Задачи по геометрии "Планиметрия".

1. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найдите стороны этого треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 5:4.

3. В треугольнике  проведена медиана . Найдите длину , если см, периметр треугольника  равен 18см, а  на 2 см больше .

4. На боковых сторонах равнобедренного треугольника  с основанием  отложены равные отрезки  и .  - медиана треугольника  - пересекает отрезок  в точке . Докажите, что  - медиана треугольника .

5. В равнобедренном треугольнике  с основанием  на медиане  отмечена точка . Докажите, что треугольник  - равнобедренный.

6. В равнобедренном треугольнике  с основанием  проведены биссектрисы  и . Докажите, что .

7. Внешний угол треугольника равен , а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.

8. Треугольник  - равнобедренный с основанием . Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке , . Найдите угол .

9. Один из углов треугольника равен . Найдите угол между биссектрисами двух других углов треугольника.

10. В прямоугольном треугольнике  проведена высота . Найдите длину гипотенузы , если , см.

11. Высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найдите углы треугольника.

12. В треугольнике  . Биссектрисы внутреннего угла  и внешнего угла при вершине  пересекаются в точке . Найдите угол .

13. На гипотенузе  прямоугольного треугольника  отмечены точки  и , такие, что  и  (точка  лежит между  и ). Найдите угол .

14. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен . Найдите острые углы этого треугольника.

15. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

16. Найдите углы треугольника , если угол  на  больше угла , а угол  в 5 раз больше угла .

17. В прямоугольном треугольнике   биссектрисы  и  пересекаются в точке . . Найдите острые углы треугольника .

18. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешним образом, равно 18 см. Найдите радиусы окружностей, если один из них в 2 раза больше другого.

19. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

20. Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых.

21. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в 3 раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника.

22. Параллельные прямые  и  пересечены двумя параллельными секущими  и , причем точки  и  принадлежат прямой , а точки  и  - прямой . Докажите, что .

23. Сумма двух сторон параллелограмма равна 24 см, а периметр – 56 см. Найдите стороны параллелограмма.

24. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба.

25. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:7. Найдите углы между диагоналями данного прямоугольника.

26. Разность двух углов параллелограмма равна . Найдите все углы параллелограмма.

27. В параллелограмме  биссектриса угла  делит сторону  на отрезки  и . Найдите периметр параллелограмма, если известно, что см и  в два раза меньше .

28. Докажите, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.

29. Точки ,  и  - середины сторон треугольника . Периметр треугольника  равен 12 см. Найдите периметр треугольника .

30. Точки , , ,  - середины сторон четырехугольника . Докажите, что .

31. Разность противолежащих углов равнобокой трапеции равна . Найдите углы трапеции.

32. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, а средняя линия – 10 см. Найдите периметр трапеции.

33. Диагональ  делит прямоугольную трапецию  на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание равно 12 см.

34. Стороны параллелограмма равны  и  . Найдите диагонали четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис внутренних углов параллелограмма.

35. На стороне ромба  построен равносторонний треугольник , найдите угол , если точка  находится внутри ромба.

36. Постройте квадрат по разности длин диагонали и стороны.

37. Средняя линия треугольника образует со стороной углы, которые в три раза больше углов треугольника при этой стороне. Найдите углы треугольника.

38. В равнобокой трапеции с острым углом  основания относятся как 2:3. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?

39. В равностороннем треугольнике   со стороной, равной 6 см, точки ,  и  - середины сторон ,  и  соответственно. Определите вид четырехугольника  и найдите его периметр.

40. Биссектрисы тупых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке,  лежащей на большем основании трапеции. Меньшее основание трапеции равно 8 см, а боковая сторона – 9 см. Найдите среднюю линию трапеции.

41. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то середины его сторон являются вершинами ромба.

42. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одно из его сторон – 12 см. Найдите периметр прямоугольника.

43. Найдите периметр прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 см и 8 см, а большая боковая сторона – 10 см.

44. Медиана равностороннего треугольника равна  см. Найдите сторону треугольника.

45. Стороны треугольника пропорциональны числам 7, 24, 25. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.

46. Из точки , не лежащей на прямой , проведены к этой прямой перпендикуляр  и две наклонные  -  и .  Найдите расстояние между точками  и , если см, см, см и точка  лежит на отрезке .

47. В треугольнике  см, см,  - высота. Какой из отрезков больше -  или ? Почему?

48. Пересекаются ли окружности с радиусами  и  и расстоянием между центрами , если см, см, см? Ответ объясните.

49. Докажите, что сумма диагоналей параллелограмма меньше его периметра.

