Задачи с параметром для подготовки учащихся к ГИА в 9 классе

Задачи с параметрами из сборника

«Алгебра-9 класс, итоговая аттестация (в новой форме)»

                (под редакцией Ф.Ф.Лысенко), 2004 г.

Все рассматриваемые задачи расположены в сборнике под № 5 в части 2.

Вариант 1.

Найдите все значения m, при которых окружность x² + y²=10  не имеет общих точек с прямой mx+y=10.

Решение.

Выясним, при каких значениях m окружность и прямая имеют общие точки, решив систему:

х²+у²=10,

у=10- mх;

у =10- mх,

х² + (10-mх)² =10.

Уравнение х² + (10-mх)² -10=0 имеет решение, если D≥0.

х²+100 - 20mх + m²х² -10=0,

(1+m²)х² -20mх+90=0.

  = (-10mх)² –(1+m²)90 =100m² -90m² -90 =10(m² - 9)

  m² – 9 ≥ 0,

(m-3)(m+3) ≥0,

 m є (-∞;-3][3;+∞)

Тогда  уравнение, а значит и система, не имеет решений при m є (-3; 3)

ОТВЕТ: m є (-3;3)

Вариант 2.

Найдите все целые значения a, при которых вершина параболы y=2x²+ax+1 лежит «выше» прямой y=x.

Решение:

Пусть  (х _в ; у_в) -вершина параболы у=2х²+ах+1, ветви которой направлены вверх.

 Вершина параболы будет лежать «выше» прямой у=х, если   у_в >х_в.

х_в =  ;  у_в =  =  =   =  (8 - a²)

У                                               У=х                                                                        0                         х

Итак,

  8-a²)>  ,

8- a² > -2a,

 a²-2a+8<0,

(a-4)(a+2)<0 , a є (-2 ; 4).

Так как a є Z, то a є {-1;0;1;2;3}

ОТВЕТ: -1; 0; 1; 2; 3.

        Вариант 4.

Найдите все значения m,  при которых парабола    у=х² - х+1 имеет с прямой   х + my - 1= 0 одну единственную общую точку.

        Решение.

Парабола и прямая имеют единственную общую точку, если система                    y=x²-x+1,

 x+my -1=0  имеет единственное решение.

Выясним, при каких m это возможно:

      y=x²-x+1,

     x+my-1=0;

     x=1-my,

     y=(1-my)²-(1-my)+1.

     Преобразуем второе уравнение системы:

       у=1-2my+m²y² - 1+my+1,

      m² y² – (1+m)y+1=0.

      Очевидно, что рассматриваемая система имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет единственное решение.

1)  Если m=0, то уравнение примет вид: у+1=0, которое имеет единственное решение и условие задачи выполняется.

2)  Если m ≠ 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение, если его D=0

     D = (1+m)²- 4m² = 1+2m+m² - 4m² = 1+2m-3m²,

          3m² - 2m -1 = 0,

          m =1; m =.

ОТВЕТ:  ; 0; 1.

Вариант № 6

При каких a наименьшее значение функции у=х² -2ах+43 на  [-2;+∞) равно 7.

Решение:

Ветви параболы у=х² -2ах+43 направлены вверх, значит свое наименьшее значение функция достигает в точке х_в

х_в =  = а

По условию х є [-2;+∞), значит возможны 2 случая:

1)  Если а ≥ -2, то у_наим=у(а)=а² -2а²+43, что по условию равно 7, т.е.         а² -2а²+43=7,

   -а² = -36,

      а²=36,

      а = ±6.

Т.к.  а≥ -2, то а=6.

2)  Если а<-2, то у_наим=у(-2)=4-2а(-2)+43, что по условию  равно 7, т.е.4+4а+43=7,

           4а=-40,

            А = -10.

ОТВЕТ: -10; 6

Вариант №8.

При каких а число 3 заключено между корнями уравнения х² -2ах+а² -1=0?

Решение:

Ветви параболы у=х² -2ах+а² -1 направлены вверх.

 

Х

Х2

Х1

 

у(3)

 

Т.к. по условию корни уравнения находятся по разные стороны от числа 3, то нули параболы также находятся по разные стороны от 3. Тогда:

1) уравнение имеет 2 корня, т.е. D > 0;

2) у (3) < 0.

Итак,    4а² -4(а² -1)>0,

               9-2а∙3+а² -1<0;

               4а² -4а²+4>0,

                а² -6а+8<0;

             (а-2)(а-4)<0,

              а є (2;4).

ОТВЕТ: (2; 4)

Вариант №9

При каких а оба корня уравнения х² -6ах+9а² -2а+2=0 больше 3?

