Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачи на оптимизацию

Задачи на оптимизацию

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию» (10 -11 класс)


Цель: Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь учащихся.

Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной действительности.


За неделю до проведения урока – семинара класс делиться на 5 – 6 групп, каждая из которых получает индивидуальное задание. Все учащиеся группы решают 2 – 3 задачи, а один из них готовит сообщение или решение одной данной задачи для остальных учащихся класса.


Ход урока.

I. Исторический экскурс.

Урок начинается вступительными словами учителя.

Учитель: Человеку часто приходиться решать задачи оптимизации своей деятельности, в которых нужно с помощью наименьших затрат, сил, средств, материалов получить наилучший результат. Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов?

Каких размеров должен быть ящик при заданном расходе материала и чтобы его объем был наибольшим?

В каком месте следует построить мост через речку, чтобы дорога проходящая через него и соединяющая два города была кратчайшей?

А самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны.

Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки, и разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной шкурой. Если учесть, что царица выбирала участок примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая L, чтобы площадь фигуры, ограниченной этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей?

Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Ну, а мы с вами постараемся разобрать такие задачи, с которыми каждый из нас может встретиться. Сначала, мне бы хотелось, чтобы вы познакомились с одним законом, диктующим размеры и формы всех промышленных продуктов. Прослушаем о нем сообщение (сообщение Метелкиной Е.).


II. Что такое ГОСТы.

I группа: В технике все держится на стандартизации. Много в мире делается механизмов, и все они состоят из различных деталей. Со всех участков завода поступают готовые детали в сборочный цех, некоторые из них привозят из других городов, а также из разных стран. И все детали подходят друг к другу. Если бы это было не так, невозможно было бы собрать ни один прибор.

Соответствие деталей друг другу обеспечивает стандартизация – установление единых норм и требований, предъявляемых к сырью, полуфабрикатам, готовым изделиям и материалам. Службы стандартизации разрабатывают систему государственных (а часто и межгосударственных) стандартов – ГОСТов.

ГОСТ – это закон, диктующий размеры и формы всех промышленных продуктов. Стандартизуется все – детали машин, профили проката (балки, уголки, швеллеры, трубы), формы и размеры досок, кирпичей, бутылок и пакетов и многое, многое другое. [4]

Методы математики являются основой стандартизации, а значит и фундаментом всей промышленности.

Вспомним один старый анекдот.

Портной сказал заказчику, что на его костюм пойдет 4 метра, но потребовал принести 7 метров материи, объяснив необходимость в лишних метрах очень просто: «Остальное я искромсаю». Портной, очевидно, не собирался экономить материал заказчика, а в технике экономия материалов занимает важнейшее место. И следя за экономией, прежде всего ГОСТы. Они не допускают, чтобы заготовка, из которой делается деталь, намного превосходила размеры самой детали. Иначе ценные материалы – металл или дерево будут уходить в стружку в процессе вытачивания маленькой детали из слишком большой заготовки.

III. Решение задач по группам (методами дифференциального исчисления и графически).

Учитель: Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа, имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически, так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной)

Итак, вам дается 7 минут, для того, чтобы решить и подготовиться к защите своих задач.

IV. Защита решений задач.

I группа:

Задача: Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить куском проволоки длиной 2p?

Решение: Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x, тогда длина другой стороны будет (px), а потому площадь участка hello_html_6fe40152.gif. При этом hello_html_m66fc2356.gif. Найдем критические точки функции S(x). Производная S(x) равна: hello_html_m676e42c4.gif. Она обращается в 0 при hello_html_m5f914821.gif. Итак, надо найти наибольшее значение функции hello_html_6fe40152.gif при hello_html_m5f914821.gif, p-x=p -hello_html_7ba26e0e.gifпрямоугольник – квадрат со стороной hello_html_6b05f06a.gif и его площадь равна hello_html_m6a21c928.gif. Т.е. наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь квадрата.


II группа:

Задача: из круглого бревна, толщина которого d см., следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab2 (a, b – измерения сечения балки в см.). При каких значениях а и b прочность балки будет наибольшей?

Решение: Под толщиной круглого бревна понимается диаметр его более тонкого конца. Факторами на прочность балки являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид древесины, из которой балка изготовлена (но этим условием мы пренебрегаем при решении задачи).

Оhello_html_61cb608.png

d

бозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через k (k>0). По условию задачи Р=kab2. Тогда математическая задача может быть сформулирована следующим образом: «При каких значениях переменных а и b функция Р принимает наибольшее значение?

b2=d2 – a2 (AB=b, AD=a, BD=d) (рис.1).

Отсюда Р(а)=ka(d2a2) ahello_html_m289d78ff.gif(0;d). hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m38359bfb.gif. Найдем критические точки функции:hello_html_7ccb868d.gif, hello_html_m52d2e17e.gif= 0 hello_html_1b730b13.gifhello_html_264094b1.gif. или hello_html_m77686a8f.gifhello_html_m3dfb1ba2.gif (0;d) (рис.2).


hello_html_m72606bc1.gifhello_html_m43e33cf5.gif

0 hello_html_49dcb1f5.gifd

Рис.2.

При аhello_html_m289d78ff.gif (0; hello_html_m4bfd63a5.gif) Р’(a)>0 и, следовательно, функция Р(а) возрастает на (0; hello_html_m4bfd63a5.gif).

При аhello_html_m289d78ff.gif (hello_html_m4bfd63a5.gif;d) Р’(a)<0 и, следовательно, функция Р(а) убывает на (hello_html_m4bfd63a5.gif;d).

Таким образом, точка hello_html_m4bfd63a5.gif - точка максимума и функция Р(а) принимает в ней наибольшее значение. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпадает с ее наибольшим (наименьшем) значением на этом промежутке). Из равенства b2=d2a2 имеем hello_html_74ef437c.gif. Таким образом функция Р принимает наибольшее значение при hello_html_m1edbdf00.gif и hello_html_74ef437c.gif. Тогда прочность балки составляет hello_html_m5ac594ef.gif.

Вывод: Уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения, отличных от оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок е службы будет меньше, а это экономически невыгодно.

Учитель

Отыскание наибольших и наименьших значений функции применяется при решении многих задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия системы достигает экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия максимальна. Рассмотрим еще следующий пример.

III группа. Задача: Найдем на АВ такую точку С, чтобы сумма длин отрезков МС и NC была минимальна.

М N

hello_html_69b28e4a.gifhello_html_m38f100c0.gif

A x С l -x B


Рис.3.

Решение: Примем точку А за начало координат на прямой и обозначим координату точки С через х. (рис.3) МС=hello_html_5ee8392c.gif и NC=hello_html_2be96e0c.gif, а потому f(x)=MC+NC=hello_html_5ee8392c.gif+hello_html_2be96e0c.gif.

Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), вычислим ее производную и приравняем к нулю:

hello_html_m1979af79.gif. (1)

Не решая полученного уравнения, заметим, что hello_html_m5ebfa2fb.gif= sinhello_html_2e28ff68.gif, hello_html_f05c96d.gif= sinhello_html_m154a5599.gif. Поэтому равенство (1) означает, что sinhello_html_2e28ff68.gif= sinhello_html_m154a5599.gif, откуда hello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m154a5599.gif (острые углы равны, если равны их синусы). Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет наименьшей, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч свет «выбирает» при отражении путь экстремальной длины.

Учитель: Ребята, в наше время всем нам приходиться много работать с компьютером. Я думаю, что всем нам будет интересна следующая задача


IV группа.:

Задача: На странице текст должен занимать 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение: Пусть длина печатного текста будет хсм., причем hello_html_72ac6782.gif, тогда ширина его - hello_html_m4539ff12.gifсм.

Рhello_html_75cd3861.gifазмеры страницы соответственно будут (х+4)см и (hello_html_m4539ff12.gif+6)см (рис.4).

Площадь страницы S=(х+4)(hello_html_m4539ff12.gif+6)= hello_html_m1df065a9.gif.

Найдем производную S(x):

hello_html_7cd6ec2b.gif, hello_html_m5ec307d.gif при hello_html_m7f2ca12e.gif=0 hello_html_1b730b13.gif2=1536 hello_html_1b730b13.gifх1 = 16 или х2 = - 16 hello_html_m3dfb1ba2.gif(0;384).

