Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие на тему: Решение простейших задач в координатах.

Занятие на тему: Решение простейших задач в координатах.


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Занятие

Тема: Решение простейших задач в координатах.

Количество часов: 2 часа

Цель: разобрать подробно простейшие задачи в координатах, привести пример нахождения середины отрезка, длины вектора и расстояния между точками.

План:

1. Задача на нахождение координат середины отрезка.

2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты.

3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами.

4. Решение типовых задач у доски.


Вопрос 1.Задача на нахождение координат середины отрезка.

Задача 1(рис. 1).

Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29553/73a032a20d3f819564ea1efe5d712736.jpg

Рис. 1. Координаты середины отрезка

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29554/27ce83a0f4535b64f3d0bffefd13ee73.png является половиной суммы векторов http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29555/0ae8f7236ec90bf7f5857516f2b7bddb.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29556/2078f1505e8fda12959f0d6c3f191125.png, потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах  http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29555/0ae8f7236ec90bf7f5857516f2b7bddb.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29556/2078f1505e8fda12959f0d6c3f191125.png. Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29557/5991912c7a5a139b11d2195e62b547f2.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29558/f5e5505b39f6799665cee9c8536b385e.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29559/1c916c47e1af5b0b752f217b9ea54a6c.png.

Вопрос 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты.

Задача 2(рис. 2).

Если у нас есть вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29560/5601a379e716e99822ef3476903f1a27.png, то его модуль вычисляется по формуле: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29561/929a626cbc21498288c69886e6cb4b11.png.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29562/56a071205646989d3a63e74cf5f9e852.jpg

Рис. 2.

 

Рассмотрим вывод этой формулы.

1) Начертим вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29563/f6047d13390551dc0b141a1a1a5248dd.png и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.

2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.

3) Рассмотрим http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29564/7a5ddbc2007c5951e515c377a2c9f2df.png. OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29564/7a5ddbc2007c5951e515c377a2c9f2df.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29565/056b8129b1e91ce8bf3d885e61c48c0c.png - по теореме Пифагора.

4) Рассмотрим http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29566/40cf8ccf9ca88731a5ac8185ffb41c88.png - прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29565/056b8129b1e91ce8bf3d885e61c48c0c.png, MK=z.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29567/e514894be781c90e894c979b843a422d.png - по теореме Пифагора.

Вопрос 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами.

Задача 3(рис. 3).

Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29568/4c1f0bb37f23dfd4b983005fc212dbe5.jpg

Рис. 3.

Решение:

1) Найдем координаты вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29569/a84f30e3f3e20afbbb156accd5f6c88c.png. http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29570/a4060f88bffcc8b76e499524e35f2a55.png.

2) Найдем модуль вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29569/a84f30e3f3e20afbbb156accd5f6c88c.png по его координатам:http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29571/31f7e5fde2569468196b06e6406c8cc5.png.

Вопрос 4. Решение типовых задач у доски.

Задача №4.

Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29572/78c72c740dcbde6e1c5f3af68b6b0cb7.png. Найти: m, n.

Решение: Так как http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29572/78c72c740dcbde6e1c5f3af68b6b0cb7.png, мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29573/4266ee251bb0417bf94dca4afbfebaac.png; http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29574/1a8904f210dd62d2ed9b7c4a43d0247d.png; http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29575/0211ccdcf6b751a99298ff60bc3497c5.png.

Ответ: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29576/7edeaf937dce3372b17ab36a0ab7ccb3.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29577/cb020c57835a3b7585a97049d36a7b8d.png.

Задача №5.

Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.

Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29578/9b72af5f1f895e551b130be9678794b3.png.

Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29554/27ce83a0f4535b64f3d0bffefd13ee73.png. Так как http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29554/27ce83a0f4535b64f3d0bffefd13ee73.png - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29579/6ba5b10ed7a01786418ff62e10de3add.png. Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29580/193d0ce154f739e85a77aac0e2ba84d7.png.

Ответ: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29581/161f7c5a8612ec93e5c17156efbbd78c.png.

Вопросы для самопроверки:

1. Как найти координаты середины отрезка?

2. Как найти модуль вектора через его координаты?

3. Как найти расстояние между точками, заданными своими координатами?


Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 455 с.: ил.

2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.: ил.

3. Yaklass.ru (Источник).

4. Mathematics.ru (Источник).





4



Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров536
Номер материала ДВ-268968
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх