Занятие на тему: Решение простейших задач в координатах.

Занятие

Тема: Решение простейших задач в координатах.

Количество часов: 2 часа

Цель: разобрать подробно простейшие задачи в координатах, привести пример нахождения середины отрезка, длины вектора и расстояния между точками.

План:

1. Задача на нахождение координат середины отрезка.

2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты.

3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами.

4. Решение типовых задач у доски.

Вопрос 1.Задача на нахождение координат середины отрезка.

Задача 1(рис. 1).

Даны две точки: A(x₁;y₁z₁), B(x₂;y₂;z₂), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).

Рис. 1. Координаты середины отрезка

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB.    Вектор  является половиной суммы векторов  и , потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах   и . Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:

, , .

Вопрос 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты.

Задача 2(рис. 2).

Если у нас есть вектор , то его модуль вычисляется по формуле: .

Рис. 2.

Рассмотрим вывод этой формулы.

1) Начертим вектор  и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.

2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.

3) Рассмотрим . OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза ,  - по теореме Пифагора.

4) Рассмотрим  - прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. , MK=z.

 - по теореме Пифагора.

Вопрос 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами.

Задача 3(рис. 3).

Дано: A(x₁;y₁z₁), B(x₂;y₂;z₂). Найти: длину отрезка AB.

Рис. 3.

Решение:

1) Найдем координаты вектора . .

2) Найдем модуль вектора  по его координатам:.

Вопрос 4. Решение типовых задач у доски.

Задача №4.

Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, . Найти: m, n.

Решение: Так как , мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:

; ; .

Ответ: , .

Задача №5.

Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.

Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. .

Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как  - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки . Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:.

Ответ: .

Вопросы для самопроверки:

1. Как найти координаты середины отрезка?

2. Как найти модуль вектора через его координаты?

3. Как найти расстояние между точками, заданными своими координатами?

Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы:  учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни  – М.: Просвещение, 2014. – 455 с.: ил.

2. Александров  А.Д.,  Вернер А.Л.,  Рыжик В.И.  Геометрия. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень  – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.: ил.

               3. Yaklass.ru (Источник).

           4.  Mathematics.ru (Источник).