50. Диагонали трапеции равны 8 см и 15 см, а основания – 7 см и 10 см. Найдите угол между диагоналями.

51. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны  и . Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

52. В ромбе  из точки  на сторону  опущен перпендикуляр .  Найдите , если см,  см.

53. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катетами  и  и гипотенузой  .

54. Докажите, что сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы, проведенной из той же вершины.

55. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а его боковая сторона равна 13 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к основанию.

56. Большая диагональ ромба равна 40 см, а меньшая диагональ относится к стороне как 6:5. Найдите сторону и высоту ромба.

57. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 см, а синус одного из углов равен 0,28. Найдите катеты треугольника.

58. Диагональ прямоугольника равна 8, а одна из его сторон - . Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

59. а) Вычислите ,

б) упростите выражения: 1)

                                               2)

                                               3)

в) найдите значения  и , если

г) Какой из углов больше -  или , если , .

60. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 6 см один из углов равен . Найдите катеты треугольника.

61. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а медиана, проведенная к другому катету, равна см. Найдите периметр треугольника.

62. Высоты равнобокой трапеции делят ее на квадрат и два равнобедренных треугольника. Боковая сторона трапеции равна  см. Найдите основания и тупой угол трапеции.

63. Даны точки  и . Точка  - середина отрезка .

а) Найдите координаты точки .

б) Найдите длину отрезка .

64. Окружность с центром в точке  проходит через точку .

а) Запишите уравнение этой окружности.

б) Найдите точки окружности, которые имеют абсциссу, равную 3.

65. Дана окружность с центром в точке , заданная уравнением , и точка . Докажите, что данная окружность проходит через середину отрезка .

66. а) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки  и .

б) Найдите координаты точки пересечения данной прямой с осью абсцисс.

67. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями  и .

68. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку  и параллельна прямой .

69. Даны точки , , . Для треугольника  составьте уравнение медианы .

70. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника , если , , .

71. Найдите ГМТ, удаленных на 0,5 от окружности .

72. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых  и  и параллельна биссектрисе первого координатного угла.

73. Составьте уравнение окружности с центром в точке , касающейся прямой .

74. Три вершины прямоугольника лежат в точках , , . В каких точках окружность  пересекает стороны прямоугольника?

75. Прямая задана уравнением .

а) Найдите координаты точек  и  пересечения прямой с осями координат.

б) Найдите координаты середины отрезка .

в) Найдите длину отрезка .

76. Даны точки  и . Известно, что  - диаметр некоторой окружности.

а) Найдите координаты центра окружности.

б) Найдите радиус окружности.

в) Запишите уравнение окружности.

77. Даны точки , ,  и   . Докажите, что  - ромб.

78. Даны точки ,  и .

а) Постройте отрезок , симметричный отрезку  относительно точки .

б) Постройте точку , симметричную точке  относительно прямой .

в) Укажите координаты точек ,  и .

79. Сколько осей симметрии имеет ромб, не являющийся квадратом? Ответ проиллюстрируйте чертежом.

80. Дан квадрат . Постройте фигуру, в которую он переходит при повороте на  по часовой стрелке относительно точки .

81. Даны точки ,  и .

а) Найдите вектор .

б) Найдите абсолютную величину вектора .

в) Найдите координаты точки , для которой верно равенство .

82. Дан прямоугольник . Какие из указанных равенств верны:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

83. Дан вектор , абсолютная величина которого равна . Известно, что . Найдите .

84. Даны векторы  и .

а) Найдите вектор , если .

б) Найдите число , если .

в) Какие координаты будет иметь вектор , если известно, что  противоположно направлен с  и ?

85. Даны точки , ,  и . Найдите значение , при котором  векторы  и  коллинеарны.

86.  - точка пересечения диагоналей параллелограмма . Постройте векторы , , .

87.  и  - медианы треугольника . Выразите через  и  векторы  и .

88. Найдите скалярное произведение векторов  и , если , , .

89. Найдите значение , при котором векторы  и  перпендикулярны, если , .

90. Найдите , если , , . Докажите, что  - тупой.

91. Даны точки , , .

а) Найдите координаты и абсолютную величину вектора .

б) Найдите вектор, равный .

в) Найдите .

92. Даны векторы , , .

а) Найдите значение , при котором векторы  и  перпендикулярны.

б) Найдите значение , при котором векторы  и  коллинеарны.

в) Будут ли эти коллинеарные векторы сонаправлены? Ответ объяснить.

93. В параллелограмме  точка  - середина стороны , точка  - середина стороны .  Выразите через векторы  и  векторы  и .

94. Сумма диагоналей ромба равна 70 см, а его периметр – 100 см. Найдите диагонали ромба.

