Внеурочное занятие по алгебре 8 класс

Внеурочное занятие по алгебре 8 класс

Учитель: Денисова Е.В.

Тема: Извлечение квадратного корня без калькулятора.

Цель: Создать условия для введения понятий новых методов для извлечение квадратных корней без калькулятора, для рассмотрения свойств различных методов ; показать их применение в процессе решения задач.

Оборудование:

• Таблица квадратов,
• дидактический материал,
• карточки

Ход урока

1.     Организационный момент

На слайде высказывание писателя Алексея Николаевича Толстого:

2.     «Никогда не ошибается тот, кто ничего не делает, хотя это и есть его основная ошибка.»

3.     - Наш урок мы начинаем с высказывания писателя Алексея Николаевича Толстого. Как вы понимаете эти слова? ( Каждый человек имеет право на ошибку).

4.     - А может быть, лучше ничего не делать, чтобы не ошибаться, как вы считаете? ( Нет делать обязательно нужно, иначе ничего нового не узнать и ничему новому не научиться).

5.     - Итак, значит мы решили, что для того, чтобы узнать новое, не следует бояться ошибок!

2. Мотивация к учебной деятельности

- Сегодня мы с вами  поиграем в учебно-деловую игру «ДМИК» (дискуссионный математическо-исследовательский клуб). Тема нашей игры «Извлечение квадратного корня без калькулятора». Но для начала у вас на партах лежит карточка с понятием слова дискуссия, ознакомьтесь с ней и каждый для себя  поставьте цель для чего я здесь?

3. Актуализация знаний и пробное учебное действие.

Посмотрите сколько существуют методов для извлечения квадратного корня без калькулятора. Нам уже с вами известно 3 метода. Назовите их.

•         Способы извлечения  квадратных   корней

•         Метод Ньютона (Герона)

•         Метод отбрасывания полного квадрата

•         Графический

•         Метод подбора уточнением (угадыванием)

•         Метод использования таблицы квадратов

•         Разложение на простые множители

•         Через решение уравнения

•         Делением на пары

•         Метод вычетов нечётных чисел

•         Древнего Вавилона

•         Канадский способ

•         Метод степенных рядов

•         Метод составления таблицы

•         Метод анализа функции

•         Геометрический

4. Постановка учебной проблемы

Давайте  с вами решим задание, которое встречается в заданиях ОГЭ, уже с использованием тех методов, которые знаем.

Задание1. Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой А?

                   A

               |    |     |         |         |         |

            -2         -1       0        1        2

1)  -  ;                     2) – ;                3)  -  ;                 4)

Задание 2. Сравни числа   2 +     и  1 + .

1)  2 +   <  1 +                             3) 2 +   > 1 +

2)  2 +   =  1 +                            

Задание 3.  Одно из чисел   ,  ,    отмечено   на координатной  прямой точкой А.  Какое это число?

                                          A

              |                    |       |            |        

             5                   6                   7

Задание 4. Какому  из данных ниже промежутков принадлежит число  ?

1)     (15;16)    2) (16;17)       3) (17;18)      4) (18;19)

5. Формулирование проблемы, планирование деятельности

Итак,  на занятии мы рассмотрим несколько методов извлечения квадратного корня, исследуем  эти  методы и заполним нашу таблицу. Уже сейчас можем заполнить таблицу, которые уже знаем методы. Заполнение таблицы.  Оцените данный метод.

6.     Открытие нового знания.

Работа в группах.  У каждого на столе лежит метод, изучите его, исследуйте и подготовьтесь рассказать другим про этот метод   и обсудить его. И заполнить нашу таблицу все плюсы и минусы данных методов, также сделать вывод: практичен ли этот метод или нет, т.е. оценить его.

Способ использования таблицы квадратов  двузначных чисел

Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел  от 1 до 100  с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)

Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное  число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Рассмотрим на примере. Найдём значение √87.

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 87 – таких только два 8649 и 8837. Но 88 – это уже много.

 Значит, остаётся только одно – 8649.

