Задачи на оптимизацию

Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию» (10 -11 класс)

Цель: Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь учащихся.

Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной действительности.

За неделю до проведения урока – семинара класс делиться на 5 – 6 групп, каждая из которых получает индивидуальное задание. Все учащиеся группы решают 2 – 3 задачи, а один из них готовит сообщение или решение одной данной задачи для остальных учащихся класса.

Ход урока.

I. Исторический экскурс.

Урок начинается вступительными словами учителя.

Учитель: Человеку часто приходиться решать задачи оптимизации своей деятельности, в которых нужно с помощью наименьших затрат, сил, средств, материалов получить наилучший результат. Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов?

Каких размеров должен быть ящик при заданном расходе материала и чтобы его объем был наибольшим?

В каком месте следует построить мост через речку, чтобы дорога проходящая через него и соединяющая два города была кратчайшей?

А самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны.

Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки, и разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной шкурой. Если учесть, что царица выбирала участок примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая L, чтобы площадь фигуры, ограниченной этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей?

Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Ну, а мы с вами постараемся разобрать такие задачи, с которыми каждый из нас может встретиться. Сначала, мне бы хотелось, чтобы вы познакомились с одним законом, диктующим размеры и формы всех промышленных продуктов. Прослушаем о нем сообщение (сообщение Метелкиной Е.).

II. Что такое ГОСТы.

I группа: В технике  все держится на стандартизации. Много в мире делается механизмов, и все они состоят из различных деталей. Со всех участков завода поступают готовые детали в сборочный цех, некоторые из них привозят из других городов, а также из разных стран. И все детали подходят друг к другу. Если бы это было не так, невозможно было бы собрать ни один прибор.

Соответствие деталей друг другу обеспечивает стандартизация – установление единых норм и требований, предъявляемых к сырью, полуфабрикатам, готовым изделиям и материалам. Службы стандартизации разрабатывают систему государственных (а часто и межгосударственных) стандартов – ГОСТов.

ГОСТ – это закон, диктующий размеры и формы всех промышленных продуктов. Стандартизуется все – детали машин, профили проката (балки, уголки, швеллеры, трубы), формы и размеры досок, кирпичей, бутылок и пакетов и многое, многое другое. [4]

Методы математики являются основой стандартизации, а значит и фундаментом всей промышленности.

Вспомним один старый анекдот.

Портной сказал заказчику, что на его костюм пойдет 4 метра, но потребовал принести 7 метров материи, объяснив необходимость в лишних метрах очень просто: «Остальное я искромсаю». Портной, очевидно, не собирался экономить материал заказчика, а в технике экономия материалов занимает важнейшее место. И следя за экономией, прежде всего ГОСТы. Они не допускают, чтобы заготовка, из которой делается деталь, намного превосходила размеры самой детали. Иначе ценные материалы – металл или дерево будут уходить в стружку в процессе вытачивания маленькой детали из слишком большой заготовки.

III. Решение задач по группам (методами дифференциального исчисления и графически).

Учитель: Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа, имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически, так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной)

Итак, вам дается 7 минут, для того, чтобы решить и подготовиться к защите своих задач.

IV. Защита решений задач.

I группа:

Задача: Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить куском проволоки длиной 2p?

Решение: Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x, тогда длина другой стороны будет (p – x), а потому площадь участка . При этом . Найдем критические точки функции S(x). Производная S(x) равна: . Она обращается в 0 при . Итак, надо найти наибольшее значение функции  при , p-x=p -прямоугольник – квадрат со стороной  и его площадь равна . Т.е. наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь квадрата.

II группа:

Задача: из круглого бревна, толщина которого d см., следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab² (a, b – измерения сечения балки в см.). При каких значениях а и b прочность балки будет наибольшей?

Решение: Под толщиной круглого бревна понимается диаметр его более тонкого конца. Факторами на прочность балки являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид древесины, из которой балка изготовлена (но этим условием мы пренебрегаем при решении задачи).

d

Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через k (k>0). По условию задачи Р=kab². Тогда математическая задача может быть сформулирована следующим образом: «При каких значениях переменных а и b функция Р принимает наибольшее значение?

b²=d² – a²  (AB=b, AD=a, BD=d) (рис.1).

Отсюда Р(а)=ka(d²–a²) a(0;d). . Найдем критические точки функции:, = 0  . или  (0;d) (рис.2).

0                                       d

Рис.2.

При а (0; ) Р’(a)>0 и, следовательно, функция Р(а) возрастает на (0; ).

При а (;d) Р’(a)<0 и, следовательно, функция Р(а) убывает на (;d).

Таким образом, точка  - точка максимума и функция Р(а) принимает в ней наибольшее значение. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпадает с ее наибольшим (наименьшем) значением на этом промежутке). Из равенства b²=d²– a² имеем . Таким образом функция Р принимает наибольшее значение при  и . Тогда прочность балки составляет .

Вывод: Уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения, отличных от оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок е  службы будет меньше, а это экономически невыгодно.

Учитель

Отыскание наибольших и наименьших значений функции применяется при решении многих задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия  системы достигает экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия максимальна. Рассмотрим еще следующий пример.

III группа. Задача: Найдем на АВ такую точку С, чтобы сумма длин отрезков МС и NC была минимальна.

М                                                                N

A            x               С          l -x             B

Рис.3.

Решение: Примем точку А за начало координат на прямой и обозначим координату точки С через х. (рис.3) МС= и NC=, а потому f(x)=MC+NC=+.

Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), вычислим ее производную и приравняем к нулю:

.                                                                   (1)

Не решая полученного уравнения, заметим, что = sin, = sin. Поэтому равенство (1) означает, что sin= sin, откуда = (острые углы равны, если равны их синусы). Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет наименьшей, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч свет «выбирает» при отражении путь экстремальной длины.

Учитель: Ребята, в наше время всем нам приходиться много работать с компьютером. Я думаю, что всем нам будет интересна следующая задача

IV группа.:

Задача: На странице текст должен занимать 384 см². Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение: Пусть длина печатного текста будет хсм., причем , тогда ширина его - см.

Размеры страницы соответственно будут (х+4)см и (+6)см (рис.4).

Площадь страницы S=(х+4)(+6)= .

Найдем производную S(x):

,  при =0  6х²=1536  х₁ = 16 или х₂ = - 16 (0;384).

Итак, размер листа должен быть 16+4=20 см, см.

Ответ: 20 см. и 30 см.

Рис.4.

V группа:

Задача: Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем АВС=60⁰. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В – поезд. Автомобиль движется по направлению к точке В со скоростью 80 км/ч, поезд - к точке С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км?

Решение: Пусть в момент времени t, t  [0;], т.е t  [0;2,5], автомобиль находится в точке Е, а поезд в точке К. Тогда ВЕ=200-80t, ВК=50t. По теореме косинусов: ЕК² = ВК²+ ВЕ² - 2 ВЕ ВКcos В.

ЕК² =(200 – 80t)²+(50t)² – 2**50(200 – 80t)t =12900 t²-42000 t+40000. Пусть ЕК²= S(t)= 12900 t²-42000 t+40000.

S’ (t)=25800t-42000 S’ (t)=0 25800 t=42000 t=[0;2,5], поэтому наименьшее значение ЕК² достигается при t== 1 (часа)

Учитель: Подводя итог решению всех рассмотренных задач с помощью дифференциального исчисления, заметим, что все задачи решаются по следующему плану:

1)      Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.

2)      Находят промежуток изменения независимой переменной.

3)      Находят производную полученной в пункте 1 функции.

4)      Находят критические точки функции ( в том числе и те, в которых производная не существует).

5)      Определяют какие из них принадлежат промежутку из пункта 2.

6)      Находят наибольшее или наименьшее значение функции.

При этом для простоты вычислений полезно иметь в виду следующие замечания:

1)      Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения задающего функцию:

а) прибавление постоянного слагаемого;

б) умножение на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно);

в) возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.

Например, функция  имеет на отрезке [0;7] наибольшее значение в той же точке, что и функция .

2) Если положительная функция f принимает в точке а наибольшее (наименьшее) значение, то функции –f  и  принимают в той же точке наименьшее (соответственно наибольшее) значение.

Например, функция (х-2)²+5 принимает наименьшее значение при х=2, а потому функция  имеет при х=2 наибольшее значение.

На этом уроке мы ограничились рассмотрением алгебраических задач, но и геометрические задачи тоже сводятся к алгебраическим.

Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремумы функции является использование неравенств, в частности, неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенства Коши):

, т.е.  или, в общем виде: .

Решим задачу:

Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданной площади поверхности S, его объем был наибольшим?

Решение:

S _пов =2(ab+bc+ac), V=abc, ab+bc+ac= 

ab=bc=ac a=b=c

Итак, среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.

V. Итог урока.

Мы сегодня показали, как важны знания математики человеку, сидящему за компьютером, строителю, инженеру, экономисту, а так же простому плотнику; показали связь математики с другими предметами, в частности, с физикой и информатикой. Надеюсь, что эти знания пригодятся в жизни.

Список используемой литературы.

1.            Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ».Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

2.            Колмагоров А.Н. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.

3.            Журнал «Математика в школе» №7, 2003 г.

4.            Детская энциклопедия», т.5, АПН РСФСР, 1960 г.

Краткое описание документа:

Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь учащихся.

Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной действительности.

Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа, имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически, так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной)