Занятие кружка "Принцип Дирихле" (6 класс)

• 1 слайд

  Принцип Дирихле
  Занятие кружка 6 класс
  СОШ №6 г Владимир
  Учитель математики
  Шахова Людмила Дмитриевна
  

• 2 слайд

  Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест. И добавил: "Пожалуй, есть способ лишить его лидерства — назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному»."
  
  
  

• 3 слайд

  О Дирихле
  Дирихле родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. В 12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, спустя два года в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих преподавателей его учил Георг Ом.
  С 1822 по 1827 г. жил в качестве домашнего учителя в Париже, где вращался в кругу Фурье.
  
  

• 4 слайд

  В 1827г. устраивается на должность приватдоцента университета Бреслау (Вроцлав). В 1829 г. он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент.
  Затем с 1831 г. Как экстраординарный профессор. С 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета. В 1855 г. Дирихле становится качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете
  
  

• 5 слайд

  В комбинаторике принцип Дирихлем (нем. Schubfachprinzip, “принцип ящиков”) — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами (“кроликами”) и контейнерами (“клетками”) при выполнении определённых условий.
  В английском и некоторых других языках утверждение известно как “принцип голубей и ящиков” (англ. Pigeonhole principle), когда объектами являются голуби, а контейнерами — ящики.
  
  

• 6 слайд

  В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»
  Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев.»
  
  

• 7 слайд

  Не надо бояться дробного число зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.
  Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z/k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · z/k = z. Противоречие!
  

• 8 слайд

  Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются.
  «Предположим, что в каждой клетке сидит менее двух кроликов (один или ни одного). Тогда во всех n клетках в совокупности сидит не более n кроликов. Противоречие.»
  
  

• 9 слайд

  Утверждение «среди любых трех целых чисел найдутся два числа одной четности»
  кажется очевидным, также как и утверждение «среди 13 человек найдутся двое, родившиеся в один месяц».
  И то, и другое можно обосновать разбором случаев. Но более грамотным будет построить рассуждение от противного.
  
  

• 10 слайд

  Для второго утверждения это будет выглядеть так:
  
  «Предположим, что не найдется двух таких человек. Тогда в каждый из 12 месяцев родилось не более одного человека. Значит, имеется всего не более 12 человек, что противоречит условию задачи: 12 < 13.»
  
  

• 11 слайд

  ЗАДАЧА
  Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?
  Решение: Пусть «клетками» у нас будут сорта конфет, а «кроликами» -сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 25 / 3 «кроликов». Так как 8 < 25 / 3 < 9, то найдется 9 конфет одного сорта.
  Утверждение можно доказать, проводя сразу рассуждения от противного. Пусть конфет каждого сорта не более 9, то есть не превышает восьми. Тогда всего конфет не больше 3 × 8 = 24, а по условию их 25. Противоречие.
  
  

• 12 слайд

  Решим задачу
  В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.
  
  

• 13 слайд

  Решение:
   По условию задачи, наибольшее число ошибок, сделанных в работе 13. Значит, ученики могли сделать 0, 1, 2, ..., 13 ошибок. Эти варианты будут «клетками», а ученики станут «кроликами». Тогда по (обобщенному) принципу Дирихле (14 клеток и 30 зайцев) найдутся три ученика, попавших в одну «клетку», то есть сделавших одинаковое число ошибок.
  
  

• 14 слайд

   В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.
  
  В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
  
  Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна. Докажите это.
  

• 15 слайд

  
    Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых — двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.
  
  

• 16 слайд

   Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 11. Поскольку разных остатков лишь 11 (0, 1, 2, ..., 9, 10), а чисел 12, то хотя бы два числа дают одинаковые остатки. Это означает, что разность этих чисел делится на 11. (Вообще говоря, нужно ещё доказать, что эта разность является двузначным числом, но это очевидно: среди однозначных чисел только 0 делится на 11, а разность двух различных чисел не может равняться нулю.
  

• 17 слайд

  Из любых ли ста целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых кратна 7?
  

• 18 слайд

  Возьмём, например, 100 целых чисел, каждое из которых даёт остаток 1 при делении на 7. Из них невозможно выбрать два числа, сумма которых кратна 7.
  

• 19 слайд

  
  Найдите значение дроби
  
  а) В · А · Р · Е · Н · Ь · Е;
  К · А · Р · Л · С · О · Н
  
  б) Г · Р · У · З · И · Я,
  Т · Б · И · Л · И · С · И
  
  

• 20 слайд

  В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 8×8 так, чтобы у каждой клетки среди её соседей (по стороне) были хотя бы две клетки, окрашенные в тот же цвет?
  

• 21 слайд

  Разобьём доску на 16 квадратиков 2×2 и покрасим их в разные цвета. Докажем, что больше 16 цветов получить нельзя. Рассмотрим клетку любого цвета. Рядом с ней есть ещё две клетки того же цвета. Эти две клетки имеют только одну соседнюю клетку того же цвета (среди рассмотренных), поэтому есть ещё хотя бы одна клетка такого же цвета. Итак, каждого цвета не меньше четырёх клеток, а следовательно, цветов не больше 16.
  

• 22 слайд

  Таким образом, применяя данный метод, надо
  определить, что удобно в задаче принять за “клетки”, а что за “зайцев”;
  получить “клетки”; чаще всего “клеток” меньше (больше), чем “зайцев” на одну (или более);
  выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле;
  принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление;
  многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.                                                                
  

• 23 слайд

  Литература и источники
  http://www.problems.ru/articles/216.php
  Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
  http://www.kvant.info/
  http://mmmf.msu.ru/archive/19992000/spivak67/s_diri.html
  http://foxford.ru/wiki/matematika/
  И.Л.Бабинская, Задачи математических олимпиад, Москва, Наука, 1975, 112стр.