание слайда:

Необычное свойство квадрата (98+01)2 = 9801. (30+25)2=3025.

№ слайда 5 Любопытные свойства числа 37 37 · 3 =111 37 · 6 =222 37 · 9 = 333 37 · 12 = 4
Описание слайда:

Любопытные свойства числа 37 37 · 3 =111 37 · 6 =222 37 · 9 = 333 37 · 12 = 444 37 · 27 =999

№ слайда 6 259=7*37 592=16*37 925=25*37 185=5*37 851=23*37 518=14*37 Круговой перестанов
Описание слайда:

259=7*37 592=16*37 925=25*37 185=5*37 851=23*37 518=14*37 Круговой перестановкой цифр называется такая перестановка, когда каждый раз последнюю цифру числа переносят на первое место. Не изменяя порядка расположения остальных цифр.

№ слайда 7 Числовая карусель
Описание слайда:

Числовая карусель

№ слайда 8 142+857=999 285+714=999 428+571=999 571+428=999 714+285=999 857+142=999
Описание слайда:

142+857=999 285+714=999 428+571=999 571+428=999 714+285=999 857+142=999

№ слайда 9 Одна за всех и все за одну. 1=2+2-2-(2:2), 2=2+2+2-2-2, 3=2+2-2+(2:2), 4=2×2×
Описание слайда:

Одна за всех и все за одну. 1=2+2-2-(2:2), 2=2+2+2-2-2, 3=2+2-2+(2:2), 4=2×2×2-2-2, 5=2+2+2-(2:2), 6=2+2+2+2-2. 7=22:2-2-2, 8=2×2×2+2-2, 9= 2×2×2+(2:2), 10=2+2+2+2+2

№ слайда 10 11=22:(2:2×2), 12=2×2×2+2×2, 13=(22+2×2):2, 14=2×2×2×2-2, 15=((2)2)2-2:2, 16=
Описание слайда:

11=22:(2:2×2), 12=2×2×2+2×2, 13=(22+2×2):2, 14=2×2×2×2-2, 15=((2)2)2-2:2, 16=22+2-2+2 17=(22)2 + 2:2, 18=22 ×22+2, 19=22-2-2:2, 20=(2×2×2+2) ×2, 21=(22+2:2)-2, 22=(22+22):2, 24=22:(2:2)+2, 25=22+2:2×2, 26=2× (22:2+2)

№ слайда 11 Движение пальца (способ умножения) Положив обе руки рядом на стол, слева напр
Описание слайда:

Движение пальца (способ умножения) Положив обе руки рядом на стол, слева направо по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй 2 и так далее. Чтобы умножить 9 на любое из первых девяти чисел, надо приподнять вверх палец с номером Число пальцев слева от поднятого пальца, и обозначает десятки полученного произведения, а число пальцев справа от поднятого пальца – единицы полученного произведения.

№ слайда 12 А теперь попробуем!
Описание слайда:

А теперь попробуем!

№ слайда 13 8 1 16 4 32 2 9 3 17 5 33 3 10 5 18 6 34 6 11 7 19 7 35 7 12 9 20 12 36 10 1
Описание слайда:

8 1 16 4 32 2 9 3 17 5 33 3 10 5 18 6 34 6 11 7 19 7 35 7 12 9 20 12 36 10 13 11 21 13 37 11 14 13 22 14 38 14 15 15 23 15 39 15 24 17 24 20 40 18 25 19 25 21 41 19 26 21 26 22 42 22 27 23 27 23 43 23 28 25 28 28 44 26 29 27 29 29 45 27 30 29 30 30 46 30 31 31 31 31 47 31 40 33 48 36 48 34 41 35 49 37 49 35 42 37 50 38 50 38 43 39 51 39 51 39 44 41 52 44 52 42 45 43 53 45 53 43 46 45 54 46 54 46 47 47 55 47 55 47 56 49 56 52 56 50 57 51 57 53 57 51 58 53 58 54 58 54 59 55 59 55 59 55 60 57 60 60 60 58 61 59 61 61 61 59 62 61 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63

Выбранный для просмотра документ Серьёзное и курьёзное в числах.doc

библиотека
материалов

Содержание исследовательской работы:


  1. Путь развития счёта.

