Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / ПРИМЕНЕНИЕ КЕЙС - ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

ПРИМЕНЕНИЕ КЕЙС - ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



МКОУ

« Золотухинская основная общеобразовательная школа»

Золотухинского района Курской области





Выступление

на заседании районного МО

учителей математики








Умеренкова Е.Б.–

учитель математики



п.Золотухино

2016г.



ПРИМЕНЕНИЕ КЕЙС - ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.


Плохой учитель преподносит истину,

хороший учит ее находить».

А. Дистервег


В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом второго поколения (ФГОС) основным результатом деятельности современной школы должна стать не сама по себе система знаний, умений, навыков учащихся, а комплекс компетентностей в различных областях деятельности.Необходимо учить ребенка так, чтобы выпускник школы мог самостоятельно решать возникающие жизненные проблемы.

Для этого от учителя требуется организовать деятельность учеников в поисковом режиме. Одной из современных образовательных технологий, способствующей развитию умения анализировать жизненные ситуации, оценивать альтернативы, выбирать оптимальный вариант и планировать его осуществление, является кейс-технологияили метод конкретных ситуаций. Если такой подход в течение учебного цикла применяется многократно, то у обучающихся вырабатывается устойчивый навык решения практических задач. По сравнению с широко распространенными методами активного обучения школьников эта технология не столь известна. Еще менее опробована она в применении к математике в школе, поскольку в отличие от гуманитарных дисциплин она предполагает разрешение участниками учебных групп проблемы, по своей сути, не имеющей однозначного решения.

Кейс-технология – это общее название технологий обучения, представляющих собой методы анализа.

Ккейс - технологиям относятся:

  • метод ситуационного анализа;

  • ситуационные задачи и упражнения;

  • анализ конкретных ситуаций ;

  • метод кейсов; метод инцидента;

  • метод ситуационно-ролевых игр;

  • метод разбора деловой корреспонденции;

  • игровое проектирование;

  • метод дискуссии.

Итак, кейс-технология – это интерактивная технология для краткосрочного обучения на основе реальных или вымышленных ситуаций, направленная не столько на освоение знаний, сколько на формирование у слушателей новых качеств и умений.

Преимущества этой технологии: коллективный характер познавательной деятельности, творческий подход к познанию, сочетание теоретического знания и практических навыков столь привлекательны, что привлечение его к работе, даже при наличии трудностей в реализации методики в рамках школы имеет очень много плюсов.

Особенностью кейс - технологии является создание проблемной ситуации на основе фактов из реальной жизни.


Данная технология имеет многоплановые цели:

  • научить обучающихся как индивидуально, так и в составе группы анализировать информацию;

  • сортировать информацию для решения выбранной задачи;

  • выявлять ключевые проблемы предложенной ситуации;

  • генерировать альтернативные пути решения и оценивать их;

  • выбирать оптимальное решение и формировать программы действий:

Помимо этих целей при применении кейс-технологии достигаются и социальные компетентности.

Обучаемые:

  • получают коммуникативные навыки;

  • развивают презентационные умения;

  • формируют интерактивные умения, позволяющие эффективно взаимодействовать и принимать коллективные решения;

  • приобретают экспертные умения и навыки;

  • учатся учиться, самостоятельно отыскивая необходимые знания для решения ситуационной проблемы.

Виды кейсов:

  1. Печатный кейс (может содержать графики, таблицы, диаграммы, иллюстрации, что делает его более наглядным).

  2. Мультимедиа кейс (наиболее популярный в последнее время, но зависит от технического оснащения школы).

  3. Видео кейс (может содержать фильм, аудио и видео материалы). Его минусом является ограниченная возможность многократного просмотра, а значит, искажение информации и ошибки.

Типы кейсов:

  1. Практические кейсы. Реальные жизненные ситуации, детально и подробно отраженные. При этом их учебное назначение может сводиться к тренингу обучаемых, закреплению знаний, умений и навыков поведения (принятия решений) в данной ситуации. Кейсы должны быть максимально наглядными и детальными.

  2. Научно-исследовательские кейсы. Они выступают моделями для получения нового знания о ситуации и поведения в ней. Обучающая функция сводится к исследовательским процедурам.

  3. Обучающие кейсы.Отражают типовые ситуации, которые наиболее часты в жизни. Ситуация, проблема и сюжет здесь не реальные, а такие, какими они могут быть в жизни, не отражают жизнь «один к одному».

Примерная структура кейса:

1.Ситуация – случай, проблема, история из реальной жизни

2.Контекст ситуации - хронологический, исторический, контекст места, особенности действия или участников ситуации.

3.Комментарий ситуации, представленный автором

4.Вопросы или задания для работы с кейсом

5.Приложения

Роль кейс - технологии в формировании компетентностей

Освоение методов анализа и критического мышления

Умение работать с текстом

Создание авторского продукта

Появление опыта принятия решений, действий в новой ситуации, решения проблем

Освоение методов сбора данных

  1. Развитие умений самостоятельной работы и работы в группе

  2. Получение коммуникативных навыков

  3. Развитие презентационных умения

  4. Формируют интерактивные умения, позволяющие эффективно взаимодействовать и принимать коллективные решения



Организация работы учащихся на основе кейс-технологии.

Для проведения анализа конкретной ситуации работа с материалами кейса

зависит от их объема, сложности проблематики и степени осведомленности

учащихся с данной информацией.

Возможны следующие альтернативные варианты:

  • Ученики изучают материалы кейса заранее, также знакомятся с

рекомендованной преподавателем дополнительной литературой, часть заданий по работе с кейсом выполняется дома индивидуально каждым.

  • Ученики знакомятся заранее только с материалами кейса, часть

заданий по работе с кейсом выполняется дома индивидуально каждым.

  • Ученики получают кейс непосредственно на занятии и работают с

ним. Данный вариант подходит для небольших по объему кейсов, примерно на 1страницу, иллюстрирующих какие-либо теории, концепции, учебное

содержание, и могут быть использованы в начале занятия с целью активизации мышления обучаемых, повышения их мотивации к изучаемой тематики.

