"Взаимодействие учителя и учащихся при изучении методов решения тригонометрических уравнений"

План самообразования

 учителя математики

Рощиной Гульшат Фанзиловны

"Взаимодействие учителя и учащихся при изучении методов решения тригонометрических уравнений"

Цель самообразования: Развитие логического, критического, креативного, творческого мышления. Задачи: ·         сформировать представление о новых методах решения тригонометрических уравнений; ·         дать представление об уравнениях с обратными тригонометрическими функциями и некоторых методах их решения; ·         подготовить учащихся к ЕГЭ по математике; ·         формировать коммуникативную компетентность учащихся. Требования к математической подготовке учащихся: ·        знать тригонометрические формулы и уметь применять их при преобразовании тригонометрических выражений; ·        решать тригонометрические уравнения с использованием различных методов по заданному алгоритму и в нестандартной ситуации; ·        логично и полно излагать решение.

Задачи самообразования:

Образовательные - овладение учащимися определенной системой знаний - применения «единичной окружности» в решении тригонометрических уравнений и неравенств;
Развивающие - развитие познавательных и творческих способностей учащихся, их способностей к самообучению;
-расширить сферу математических знаний, общекультурный кругозор учащихся;
-повысить качество знаний учащихся по математике.
Воспитательные - формирование умений саморегуляции и саморегулирования своей учебно-познавательной деятельности.

Содержание

1.  Основные тригонометрические формулы.

Цель: повторить основные тригонометрические формулы

2. Методы решения тригонометрических уравнений.

3. Простейшие тригонометрические уравнения.

Цель: повторить формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

4. Разложение на множители и замена переменных.

5. Единичная окружность в тригонометрии

Самое основное в теме :

Единичная окружность необходима для:

• определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
• радианного измерения углов;
• нахождения области определения и области значений тригонометрических функций;
• нахождения значений тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
• определения периодичности тригонометрических функций;
• определения четности и нечетности тригонометрических функций;
• определения промежутков возрастания и убывания тригонометрических функций;
• выведения формул приведения;
• нахождения значений обратных тригонометрических функций;
• решение простейших тригонометрических уравнений;
• решение простейших неравенств;
• выведение основных формул тригонометрии.

Ожидаемые результаты

Учащиеся легко смогут восстановить в памяти весь материал:

• определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
• радианное измерение углов;
• значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
• свойства тригонометрических функций
• формулы приведения;
• значения обратных тригонометрических функций;
• решение простейших тригонометрических уравнений;
• решение простейших неравенств;
• основные формулы тригонометрии.

Список используемой литературы:

1.        Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1998.

2.        Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. – М.: Издательство «Экзамен», 2008

3.        Костаева Т. В. Тест-анкеты и самостоятельные работы по алгебре для 10 класса. Тетрадь с печатной основой. – Саратов, МВУИП «Сигма-плюс», 1998.

4.        Левченко Н. П. Математика: Задания типа А единого государственного экзамена: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Вентана-Граф, 2006.

5.        Мордкович А. Г. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.

6.        Мордкович А. Г. и др. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч.1: Задачник для общеобразоват. учреждений А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2003

7.        Тригонометрия: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. Учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. 3-е изд. – М.: Просвещение, 2001.

План.

№	Название темы	Форма контроля
1	Историческая справка	Дом.задание: подготовить сообщения о развитии тригонометрии
2	Градусная и радианная мера угла определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла; ·        радианное измерение углов;	Тест №1
3	Свойства тригонометрических функций значения и знаки тригонометрических функций периодичность тригонометрических функций; четность и нечетность тригонометрических функций; возрастание и убывание тригонометрических функций; область определения и область значений тригонометрических функций; формулы приведения; основные тригонометрические тождества	Тест №2 Тест №3 Самостоятельная работа №1
4	Решение тригонометрических уравнений	Тест №4
5	Решение тригонометрических неравенств	Самостоятельная работа №2

Вопросы  викторины

1. Кто ввел названия тригонометрических функций?
2. Кто ввел обозначение тригонометрических функций?
3. Кем и когда были составлены первые тригонометрические таблицы?
4. Какой ученый впервые явно сформулировал теорему косинусов?
5. Чьи это слова: “Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков, из счисления времени и механики”?
6. Что такое триангуляция и кто ее придумал?
7. Что такое простафарезис?
8. Что означает слово “тригонометрия”?
9. Что такое “гониометрия”?
10. Кто ввел обозначения в треугольнике сторон малыми латинскими буквами, а противолежащих им вершин соответствующими большими латинскими буквами?
11. Чем можно объяснить, что у среднеазиатских и некоторых европейских ученых линии тангенса и котангенса назывались “тень”?
12. Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?
13. Кто первый измерил длину земного меридиана?

Ответы викторины

1.      Понятие “синус” ввели индийские ученые, рассматривая половину хорды. Индийское название синуса “архаджива” означало “половина тетивы лука”.В арабском переводе слово было искажено в “джайб” (углубление, излучина, пазуха) и переведено на латинский язык как синус.Термин “тангенс” (по-латински - “касательная”) был введен Региомонтаном. В 1583г.  Т. Финк ввел термин “секанс”. Название “косинус” и “котангенс” введены Гунтером (1581–1626).

2.      Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739г. И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру. Для остальных тригонометрических функций обозначения ввел Л. Эйлер. Знак для арксинуса ввел Ж. Лагранж в 1772г.

3.      Первые тригонометрические таблицы (“таблицы хорд”) были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом во II в. до н.э. Таблицы синусов были составлены в IV в. индийским ученым Ариабхата.

4.      Франсуа Виет.

5.      Это слова Ф. Энгельса.

6.      Триангуляция – это способ косвенного измерения больших расстояний на поверхности земли построения так называемой триангуляционной сети. (Это сеть треугольников, разбивающая искомое расстояние на ряд отрезков, постепенно вычисляемых на основе непосредственного измерения только одного отрезка, базиса, и измерения углов, что можно сделать со значительно большей степенью точности, чем измерение отрезков). Триангуляцию впервые применил голландский ученый XVI в. В. Снеллиус.

7.      Простафарезис – это способ вычисления произведения до изобретения логарифмов. Для сведения умножения к сложению и вычитанию (термин составлен из греческих слов, обозначающих эти действия) применялись формулы, заменяющие произведение тригонометрических функций суммой или разностью. Данные числа рассматривались как значения тригонометрических функций, что всегда можно сделать соответствующим переносом запятой. Затем результаты получались применением тригонометрических таблиц.

8.      “Тригонометрия” происходит от двух греческих слов: “тригонон” – треугольник и “метрейн” – измеряю, т.е. измерение треугольников.

9.      “Гониометрия” – учение о тригонометрических функциях.

10.  Эти обозначения ввел Л. Эйлер (1707-1783), придавший всей тригонометрии совершенный вид.

11.  Это объясняется тем, что с понятием тангенса и котангенса ученые встретились при решении задачи на определение высоты солнца по тени, отбрасываемой шестом. При этом линия тангенса быта тенью (катетом) в прямоугольном треугольнике.

12.  В промежутках синус имеет положительные значения, хотя значения аргумента отрицательны.

13.  Греческий ученый Эратосфен (275-193 гг. до н. э.).

          Зачетная работа по теме «Тригонометрические выражения»

                                                                       Карточка  №1

1. Что называется синусом,  косинусом,  тангенсом и котангенсом угла?

2.  Найдите значение выражения: 2sin 30º-  cos 60º + 3 tg 45º;

                                                         4 ctg 45º -  sin 60º +  cos 30º

Карточка №2

1.  Каковы знаки синуса , косинуса, тангенса и котангенса в каждой из координатных четвертей?

2.  Сравните с нулем значение выражения:

sin 143º,  cos 108º ,  tg61º , ctg280º,  sin 125º ,  cos200º,  tg160º, ctg200º

Карточка №3

1. Выразите sin 763º через  синус угла, заключенного в промежутке от 0º до 360º. Сформулируйте свойство синуса, которое при этом использовалось. Обладают ли аналогичными свойствами косинус· тангенс и котангенс?

Карточка №4

1. Является ли четной или нечетной функция: у = sin x,  y= cos x,   y= tg x  и  y= ctg x?

2. Вычислите:   sin(π30º)      tg(π45º)       cos (π60º)     ctg(π30º)

Карточка №5

1. Какой угол называется углом в 1 радиан? Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 2,5;   π / 4;   - π/ 2;  10 π .

2. Найдите радианную меру угла, равного: 120º; 270º; - 180º;-  150º.

Карточка №6

1.  Запишите основные тригонометрические тождества.

2.  Упростите выражения:   а) 1- sin α  · cos α;        б) 2-  cos α  - sin α   

Карточка №7

1. Какие три формулы являются основными для получения всех формул приведения?

2. Пользуясь формулами приведения, замените данные выражения тригонометрическими функциями угла  α :

sin (180º+ α ) ;  sin( π/ 2+  α)  ;  cos (270º-  α);  cos( π  -  α);    tg ( 90º+ + α  );        tg(  π / 2-  α  )

Карточка №8

1. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы  (разности) двух углов и сформулируйте соответствующее правило.

2. Упростите выражение:   sin ( α  -  β ) +  (cos α  · sin  β)/  sin ( α  + β) -   cos α · sin β ;      sin(α  + β ) + cos (α  - β )/  cos ( α +  β ) – cos (α - β ).

Карточка  №9

1. Запишите формулы суммы (разности) синусов двух углов и суммы (разности) косинусов двух углов. Сформулируйте соответствующее правило.

2. Используя формулы сложения, вычислите: sin 75º;    cos 15º;       sin 105º;   cos 105º

Карточка № 10

1. Запишите формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.

2. Упростите выражение:   sin 2  α /  2 cos α;     cos⁴  α  -  sin⁴ α ;   

 sin 2  α  -  (sin ²  α +  cos²  α );      2  tg 15º/  (1-   tg² 15º)