  1. Несколько занятных наблюдений.

  1. Серьёзность числовой карусели.


  1. Диск мгновенного счёта.


  1. Дружная семейка цифр.


  1. Таблица умножения на 9, с помощью пальцев.


  1. Свойства девятки.


  1. Узоры цифр.


  1. Мгновенный подсчёт.


  1. Используемая литература.




















В предметах окружающего мира мы замечаем их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого.

Одним из важнейших общих предметов является то, что все предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство предметов в понятии числа.

Потребность считать и сравнивать (измерять) предметы возникла у людей не сразу, но очень давно – ещё на ранней ступени развития человека, возникла в процессе его трудовой деятельности.

Овладевали люди процессом счёта, т.е. понятием числа, очень медленно, веками, в упорной борьбе за своё существование.

Счёту при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно ещё в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот привычный для нас счёт прошёл длительный путь развития и принимал разные формы.

Было время, когда для счёта предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если нехватало такого рода «цифр», то ещё цепочки, камешки и другие вещи.

Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счёта, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:

«Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например, «бе, бе, бе» … Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе» …, пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе»…, пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Вслед за возникновением и развитием чисел появилась и замечательная наука об их свойствах и законах, ими управляющих: «теория чисел».

Оперируя числами, т.е. выполняя разнообразные математические действия, я поставила перед собой цель: обнаружить не только общие свойства чисел, изучением которых занимается теория чисел, но и свойства особые, присущие иногда лишь небольшим группам чисел или отдельным числам.

Изучая эту тему, я встретилась с целыми букетами чисел, образующих красивые сочетания.

Почти во всём мире пользуются теперь единой системой счисления: десятичной. В этой системе употребляются десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0, и этих цифр достаточно, чтобы записать любое число.

Самое большое десятизначное число из всех десяти цифр:

9876543210

Всякая перестановка цифр в этом числе приведёт непременно к меньшему числу.

Несколько занятных наблюдений.


1. Рассмотрим число 12345679, цифры которого расположены в порядке возрастающей последовательности, но без 8. Если умножить 12345679 на любое однозначное число, а затем на 9, то все цифры будут совпадать с первым множителем

Например,

123 45 679 12 345 679 12 345 679

× hello_html_m2a7690f7.gif 6 × 7 × 8

hello_html_m33f83fa2.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_447a8b2e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m9534073.gif

740 740 74 86 419 753 98 765 432

hello_html_m36d2df2a.gifhello_html_m36d2df2a.gifhello_html_m9534073.gif× 9 × 9 × 9

666 666 666 777 777 777 888 888 888

Причина явления заключается в том, что произведение состоит из одних единиц: 12345679 × 9 = 111 111 111.

12345679 × 6 × 9 = 12345679 × 9 × 6 = 111 111 111 × 6 = 666 666 666;

12345679 × 7 × 9 = 12345679 × 9 × 7 = 111 111 111 × 7 = 777 777 777;

12345679 × 8 × 9 = 12345679 × 9 × 8 = 111 111 111 × 8 = 888 888 888.

Полезно запомнить:

37 × 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т.д.

  1. × 6 = 37 × 3 × 2 = 222,

  1. × 9 = 37 × 3 × 3 = 333,

  1. × 12 = 37 × 3 × 4 = 444,

  1. × 15 = 37 × 3 × 5 = 555 и т.д.

7 × 11 × 13 = 1001.

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 × 13 = 1001, 91 × 11 = 1001,

77 × 26 = 2002, 91 × 22 = 2002,

77 × 39 = 3003, и т. д. 91 × 33 = 3003 и т. д.

143 × 7 = 1001,

143 × 14 = 2002,

143 × 21 = 3003 и т. д.


2. Телеграфная лента разорвалась посредине числа 9801. На одном куске ленты оказалось 98, а на другом 01. Если подсчитать сумму этих чисел, результат возвести в квадрат, то снова получим исходное число:

(98+01)2 = 9801.