Левый столбик даёт ответ  9 (это целых), а верхняя строчка 3 (это десятых).  Значит √87≈ 9,3. Проверим на МК √87 ≈ 9,327379.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

Графический метод

Графический метод извлечения квадратных корней предлагается использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b= х²,  полученном из √ b= х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник: Построим на клеточной бумаге в одной системе координат два графика функций у = b   и  у = х². Найдём точку пересечения в первой четверти системы координат. Абсцисса этой точки и будет соответствовать значению квадратного корня из числа b.

Например, поработаем с  √11 Решим графически уравнение 11= х². у =11 – прямая, параллельная оси абсцисс, а у = х² - классическая парабола. При построении на клеточной бумаге      х = 3,3, а  точное вычисление            МК = 3,3166.

Какие же неудобства и трудности испытывают при применении такого способа решения данной проблемы:

Предварительная подготовка - построение графика параболы.

Ограничение размером тетрадного листа (о чём сразу предупреждали), поэтому невозможно извлечение чисел, больших 40, так как длина тетрадного листа 40 клеток. Неточность в построении кривых линий  и получение больших погрешностей, в отличие от других методов. 

Через решение уравнения

На самом деле существует удобный способ нахождения квадратного корня

«вручную» через решение уравнения, ведь математика - наука с многовековой историей, а калькуляторы были не всегда. Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности. Звучит невероятно, но попробуйте испытать этот способ при вычислении квадратного корня. В чем его суть рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня 17.Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 16 = 4²  и 25 = 5², поэтому  √16 < √17 < √25  и  4 < √17 < 5.

Пусть  х – это та разница, на которую отличны друг от друга √16 и √17,

 следовательно  √17 = 4 +  х. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения   (√17) ² = (4 +  х)²  и раскроем скобки при помощи формулы суммы квадрата:  17 = (4 + х)² = 16 + 8х + х².

Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а  х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

 В результате приходим к простому линейному уравнению 17 = 16 + 8х.

 Решив его, получаем значение:  х =  0,125.  Значит √ 17 ≈ 4 + 0,125 ≈ 4,125 .

На самом деле, при расчете на калькуляторе, значение этого корня равно 4,1231056, то есть погрешность при нашем расчете составила 0,0018944 – это менее двух тысячных. Не правда ли, вполне приличная точность!

Но если все же решение задач по математике требует еще большей точности, то можно достичь ее тем же способом, просто продолжив вычисления с уже полученным значением корня. Так что подобный способ вычисления квадратного корня необычайно точен и удобен, а погрешность вычисления зависит исключительно от терпения и упорства.

Но и этот способ требует терпения и умения решать уравнения с использованием формул сокращённого умножения.

             Способ отбрасывания полного квадрата                                                                 

                            ( только у четырехзначных чисел)

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от  величины подкоренного числа.

1)     Извлечение корней до числа 75² = 5625

 Например:  √¯3844 = √¯ 3700 + 144 = 37 + 25 = 62.

 Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25. Получим ответ 62.

 Так можно извлекать только квадратные корни до числа 75² =5625!

2) Извлечение корней после числа 75² = 5625

 Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 75² =5625?

Например: √7225 = √7000 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.

Получим ответ 85.

Этот способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но  он мало изучен или имеет какие – то исключения.

Он достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.

7.     Первичная проверка понимания.

Один от группы рассказывает свой метод, идет осуждение метода и заполнение таблицы, делается вывод.

8.     Применение новых  знаний.

Теперь давайте попробуем решить наши последние два задания с применением изученных  новых методов.  Решение заданий  в группах на время.

9.     Рефлексия.

А теперь вспомните, какую цель для себя вы поставили в начале урока. Как вы считаете, достигли этой цели?

У вас на столах лежит притча,  прочитайте ее и ответьте, чтобы вы ответили мудрецу?   Но на этом наш ДМИК свою работу не заканчивает, как вы думаете почему? Да на следующих занятиях мы познакомимся с другими способами извлечения квадратного корня.