95. Боковые стороны прямоугольной  трапеции относятся как 4:5, а одно из оснований на 9 см больше другого. Меньшая диагональ трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

96. Даны точки , , , . Докажите, что  - прямоугольник.

97. Стороны треугольника относятся как 2:4:5. Найдите стороны подобного ему треугольника, в котором сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28 см.

98. Прямоугольный треугольник с катетами  и  и гипотенузой  подобен прямоугольному треугольнику с катетами  и  и гипотенузой . Докажите, что .

99. Стороны одного треугольника равны 21 см, 27 см и 12 см, а стороны другого треугольника относятся как 7:9:4. Докажите равенство соответствующих углов данных треугольников.

100. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота треугольника.

101. Два треугольника подобны. Разность меньшей стороны одного треугольника и большей стороны другого равна 6 см, разность большей стороны одного и меньшей стороны другого равна 48 см, а длины их средних сторон равны 20 см и 50 см. Найдите неизвестные стороны этих треугольников.

102. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника равна  см и делит гипотенузу на отрезки в отношении 3:4. Найдите периметр этого треугольника.

103. Основание равнобедренного треугольника равно 36 см, а боковая сторона – 54 см. К боковым сторонам проведены высоты. Найдите длину отрезка, концами которого являются основания высот.

104. Докажите, что два треугольника подобны, если отношения двух сторон этих треугольников равны и угол между биссектрисами, проведенными к этим сторонам, одного треугольника соответственно равен соответствующему углу между биссектрисами, проведенными к соответствующим сторонам одного треугольника.

105. Из точки  проведены лучи  и . На луче  выбраны точки  и , а на луче  - точки  и  так, что . Докажите равенство радиусов окружностей, описанных около треугольников  и .

106. Два равнобедренных треугольника имеют равные углы, противолежащие основаниям. Основание и боковая сторона первого треугольника равны 16 см и 10 см. Найдите стороны второго треугольника, если его периметр равен 18 см.

107. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки 15 см и 20 см, считая от ближайшей к данному углу вершины. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит сторону прямоугольника.

108. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, равен 24 см и делит диаметр на отрезки, разность которых равна14 см. Найдите радиус окружности.

109. При пересечении двух хорд одна из них отсекает треть второй. Найдите длину второй хорды, если первая хорда при пересечении делится на отрезки 8 см и 9 см.

110. Два угла треугольника равны  и .

а) Определите, в каком отношении вершины треугольника делят описанную окружность.

б) Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

111. Стороны ,  и  вписанного четырехугольника  стягивают дуги, градусные меры которых относятся как 4:7:5. Найдите углы четырехугольника, если сторона  стягивает дугу в .

112. Биссектриса угла  треугольника  пересекает  описанную окружность в точке . Докажите, что треугольник  - равнобедренный.

113. Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведенным к гипотенузе.

114. Разность между медианой и высотой, проведенным к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 1 см. Основание данной высоты отстоит от центра окружности, описанной около треугольника, на 7 см. Найдите периметр треугольника.

115. Хорда  делит дугу окружности в отношении 5:13. Через точку  проведена касательная к окружности. Найдите углы, которые она образует с данной хордой.

116. Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 см и 20 см. Расстояния от данной точки до центра окружности равно 17 см. Найдите радиус окружности.

117. Из точки вне окружности проведена касательная длиной 20 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки до окружности равно 10 см.

118. На сторонах угла, равного , отмечены две точки, удаленные от вершины угла на 17 см и см. Найдите расстояние между этими точками.

119. Две стороны треугольника равны 3 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, равен .

а) Найдите третью сторону треугольника.

б) Докажите, что угол, противолежащий третьей стороне, - тупой.

120. Диагонали параллелограмма равны 19 см и 23 см, а его периметр равен 58 см. Найдите стороны параллелограмма.

121. Дан равнобедренный треугольник  с основанием . Известно, что  - наименьшая сторона треугольника. В каких пределах может изменяться величина угла ?

122. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен одной из его сторон. Найдите угол треугольника, противолежащий данной стороне. Сколько решений имеет задача?

123. Квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон. Найдите угол, противолежащий данной стороне.

124. В параллелограмме биссектриса острого угла, который равен , делит сторону на отрезки 33 см и 55 см, считая от вершины тупого угла. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит меньшую диагональ этого параллелограмма.

125. Докажите, что в равнобокой трапеции квадрат диагонали равен сумме квадрата боковой стороны и произведения оснований.

126. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведенной окружности, если угол между данными сторонами равен .

127. Высоты треугольника  пересекаются в точке . Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников  и  равны.