Пересмотрев таблицу квадратов чисел в пределах от 10 до 99, я произвела соответствующие подсчёты и нашла ещё число 3025, которое обладает таким же свойством. Если 3025 разбить на два числа 30 и 25, сложить их и сумму возвести в квадрат, то результат будет равен исходному числу:

(30+25)2=3025.


  1. Запишем один под другим несколько рядов чисел:


А

hello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_14e1f382.gifhello_html_6805d694.gifhello_html_m2fb83a6a.gifhello_html_18ebaac7.gif1 3 5 7 9 11 13…hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif

1 4 7 10 13 16 19…

1 5 9 13 17 21 25…

1 6 11 16 21 26 31…

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif1 7 13 19 25 31 37…hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif

1 8 15 22 29 36 43…hello_html_m2a7690f7.gif

hello_html_m2a7690f7.gif1 9 17 25 33 41 49…

…………………………...С

Первое число в каждом ряду 1, а все последующие числа больше предыдущих: в первом ряду на 2, во втором на 3, в третьем на 4 и т. д. (такие ряды называются арифметическими прогрессиями). Получилась некоторая таблица чисел. Если сгруппировать и складывать эти числа по пунктирным коридорчикам (в старину их называли гномонами), то сумма чисел в каждом пунктирном коридорчике будет равна кубу его номера n. Например, в коридоре № 2: 1 + 4 + 3 = 23.

В коридоре № 3: 1 + 5 + 9 + 7+ 5 = 33 и т.д.

Вообще сумма чисел в каждом n-ом коридорчике равна n3.

Далее, любое число, расположенное вдоль диагонали АС, является квадратом номера занимаемой им строки. Сумма чисел в любом квадрате, диагональю которого является какая-нибудь часть диагонали АС, тоже представляет собой полный квадрат, т.е. равна квадрату некоторого числа.

Например, сумма чисел в квадрате, имеющем своей диагональю 25, 36 и 49, будет:

25+31+37+29+36+43+33+41+49=324=182.

4. Много любопытных свойств можно обнаружить у числа 37.

  • Если его умножить на 3 или на число, кратное 3 (до 27 включительно), то результат изобразится какой-либо одной цифрой повторенной 3 раза: 37 · 3 =111, 37 · 6 =222, 37 · 9 = 333,

37 · 12 = 444, 37 · 27 =999

  • Произведение числа 37 на сумму его цифр равно сумме кубов тех же цифр: 37 · (3 +7) = 33 +73.

  • Если из суммы квадратов цифр числа 37 вычесть произведение тех же цифр, то получится опять 37:

(32 + 72) -3 · 7 = 37.

На мой взгляд, наиболее интересное свойство:

если взять какое-нибудь трёхзначное число, кратное 37, например

37 · 7 = 259. Все числа, получающиеся из числа 259 при круговой перестановке его цифр, т.е. числа 925 и 592, тоже делятся на 37.


Круговой перестановкой цифр называется такая перестановка, когда каждый раз последнюю цифру числа переносят на первое место. Не изменяя порядка расположения остальных цифр.

Возьмём на удачу ещё одно трёхзначное число, кратное 37. Пусть это будет 37 · 5 = 185. Круговая перестановка цифр даёт числа 518 и 851. Они тоже делятся на 37.

Таким же свойством отличаются и пятизначные числа кратные 41. Так, числа 15498, 81549, 98154, 49815, 54981, как легко проверить, все кратны 41 и каждое получается из предыдущего путём круговой перестановки цифр, составляющих это число.

15498:41=378, 81549:41=1989, 98154:41=2394, 49815:41=1215 и т.д.


Числовая карусель

1) Если вынуть из бездонной числовой шкатулки число 142857. Оно состоит из шести разных цифр. Расположим их по кругу в виде циферблата. Умножим теперь, данное число последовательно на 1,2,3, 4,5,6:

hello_html_7e36c98f.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_353dff75.gif


hello_html_21fed30a.gif

hello_html_m36ee321e.gif142857 × hello_html_m95e2257.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Перемещаясь по циферблату вместе со стрелкой, мы прочтём любое из получившихся произведений.

Каждое число циферблата служит первой цифрой одного из результатов произведения. Настоящая числовая карусель, не правда ли?