Кейс-технология эффективно сочетается с различными методами обучения:

Метод, интегрированный

в кейс-метод

Характеристика его роли в кейс-методе

моделирование

построение модели ситуации

системный анализ

системное представление и анализ ситуации

мысленный эксперимент

способ получения знания о ситуации посредством ее мысленного преобразования

дискуссия

обмен взглядами по поводу проблемы и путей ее решения

методы описания

создание описания ситуации

проблемный метод

представление проблемы, лежащей в основе ситуации

игровые методы

представление вариантов поведения героев ситуации

«мозговой штурм»

генерирование идей относительно ситуации

Работа ученика с кейсом

1 этап — знакомство с ситуацией, её особенностями;

2 этап — выделение основной проблемы (проблем),

3 этап — предложение концепций или тем для «мозгового штурма»;

4 этап — анализ последствий принятия того или иного решения;

5 этап — решение кейса — предложение одного или нескольких вариантов последовательности действий.


Ничего нельзя сказать такого, что не было бы сказано раньше.

Теренций

Родиной метода case study являются Соединенные Штаты Америки, а именно Школа бизнеса Гарвардского университета.

В 1910 году декан Гарвардской школы бизнеса посоветовал преподавателям ввести в учебный процесс помимо традиционных занятий — лекций и практикумов — дополнительные, проводимые в форме дискуссии со студентами. Этот метод очень популярен на западе, но для российских учебных заведений кейс-метод является довольно новой технологией. Кейс-метод — это метод активного обучения на основе реальных ситуаций. В переводе с английского языка case — случай, а case study — это обучающий случай.

Суть метода case-study заключается в использовании при организации процесса обучения конкретных учебных ситуаций, описаний определенных условий из жизни организации, группы людей или отдельных индивидуумов, ориентирующих обучающихся на формулирование проблемы и поиск вариантов ее решения с последующим разбором на учебных занятиях.

Различаются следующие виды кейсов:

  • практические кейсы. Данные кейсы как можно реальнее должны отражать вводимую ситуацию или случай;

  • обучающие кейсы. Основной задачей их выступает обучение;

  • научно-исследовательские кейсы, которые ориентированы на включение ученика в исследовательскую деятельность.

На самом деле каждый кейс несет в себе обучающую функцию, только степень выраженности всех оттенков этой функции в различных кейсах различна.

Несомненно, применение кейс-метода имеет некоторые преимущества и риски.

Во-первых, кейс-метод дает возможность оптимально сочетать теорию и практику, развивать навыки работы с разнообразными источниками информации. Обучающиеся не получают готовых знаний, а учатся их добывать самостоятельно, принятые решения в жизненной ситуации быстрее запоминаются, чем заучивание правил.

Во-вторых, процесс решения проблемы, изложенной в кейсе, — это творческий процесс познания, который подразумевает коллективный характер познавательной деятельности.

Следовательно, обучающиеся учатся соблюдать правила общения: работать в группах, слушать собеседников, аргументировать свою точку зрения, выстроив логические схемы решения проблемы, имеющей неоднозначное решение. На уроке обучающиеся не будут скучать, а будут думать, анализировать, развивать навыки ведения дискуссии. И наконец, даже слабоуспевающие обучающиеся смогут участвовать в обсуждении вопросов, так как нет однозначных ответов, которые надо выучить. Они сами смогут предложить ответы.

Однако, как и у любого другого метода, у данного метода есть и свои трудности в использовании.

Прежде всего, необходимо много времени для грамотной подготовки кейса к уроку. Учитель должен продумать форму представления кейса и спланировать деятельность детей, сочетая индивидуальные и групповые формы работы. Непростой момент для учителя — это оценивание, ибо требуется оценить работу каждого участника, его активность и оригинальность, в то же время необходимо объективно оценить его знания.

Следует отметить, что традиционная пятибалльная система оценивания результатов не позволяет оценивать активность обучающихся. Стобалльная же система оценки знаний является более гибкой и позволяет более объективно определить уровень подготовки обучающихся. Поэтому при оценивании каждого участника мы постараемся совместить пятибалльную и стобалльную системы. Для получения итоговой «5» обучающимся необходимо набрать 100–85 баллов, для получения «4» — 84–70 баллов, а «3» обучающийся получает, если набирает менее 70 баллов. Так как в обсуждение будут вовлечены все, даже обучающиеся, имеющие низкие коммуникативные способности, двоек, я думаю, при использовании кейс-метода ставить не придётся.

Успех кейс-метода зависит от трех основных составляющих: качества кейса, подготовленности обучающихся и готовности самого учителя к организации работы с кейсом и ведению дискуссии.








Класс - 9

Дисциплина: математика

Время занятия – 2 учебных часа

Типкейса – Аналитический (Case-incidentmethod)

Вид кейса – обучающий.


Перед учителем математики стоит задача: в каком из банков Золотухинского района учителю выгодно взять потребительский кредит (ссуду) в размере 100000 рублей на потребительские нужды на 3 года, какие процентные ставки существуют в банках Золотухинского района


Задание

Учитель математики обратилась к учащимся 9 класса с вопросом выгодного предложения по оформлению потребительского кредита (ссуды) на 3 года в размере 100 000рублей в банках. Как вы думаете, какой из банков предлагают наиболее выгодные предложения, процентные ставки банков. Дается время на обсуждение в подгруппах. В итоге могут быть выдвинуты идеи, предложения.

Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены информация о потребительском кредите; информация о начислении процентов и калькулятор расчета в Сбербанке, Промбанке, Россельхозбанке .Учащиеся знакомятся с этой информацией через интернет ресурсы, опираясь на материал, выбирают наиболее выгодное предложение по потребительским кредитам в банках и обосновывают свой выбор.


Работа с кейсом.

