Введение понятия комплексного числа.
Понятие числа прошло длинный исторический
путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз.
Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают
натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности
множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной
последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . Затем возникают дроби, нуль,
отрицательные числа, необходимые для
решения линейных уравнений вида
ах + b = 0 ,
где а и b - целые числа.
Поскольку рациональных чисел было достаточно
для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения,
то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или
натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т.е. дробью.
Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот
факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может
быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к
тому, что в математику вошли иррациональные числа.
Рациональные числа вместе с иррациональными
образуют множество действительных чисел, которое является расширением
множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре
арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме
деления на нуль).
Важное место в алгебре занимает решение
алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида
,
где а0, а1, . . . , аn - действительные числа.
Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не
достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное
уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является
уравнение
х2 + 1 = 0 .
Для того чтобы это уравнение имело решение,
необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему
корня уравнения
х = –1 .
Обозначим этот корень через i. Таким образом,
по определению
i2 + 1 = 0 , или i2 = - 1 ,
следовательно, i= .
Символ i называется мнимой единицей. С его
помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида
z=a+bi .
Полученные выражения назвали комплексными
числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от
французских слов rее1 – действительный и imaginaire – мнимый, воображаемый). Название
комплексное переводится как составное - по виду выражения z = a+bi.
Итак, комплексными числами называются
выражения вида
z=a+bi ,
где а и b – действительные числа, а i –
некоторый символ,
удовлетворяющий условию i= . Число а
называется
действительной частью комплексного числа
z=a+bi, а
число b его мнимой частью. Для их обозначения
используются символы
а = Re z , b = Im z .
Комплексные числа вида z=a+0∙i=а являются
действительными числами и, следовательно,
множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения
комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали
всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных
чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества
действительных чисел.
Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто
мнимыми.
Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i
называются равными, если равны их действительные
и мнимые части, т.е. если выполняются равенства
a1 = a2 , b1 = b2 .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.