2) Есть ещё одно интересное свойство. Если любое из этих произведений рассечь на две грани по 3 цифры, а затем обе грани сложить, то во всех случаях результатом будет одно и то же число: 999. В самом деле,

142 + 857 = 999, 285 + 714 = 999 и т.д

3) Продолжив свои наблюдения над произведением числа 142857 на целые числа, следующие за числом 7 (произведение на 7 рассмотрим позже):


142857 × hello_html_m6ff3089f.gif

Получила семизначные числа, но тоже особенные: если зачеркнуть первую цифру и её же прибавить к последней, снова получим одну из круговых перестановок числа 142857.

Та же «карусель» из цифр числа 142857(за немногими исключениями) будет получаться и далее с восьмизначными результатами произведения, если только зачеркнуть первые две цифры и прибавлять их к последним двум.

4) Произведение числа 142857 на 7 резко отличается от остальных произведений. Оно состоит из одних девяток:

142857 × 7 = 999999.

Вот это обстоятельство и проливает свет как на происхождение самого числа 142857, так и на его «таинственные» свойства. Не будет ли оно периодом дроби hello_html_241beab6.gifпри обращении её в десятичную?

1 ÷ 7 ≈ 0,(14 2857)1….

Последний остаток повторил число 1, следовательно, при дальнейшем делении в частном будут повторяться те же цифры и в том же порядке. Это и есть периодическая дробь, т.е. такая бесконечная дробь, в последовательности десятичных знаков которой обнаруживаются (начиная с некоторой цифры) повторения определённой группы цифр. Предположение оправдалось: число 142857 действительно является периодом дроби hello_html_241beab6.gif при обращении её в десятичную. Чтобы понять, почему это число при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт лишь круговую перестановку своих цифр, я рассмотрела ещё раз действие деление 1 на 7. Весь процесс обращения дроби hello_html_241beab6.gif в десятичную можно расчленить на следующие этапы:

hello_html_241beab6.gif= 0,1 + hello_html_m46952caf.gif×10-1=0,14+hello_html_59de594c.gif×10-2=0,142+ hello_html_m3969c75c.gif×10-3 =0,1428 +hello_html_m6a19cb80.gif×10-4 =0,14285+hello_html_m4d4ebb27.gif×10-5 =0,142857+hello_html_241beab6.gif×10-6 =…(дальше повторение тех же цифр).

Отсюда ясно, что при обращении дроби hello_html_1397a27c.gifв десятичную период начнётся с цифры, расположенной после цифры 1 в числе 14285714285714…, т.е. периодом будет 428571; это же число, очевидно, должно быть и произведением числа 142857 на 3, т.к. hello_html_m46952caf.gif=hello_html_241beab6.gif×3.

Далее, при обращении дроби hello_html_59de594c.gif в десятичную период начнётся с цифры, расположенной после цифр 1 и 4 в числе 14285714285714…, т.е. периодом будет 285714; это же число, очевидно, должно быть и произведением числа 142857 на 2, т.к. hello_html_59de594c.gif=hello_html_241beab6.gif×2 и т.д.

Так же нетрудно уяснить, почему произведение числа 142857 на 7 состоит из одних девяток. Дело в том, что десятичная дробь с бесконечно повторяющимися девятками после запятой считается равной 1, т.е. 1=0,999999… и произведение дроби на 7 тоже равно 1.

Диск мгновенного умножения


К той же семье «круговых» чисел, что и число 142857 принадлежит число


hello_html_1d47606.png М = 052 631 578 947 368 421.



При помощи диска, изображённого на рисунке, оно может быть мгновенно умножено на любое целое число в пределах от 1 до 18.

По внешнему кольцу диска, изображённого на рисунке, размещены все восемнадцать множителей. По внутреннему кольцу – все цифры множимого М; эти же цифры образуют и каждое из восемнадцати произведений.

Чтобы прочитать результат умножения числа М на любое из чисел внешнего кольца. Надо полностью обойти внутреннее кольцо, начиная с цифры, указанной ближайшей стрелкой, находящейся справа от множителя, если смотреть на цифры из центра диска. Двигаться при этом следует по ходу часовой стрелки.