За несколько дней учащимся озвучивается тема следующего занятия

«Потребительский кредит и процентные ставки в банках». Объясняется учащимся, что занятие будет проходить в виде кейс метода. Сам кейс предоставляется ученикам непосредственно на занятии. На его изучение, ознакомление с ним отводится около 30 минут времени занятия.

Затем организуется работа в подгруппах по поиску решения поставленной проблемы. Преподаватель помогает ученикам при возникновении вопросов, ученики в подгруппах обсуждают варианты, объясняют непонятные моменты друг другу. Этот этап занятия имеет длительность около 20 минут .

На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений подгрупп, что занимает по времени около 20 минут с учетом обсуждения критериев эффективности предложенных решений.

Итоговая часть занятия занимает около 20 минут и посвящена подведению итогов, обобщению полученных результатов. Итоговую часть занятия проводит учитель, опираясь на презентованные группами варианты решений.


Критерии эффективности предложенных решений.


  1. Группы представили краткий анализ политики банков по процентам кредитов

  2. Группы обосновали выбор наилучшего банка в отношении кредитной политики для государственных служащих.

  3. Группы представили расчет по кредиту в размере 100000 рублей на потребительские нужды на 3 года для учителя школы.


Класс - 6

Время занятия – 1 учебный час

ТипкейсаАналитический (Case-incidentmethod)

Вид кейса – обучающий.


Перед учителем математики стоит задача: в каком из магазинов города Курска покупателю выгодно приобрести следующий набор продуктов:1 батон пшеничного хлеба, 4 кг картофеля , 1 кг сыра, 2 литра молока, 1 литр подсолнечного масла,1кг говядины, на общую сумму, не превышающую 1500рублей.

Задание

Учитель математики обратилась к учащимся 6 класса с вопросом выгодной покупки в одном из магазинов города Курска. Как вы думаете, в каком из магазинов наиболее выгодно совершить покупку. Как выгодно потратить средства: за наличный расчет или за наличный расчет с использованием дисконтной карты. Дается время на обсуждение в подгруппах. В итоге могут быть выдвинуты идеи, предложения.

Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены информация о ценах в магазинах города;памятка о работе с процентами; информация о скидках магазинах «Магнит», «Европа», «Гринн»;Учащиеся должны ознакомиться с предложенной информацией и, опираясь на нее, выбрать наиболее выгодный вариант покупки и обосновать свой выбор.

Задание группам.

Группа1. Анализ условий покупки в магазине «Магнит»

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать стоимость набора продуктов за наличный расчет и стоимость набора продуктов с использованием дисконтной картыв магазине «Магнит». Сравните результаты.

Группа 2. Анализ условий покупки в магазине «Европа»

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать стоимость набора продуктов за наличный расчет и стоимость набора продуктов с использованием дисконтной картыв магазине «Альянс». Сравните результаты.

Группа 3. Анализ условий покупки в магазине «Гринн»

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать стоимость набора продуктов за наличный расчет и стоимость набора продуктов с использованием дисконтной картыв магазине «Бриг». Сравните результаты.

Работа с кейсом

За несколько дней обучающимся озвучивается тема следующего занятия

«Проценты». Также проговаривается о том, что занятие будет проводиться в режиме кейс-метода.

Сам кейс предоставляется ученикам непосредственно на занятии. На его изучение, ознакомление с ним отводится около 10 минут времени занятия.

Затем организуется работа в подгруппах по поиску решения поставленной задачи. Преподаватель консультирует учеников, ученики в подгруппах обсуждают варианты, объясняют непонятные моменты друг другу.Этот этап занятия имеет длительность около 20 минут.

На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений подгрупп, что занимает по времени около 10 минут с учетом обсуждения критериев эффективности предложенных решений.

Итоговая часть занятия занимает около 10 минут и посвящена подведению итогов, обобщению полученных результатов. Итоговую часть занятия проводит преподаватель, опираясь на презентованные группами варианты решений.


Вопросы для обсуждения по материалам кейсов.


  1. Обсудите в группах результаты исследования. Данные оформите в виде таблицы.

  2. Опираясь на материалы кейса и результаты исследования, сравните стоимость покупки за наличный расчет и стоимость набора продуктов за наличный расчет с использованием дисконтной карты отдельно в группе по каждому магазину.

  3. В итоге каждая группа выступает с предложениями по решению задачи.

  4. Обсуждение результатов исследования работы в группах.

  5. Выработка рекомендаций по результатам работы.

Содержание кейса:

1.Информационный материал:

Памятка

Нахождение процента от числа


1%=0,01=


Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент, выраженный обыкновенной или десятичной дробью

Пример:

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение:

500 :100 •60=500•0,6=300


Ответ: 300 насосов высшей категории качества.


Дисконтная карта- это средство, гарантирующее получение потребителем скидки в торговых точках при соблюдении правил использования дисконтных карт.

Цены на некоторые основные продукты питания в трех магазинах города Курска (в рублях)

Скидки по дисконтным картам у покупателя в магазинах города Курска


Виды карт:

hello_html_m78d3ed78.pnghello_html_5d5acc51.png

Класс - 8

Время занятия – 2 учебных часа.

ТипкейсаАналитический (Case-incident method).

Вид кейса – обучающий.

ЗАДАНИЕ:

Перед учителем математики стоит задача рассмотреть теорему Пифагора (показать различные доказательства этой теоремы, использование теоремы в жизни).

Задание подгруппам: Сотруднику небольшой строительной компании поручено просчитать длину стропил при строительстве двускатной крыши (форма в сечении), если уже изготовлены балки длиной 9 метров. Свое решение обосновать.

Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены несколько способов доказательства теоремы Пифагора, ее практического применения. Обучающиеся должны познакомиться с предложенными информационными источниками и, опираясь на них, выбрать более подходящий способ для решения поставленной задачи и обосновать его.

Предмет Математика

Класс 6

Вид кейса Обучающий кейс

ТипкейсаАналитический (Case-incidentmethod)


Тема урока: Решение задач по теме «Проценты».

Цель: 1. Систематизация умений и навыков при подготовке решения

задач практического содержания .

  1. Развитие умения анализировать, систематизировать,

интерпретировать полученные результаты.

3. Воспитание умения работать в команде; умения

критически относиться к мнению одноклассников.


Задание:Родители учащихся 6 а, б, в классов решили в конце учебного года сделать ремонт классных кабинетов и наклеить в каждом из них обои. Мнения родителей каждого класса разошлись в связи с тем, что каждый класс выдвинул свои идеи по покупке обоев для своего кабинета. Все кабинеты одинаковы по форме и размерам. Какой из этих классов потратит на ремонт своего кабинета наименьшую сумму?


Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены информация о кабинетах, информация о видах и ценах обоев, требованиях по оклейке обоев. Учащиеся должны ознакомиться с предложенной информацией и, опираясь на нее, выбрать наиболее оптимальный вариант (с наименьшими затратами) для родителей и обосновать свой выбор.

Работа с кейсом.

Обучающимся озвучивается тема занятия «Решение задач по теме «Проценты» и проговаривается о том, что занятие будет проводиться в режиме кейс-метода.

Кейс предоставляется ученикам непосредственно на занятии. На его изучение, ознакомление с ним отводится около 30 минут времени занятия.

Затем организуется работа в группах по поиску решения поставленной проблемы. Учитель консультирует учеников, ученики в группах обсуждают варианты, объясняют непонятные моменты друг другу. Данный этап занятия длится около 30 минут.

На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений групп, что занимает по времени около 35 минут с учетом обсуждения предложенных решений.

Итоговая часть занятия занимает около 25 минут и посвящена подведению итогов, обобщению полученных результатов. Итоговую часть занятия проводит учитель, опираясь на презентованные группами варианты решений.

Задание группам.

Группа1.

Расчет стоимости покупки обоев для 6 а класса.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать стоимость покупки обоев для 6 а класса, если родители желают купить обои для стен без рисунка. Сравните результат с другими классами.

Группа 2.

Расчет стоимости покупки обоев для 6 б класса.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать стоимость покупки обоев для 6 б класса, если родители желают купить обои для стен с «прямой подгонкой». Сравните результат с другими классами.

Группа 3. Расчет стоимости покупки обоев для 6 в класса.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать стоимость покупки обоев для 6 в класса, если родители желают купить обои для стен с «подгонкой по рисунку». Сравните результат с другими классами.

Вопросы для обсуждения по материалам кейсов.


  1. Обсудите в группах результаты исследования.

  2. Опираясь на материалы кейса и результаты исследования сравните стоимость покупки отдельно в каждом классе.

  3. В итоге каждая группа выступает с предложениями по решению задачи.

  4. Обсуждение результатов исследования работы в группах.

  5. Выработка рекомендаций по результатам работы.



Содержание кейса

Часть 1. Информационный материал

Классный кабинет


hello_html_m43c52f3d.png

Кабинет:

Длина: 7м 30см

Ширина: 6м 40см

Высота: 2м 50см


Окно:hello_html_m78c079a1.png


Длина: 2м 10см

Ширина: 1м 80см


Дверь:hello_html_71894bcf.png

Длина: 2м 10см

Ширина: 90см




Виды обоев:

hello_html_m1c2ae813.png


Без подгонки


Размер рулона: 0,53х10м

Цена: 120 рублей за 1 рулон

hello_html_m38a22c37.png


Прямая подгонка

Размер рулона: 0,53х10м

Цена: 120 рублей за 1 рулон


hello_html_m3355151f.png

Подгонка по рисунку

Размер рулона: 0,53х10м

Цена: 120 рублей за 1 рулон

Класс - 6

Время занятия – 2 учебных часа ( 2 раза по 1 уроку)

ТипкейсаАналитический (Case-incident method)

Вид кейса – обучающий.


Перед учителем математики стоит задача: в какой из банков города Курска учителю выгодно вложить депозит в сумме 50 000 рублей сроком на 3 месяца.

Задание

Учитель математики обратилась к учащимся 6 класса с вопросом выгодного вложения депозита в сумме 50 000 рублей на срок 3 месяца в одном из банков города Курска. Как вы думаете, в какой из банков наиболее выгодно вложить средства. Как выгодно вложить средства: с капитализацией процентов (сложный процент) или без капитализации процентов (простой процент).

Дается время на обсуждение в подгруппах. В итоге могут быть выдвинуты идеи, предложения.

Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены информация о депозите; информация о начислении сложных и простых процентов; информация о начислении процентов в Сбербанке, Альфа банке, Райффайзен банке, Ноум кредит банке города Курска; информация о потребительском кредите; картинки – процентов. Учащиеся должны ознакомиться с предложенной информацией и, опираясь на нее, выбрать наиболее выгодное вложение депозита в банке и обосновать свой выбор.

Задание группам.

Группа1. Анализ условий вложения депозита в Сбербанке.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать, начисленные проценты на депозит в Сбербанке. Найдите начисление простых и сложных процентов и сравните результаты.

Группа 2. Анализ условий вложения депозита в Альфа банке.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать, начисленные проценты на депозит в Альфа банке. Найдите начисление простых и сложных процентов и сравните результаты.

Группа 3. Анализ условий вложения депозита в Райффайзен банке.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать, начисленные проценты на депозит в Райффайзен банке. Найдите начисление простых и сложных процентов и сравните результаты.


Группа 4. Анализ условий вложения депозита в Ноум кредит банке.

Используя текст «кейса» проведите расчеты, чтобы узнать, начисленные проценты на депозит в Ноум кредит банке. Найдите начисление простых и сложных процентов и сравните результаты.

Работа с кейсом.

За несколько дней обучающимся озвучивается тема следующего занятия

« Проценты и кредиты». Также проговаривается о том, что занятие будет проводиться в режиме кейс-метода.