128. Решите треугольник , если см, см, .

129. Диагональ параллелограмма равна  и делит его угол на углы  и . Найдите стороны параллелограмма.

130. Из точки , лежащей на окружности, проведены хорды см и см. Найдите углы треугольника  и радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 2 см.

131. Найдите углы выпуклого пятиугольника, если каждый из них, начиная со второго, больше предыдущего на .

132. Сумма трех внутренних углов выпуклого четырехугольника равна . Найдите сумму внешних углов четырехугольника, соответствующих данным внутренним углам.

133. Может ли наибольший угол выпуклого семиугольника быть равным ? Ответ объясните.

134. Найдите количество сторон правильного многоугольника, у которого внутренний угол в 3 раза больше центрального.

135. Найдите радиусы окружностей, вписанной в правильный треугольник и описанной около него, если их разность равна 4 см.

136. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

137. В окружности радиуса см выбрана дуга длиной 9 см.

а) Найдите градусную и радианную меру дуги.

б) Найдите длину дуги данной окружности, соответствующей центральному углу, равному 2 радиана.

138. Найдите количество сторон и сумму внутренних углов правильного многоугольника, если его центральный угол равен .

139. Хорда длиной  см делит дугу окружности в отношении 1:2. Найдите длину большей из двух образовавшихся дуг.

140. Периметр правильного многоугольника равен 84 см, а сумма его внутренних углов на  больше суммы внешних углов. Найдите сторону многоугольника.

141. Угол, равный , вписан в окружность. Найдите длину дуги окружности, заключенной между сторонами угла, если радиус окружности равен 5 см.

142. Около правильного треугольника с высотой 9 см описана окружность, а около окружности описан правильный шестиугольник. Найдите его периметр.

143. Длина окружности, описанной около правильного многоугольника, равна 24 см, а длина его стороны - см. Найдите количество сторон многоугольника.

144. Периметр параллелограмма равен 66 см. Два угла параллелограмма относятся как 1:5, а две стороны – как 2:9. Найдите площадь параллелограмма.

145. Диагональ прямоугольника больше его сторон на 2 см и 16 см соответственно.

а) Найдите площадь прямоугольника.

б) Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника.

146. Высоты параллелограмма равны 4 см и 6 см, а одна из его сторон на 4 см больше другой. Найдите периметр параллелограмма.

147. В равнобокой трапеции боковая сторона равна 25 см, диагональ – 30 см, а меньшее основание – 11 см. Найдите высоту трапеции.

148. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, разность которых равна 5 см. Найдите площадь треугольника, если его катеты относятся как 3:4.

149. Диагонали ромба относятся как 8:15, а его площадь равна 240см. Найдите периметр ромба.

150. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 7 см и 25 см.

151. Высота треугольника равна 15 см и делит его сторону на отрезки длиной 8 см и 20 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.

152. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 32 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

153. Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, делит медиану, проведенную к основанию, в отношении 25:7. Боковая сторона треугольника равна 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

154. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки 4 см и 6 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

155. В прямоугольном треугольнике радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно равны 10 см и 4 см. Найдите периметр треугольника.

156. Периметр прямоугольника равен 46 см. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 8:15. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника.

157. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки 7 см и 18 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

158. Основания прямоугольной трапеции равны 21 см и 28 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

159. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на большем основании. Найдите радиус окружности, если высота и диагональ трапеции соответственно равны 24 см  и 40 см.

160. Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник, площадь которого равна 15см. Найдите площадь данного треугольника.

161. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 18 см, 24 см и 30 см.

162. Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь кругового сегмента, если соответствующий ему центральный угол равен .

163. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а его основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.

164. Найдите углы ромба, периметр которого равен 24 см, а площадь – 18 см.

165. Периметр равнобедренного треугольника равен 128 см, а его основание – 48 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

166. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 15 см и 33 см, а диагонали являются биссектрисами острых углов.

167. В треугольнике  , см, =13см.

а) Найдите периметр треугольника.

б) Найдите площадь треугольника.

168. Площадь правильного треугольника равна см. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник, и площадь квадрата, описанного около этого круга.

169. Диагональ прямоугольной трапеции делит острый угол пополам, а вторую диагональ – в отношении 8:5. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.

Краткое описание документа:

Данный сборник задач можно использовать для закрепления изучаемого материала по темам в 7, 8 и 9 классах к учебникам не только Л.С. Атанасяна, но и других авторов. Помимо этого допускается использование материалов сборника для подготовки к основному государственному экзамену по математике. Задачи имеют разный уровень сложности, поэтому их можно использовать и для подготовки части 2 ОГЭ.