Например, ближайшая стрелка справа от числа 14, расположенного на внешнем кольце, указывает на цифру 7. Это значит, что число 736842105263157894 есть результат умножения числа М на 14.


Одна за всех и все за одну.

Хоть дружная семья невелика,

Но к ним была дорога нелегка,

Их покоряли люди не без боя,

Зато хватает их, наверняка,

Чтобы число изобразить любое. В. Лифшиц.


1. Чтобы написать все числа от 1 до 26, достаточно, конечно, иметь в своём распоряжении все 10 цифр: 0,1,2,…,9. Достаточно, но не необходимо. При желании можно обойтись всего лишь одной 2, употребляя её при этом, ровно по пять раз для записи каждого числа и пользуясь только четырьмя арифметическими действиями, включая возведение в квадрат, и скобками.


Первый десяток чисел я записала следующим образом:

1=2+2-2-(2:2), 2=2+2+2-2-2, 3=2+2-2+(2:2),

4=2×2×2-2-2, 5=2+2+2-(2:2), 6=2+2+2+2-2.

7=22:2-2-2, 8=2×2×2+2-2, 9= 2×2×2+(2:2),

10=2+2+2+2+2

Числа от 11 до 26 включительно представила так:

11=22:(2:2×2), 12=2×2×2+2×2, 13=(22+2×2):2,

14=2×2×2×2-2, 15=((2)2)2-2:2, 16=22+2-2+2

17=(22)2 + 2:2, 18=22 ×22+2, 19=22-2-2:2,

20=(2×2×2+2) ×2, 21=(22+2:2)-2, 22=(22+22):2,

24=22:(2:2)+2, 25=22+2:2×2, 26=2× (22:2+2)


2. При помощи цифры 4, условясь употреблять её непременно четыре раза, я изобразила все целые числа от 1 до 10.

1=4-4+4:4, 2=4:4+4:4, 3=(4+4+4):4, 4=(4-4):4+4, 5= (4×4+4):4,

6=4+(4+4):4, 7=44:4-4, 8=4×4-(4+4), 9=4+4+(4:4), 10=(44-4):4.


3. Если одна цифра 2, употребляется не более 5раз, или одна цифра 4, употреблённая не более четырёх раз, в состоянии заменить собой любую из цифр от 1 до 9, то и вся эта дружная семья цифр не остаётся в долгу.

Участвуя всей семьёй сразу (но без нуля), они могут заменить собой любую цифру своего же семейства, кроме 1. Например: 2 =hello_html_mf47f854.gif, 3= hello_html_m5e80a82e.gif, 4 = hello_html_m10336469.gif, 5=hello_html_348bd1c8.gif, 6=hello_html_5708da88.gif, 7=hello_html_m73a07bf9.gif, 8=hello_html_624997da.gif, 9=hello_html_6c388ffa.gif

Каждая из этих неправильных дробей содержит все цифры от 1 до 9, причём каждую только по одному разу.

Единицу девятью цифрами можно изобразить так: 123456789 (показатель степени может быть составлен произвольно из цифр 2,3, 4,5,6,7,8,9).


4. Вернём изгнанника (нуль) в семейство остальных цифр. Теперь при помощи десяти различных цифр можно составить такие дроби, что каждая из них будет равна 9.

9=hello_html_414b8803.gif = hello_html_m73a9de73.gif = hello_html_m624286c1.gif=hello_html_m38317b06.gif=hello_html_m3f4e9b37.gif=hello_html_m7d9766de.gif


Движение пальца (способ умножения)


Мой брат жаловался мне, что ему трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9. В помощь ему я нашла способ умножения с помощью пальцев руки.

С помощью этого способа легко запомнить таблицу умножения на 9. А помогут нам пальцы рук. Положив обе руки рядом на стол, слева направо по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом:

первый палец слева обозначим 1,

второй – 2,

затем – 3,4,5,6,7,8,9,10 до десятого пальца, который обозначим 10.

Чтобы умножить 9 на любое из первых девяти чисел, надо приподнять вверх палец с номером, обозначающим число, на которое требуется умножить. Тогда число пальцев слева от поднятого пальца, и обозначает десятки полученного произведения, а число пальцев справа от поднятого пальца – единицы полученного произведения.