Сам кейс предоставляется ученикам непосредственно на занятии. На его изучение, ознакомление с ним отводится около 20 минут времени занятия.

Затем организуется работа в подгруппах по поиску решения поставленной проблемы. Преподаватель консультирует учеников, ученики в подгруппах обсуждают варианты, объясняют непонятные моменты друг другу. Этот этап занятия имеет длительность около 25 минут.

На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений подгрупп, что занимает по времени около 20 минут с учетом обсуждения критериев эффективности предложенных решений.

Итоговая часть занятия занимает около 25 минут и посвящена подведению итогов, обобщению полученных результатов. Итоговую часть занятия проводит преподаватель, опираясь на презентованные группами варианты решений.


Вопросы для обсуждения по материалам кейсов.


  1. Обсудите в группах результаты исследования. Данные оформите в виде презентации.

  2. Опираясь на материалы кейса и результаты исследования сравните вложения с капитализацией процентов(сложные проценты) и без капитализации(простые проценты) отдельно в группе по каждому банку.

  3. В итоге каждая группа выступает с предложениями по решению задачи.

  4. Обсуждение результатов исследования работы в группах.

  5. Выработка рекомендаций по результатам работы.

Содержание кейса.

Часть 1.

Информационный материал

hello_html_4f614779.png

hello_html_m44df685f.png

hello_html_1845adce.png


Класс-6

Время занятия - 2 учебных часа (1 час – анализ, построение диаграмм, постановка

проблемы; 2 час – презентация накопленного материала)

Вид кейса – практический

Тип кейса - исследовательский кейс


ЗАДАНИЕ:


Перед учителем математики стоит задача рассказать про столбчатые диаграммы (понятие столбчатая диаграмма, принцип построения).

Задание подгруппам: проанализировать статистические данные по Курской области, построить столбчатые диаграммы, самостоятельно сформулировать проблему. Учитель определяет проблемное направление, ставит перед учащимися вопрос: Каковы перспективы развития образования на селе? Как привлечь молодежь в сельскую местность?

Для урока подготовлен кейс, в котором предложены несколько таблиц: Численность обучающихся в сельской местности по годам

Численность учителей.


Предмет - геометрия

Класс - 8

Время занятия – 3 урока

Вид кейса – обучающий

Тип кейса - Эвристический кейс

ЗАДАНИЕ:

Перед учителем математики стоит задача рассмотреть основные свойства площадей, закрепить формулу для вычисления площади прямоугольника.

Задание подгруппам:

Дом — это самая интимная часть человеческой жизни, место, где каждый из нас живет: спит, готовит и принимает пищу, отдыхает и т. п. Пространство жилого помещения должно предоставлять человеку возможность для различной деятельности, соответствовать образу жизни, а интерьер сугубо индивидуален. Косметический ремонт в квартире, при наличии желания, времени и минимальных навыков можно выполнить самостоятельно.

Семья решает сделать ремонт в своей квартире. Ремонт – дело дорогостоящее. Какую сумму денег семье придется потратить на покупку обоев?

Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены 2 статьи о том, как выбрать обои, план-схема квартиры, каталог обоев и параграф учебника «Площадь многоугольника»

Обучающиеся должны познакомиться с предложенными информационными источниками и, опираясь на них, рассчитать количество рулонов обоев, необходимых для ремонта и их стоимость.


Затем организуется работа в подгруппах по поиску решения поставленной проблемы. Группам предлагается оформить карточку-задание. Этот этап занятия имеет длительность около 30 минут.

Учитель предлагает обратить внимание на следующие моменты:

  1. При вычислении площади оклеиваемой поверхности используйте свойства площадей. Обратите внимание на единицы измерения.

  2. Аргументируйте выбор обоев.

  3. Для расчета количества рулонов обоев обратите внимание, что большинство обоев требуют подгонку по рисунку.

На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений подгрупп.

Этот этап занятия длиться около 60 минут.

Каждая из групп поочередно работает в определенной ролевой позиции:

Новаторы - презентуют свой проект остальным членам рабочей группы;

Оптимисты - выделяют все положительные, выгодные, позитивные моменты презентуемого проекта;

Пессимисты - выделяют все отрицательные, непродуманные, неучтенные моменты презентуемого проекта;

Эксперты - обобщают и анализируют полученную информацию, оценивают работу каждой творческой группы с точки зрения поставленной перед данной группой цели деятельности по 10-бальной шкале, обосновывают свое мнение.

Сама технология предусматривает четыре этапа - четыре раунда (по количеству созданных, творческих групп). На каждом из этапов отдельной творческой группе предлагается поработать в разных ролевых позициях: сначала в роли новаторов, затем в роли оптимистов, затем - пессимистов, затем - экспертов.

Каждый этап-раунд длится около 15 минут.


Подведение итогов занятия занимает около 15 минут. Преподаватель совместно с учащимися делает выводы, опираясь на презентованные группами варианты решений, подводятся итоги занятия. Определяется команда-победитель по сумме баллов за работу в каждой из ролевых позиций. В завершение проводится рефлексия.

4. План-схема трехкомнатной квартиры

5. Каталог обоев

Карточка-задание.

Расчет стоимости обоев для __________________________

Ширина _________________

Высота __________________

S= ______________________





Вычислите площадь окна

Размеры_________________

S= ______________________


Перевод единиц измерения

________________________



Вычислите площадь двери (дверей)







Вычислите площадь оклеиваемой поверхности







Выбор обоев из каталога

Выберите обои из каталога

№ _______


Вид обоев _______________




Вычисление стоимости покупки обоев

Вычислите площадь одного рулона обоев







Найдите количество рулонов, необходимых для оклейки помещения







Рассчитайте стоимость покупки










СОДЕРЖАНИЕ КЕЙСА:



hello_html_m3f62a293.png


Окна Балконные двери Межкомнатные двери

hello_html_m692593d6.pnghello_html_m15e77716.pnghello_html_m229e9477.png







высота окна : 155 см.

