Зачёт №1 по геометрии, 11 класс

Зачет по геометрии №1 по теме «Векторы в пространстве»

1.      Определение вектора. Определение нулевого вектора.  Длина вектора.  Сложение векторов правилом треугольника.

2.       Определение вектора. Определение коллинеарных векторов. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Вычитание векторов.

3.      Определение вектора. Определение равных векторов. Сложение векторов правилом параллелограмма.

4.      Определение произведения ненулевого вектора на число. Основные свойства умножения вектора на число.

5.      Определение компланарных векторов. Признак компланарности трех векторов.

6.      Доказательство теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

7.      В правильной треугольной пирамиде DABC точки P, M, K, T – середины соответственно рёбер DA, BC, BA, DC. Запишите векторы с началами и концами в вершинах пирамиды или точках P, M, K, и T, которые: а) сонаправлены вектору  ; б) противоположно направлены вектору; в) равны вектору

8.      В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки K, M, T, E – середины соответственно рёбер AB, PA, PC, BC. а) Перечислите пары сонаправленных векторов с концами в точках K, M, T, E. б) Перечислите пары равных векторов с концами в точках K, M, T, E. в) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках K, M, T, Е.

9.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный  .

10. ABCDA₁B₁C₁D₁- параллелепипед. Упростите выражение .

11. Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный             

12.  Точка А лежит на отрезке ВС и делит его в отношении 4:3, считая от вершины В. Выразите: а) вектор   через вектор  ; б) вектор   через вектор  ; в) вектор   через вектор .

13. ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор  по векторам   

14.  Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника BB₁C пересекаются в точке М.  Разложите вектор    по векторам     

15.  Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О - произвольная точка пространства, то   

16. При каких значениях k в равенстве , где  – ненулевой вектор, векторы и : а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

17. Векторы     и     коллинеарны. Докажите, что векторы  и  коллинеарны.

18. Упростите выражение: а) ;

б)

№1

1.      Определение вектора. Определение нулевого вектора.  Длина вектора.  Сложение векторов правилом треугольника.

2.      В правильной треугольной пирамиде DABC точки P, M, K, T – середины соответственно рёбер DA, BC, BA, DC. Запишите векторы с началами и концами в вершинах пирамиды или точках P, M, K, и T, которые: а) сонаправлены вектору  ; б) противоположно направлены вектору; в) равны вектору

3.   ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор  по векторам   

№2

1.      Определение вектора. Определение коллинеарных векторов. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Вычитание векторов.

2.      Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника BB₁C пересекаются в точке М.  Разложите вектор    по векторам

3.      В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки K, M, T, E – середины соответственно рёбер AB, PA, PC, BC. а) Перечислите пары сонаправленных векторов с концами в точках K, M, T, E. б) Перечислите пары равных векторов с концами в точках K, M, T, E. в) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках K, M, T, Е.

№3

1.      Определение вектора. Определение равных векторов. Сложение векторов правилом        параллелограмма.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ..

3.      Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О - произвольная точка пространства, то  .

№4

1.      Определение произведения ненулевого вектора на число. Основные свойства умножения вектора на число.

2.   ABCDA₁B₁C₁D₁- параллелепипед. Упростите выражение .

3.   При каких значениях k в равенстве , где  – ненулевой вектор, векторы и : а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

№5

1.      Определение компланарных векторов. Признак компланарности трех векторов.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный 

3.   Векторы     и     коллинеарны. Докажите, что векторы  и  коллинеарны.

№6

1.      Доказательство теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

2.      Точка А лежит на отрезке ВС и делит его в отношении 4:3, считая от вершины В. Выразите: а) вектор   через вектор  ; б) вектор   через вектор  ; в) вектор   через вектор .

3.   Упростите выражение: а) ;

б)

№7

1.      Определение вектора. Определение нулевого вектора.  Длина вектора.  Сложение векторов правилом треугольника.

2.      В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки K, M, T, E – середины соответственно рёбер AB, PA, PC, BC. а) Перечислите пары сонаправленных векторов с концами в точках K, M, T, E. б) Перечислите пары равных векторов с концами в точках K, M, T, E. в) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках K, M, T, Е.

3.      Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О - произвольная точка пространства, то 

№8

1.      Определение вектора. Определение коллинеарных векторов. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Вычитание векторов.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ..

3.   При каких значениях k в равенстве , где  – ненулевой вектор, векторы и : а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

№9

1.      Определение вектора. Определение равных векторов. Сложение векторов правилом параллелограмма.

2.   ABCDA₁B₁C₁D₁- параллелепипед. Упростите выражение .

3.   Векторы     и     коллинеарны. Докажите, что векторы  и  коллинеарны.

№10

1.      Определение произведения ненулевого вектора на число. Основные свойства умножения   вектора на число.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный 

3.   Упростите выражение: а) ;

б)

№11

1.      Определение компланарных векторов. Признак компланарности трех векторов.

2.      Точка А лежит на отрезке ВС и делит его в отношении 4:3, считая от вершины В. Выразите: а) вектор   через вектор  ; б) вектор   через вектор  ; в) вектор   через вектор .

3.   ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор  по векторам   

№12

1.      Доказательство теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

2.      В правильной треугольной пирамиде DABC точки P, M, K, T – середины соответственно рёбер DA, BC, BA, DC. Запишите векторы с началами и концами в вершинах пирамиды или точках P, M, K, и T, которые: а) сонаправлены вектору  ; б) противоположно направлены вектору; в) равны вектору

3.      Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника BB₁C пересекаются в точке М.  Разложите вектор    по векторам

№13

1.      Определение вектора. Определение нулевого вектора.  Длина вектора.  Сложение векторов правилом треугольника.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ..

3.   Векторы     и     коллинеарны. Докажите, что векторы  и  коллинеарны.

№14

1.      Определение вектора. Определение коллинеарных векторов. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Вычитание векторов

2.   ABCDA₁B₁C₁D₁- параллелепипед. Упростите выражение .

3.   Упростите выражение: а) ;

б)

№15

1.      Определение вектора. Определение равных векторов. Сложение векторов правилом параллелограмма.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный 

3.   ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор  по векторам   

№16

1.      Определение произведения ненулевого вектора на число. Основные свойства умножения вектора на число.

2.      Точка А лежит на отрезке ВС и делит его в отношении 4:3, считая от вершины В. Выразите: а) вектор   через вектор  ; б) вектор   через вектор  ; в) вектор   через вектор ..

3.      Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника BB₁C пересекаются в точке М.  Разложите вектор    по векторам

№17

1.      Определение компланарных векторов. Признак компланарности трех векторов.

2.      В правильной треугольной пирамиде DABC точки P, M, K, T – середины соответственно рёбер DA, BC, BA, DC. Запишите векторы с началами и концами в вершинах пирамиды или точках P, M, K, и T, которые: а) сонаправлены вектору  ; б) противоположно направлены вектору; в) равны вектору

3.      Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О - произвольная точка пространства, то 

№18

1.      Доказательство теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

2.      В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки K, M, T, E – середины соответственно рёбер AB, PA, PC, BC. а) Перечислите пары сонаправленных векторов с концами в точках K, M, T, E. б) Перечислите пары равных векторов с концами в точках K, M, T, E. в) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках K, M, T, Е.

3.   При каких значениях k в равенстве , где  – ненулевой вектор, векторы и : а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

№19

1.      Определение вектора. Определение нулевого вектора.  Длина вектора.  Сложение векторов правилом треугольника.

2.   ABCDA₁B₁C₁D₁- параллелепипед. Упростите выражение .

Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника BB₁C пересекаются в точке М.  Разложите вектор    по векторам

3.    Векторы     и     коллинеарны. Докажите, что векторы  и  коллинеарны.

№20

1.      Определение вектора. Определение коллинеарных векторов. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Вычитание векторов.

2.   Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный   

3.      Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О - произвольная точка пространства, то 

№21

1.       Определение вектора. Определение равных векторов. Сложение векторов правилом параллелограмма.

2.      Точка А лежит на отрезке ВС и делит его в отношении 4:3, считая от вершины В. Выразите: а) вектор   через вектор  ; б) вектор   через вектор  ; в) вектор   через вектор ..

3.   При каких значениях k в равенстве , где  – ненулевой вектор, векторы и : а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

№22

1.       Определение произведения ненулевого вектора на число. Основные свойства умножения вектора на число.

2.   ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор  по векторам   

3.   Векторы     и     коллинеарны. Докажите, что векторы  и  коллинеарны.

№23

1.      Определение компланарных векторов. Признак компланарности трех векторов.

2.      Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Медианы треугольника ВВ1С пересекаются в точке М.  Разложите вектор АМ по векторам АА1=а, АВ=в, АD=c.

3.   Упростите выражение: а) ;

б)

№24

1.      Доказательство теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

2.      Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О - произвольная точка пространства, то 

3.   ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор  по векторам