Счётная машина.


hello_html_20e8cefd.png



Некоторые свойства девятки.

  1. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9 (378 делится на 9, т. к. 3+7+8=18, а 18 делится на 9). Отсюда следует, что сумма цифр в произведении любого числа на 9 равна 9 или кратна девяти (т.е делится на 9). Например, 354 ×9=3186, тогда3+1+8+6=18 (делится на 9).

  2. Всегда делится на 9:

а) разность между любым числом и суммой его цифр (возьмём, к примеру число 74, найдём сумму цифр этого числа, она равна 11, 74-11=63, 63 делится на девять).

б) разность двух чисел с одинаковыми цифрами, но разным порядком их расположения (87-78=9, 9 кратно 9; 683-386=297, 297 кратно 9)

в) разность двух чисел с одинаковыми суммами цифр у каждого из них

(756-99=657, 657 кратно 9, 7+5+6 = 9+9)

3. Если из каких-либо цифр составлены числа, отличающиеся только порядком следования цифр, то при делении на 9 каждого из них получается один и тот же остаток. Он равен остатку от деления на 9 суммы цифр какого-либо из упомянутых чисел.

Узоры цифр


Цифры, соединяясь в числа и участвуя в математических действиях, образуют причудливые и по-своему красивые числовые комбинации, напоминающие кристаллические узоры снежинок на стекле окна. Например, эти самые обыкновенные действия умножения, выполненные правильно, но своеобразно:


× 77 × 77

77 77

hello_html_m6d0cb589.gif49 или 7

+ 4949 777

hello_html_m2bddf96.gif49 847 × 7 = 5929

5929



× 666 × 666

666 666

36 6

+ 3636 + 666

363636 или 66666

3636 73926 × 6 = 443556

hello_html_1cbd7991.gif36

443556



× 777777777777 × 777777777777

777777777777 или 777777777777

49 7

4949 777

494949 77777

49494949 7777777

4949494949 777777777

494949494949 + 77777777777

49494949494949 7777777777777

4949494949494949 777777777777777

494949494949494949 77777777777777777

49494949494949494949 7777777777777777777

4949494949494949494949 777777777777777777777

+ 494949494949494949494949 77777777777777777777777

4949494949494949494949 86419753086246913580247

49494949494949494949 × 7

494949494949494949 604938271603728395061729

4949494949494949

49494949494949

494949494949

4949494949

49494949

494949

4949

49

hello_html_m3f477ed2.gif

604938271603728395061729

  • А вот наши снежинки-цифры образовали такой «узор»: произведение некоторого числа на сумму чисел, составленных из его цифр 37× (3+7).

Вдруг первый множитель «растаял», а то, что осталось, обратилось в сумму кубов: 33 + 73 и - представьте – результат не изменился:

37×(3+7)= 33 + 73

370=27+343

370=370

Ещё одно число умножается на сумму чисел, составленных из его цифр:

48 ×(4+8).

С ним происходит то же самое: первый множитель исчезает, остальное заменяется суммой кубов: 43+83, а результат сохраняется:

48 ×(4+8)= 43+83.

А вот сразу четыре аналогичных «узора»:

147×(14+7)=143+73,

148×(14+8)= 143+83,

111×(11+1)=113+13,

1 · 2 · 3×(1+2+3)=13+23+33.

  • Ещё две снежинки-цифры 1 и 6 образовали число

16=42

Но вот между цифрами 1 и 6 расположилась такая «снежинка»: 15.

Образовалось новое число 1156. Оно не перестало быть квадратом:

1156=342.

Вновь падает такая же «снежинка» 15 и попадает в самую середину записи числа 1156. Образовалось теперь число 111556, которое по-прежнему остаётся точным квадратом:

111556=3342.

Снежинка за снежинкой падают числа 15, и каждое метко попадает в центральную часть записи числа. Число от этого «удлиняется», но неизменно остаётся квадратом, сколько бы не продолжался «цифропад»:


11115556= 33342,

1111155556= 333342,

111111555556=3333342 и т.д.


Мгновенный подсчёт.

