Задания для подготовки к ГВЭ 11 класс

Задание 1

1) Для ремонта подоконников в школе используется шпатлёвка. Сколько банок шпатлёвки необходимо закупить, если одной банки хватает на три подоконника, а всего в школе 49 подоконников требующих ремонта?

2) Школа организует экскурсию для учащихся и сотрудников. Сколько экскурсионных автобусов, вместимостью 25 мест каждый, необходимо заказать, если желание поехать на экскурсию изъявили 128 учащихся и 14 сотрудников школы?

3) В среду в школьной столовой пообедали 8 сотрудников школы и 154 учащихся. Определите выручку столовой, если обед для сотрудника стоит 50 рублей, а учащиеся оплачивают половину указанной стоимости обеда.

4) В течение года Аня купила 36 листов бумаги для рисования, заплатив за каждый из них 24 рубля. Сколько рублей она бы сэкономила, покупая бумагу не поштучно, а в пачках по 12 листов, если стоимость такой пачки 250 рублей?

5) Игорь живёт в квартире № 117 шестиэтажного дома, имеющего несколько подъездов. В каждом из них на каждом этаже находится по 4 квартиры. Определите номер подъезда, в котором живёт Игорь.

6) В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?

7) Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3700 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1700 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 1400 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев ежемесячная экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

8) Для покраски 1 кв. м потолка требуется 210 г краски. Краска продаётся в банках по 1,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 47 кв. м?

9) Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 2 кг 500 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 1000 рублей?

10) Маша от­пра­ви­ла SMS-со­об­ще­ния с но­во­год­ни­ми по­здрав­ле­ни­я­ми своим 16 дру­зьям. Сто­и­мость од­но­го SMS-со­об­ще­ния 1 рубль 30 ко­пе­ек. Перед от­прав­кой со­об­ще­ния на счету у Маши было 30 руб­лей. Сколь­ко руб­лей оста­нет­ся у Маши после от­прав­ки всех со­об­ще­ний?

11) Для по­крас­ки 1 м² по­тол­ка тре­бу­ет­ся 240 г крас­ки. Крас­ка про­да­ет­ся в бан­ках по 2,5 кг. Сколь­ко банок крас­ки нужно ку­пить для по­крас­ки по­тол­ка пло­ща­дью 50 м²?

12) Для при­го­тов­ле­ния ма­ри­на­да для огур­цов на 1 литр воды тре­бу­ет­ся 10 г ли­мон­ной кис­ло­ты. Ли­мон­ная кис­ло­та про­да­ет­ся в па­ке­ти­ках по 15 г. Какое наи­мень­шее число пачек нужно ку­пить хо­зяй­ке для при­го­тов­ле­ния 8 лит­ров ма­ри­на­да?

13) 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 80 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 но­яб­ря по­ка­зы­вал 12 625 ки­ло­ватт-часов, а 1 де­каб­ря по­ка­зы­вал 12 802 ки­ло­ватт-часа. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за но­ябрь?

14) На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и по­про­сил за­лить бен­зин до пол­но­го бака. Цена бен­зи­на 31 руб. 20 коп. Сдачи кли­ент по­лу­чил 1 руб. 60 коп. Сколь­ко лит­ров бен­зи­на было за­ли­то в бак?

15) На бен­зо­ко­лон­ке один литр бен­зи­на стоит 32 руб. 60 коп. Во­ди­тель залил в бак 30 лит­ров бен­зи­на и купил бу­тыл­ку воды за 48 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он по­лу­чит с 1500 руб­лей?

16) В мужском общежитии института в каждой комнате можно поселить трёх человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 79 иногородних студентов?

17) В мужском общежитии института в каждой комнате можно поселить четырёх человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 83 иногородних студентов?

18) В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 7 недель?

19) Бегун пробежал 250 м за 36 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

20) Бегун про­бе­жал 50 м за 5 се­кунд. Най­ди­те сред­нюю ско­рость бе­гу­на на ди­стан­ции. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

Задание 2

1) Розы продаются по 150 рублей за штуку. Какое наибольшее количество роз можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда предоставляется скидка 10%?

2) Налог на доходы в России составляет 13%. Определите зарплату врача до уплаты налога на доходы, если после его уплаты он получает на руки 21750 рублей.

3) С зарплаты сторожа, составляющей 15000 рублей, удерживается налог на доходы 13%. Сколько рублей получает сторож на руки после уплаты налога?

4) Аптека предоставляет пенсионерам скидку на медикаменты. Определите величину этой скидки в процентах, если за лекарство стоимостью 150 рублей пенсионер заплатил 144 рубля.

5) В институте 240 студентов изучает испанский язык, что составляет 15% от числа всех студентов. Сколько студентов обучается в данном институте.

6) Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 16% и со­ста­ви­ла 3480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

7) Автомобиль проехал 17 километров за 15 минут. Сколько километров он проедет за 18 минут, если будет ехать с той же скоростью?

8) В школе 800 уче­ни­ков, из них 30% — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ют не­мец­кий язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют не­мец­кий язык, если в на­чаль­ной школе не­мец­кий язык не изу­ча­ет­ся?

9) Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка 180 руб­лей, она на 20% выше опто­вой цены. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по опто­вой цене на 10 000 руб­лей?

10) Для при­го­тов­ле­ния виш­не­во­го ва­ре­нья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг са­ха­ра. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра нужно ку­пить, чтобы сва­рить ва­ре­нье из 27 кг вишни?

11) Сту­дент по­лу­чил свой пер­вый го­но­рар в раз­ме­ре 700 руб­лей за вы­пол­нен­ный пе­ре­вод. Он решил на все по­лу­чен­ные день­ги ку­пить букет тюль­па­нов для своей учи­тель­ни­цы ан­глий­ско­го языка. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство тюль­па­нов смо­жет ку­пить сту­дент, если удер­жан­ный у него налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, тюль­па­ны стоят 60 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?

12) Фла­кон шам­пу­ня стоит 160 руб­лей. Какое наи­боль­шее число фла­ко­нов можно ку­пить на 1000 руб­лей во время рас­про­да­жи, когда скид­ка со­став­ля­ет 25%?

13) Налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% от за­ра­бот­ной платы. После удер­жа­ния на­ло­га на до­хо­ды Мария Кон­стан­ти­нов­на по­лу­чи­ла 9570 руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­став­ля­ет за­ра­бот­ная плата Марии Кон­стан­ти­нов­ны?

14) Фут­бол­ка сто­и­ла 800 руб­лей. После сни­же­ния цены она стала сто­ить 680 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена на фут­бол­ку?

15) При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 5%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 300 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

16) В школе французский язык изучают 93 учащихся, что составляет 10% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

17) В школе французский язык изучают 99 учащихся, что составляет 33 % от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

18) Городской бюджет составляет 27 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 10 %. Сколько миллионов рублей потрачено на эту статью бюджета?

19) Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

20) Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Задание 3

1) Найдите корень уравнения:

2) Найдите корень уравнения:

3) Найдите корень уравнения:

4) Найдите корень уравнения: .

5) Найдите корень уравнения: .

6) Найдите корень уравнения:

7) Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

8) Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

9) Найдите корень уравнения:

10) Найдите корень уравнения:

11) Найдите корень уравнения:

12) Найдите корень уравнения:

13) Найдите корень уравнения:

14) Найдите корень уравнения:

15) Найдите корень уравнения: .

16) Найдите корень уравнения:

17) Найдите корень уравнения:

18) Найдите корень уравнения:

19) Найдите больший корень уравнения: .

20) Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

21) Найдите корень уравнения:

22) Найдите корень уравнения:

23) Найдите корень уравнения:

24) Найдите корень уравнения:

25) Найдите корень уравнения:

26) Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

27) Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

28) Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

29) Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

30) Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Задание 4

1) В соревнованиях по метанию копья принимает участие 7 спортсменов из России, 5 из Германии, 4 из Польши и 9 из Австралии. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, будет представлять Россию.

2) Вероятность того, что на экзамене по физике студент решит правильно 4 или более задач равна 0,15, а вероятность того, что он решит правильно 3 или более задач равна 0,36. Найдите вероятность того, что студент решит правильно ровно 3 задачи.

3) Вероятность того, что сданные пациентом анализы позволят врачу сделать вывод о состоянии его здоровья, равна 0,925. Найдите вероятность того, что пациенту придётся сдавать анализы повторно.

4) Бочонки лото пронумерованы числами от 1 до 25. Найдите вероятность того, что вытащенный наудачу бочонок будет иметь чётный номер.

5) 30 рыбаков, оказавшихся на отколовшейся льдине, спасает вертолёт, забирая по 6 человек за рейс? Найдите вероятность того, что рыбак Н. полетит вторым рейсом, если порядок, в котором рыбаки садятся в вертолёт, случаен.

6) В фирме такси на данный момент свободно 20 машин: 8 чёрных, 7 жёлтых и 5 зелёных. По вызову приехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

7) В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 9 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется с зелёным чаем.

8) В чемпионате по гимнастике участвуют 75 спортсменок: 15 из Чехии, 30 из Словакии, а остальные – из Австрии. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Австрии.

9) На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 5 с мясом, 8  с капустой, и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с капустой.         

10) Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ста­тор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ротор», «Мотор» и «Стар­тер». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ста­тор» будет на­чи­нать толь­ко первую и по­след­нюю игры.

11) На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

12) На борту самолёта 12 мест рядом с за­пас­ны­ми вы­хо­да­ми и 18 мест за пе­ре­го­род­ка­ми, раз­де­ля­ю­щи­ми са­ло­ны. Осталь­ные места не­удоб­ны для пас­са­жи­ра вы­со­ко­го роста. Пас­са­жир В. вы­со­ко­го роста. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на ре­ги­стра­ции при слу­чай­ном вы­бо­ре места пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место, если всего в самолёте 300 мест.

13) На олим­пиа­де в вузе участ­ни­ков рас­са­жи­ва­ют по трём ауди­то­ри­ям. В пер­вых двух по 120 че­ло­век, остав­ших­ся про­во­дят в за­пас­ную ауди­то­рию в дру­гом кор­пу­се. При подсчёте вы­яс­ни­лось, что всего было 250 участ­ни­ков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный участ­ник писал олим­пи­а­ду в за­пас­ной ауди­то­рии.

14) Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 10 до 19 де­лит­ся на три?

15) Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся во­семь сумок со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной.

16) В кар­ма­не у Миши было че­ты­ре кон­фе­ты — «Гри­льяж», «Бе­лоч­ка», «Ко­ров­ка» и «Ла­сточ­ка», а также ключи от квар­ти­ры. Вы­ни­мая ключи, Миша слу­чай­но вы­ро­нил из кар­ма­на одну кон­фе­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что по­те­ря­лась кон­фе­та «Гри­льяж».

17) В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков.

18) В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 5 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет.

19) На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет чётной?

20) В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют три­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­па­дет хотя бы две решки.

21) В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз.

22) Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

23) На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

24) Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли хо­дить. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка за­сты­ла, до­стиг­нув от­мет­ки 10, но не дойдя до от­мет­ки 1 час.

25) Ве­ро­ят­ность того, что на тесте по био­ло­гии уча­щий­ся О. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,67. Ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит боль­ше 10 задач, равна 0,74. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

26) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 114 качественных сумок приходится 6 сумок, имеющих скрытый дефект. Найдите вероятность того, что выбраннаяв магазине сумка окажется без дефектов.

27) Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,08. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

28) Максим с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 – синие, 7 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

29) Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 20 до 39 де­лит­ся на четыре?

30) Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

Задание 5

1) На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Череповце в течение 2001 года. Определите наименьшую среднемесячную температуру во второй половине этого года?

 

2) На графике показаны колебания температуры воздуха (в градусах Цельсия) в течение трёх суток. Определите, на сколько градусов Цельсия наибольшая температура 23 января превосходила наименьшую температуру в этот же день.

3) На графике показаны колебания атмосферного давления (в мм ртутного столба) в течение трёх суток. Определите наименьшее значение атмосферного давления за весь данный период наблюдения. Ответ дать в мм ртутного столба.

4) График показывает динамику среднегодовой добычи угля в миллионах тонн за период с 2001 по 2010 годы. Определите количество лет из данного интервала наблюдений, в течение которых среднегодовая добыча угля превосходила 200 миллион тонн.

5) Андрей и Иван соревнуются в плавании на дистанции 100 м в пятидесятиметровом бассейне. Определите, сколько времени понадобилось победителю этого соревнования, чтобы преодолеть первую половину дистанции. Ответ дать в секундах.

6) На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по апрель 1994 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

7) На графике показано изменение температуры в зависимости от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 10°C. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло от момента запуска двигателя до включения вентилятора?

8) На рисунке жирными точками показана цена платины, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни с 1 по 27 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена платины в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. Определите по рисунку, какого числа цена платины была наименьшей за указанный период.

9) На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. Определите по рисунку, какое наибольшее суточное количество осадков выпало за данный период. Ответ дайте в миллиметрах.

10) На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. Определите по рисунку наименьшую цену олова на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).

11) На рисунке изображён график значений атмосферного давления в некотором городе за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления во вторник в 6 часов утра. Ответ дайте в мм рт. ст.

12)

13) На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от 60°C температуры до температуры 90°C.

14) На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 27 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

15) На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 13 по 20 января. Ответ дайте в миллиметрах.

Задание 6

1)

2)

3)

4)

5) Поставьте в соответствие каждому неравенству множество его решений.

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Задание 7

1) В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 17, АС = 16. Найдите длину медианы ВМ.

2) Стороны параллелограмма равны 45 и 54. Высота, проведенная к большей стороне, равна 20. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне параллелограмма.

3) В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 6, ВС = 8. Найдите радиус вписанной окружности.

4) В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 13, медиана ВМ = 12. Найдите длину АС. (см. рис. к задаче 1)

5) В треугольнике АВС АС = ВС = 16, cos А = 0,75. Найдите АВ.

6) Два угла тре­уголь­ни­ка равны 58° и 72°. Най­ди­те тупой угол, ко­то­рый об­ра­зу­ют вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, вы­хо­дя­щие из вер­шин этих углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7) Пло­щадь круга равна  . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

8) Пло­щадь круга равна  . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

9) Две сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма от­но­сят­ся как , а пе­ри­метр его равен 70. Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма.

10) В тре­уголь­ни­ке АВС  угол С равен 58°, AD и BE – бис­сек­три­сы, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11) Най­ди­те диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

12) Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, пло­щадь ко­то­ро­го равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 и 9. 

13) От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

14) Даны два квад­ра­та, диа­го­на­ли ко­то­рых равны 10 и 6. Най­ди­те диа­го­наль квад­ра­та, пло­щадь ко­то­ро­го равна раз­но­сти пло­ща­дей дан­ных квад­ра­тов.

15) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат , счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми .

Задание 8

1) Палисад имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 2,5 м и 7 м. Длинной стороной палисад примыкает к дому. Найдите длину забора (в метрах), которым необходимо огородить оставшуюся часть палисада.

2) Участок земли под застройку имеет форму прямоугольника со сторонами 35 и 50 м. Определите длину ограждения (в метрах), которым будет обнесён по периметру этот участок, если в ограждении нужно предусмотреть ворота шириной 4 м.

3) Квартира общей площадью 57 кв. м. включает в себя гостиную 4 м х 5 м, спальню 3 м х 5 м и кухню 4 м х 3 м. Оставшуюся площадь занимают подсобные помещения. Определите площадь подсобных помещений.

4) План земельного участка разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат со стороной 10 м. Найдите площадь земельного участка (в кв. м).

5) Два дачника, имеющие одинаковые прямоугольные участки 20 м х 30 м с общей границей, договорились вырыть общий прямоугольный пруд 10 м х 14 м таким образом, чтобы он занимал одинаковую площадь на каждом из двух участков. Какова площадь (в кв. м) оставшейся части каждого из участков?

6) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

7) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

8) Пря­мая, про­ве­ден­ная па­рал­лель­но бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции через конец мень­ше­го ос­но­ва­ния, рав­но­го 4, от­се­ка­ет тре­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 15. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции.

9) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 4. DE  — сред­няя линия. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE.

10) На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

11) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его ка­те­ты равны 5 и 8.

12) Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции ABCD, если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

13) Точки O(0; 0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Най­ди­те длину ее сред­ней линии DE.

14) Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, пло­щадь ко­то­ро­го равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 и 9. 

15) Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, диа­го­наль ко­то­ро­го равна .

Задание 9

1) На рисунке показан график функции . Определите число экстремумов этой функции на промежутке .

2) На рисунке показан график дифференцируемой функции  и отмечены восемь точек на оси абсцисс: …,. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции  отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.

3) На рисунке показан график дифференцируемой функции . Определите число целых точек из промежутка , в которых производная этой функции положительна.

4) Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени  с.

5) На рисунке показан график дифференцируемой функции . Определите число целых точек из промежутка , в которых производная этой функции отрицательна.

6)

7)

8)

9)

10) На рисунке изображен график функции у=f(x) и касательная к нему с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀.

11)

12)

13)

14)

15) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

16) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции . положительна.

17)

18)

19)

20)

Задание 10

1) Весной баржа идёт по течению реки в 5 раз быстрее, чем против течения. Летом течение становится на 1км/ч медленнее. Поэтому летом баржа идёт по течению в 3 раза быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

2) Маша и Медведь отправляются из одного и того же места на прогулку к пруду, расположенному в 5 км от места отправления. Маша бежит со скоростью 12,8 км/ч, а Медведь следует за ней со скоростью 7,2 км/ч. Добежав до пруда, Маша сразу же разворачивается и с той же скоростью бежит обратно. На каком расстоянии от пруда она встретит Медведя?

3) Из пункта А в пункт В отправился велосипедист, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 9 км/ч большей, отправился мотоциклист. Расстояние между пунктами равно 40 км. Найдите скорость мотоциклиста, если в пункт В он прибыл одновременно с велосипедистом.

4) Бригада асфальтоукладчиков должна уложить 600 кв. метров асфальта. Если они будут укладывать на 50 кв. метров в день больше, чем запланировано, то закончат работу на 2 дня раньше. Сколько кв. метров асфальта в день должна укладывать бригада по плану?

5) Теплоход в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, теплоход отправился назад и вернулся в пункт А в 17:00. Определите собственную скорость теплохода (в км/ч), если скорость течения реки 8 км/ч.

6) Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

7) Мо­тор­ная лодка в 10:00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 30 км от А. Про­быв в пунк­те В 2 часа 30 минут, лодка от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 18:00. Опре­де­ли­те (в км/ч) соб­ствен­ную ско­рость лодки, если из­вест­но, что ско­рость те­че­ния реки 1 км/ч.

8) Заказ на 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

9) На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

10) Двое ра­бо­чих, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить ра­бо­ту за 12 дней. За сколь­ко дней, ра­бо­тая от­дель­но, вы­пол­нит эту ра­бо­ту пер­вый ра­бо­чий, если он за два дня вы­пол­ня­ет такую же часть ра­бо­ты, какую вто­рой – за три дня?

11) Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба?

12) Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 12 часов, а дру­гой — за 6 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

13) Даша и Маша про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Даша?

14) Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

15) Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

16) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

17) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

18) Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

19) Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

20) Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

21) Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

22) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

23) Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

24) Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

25) На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

26) Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Задание 11

1) а) Решите уравнение: .

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку .

2) а) Решите уравнение: .

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку .

3) а) Решите уравнение: .

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку .

4) а) Решите уравнение: .

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку .

5) а) Решите уравнение: .

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку .

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

Задание 12

1) В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка  – середина , точка  – середина  . Найдите угол .

2) В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки  до плоскости .

3) В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми  и .

4) В правильной четырёхугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки  до плоскости .

5) В правильной четырёхугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  и .

6) В кубе , найдите тангенс угла между прямой  и плоскостью .

7) В единичном кубе найдите угол между прямыми  и .

8) В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми  и .

9) В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а ребра 2, найти расстояние от точки  – центра основания до прямой  (точка   —вершина пирамиды).

10) Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основание по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

11) В  пра­виль­ной  тре­уголь­ной  пи­ра­ми­де SABC с  вер­ши­ной S сто­ро­на  ос­но­ва­ния равна .  Через  пря­мую  AB  про­ве­де­но  се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру SC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

12) В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Объем пира­ми­ды равен  Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния CD про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое делит по­по­лам дву­гран­ный угол, об­ра­зо­ван­ный бо­ко­вой гра­нью SCD и ос­но­ва­ни­ем. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

13) В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S угол между бо­ко­вым реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1, SH — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку H па­рал­лель­но реб­рам SA и BC.

14) В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость про­хо­дит через пря­мую A₁B₁ и се­ре­ди­ну ребра DD₁. Найти рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра DC до плос­ко­сти, если ребро куба равно 4.

15) В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка M — се­ре­ди­на ребра PA, точка K — се­ре­ди­на ребра PB. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти CMK, если PC = 6, AB = 4.

16) Дан еди­нич­ный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть точка K — се­ре­ди­на A₁B₁ . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до пря­мой KC.

17) Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат со сто­ро­ной 1. На плос­ко­сти ос­но­ва­ния име­ет­ся квад­рат CDKM. В этот квад­рат впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра с вы­со­той, рав­ной длине от­рез­ка AA₁. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ос­но­ва­ния ци­лин­дра до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно 2

18) В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де от­но­ше­ние бо­ко­во­го ребра к вы­со­те пи­ра­ми­ды равно 2. Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­са впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара к сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

19) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го диа­го­наль­ным се­че­ни­ем пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S, вдвое боль­ше пло­ща­ди её ос­но­ва­ния.

а) По­строй­те это се­че­ние;

б) Най­ди­те ко­си­нус плос­ко­го угла при вер­ши­не пи­ра­ми­ды.

20) Пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду пе­ре­се­ка­ет плос­кость, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ти­во­по­лож­но­му бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь по­лу­чив­ше­го­ся се­че­ния в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Най­ди­те от­но­ше­ние длины вы­со­ты пи­ра­ми­ды к длине бо­ко­во­го ребра.