Итак, размер листа должен быть 16+4=20 см, hello_html_m60eb4cb0.gifсм.

Ответ: 20 см. и 30 см.





Рис.4.


V группа:

Зhello_html_2ae9ac78.pngадача: Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем hello_html_7707454f.gifАВС=600. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В – поезд. Автомобиль движется по направлению к точке В со скоростью 80 км/ч, поезд - к точке С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км?

Рhello_html_m47357494.gifешение: Пусть в момент времени t, t hello_html_m289d78ff.gif [0;hello_html_5d645c2b.gif], т.е t hello_html_m289d78ff.gif [0;2,5], автомобиль находится в точке Е, а поезд в точке К. Тогда ВЕ=200-80t, ВК=50t. По теореме косинусов: ЕК2 = ВК2+ ВЕ2 - 2 ВЕ ВКcos В.

ЕК2 =(200 – 80t)2+(50t)2 – 2*hello_html_m3d4efe4.gif*50(200 – 80t)t =12900 t2-42000 t+40000. Пусть ЕК2= S(t)= 12900 t2-42000 t+40000.

S (t)=25800t-42000 S (t)=0 hello_html_1b730b13.gif25800 t=42000 hello_html_1b730b13.gift=hello_html_27c7e8a6.gifhello_html_m289d78ff.gif[0;2,5], поэтому наименьшее значение ЕК2 достигается при t=hello_html_27c7e8a6.gif= 1hello_html_m7594c1e0.gif (часа)


Учитель: Подводя итог решению всех рассмотренных задач с помощью дифференциального исчисления, заметим, что все задачи решаются по следующему плану:

  1. Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.

  2. Находят промежуток изменения независимой переменной.

  3. Находят производную полученной в пункте 1 функции.

  4. Находят критические точки функции ( в том числе и те, в которых производная не существует).

  5. Определяют какие из них принадлежат промежутку из пункта 2.

  6. Находят наибольшее или наименьшее значение функции.


При этом для простоты вычислений полезно иметь в виду следующие замечания:

  1. Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения задающего функцию:

а) прибавление постоянного слагаемого;

б) умножение на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно);

в) возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.

Например, функция hello_html_35d7ba4b.gif имеет на отрезке [0;7] наибольшее значение в той же точке, что и функция hello_html_54075536.gif.

2) Если положительная функция f принимает в точке а наибольшее (наименьшее) значение, то функции f и hello_html_1892228.gif принимают в той же точке наименьшее (соответственно наибольшее) значение.

Например, функция (х-2)2+5 принимает наименьшее значение при х=2, а потому функция hello_html_2445a945.gif имеет при х=2 наибольшее значение.

На этом уроке мы ограничились рассмотрением алгебраических задач, но и геометрические задачи тоже сводятся к алгебраическим.

Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремумы функции является использование неравенств, в частности, неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенства Коши):

hello_html_625adb2a.gif, т.е. hello_html_m24976183.gif или, в общем виде: hello_html_3905a36f.gif.

Решим задачу:

Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданной площади поверхности S, его объем был наибольшим?

Решение:

hello_html_m7226eb37.png

S пов =2(ab+bc+ac), V=abc, ab+bc+ac=hello_html_maca3a04.gif

hello_html_7b4e7912.gif

hello_html_6a1a8709.gif

hello_html_mc05a08c.gif

hello_html_71bdf9ad.gif

ab=bc=ac hello_html_1b730b13.gifa=b=c

Итак, среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.


V. Итог урока.

Мы сегодня показали, как важны знания математики человеку, сидящему за компьютером, строителю, инженеру, экономисту, а так же простому плотнику; показали связь математики с другими предметами, в частности, с физикой и информатикой. Надеюсь, что эти знания пригодятся в жизни.




Список используемой литературы.


    1. Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ».Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

    2. Колмагоров А.Н. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.

    3. Журнал «Математика в школе» №7, 2003 г.

    4. Детская энциклопедия», т.5, АПН РСФСР, 1960 г.

7


Краткое описание документа:

Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь учащихся.

Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной действительности.

Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа, имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически, так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной)

Общая информация

Номер материала: 316174

Похожие материалы