Запишем пять примеров на вычитание, соблюдая условие:

уменьшаемое в первой строке становится вычитаемым во второй, уменьшаемое во второй строке становится вычитаемым в третьей и т.д.

Задание:

Записать сумму разностей.

1hello_html_m1ee5f4cf.gifhello_html_m3f610707.gifhello_html_m60b2d203.gif3 - 7 = 6 15 – 8 = 7 31 – 9 = 22

18 - 13 = 5 17 – 15 = 2 56 – 31 = 25

25 – 18 = 7 23 – 17 = 6 61 - 56 = 5

38 – 25 = 13 31 – 23 = 8 69 – 61 = 8

43 – 38 = 5 39 - 31 = 8 73 – 69 = 4

__________ __________ ___________

43 - 7 = 36 39 -8 = 31 73 -9 = 64


hello_html_m4bf309a.gifhello_html_1e1c5dbc.gifhello_html_52158e6c.gif128 – 50 = 78 -8 – 9 = -17 2hello_html_56d66131.gif - 1 = 1,5

136 - 128 = 8 20 – (-8) = 28 -5 - 2hello_html_56d66131.gif = -7,5

725 – 136 = 589 -3 – 20 = - 23 12,5 – (-5) = 17,5

729 – 725 = 4 5 – (-3) = 8 18 – 12,5 = 5,5

1028 – 729 = 299 19 – 5 = 14 72 – 18 = 54

______________ _____________ ______________

1028 – 50 = 978 19 – 9 = 10 72 – 1 = 71


Секрет прост. Если из уменьшаемого пятого примера вычесть вычитаемое первого примера, то мы мгновенно получим сумму пяти разностей.

Доказательство:


а –в (а – в) + (с – а) + (m – с) + (к – е) = а – в + с – а +

сhello_html_m97049a8.gif – а + m - с + е – m + к – е = к – в

mc

em

k -e



Думаю, что предлагаемая работа будет весьма полезна ученикам, учителям и всем увлекающимся математикой людям, так как написана в доступной форме, с схемами и рисунками. Останавливаться на достигнутом мне не хочется, в дальнейшем планирую продолжить работу в этом направлении.



hello_html_m2a7690f7.gif

Используемая литература:

1. Т.В.Козлова, С.В. Мурашко, О.В. Нечаева «Внеклассная работа по математике» Омск -2004.


2. Б.А.Кордемский «Математическая смекалка» Москва 1958.


Выбранный для просмотра документ выступление по Занимательная математика.docx

библиотека
материалов

Вступление: Было время, когда для счёта предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если нехватало такого рода «цифр», то ещё цепочки, камешки и другие вещи.

Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счёта, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:

«Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например, «бе, бе, бе» … Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе» …, пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе»…, пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».


1 слайд: Рассмотрим число 12345679, цифры которого расположены в порядке возрастающей последовательности, но без 8. Если умножить 12345679 на любое однозначное число, а затем на 9, то все цифры будут совпадать с первым множителем


4 слайд: кто знает что такое квадрат? Для ознакомления рассмотрим


6 слайд: если взять какое-нибудь трёхзначное число, кратное 37, например

37 · 7 = 259. Все числа, получающиеся из числа 259 при круговой перестановке его цифр


7 слайд: Перемещаясь по циферблату вместе со стрелкой, мы прочтём любое из получившихся произведений.


Каждое число циферблата служит первой цифрой одного из результатов произведения. Настоящая числовая карусель, не правда ли?


8 слайд: Есть ещё одно интересное свойство. Если любое из этих произведений рассечь на две грани по 3 цифры, а затем обе грани сложить, то во всех случаях результатом будет одно и то же число: 999


10слайд: Чтобы написать все числа от 1 до 26, достаточно, конечно, иметь в своём распоряжении все 10 цифр: 0,1,2,…,9. Достаточно, но не необходимо. При желании можно обойтись всего лишь одной 2, употребляя её при этом, ровно по пять раз для записи каждого числа и пользуясь только четырьмя арифметическими действиями, включая возведение в квадрат, и скобками.

Автор
Дата добавления 14.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров278
Номер материала ДВ-155216
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх