Теоремы
о вероятностях событий
1. Перед
началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий,
чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор»
по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите
вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю
игры.
Ответ: 0,125
2. В
Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём
погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно,
что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня
3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того,
что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Ответ: 0,392
3. В
магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен
с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность
того, что хотя бы один автомат исправен.
Ответ: 0,9975
На экзамене по геометрии
школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна
0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам,
нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.
Ответ: 0,35
4. На
фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок.
Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того,
что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат
округлите до сотых.
Ответ: 0,98
В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня
в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится
в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу
дня кофе останется в обоих автоматах.
Ответ: 0,52
5. Биатлонист
пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист
первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Ответ: 0,02
6. На
экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных
вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность»,
равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм»,
равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум
темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.
Ответ: 0,35
7. Помещение
освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в
течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года
хотя бы одна лампа не перегорит. Ответ: 0,91
8. Вероятность
того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97.
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите
вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше
года.
Ответ: 0,08
9. Агрофирма
закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого
хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства —
20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется
из первого хозяйства.
Ответ: 0,75
10. Ковбой
Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то
он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов,
из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу
хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность
того, что Джон промахнётся.
Ответ: 0,52
11. При
артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по
цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел.
Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность
уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом
последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того,
чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Ответ: 5
12. Чтобы
пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать
хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3
очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите
вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований.
Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы
и равны 0,4.
Ответ: 0,32
13. При
изготовлении подшипников диаметром 67
мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не
больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный
подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99
мм или больше чем 67,01 мм. Ответ: 0,035
14. Вероятность
того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач,
равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна
0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно
11 задач.
Ответ: 0,07
15. Чтобы
поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент
должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность
«Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и обществознание.
Вероятность
того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике,
равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7
и по обществознанию — 0,5.
Найдите
вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых
специальностей.
Ответ: 0,408
16. В
торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность
того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность
того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Ответ: 0,52
17. В
магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью
0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три
продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо
друг от друга).
Ответ: 0,027
18. По
отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов.
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8.
Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9.
Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины
работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни
один магазин не доставит товар.
Ответ: 0,02
19. Из
районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность
того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров,
равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна
0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до
19. Ответ: 0,38
20. Перед
началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий,
чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор»
по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите
вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю
игры.
Ответ: 0,125
21. В
Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём
погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно,
что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня
3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность
того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Ответ: 0,392
22. Всем
пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ
выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных
гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью
0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный
результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих
с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите
вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего
в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Ответ: 0,0545
23. Вероятность
того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите
вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Ответ: 0,8836
24. Автоматическая
линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка
неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему
контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку,
равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную
батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная
батарейка будет забракована системой контроля.
Ответ: 0,0296
25. На
рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход».
Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении
паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор
дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью
паук придёт к выходу .
Ответ: 0,125
26. В
кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя,
не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность
того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Ответ: 0,6
27. В
кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не
глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность
того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Ответ: 0,4
28. Стрелок
стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй
выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле
равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо
первым, либо вторым выстрелом).
Ответ: 0,91
29. Две
фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая
фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика
выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Ответ: 0,019
30. Если
гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б.
с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем
во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А.
выиграет оба раза.
Ответ: 0,156
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.