ширина окна : 148 см.


ширина двери: 67 см.

высота двери: 215 см. 800 на 2000мм.


5. Каталог обоев



1

hello_html_m79e42747.png

Бумажные

Ширина –50см

Длина рулона-10м

Цена-120руб.

9

hello_html_mdd89fc.png

Виниловые

Ширина –60см

Длина рулона-10м

Цена-600руб

2

hello_html_74980b84.png

Бумажные

Ширина –50см

Длина рулона-10м

Цена-140руб.

10

hello_html_43572afd.png

Виниловые

Ширина –50см

Длина рулона-10м

Цена-450руб

3

hello_html_7d7d9315.png

Бумажные

Ширина –50см

Длина рулона-15м

Цена-200руб

11

hello_html_693bdc51.png

Виниловые

Ширина –80см

Длина рулона-10м

Цена-840руб

4

hello_html_m484a9fba.png

Бумажные

Ширина –50см

Длина рулона-15м

Цена-230руб.

12

hello_html_58063965.png

Виниловые

Ширина –50см

Длина рулона-10м

Цена-500руб

5

hello_html_m6bcc3ab.png

Текстильные

Ширина –120см

Длина рулона-10м

Цена-9000руб

13

hello_html_4b9d02ec.png

Текстильные

Ширина –90см

Длина рулона-10м

Цена-2500руб

6

hello_html_m6ce959ad.png

Текстильные

Ширина –80см

Длина рулона-10м

Цена-5000руб

14

hello_html_6c08bdf4.png

Текстильные

Ширина –110см

Длина рулона-10м

Цена-6000руб


Рассмотри пример применения кейс-технологии на уроках математики.


Предмет


геометрия



Вид кейса

аналитический кейс

Тип кейса:

практический

 Тема урока: Площадь боковой и полной поверхности призмы.

Цели урока:

  1. Внимательно изучить, проанализировать информацию кейса.

  2. На основании анализа разработать и защитить проект выбора покупки продукции для отделки квартиры в определенной фирме, а также найма рабочих для проведения отделочных работ.

Данный проект должен обеспечить:

        • максимальное удовлетворение хозяина квартиры в стоимости отделочного материала.

        • экономичность, но качественность проведения отделочных работ.


Содержание кейсов.

Первый кейс.

План работы группы:

1. Определить организатора, перед которым будет стоять задача руководить работой группы

2. Определить секретаря, который будет фиксировать предложенные решения ситуаций

3. Внимательно изучить материалы кейса

4. Обсудить изученную информацию

5. Обменяться мнениями и составить план работы над задачей (ситуацией)

6. Проанализировать материал

7. Определить сущность ситуации

8. Зафиксировать основные и второстепенные проблемы

9. Работать над проблемой (дискуссия)

10. Выработать решение задачи.

Требуется найти:

  1. стоимость всех материалов;

  2. стоимость проводимых работ.


11. Подготовить проект (оформить)


Ребята, в наше время происходит строительный бум. И строительное производство сейчас является наиболее востребованной отраслью

И сегодня ваша задача быстро и качественно определить стоимость необходимых материалов и стоимость услуг представленных фирм. А для этого нужны знания.

«Три пути ведут к знанию:

Путь размышления –

Это путь самый благородный,

Путь подражания –

Это путь самый легкий,

И путь опыта –

Это путь самый горький». ( Конфуций)

Учащимся предлагается обсчитать стоимость ремонта в 3-х комнатной квартиры. Для решения поставленной задачи необходимо составить прайс-листы трех фирм (домашнее задание), ознакомившись с которыми на уроке необходимо выбрать самый оптимальный вариант по закупке строительного материала и найму рабочих.

Для решения поставленной задачи подготовлен кейс, в котором имеются характеристики квартиры, условия проведения ремонта, прайс-листы фирм. Обучающиеся должны произвести соответствующие практические расчеты и обоснованно объяснить выбор той или иной фирмы.

Дается время на обсуждение в подгруппах.

Задание группам.

Группа1. Составить прайс-лист цен магазина «Магнит». Произвести вычисления для проведения ремонта 1 комнаты и оплаты работы рабочим.

Группа 2. Составить прайс-лист цен магазина «Керама». Произвести вычисления для проведения ремонта 2 комнаты и оплаты работы рабочим.

Группа 3. Составить прайс-лист магазина «Стройка». Произвести вычисления для проведения ремонта 3 комнаты и оплаты работы рабочим.

Во время работы внутри группы разрешаются взаимоконсультации. При необходимости вы можете обратиться к преподавателю. Во время работы постарайтесь применить свои знания на практике, на первый план должно выступить математическое содержание работы, не забывайте об экономии материалов.

После окончания работы представитель группы должен защищает свой проект, объясняя все действия.

Второй кейс.

Цель: произвести отделочные работы в 3-х комнатной квартире.

Для отделки комнаты необходимо провести следующие работы:

  1. Выровнять стены гипсовой штукатуркой. Средний расход штукатурки на 1 квадратный метр поверхности при толщине в 0,1 см составляет 0,9 кг.

  2. Покрасить пол масляной краской 2 раза. В первый раз на каждый квадратный метр пойдет 125 г краски, а во второй – 75 г.

  3. Сделать потолок в каждой комнате. Для выполнения работы используются плитки квадратной формы со стороной 50 см, по периметру бордюр.

  4. Отделочные материалы выбрать в одной из трех предлагаемых фирм, исходя из наиболее экономичного варианта стоимости материала.

Для проведения отделочных работ выбрать наиболее экономически выгодную бригаду в тех же фирмах.

Посчитать сколько будет стоить самый выгодный вариант.

Размеры квартиры:

1 комната: 4×5×2,8, имеется окно, длина которого 2 м и высота 1,5 м, расположенное в стене с меньшими размерами. Напротив окна находится дверь высотой 2 м и шириной 1 м.