Решение:

Ветви параболы у=х² -6ах+9а² -2а+2 направлены вверх, а нули функции по условию должны быть больше 3. Тогда:

1)                Уравнение имеет 2 корня, т.е. D>0;

2)               

У(3)

у(3)>0.

Итак,        36а² -4(9а² -2а+2)>0,

                    9-18а+9а² -2а+2>0;

Х

Х2

3

Х1

                   8а-8>0,

                   9а² -20а+11>0 ;  

                 а>1,

                 9(а-1)(а-)>0;

               а>  , т.е. а> .

ОТВЕТ: (1; +∞).

Вариант №10

При каких значениях m вершина параболы   у= mx² -7x+4m  лежит во второй четверти?

Решение:

Пусть  (х_в;у_в) -вершина параболы 

х_в =   ; у_в =   

По условию вершина параболы лежит во II четверти, значит  

х_в<0,

 у_в>0,т.е.          < 0,

                     >0 ;

                           

m<0,

(4m-7)(4m+7)<0;

m є ( ;0)

ОТВЕТ: (-1,75; 0)

     Вариант №11

При каких целых значениях параметра с уравнение      +  = с   имеет хотя бы один корень?

  Решение:

     Т.к. левая часть уравнения является суммой двух     неотрицательных выражений, то и правая часть уравнения - неотрицательное число, т.е. с ≥ 0.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х-2+7-х+2= с²,

5+2= с²,

 2 = с ²- 5,                                  

     4(7х - х²  - 14+2х)= (с² - 5)²,

      с² – 5 ≥ 0 ;

    28х- 4х² - 56+8х= (с² - 5)²,

    (с -  )(с + ) ≥ 0;

     - 4х²+36х -56 = (с² - 5)²,

      с ≥ ;

   х² - 9х + (14 + ) = 0     (*)

D=81- 4∙ (14 +  ) =81- 56- (с² -5)² = 25-(с²-5)² = (5- (с²-5))(5+(с² - 5)) = =(10-с²) ∙с²

Уравнение (*) имеет хотя бы один корень, если D ≥ 0, значит          

                              с²(10-с²) ≥ 0,              

                              с ≥ ;

                              (-с)(+с) ≥ 0,

                              с ≥ ;

 

                                                            

-

               

	-

 

Итак, с є [;    ], целые значения: с = 3

ОТВЕТ: с = 3

Вариант № 13

Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых 3х+ау+1=0 и 2х-3у-4=0 находится в третьей координатной четверти.

Решение:

Пусть (х₀;у₀)- точка пересечения прямых, причем по условию х₀<0, у₀<0.

Найдем координаты точки пересечения прямых из системы:

 

3х+ау+1=0,

2х-3у-4=0.

х=1,5у+2,

3(1,5у+2)+ ау +1=0;

х=1,5у +2,

(4,5+а)у = -7.

1)Если а = -4,5, то второе уравнение системы не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений

2)Если а < -4,5, то 4,5+ а < 0, а у>0, что нарушает условие задачи                                                                

3)Если а >-4,5, то 4,5+а > 0, а у < 0  и   у = -7/(а+4,5);

       у = -7/(4,5+а),

       х = 2-10,5/(а+4,5);

       у= -7/(4,5+а),

       х = (2а+9-10,5)/(а+4,5).

    х= (2а-1,5)/(а+4,5).

Т.к. х<0 ,  а+4,5 > 0, то 2а-1,5 < 0,

                                               а< 0,75.

Итак, а> -4,5, но а < 0,75, т.е.  а є (-4,5; 0,75)

ОТВЕТ: а є (-4,5; 0,75)

Вариант № 15

 Определите уравнение касательных к окружности  х²+ у²=5, проходящих через точку М(3;1).

Решение:

Пусть уравнение касательной  у = кх+в.

Т.к. касательная проходит через точку М(3;1), то ее координаты удовлетворяют уравнению касательной, значит 3к+в=1, или  в=1-3к.

Тогда уравнение касательной имеет вид: у=кх+(1-3к)

Очевидно, что касательная с окружностью имеет одну общую точку, значит система

х²+у²=5,

у = кх +(1-3к) 

имеет единственное решение.

Рассмотрим уравнение:

х²+(кх+1-3к)²=5,

х²+к²х²+2кх(1-3к)+(1-3к)²-5=0,

х²+к²х²+2кх-6к²х+1-6к+9к²-5=0,

(1+к²)х²+2(к-3к²)х+(9к²-6к-4)=0.

