Задания по математике для подготовки к ЕГЭ

Задание на зимние каникулы:

1.Ме­бель­ный салон за­клю­ча­ет до­го­во­ры с про­из­во­ди­те­ля­ми ме­бе­ли. В до­го­во­рах ука­зы­ва­ет­ся, какой про­цент от суммы, вы­ру­чен­ной за про­да­жу ме­бе­ли, по­сту­па­ет в доход ме­бель­но­го са­ло­на.

Фирма-про­из­во­ди­тель	Про­цент от вы­руч­ки, по­сту­па­ю­щий в доход са­ло­на	При­ме­ча­ния
«Альфа»	6,5 %	Из­де­лия ценой до 20 000 руб.
«Альфа»	2,5 %	Из­де­лия ценой свыше 20 000 руб.
«Бета»	3 %	Все из­де­лия
«Омик­рон»	5 %	Все из­де­лия

В прейс­ку­ран­те при­ве­де­ны цены на че­ты­ре крес­ла-ка­чал­ки. Опре­де­ли­те, про­да­жа ка­ко­го крес­ла-ка­чал­ки наи­бо­лее вы­год­на для са­ло­на. В ответ за­пи­ши­те, сколь­ко руб­лей по­сту­пит в доход са­ло­на от про­да­жи этого крес­ла-ка­чал­ки.

Фирма-про­из­во­ди­тель	Из­де­лие	Цена
«Альфа»	Крес­ло-ка­чал­ка «Ода»	16 500 руб.
«Альфа»	Крес­ло-ка­чал­ка «Сага»	23 500 руб.
«Бета»	Крес­ло-ка­чал­ка «Поэма»	20 500 руб.
«Омик­рон»	Крес­ло-ка­чал­ка «Эле­гия»	18 000 руб.

2. Кли­ент хочет арен­до­вать ав­то­мо­биль на трое суток для по­езд­ки про­тя­жен­но­стью 600 км. В таб­ли­це при­ве­де­ны ха­рак­те­ри­сти­ки трех ав­то­мо­би­лей и сто­и­мость их арен­ды. По­ми­мо арен­ды кли­ент обя­зан опла­тить топ­ли­во для ав­то­мо­би­ля на всю по­езд­ку. Какую сумму в руб­лях за­пла­тит кли­ент за арен­ду и топ­ли­во, если вы­бе­рет самый де­ше­вый ва­ри­ант?

Ав­то­мо­биль	Топ­ли­во	Рас­ход топ­ли­ва (л на 100 км)	Аренд­ная плата (руб. за 1 сутки)
А	Ди­зель­ное	7	3400
Б	Бен­зин	10	3100
В	Газ	11	2500

 Цена ди­зель­но­го топ­ли­ва — 21 рубль за литр, бен­зи­на — 25 руб­лей за литр, газа — 16 руб­лей за литр.

3. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

4. Ре­ши­те урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

5. Ре­ши­те урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

6. Ре­ши­те урав­не­ние ;  ; ; ;.

7. Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 19 ра­бо­чих, а во вто­рой — 27 ра­бо­чих. Через 9 дней после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 7 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

8. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 42 ми­ну­ты, вто­рой и тре­тий — за 56 минут, а пер­вый и тре­тий — за 1 час 12 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?       

9. Ком­па­ния "Альфа" на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 3500 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль, ко­то­рая со­став­ля­ла 100% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния "Бета" на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2004 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 4500 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2005 года, еже­год­но по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла дру­гой к концу 2007 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

10. Биз­не­смен Пе­че­нов по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1400000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 5% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Пе­че­нов за 2002 год?

11. Два гон­щи­ка участ­ву­ют в гон­ках. Им пред­сто­ит про­ехать 21 круг по коль­це­вой трас­се про­тяжённо­стью 7,2 км. Оба гон­щи­ка стар­то­ва­ли од­но­вре­мен­но, а на финиш пер­вый пришёл рань­ше вто­ро­го на 18 минут. Чему рав­ня­лась сред­няя ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка, если из­вест­но, что пер­вый гон­щик в пер­вый раз обо­гнал вто­ро­го на круг через 36 минут?

12. Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 20 минут сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 5 минут после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 10 минут после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 10 км. Ответ дайте в км/ч.

13. Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 50 кг, а вто­рой — 10 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 45% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 51% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

14. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции . Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .Най­ди­те точку мак­си­му­ма ф-и .  

15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­циина от­рез­ке .

16. Най­ди­те точку мак­си­му­ма ф-ии. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма ф-и  .

17.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

 18. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции    на от­рез­ке .

19. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

20. Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где p (Па) — дав­ле­ние в газе, V — объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a — по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние в 32 раза объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 2 раза?

21 В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па, его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну , где  — на­чаль­ная масса изо­то­па, t (мин) — про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та время, T — пе­ри­од по­лу­рас­па­да в ми­ну­тах. В ла­бо­ра­то­рии по­лу­чи­ли ве­ще­ство, со­дер­жа­щее в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни  мг изо­то­па Z, пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го  мин. В те­че­ние сколь­ких минут масса изо­то­па будет не мень­ше 1 мг?

22. Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром равна , через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния, про­пус­ка­ют го­ря­чую воду тем­пе­ра­ту­рой . Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды  кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние x (м), вода охла­жда­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры , причeм  (м), где  — теплоeмкость воды,  — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а  — по­сто­ян­ная. До какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы 56 м?

23. Два тела мас­сой  кг каж­дое, дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью  м/с под углом  друг к другу. Энер­гия (в джо­у­лях), вы­де­ля­ю­ща­я­ся при их аб­со­лют­но не­упру­гом со­уда­ре­нии опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем . Под каким наи­мень­шим углом  (в гра­ду­сах) долж­ны дви­гать­ся тела, чтобы в ре­зуль­та­те со­уда­ре­ния вы­де­ли­лось не менее 36 джо­у­лей?

24. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где t — время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1550 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

25. Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звeзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му мощ­ность из­лу­че­ния на­гре­то­го тела P, из­ме­ря­е­мая в ват­тах, прямо про­пор­ци­о­наль­на пло­ща­ди его по­верх­но­сти и четвeртой сте­пе­ни тем­пе­ра­ту­ры: , где  — по­сто­ян­ная, пло­щадь S из­ме­ря­ет­ся в квад­рат­ных мет­рах, а тем­пе­ра­ту­ра T — в гра­ду­сах Кель­ви­на. Из­вест­но, что не­ко­то­рая звез­да имеет пло­щадь  м, а из­лу­ча­е­мая ею мощ­ность P не менее  Вт. Опре­де­ли­те наи­мень­шую воз­мож­ную тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды. При­ве­ди­те ответ в гра­ду­сах Кель­ви­на.

26 Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: ;    ;    .

27. Най­ди­те: а) , если ; б)  , если  и .

Краткое описание документа:

Задания тестовго характера с кратким ответом по математике для подготовки к ЕГЭ по нескольким темам: решить уравнение (логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, показательные уравнения), найти значение тригонометрического выражения (формулы приведения, формулы понижения степени, основное тригонометрическое тождество) , текстовые задачи ( на движение по окружности, сплавы и смеси, сложные проценты, работу ), задания на оптимизацию и задачи с прикладным содержанием: показательные, логарифмические, кадратные и степенные уравнения и неравенства  . Можно использовать этот тест  для домашнего задания на каникулы.