Задания по теме ТРАПЕЦИЯ

Трапеция

1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

6. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

7. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

8. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

9. Сред­няя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­ше ос­но­ва­ние равно 5. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

11. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

12. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

13. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

14. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

15. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

16. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 7 и 49, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 18 , а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

17. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

18. В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

19. В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

20. Тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен  Най­ди­те её боль­шее ос­но­ва­ние, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 58.

21. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

22. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 4 и 14, бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

23. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 54, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 27, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

24. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 6, BC = 2, а её пло­щадь равна 32. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

25. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 51. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

26. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 8, BC = 5, а её пло­щадь равна 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

27. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 2, BC = 1, а её пло­щадь равна 48. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

28. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 7, BC = 5, а её пло­щадь равна 72. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

29. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 6 и 24, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 11, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

30. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

31. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 7 и 63, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 18, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

32. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 9, BC = 1, а её пло­щадь равна 70. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

33. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны , от­се­ка­ет от ос­но­ва­ния  от­ре­зок дли­ной 2. Длина ос­но­ва­ния  равна 7. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния .

Пояснения  и ответы к заданиям

1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 168

2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 28

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 36

4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 36

5. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = , а ∠ABC = 135°. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Угол ABH равен: 135° − 90° = 45°. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник ABH яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным и рав­но­бед­рен­ным. Най­дем вы­со­ту BH:

 

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­му ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 60

6. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем вы­со­ту BH:

 

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30

7. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

 

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30

8. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, , где x — число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30

9. Сред­няя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­ше ос­но­ва­ние равно 5. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. Имеем:

Ответ: 17

10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

По фор­му­ле пло­ща­ди тра­пе­ции имеем:

Ответ: 168

11. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

 где  и  — ос­но­ва­ния, а  — вы­со­та тра­пе­ции. Найдём вы­со­ту:  сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 15.

12. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда  Тре­уголь­ник  пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, тогда вы­со­та  равна 3. От­ку­да 

Ответ: 

13. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где  и  — ос­но­ва­ния, а  — вы­со­та тра­пе­ции.

Ответ: 324.

Ответ: 324

14. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где  и  — ос­но­ва­ния, а  — вы­со­та тра­пе­ции.

Ответ: 270.

Ответ: 270

15. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ты в тра­пе­ции и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В четырёхуголь­ни­ке   и  сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол  зна­чит,  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да  и  По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы  и  равны. Тре­уголь­ни­ки  и  пря­мо­уголь­ные,   сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да  Из тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту 

Найдём пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 88.

Ответ: 88

16. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 7 и 49, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 18 , а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть сто­ро­на  тогда  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  найдём вы­со­ту 

Найдём пло­щадь тра­пе­ции как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 216.

Ответ: 216

17. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. От­ре­зок  — вы­со­та. Пусть угол  равен 135°. Сумма смеж­ных углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му ве­ли­чи­на угла  равна 180° − 135° = 45°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  найдём вы­со­ту 

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 105.

При­ме­ча­ние.

В дан­ном за­да­нии от­кры­то­го банка при­ведён не­кор­рект­ный ри­су­нок. За­ме­тим, что  в то время как пол­ная длина  равна 13. Сле­до­ва­тель­но, тра­пе­ция вы­гля­дит как по­ка­за­но на ри­сун­ке спра­ва и в таком слу­чае более кор­рект­но было бы го­во­рить, что нужно ис­кать  а не  Впро­чем, ответ за­да­чи от этого не из­ме­ня­ет­ся.

Ответ: 105

18. В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 11.

Ответ: 11

19. В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

Пусть длина вы­со­ты тра­пе­ции равна  Пло­щадь тра­пе­ции можно найти как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Вы­со­та тра­пе­ции также яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка  Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка  как по­лу­про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 3.

Ответ: 3

20. Тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен  Най­ди­те её боль­шее ос­но­ва­ние, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 58.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

По усло­вию: BC = CH = AH = 58.

Тре­уголь­ник HCD пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но:

.

Таким об­ра­зом, 

Ответ: 203.

Ответ: 203

21. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту BH₂.

Так как дан­ная тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, от­рез­ки .

За­ме­тим, что , а так как BC и H₁H₂ па­рал­лель­ны, а BH₂ и CH₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны к BC, то BC = H₂H₁ = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

22. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 4 и 14, бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

От­ре­зок H₁H₂ = BC = 4, а от­рез­ки , так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем сто­ро­ну CH₂ в тре­уголь­ни­ке CDH₂:

Те­перь, най­дем AC (диа­го­наль тра­пе­ции) из тре­уголь­ни­ка ACH₂:

Ответ: 15.

Ответ: 15

23. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 54, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 27, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 54, BC = 9, AB = 27, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 378.

Ответ: 378

24. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 6, BC = 2, а её пло­щадь равна 32. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 12.

Ответ: 12

25. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 51. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 17.

Ответ: 17

26. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 8, BC = 5, а её пло­щадь равна 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 23.

Ответ: 23

27. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 2, BC = 1, а её пло­щадь равна 48. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 20.

Ответ: 20

28. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 7, BC = 5, а её пло­щадь равна 72. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 33.

Ответ: 33

29. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 6 и 24, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 11, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 24, BC = 6, AB = 11, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 27,5.

Ответ: 27,5

30. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 4.

Ответ: 4

31. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 7 и 63, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 18, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 63, BC = 7, AB = 18, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 90.

Ответ: 90

32. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 9, BC = 1, а её пло­щадь равна 70. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 21.

Ответ: 21

33. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны , от­се­ка­ет от ос­но­ва­ния  от­ре­зок дли­ной 2. Длина ос­но­ва­ния  равна 7. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния .

Ре­ше­ние.

Про­ведём вто­рую вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные,  равно   равно  сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да  Найдём от­ре­зок   Таким об­ра­зом, 

Ответ: 11.

Ответ: 11