Т.к. 1+к² ≠ 0, то данное  уравнение является квадратным, и имеет единственное решение, если D = 0

D = (к-3к²) ²- (1+к²)(9к²-6к-4)=к²-6к³+9к⁴-9к²+6к+4- 9к⁴+6к³+4к²= -4к²+6к+4,

-4к²+6к+4=0,

2к²-3к-2=0.

D=9-4•2•(-2)=9+16=25,

к₁=2,к₂= -0,5

Итак,   при  к = 2    у = 2х+1-6 или у =2х-5;

             при  к = - 0,5    у = -0,5х+1-3•(-0,5),

                                     у = - 0,5х+2,5

ОТВЕТ: у = 2х-5, у = -0,5х+2,5.

Вариант № 16

Найдите все значения а, при которых множество значений функции

 у = х²-(2а-1) х+3а совпадает с промежутком [1,5;+∞).

Решение:

Т.к.  ветви параболы направлены вверх,  то множеством  значений функции является промежуток [у_в; +∞), значит  у_в=1,5.

У_в = -D/4= -((2а-1)²-4•3а)/4= -(4а²-4а+1-12а)/4= -а²+4а-0,25

Найдем а из уравнения:

-а²+4а-0,25=1,5

а² - 4а-1,75=0,

D=16-7=9,

а₁=0,5; а₂=3,5.

ОТВЕТ:  0,5;  3,5.

Вариант № 17

Найдите все значения параметра а, при которых график функции

у=ах²+2х-а+2 пересекает ось Ох в одной точке.

Решение:

1)Если а =0, то у=2х+2—линейная функции, графиком  которой является прямая, пересекающая ось Ох в одной точке, т.к. к=2≠0

2)Если а≠0, то у=ах²+2х-а+2 -  квадратичная функция, графиком которой является парабрла, и пересекающая ось Ох в одной точке, если у_в=0

Итак, у_в= -(4-4а(-а+2))/4а, у_в=0

             -(4+4а²-8а)/4а=0,

              (4а²-8а+4)/4а=0

              Т.к. а ≠ 0, то 4а²-8а+4=0,

                                      а²-2а+1=0,

                                      (а-1)²=0,

                                       а=1.

ОТВЕТ: а=0; а=1.

Вариант № 18.

Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения прямых у=2х+3 и у=2а-3х лежит выше прямой  у = х.

 Решение:

Найдем абсциссу точки пересечения графиков из уравнения:

                         2х+3= 2а-3х,

                             5х=2а-3,

                  х₀ =0,4а-0,6.

Тогда ордината точки пересечения графиков равна:

  у₀=0,4(2а-3)+3,

  у₀=0,8а+1,8.

 По условию  точка  (х₀;у₀) должна лежать выше прямой у = х, значит у₀ >х₀

      Итак, 0,8а+1,8>0,4а-0,6;

                    0,4а>-2,4;

                       а>-6.        

ОТВЕТ: а є (-6; +∞).

Вариант № 19

Найдите все значения параметра а, при которых точки А(1; 2), В(3; а+1), С(а;4) лежат на одной прямой.

       Решение:

Пусть точки А, В, С лежат на прямой  у = кх+в,

тогда координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой:

2=к•1+в,

а+1=к•3+в,

4=ак+в;

к+в=2,

а=3к+в-1,

4=ак+в;

в=2-к,

а=3к+2-к-1,

4=ак+2-к;

в=2-к,

а=2к+1,

2=к(а-1);

в=2-к,

а=2к+1,

2=к(2к+1-1);

в=2-к,

 а=2к+1,

2к²=2;

к=±1,

в=2-к,

а=2к+1.

Итак, при к=1  а=3;

             при к= -1 а= -1.

ОТВЕТ: а = -1; а = 3.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант №3

Найдите все  целые значения а, при которых вершина параболы

у = х²+ах-2 лежит ниже прямой у = 2х

(ответ: а є Z)

Вариант № 5

Найдите все значения m, при которых парабола у=х²+х+1 имеет с прямой  mу-х-1=0 одну единственную общую точку.

(ответ: -1/3; 0; 1)

Вариант №7

При каких а наибольшее значение функции  у = -х²+2ах-71

 на [-3;+∞) равно 10.

(ответ: -15; 9)

Вариант№12

 При каких целых значениях параметра с  уравнение      

2(√х+3)+(√11-4х) = с  имеет хотя бы один корень?

(ответ: 5; 6)

Вариант № 14

Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения прямых х+5у-3=0 и ах-2у-1=0 находится в четвертой координатной четверти.

(ответ: а є (-0,4; 1/3))

Вариант № 20

Найдите все значения параметра а,  при которых точка пересечения прямых  у=5х-3 и у=а+1-2х лежит ниже прямой  у = - х.

 (ответ: а є (-∞; -0,5))