2 комната: 3×3,5×2,8, имеется окно, длина которого 1,5 м и высота 1,5 м, расположенное в стене с меньшими размерами. Напротив окна находится дверь высотой 2 м и шириной 1 м.

3 комната: 3,5×4×2,8, имеется окно, длина которого 2 м и высота 1,5 м, расположенное в стене с меньшими размерами. Напротив окна находится дверь высотой 2 м и шириной 1 м.

Третий кейс. Теория.

Чтобы вычислить количество материала, необходимого для отделки квартиры необходимо использовать формулы площади полной или боковой поверхности призмы.

Формулы:



критериИ оценки защиты проектов


  1. Обоснование выбора фирмы для покупки отделочного материала.

  2. Обоснование выбора фирмы для проведения отделочных работ.

  3. Стоимость отделочных работ квартиры.


Отчёт о выполнении заданий


Приступаем к сдаче объекта.


Члены каждой группы заполняют таблицу и объясняют, как проводили расчеты.

S 1 комнаты

м2

S 2 комнаты м2

S 3 комнаты м2

S общая

м2

Расход материалов

Стоимость материалов

Стоимость работ

Штукатуры








Маляры








Отделка потолков








Итого










Прайс-листы известных фирм города.

Прайс-лист

Прейскурант цен на стоимость услуг

Вопросы для обсуждения.

  • С чем вы сегодня познакомились?

  • Каким практическим навыкам вы научились?

  • Какие математические знания вам помогли на уроке?




Результат кейса – оптимальный выбор магазина строительных материалов для проведения ремонтных работ в квартире.












Пример 2


Тема урока: Нахождение площади поверхности тел вращения.

Задачи для учащихся:

1. Знать формулы для нахождения площадей поверхности тел вращения.

2. Различать тела вращения.

3. Уметь решать задачи с использованием формул.


Практическая часть:

Скоро новый год. Все костюмы готовы за исключением головных уборов для следующих персонажей: Дед Мороз, Снегурочка, Кот в сапогах. -актёры театральной студии решили изготовить их своими руками. Перед ними встает вопрос: какое количество материала будет затрачено для изготовления каждого из головных уборов.

Учебная группа разбиваются на группы для того чтобы произвести соответствующие расчеты (размеры для головных уборов представлены в практической части).

Перед участниками каждой группы стоят следующие задачи:

  • изучить информацию кейса;

  • выбрать необходимое тело вращения для изготовления головного убора;

  • выяснить какие данные для формулы вычисления площади поверхности данного тела вращения можно извлечь из представленных размеров;

  • найти площадь поверхности тела вращения;

  • высчитать необходимое количество материала.

Содержание кейсов:


Цили́ндр(др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.


hello_html_240566db.png

Формулы:

, ,

где 3,14, R- радиус основания цилиндра, H- высота цилиндра.


Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Также можно сказать, что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

hello_html_m2efa89ea.jpg

Формулы:


где 3,14, R- радиус основания конуса, L- длина образующей.


Шар— геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

hello_html_3ef5598b.png

Формулы:

,

где 3,14, R- радиус основания конуса, L- длина образующей.



Головные уборы для новогодних костюмов:


  1. Шапка для Деда Мороза: окружность головы 60 см, высота колпака 70 см.

hello_html_m266371e1.jpg


2.Шапка для Снегурочки: окружность головы 58 см, высота шапки 55 см.


hello_html_399a0493.jpg


3.Шляпа для Кота в сапогах: окружность головы 52 см, длина окружности полей 100 см, высота верхней части 42см.


hello_html_3434b159.png










Пример 3


исследовательский кейс

 Тема урока:Многогранники. Симметрия в пространстве.

Содержание кейса:

Задание: Вам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. А, может быть, мы с вами живем в мире, который неразрывно связан с геометрией? Вам предоставляется шанс по-новому взглянуть на этот предмет.

Желаю успехов и увлекательной работы!

Проблема: мы не видим связи между темой «Симметрия в пространстве» и жизнью и не понимаем, зачем мы её вообще изучаем. Но должна же быть эта связь?! Ведь не зря люди с древних времен изучают её. Даже говорят, что во всем в жизни есть симметрия

Цель: Организовать поиск, сбор и изучение информации о симметрии в пространстве, для того, чтобы ответить на вопрос: «Разве во всем в жизни есть симметрия?»

Класс делится на 2 группы, каждая группа получает задачу:

Группа 1:

Задача. Сделайте вывод: «Разве во всём в жизни есть симметрия? И в архитектуре, и в строительстве, и в искусстве?»

Исследование проведите по схеме:

  1. Возьмите для исследования объекты: дома и строения на улице, картины, орнамент.

  2. Рассмотрите выбранные объекты и ответьте на вопросы: обладают ли они симметрией? Если – нет, то почему? Если - да, то какой? Почему вы так решили?

  3. Добавьте и исследуйте свой объект.

Группа 2

Задача. Докажите или опровергните слова: «Идею симметрии подсказывает сама природа».

Исследование проведите по схеме:

  1. Возьмите для исследования объекты: овощ, фрукт, гриб, лист дерева, дерево, снежинку, птицу.

  2. Рассмотрите выбранные объекты и ответьте на вопросы: обладают ли они симметрией? Если – нет, то почему? Если - да, то какой? Почему вы так решили?

  3. Добавьте и исследуйте свои объекты – животное, насекомое, цветок.



Сделайте общие выводы (выполните по плану):

  1. Симметрична или асимметрична общая форма всех выбранных объектов?

  2. Есть ли точное сходство в деталях?

  3. Сделайте вывод о наличии симметрии в выбранных объектах. Используют ли люди в архитектуре, строительстве, искусстве и технике понятие симметрии? Если да, то зачем? Если нет, то почему?

  4. Нужна ли симметрия в природе и технике?





















Пример применения кейс-технологии на уроках математики при изучении раздела «Площадь многоугольника»


Вид кейса: обучающий

Тип кейса: исследовательский кейс

Содержание кейса

Задание:Вам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. А, может быть, мы с вами живем в мире, который неразрывно связан с геометрией?Вам предоставляется шанс по-новому взглянуть на этот предмет.

Задача -рассмотреть основные свойства площадей, закрепить формулу для вычисления площади прямоугольника.

У каждого человека есть такое место, к которому его тянет, и где он счастлив или до сих пор ощущает себя счастливым. Место, где проходят лучшие моменты жизни, и остались интересные впечатления и самые яркие воспоминания. Причем жизненные ситуации и воспоминания могут быть как позитивными, так и не очень. Для всех нас — это его квартира. В ней родились или живут по сей день, и куда бы не уезжали, пусть даже на очень короткий срок, всех всегда тянет назад, хочется скорее вернуться. Здесь все родное, очень дорогое и близкое сердцу, море воспоминаний, связанных с разными отрезками жизни. Нравится в доме всё, каждый уголок: ремонт, сделанный тщательно и с любовью, мебель и всякие мелочи, которые подбиралась со вкусом, а также вид из окна, ведь он так поднимает настроение! Наш дом — это маленький мир, в котором чувствуешь себя защищенным. Дома - и стены лечат! Приходя сюда, мы успокаиваемся и душой отдыхаем от всех невзгод, забывая о проблемах и трудностях. «В гостях хорошо, а дома намного лучше!». Вот это, наверное, и есть наилучшее вознаграждение за все наши старания, это означает, что в нашем доме уютно, можно отдохнуть и телом, и душой. Так как уют в доме – это не только чистота и красота, или, как говорят взрослые, дизайн интерьера. Это, прежде всего, характер твоего жилья, что должен отвечать твоему собственному характеру. 
Мы хотим сделать наш дом комфортным и уютным, чтобы хорошо чувствовали в нем все члены нашей семьи. Косметический ремонт в квартире, при наличии желания, времени и минимальных навыков можно выполнить самостоятельно.

Ремонт – дело дорогостоящее. Какую сумму денег придется потратить на покупку необходимых материалов?

Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены 4 статьи о том, как сделать ремонт в квартире, какой вариант наиболее целесообразно выбрать для интерьера стен квартиры, как выбрать обои, план-схема части жилого дома, каталоги красок для стен, обоев, стеновых панелей и параграф учебника «Площадь многоугольника».

Обучающиеся должны познакомиться с предложенными информационными источниками и, опираясь на них, рассчитать количество банок краски, рулонов обоев, необходимых для ремонта и их стоимость.

Цель: Организовать поиск, сбор и изучение информации о площади многоугольника.

Класс делится на 4 группы, каждая группа получает задачу.

- Рассчитать стоимость материала для спальни – 1 группа

- Рассчитать стоимость материала для гостиной – 2 группа

- Рассчитать стоимость материала для прихожей – 3 группа

- Рассчитать стоимость материала для кухни – 4 группа


РАБОТА С КЕЙСОМ:

Задание и тема занятия «Площадь многоугольника» озвучивается обучающимся за несколько дней.

Кейс предоставляется ученикам непосредственно на занятии.

Вопросы для обсуждения:

- Как вычислить площадь прямоугольника?

- Назовите единицы измерения площадей и перевод одних единиц измерения в другие.

- Какие свойства площадей помогут выполнить задание?

- Что необходимо учитывать при выборе материалов?

Затем организуется работа в подгруппах по поиску решения поставленной проблемы. Группам предлагается оформить карточку-задание. Учитель предлагает обратить внимание на следующие моменты:

  1. При вычислении площади поверхности используйте свойства площадей. Обратите внимание на единицы измерения.

  2. Аргументируйте выбор материала.

  3. Для расчета количества рулонов обоев обратите внимание, что большинство обоев требуют подгонку по рисунку.

На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений подгрупп.

Каждая из групп поочередно работает в определенной ролевой позиции:

Дизайнеры - презентуют свой проект остальным членам рабочей группы;

Рекламщики - выделяют все положительные, выгодные, позитивные моменты презентуемого проекта;

Оценщики - выделяют все отрицательные, непродуманные, неучтенные моменты презентуемого проекта;

Эксперты - обобщают и анализируют полученную информацию, оценивают работу каждой творческой группы с точки зрения поставленной перед данной группой цели деятельности по 10-бальной шкале, обосновывают свое мнение.

Сама технология предусматривает четыре этапа. На каждом из этапов отдельной творческой группе предлагается поработать в разных ролевых позициях: сначала в роли дизайнеров, затем в роли рекламщиков, затем - оценщиков, затем - экспертов.

Преподаватель совместно с учащимися делает выводы, опираясь на презентованные группами варианты решений, подводятся итоги занятия. Определяется команда-победитель по сумме баллов за работу в каждой из ролевых позиций. В завершение проводится рефлексия.


Заключение

Суть кейс - технологии заключается в создании и комплектации специально разработанных учебно-методических материалов в специальный набор (кейс) и их передаче (пересылке) обучающимся. Каждый кейс представляет собой полный комплект учебно-методических материалов, разработанных на основе производственных ситуаций, формирующих у обучающихся навыки самостоятельного конструирования алгоритмов решения производственных задач. Результаты выполненных проектов должны быть, что называется, «осязаемыми», т.е., если это теоретическая проблема, то конкретное ее решение, если практическая - конкретный результат, готовый к использованию (на уроке, в реальной жизни).

Если говорить о данном методе как о педагогической технологии, то эта технология предполагает совокупность исследовательских, поисковых, проблемных методов, творческих по самой своей сути.

Работа по кейс - технологии формирует у обучающихся УУД (универсальные учебные действия), такие как обретение первичного опыта работы с информацией самостоятельно; работать по алгоритму; самоконтроль и промежуточная диагностика; рефлексия.




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 25.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров31
Номер материала ДБ-165300
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх