Занятие "Пять граций геометрического подиума"

План занятия группы углубленного изучения математики

ТО «Пифагор» МКОУ ДОД ДДТ Дигорского района

Педагог: Диамбекова Алла Лазаровна

2014г.

Тема занятия: «Пять граций геометрического подиума»

Цели: 

Образовательные:

Ø  ознакомиться с понятием и происхождением названий правильных многогранников;

Ø  изучить их свойства;

Ø  научиться строить образы этих геометрических фигур на плоскости;

Ø  ознакомиться со страницами истории изучения учёными правильных многогранников.

Развивающие:  развивать пространственные представления, логическое мышление,  математическую речь,  общий кругозор  обучающихся; 

Воспитывающие:  воспитывать  самостоятельность, умение анализировать и применять имеющиеся знания в нестандартных ситуациях.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация по теме.

Форма проведения: лекция.

Ход занятия.

       Организационный момент.

Девиз занятия: «Правильных многогранников вызывающе

мало, но этот весьма скромный по численности отряд

 сумел  пробраться в самые глубины различных наук.»

Л. Кэрролл

 Повторение имеющихся знаний с целью перехода к восприятию новых понятий:

- определение правильного многоугольника;

- выпуклость фигуры;

- сумма внутренних углов выпуклого n-угольника;

- многогранный угол;

- выпуклый многогранник;

- правильный многогранник.

       В окружающем нас мире существуют объекты определённой формы, повторяющейся многократно как в природе, так и в творениях рук человека. Спичечный коробок, пакет сока, комната, пачка чая имеют форму, называемую прямоугольным параллелепипедом (рис. 1). Захоронения египетских фараонов известны под названием пирамида (рис. 2). Солнце, Луна, Земля имеют форму шара (рис. 3). Многие формы не имеют специальных названий (рис. 4).

      Среди этого бесконечного множества уже в древности человек выделил пять форм, называемых правильными многогранниками (рис. 5). Сам факт существования всего пяти правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много.  [4]

Рассмотрим теорему:

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6. 

Доказательство. Угол правильного n-угольники при n6 будет больше или равен 120⁰. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх плоских углов. Значит, сумма плоских углов при вершине многогранника будет равна 360⁰  или будет больше. Это невозможно. Значит, приведённое утверждение верно. [2]

Тогда получается, что в вершине правильного многогранника может сходиться :

Ø      либо три, четыре или пять равносторонних треугольников;

Ø      либо три квадрата;

Ø    либо три правильных пятиугольника. Других возможностей нет. Поэтому в геометрии существует всего пять правильных многогранника:

Ø    ТЕТРАЭДР составлен из четырёх равносторонних треугольников. В каждой вершине сходятся три треугольника.

Ø    ОКТАЭДР составлен из восьми равносторонних треугольников. В каждой вершине сходятся четыре треугольника.

Ø    ИКОСАЭДР составлен из двадцати равносторонних треугольников. В каждой вершине сходятся пять треугольников.

Ø    ГЕКСАЭДР (куб) составлен из шести квадратов. В каждой вершине сходятся три квадрата.

Ø    ДОДЕКАЭДР составлен из двенадцати правильных пятиугольников. В каждой вершине сходятся три пятиугольника.

Названия правильных многогранников имеют древнегреческое происхождение. В переводе: «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окто» - 8, «додека» - 12, «икоси» - 20, «эдра» - грань.  [6]

Если разрезать поверхность многогранника, отправляясь из одной вершины по рёбрам, побывая в каждой из остальных вершин только по одному разу, то получим плоский многоугольник, который называется развёрткой (то есть «развернули на плоскости») многогранника. (рис. 16)  При этом число разрезов на один меньше числа вершин. Развёртки могут иметь разные виды. Это зависит от того, по каким рёбрам выполняются разрезы. [3]

Центры всех граней куба являются вершинами октаэдра и наоборот, поэтому куб и октаэдр называют двойственными друг другу. Тетраэдр двойственен сам себе. Додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу. На основе куба можно построить все рассматриваемые нами фигуры. Поэтому Иоганн Кеплер считал куб «родителем» всех правильных тел.  (рис. 17)  

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных около 13 в. до н.э. в Шотландии. Некоторые историки (Прокл и Диадох) приписывают честь открытия этих фигур пифагорейцам. Другие утверждают, что Пифагор изучил тетраэдр, куб и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Теэтет Афинский. В любом случае, Теэтет дал описание всем пяти фигурам и доказал первым, что их ровно пять.  [6]

В картине мира, разработанной великим учёным Древней Греции Платоном в 4 в. до н.э., правильные многогранники занимают видное место. Поэтому их часто называют платоновыми телами. Философ считал, что мир состоит из четырёх стихий – огня, земли, воды и воздуха. Тетраэдр сопоставлялся огню, куб – земле, октаэдр – воздуху, икосаэдр – воде. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: пламя огня напоминает тетраэдр; воздух состоит из частичек формы октаэдра, которые настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается из рук, как будто она сделана из множества мелких шариков, похожих на икосаэдры; а вот земля в руках рассыпается, будто бы состоит из кубиков.  Додекаэдр символизирует весь мир – Вселенную, хотя это никак не объясняется.   Полное математическое описание правильных многогранников дано Евклидом (3 в. до н.э.) в последней 13-ой книге «Начал».   [6]

Вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела немецкого астронома 16 века Иоганна Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранника, то им соответствуют известные на тот момент шесть планет. Он связал планеты Солнечной системы и платоновы тела следующим образом:

 в сферу орбиты Сатурна вписан куб;

в куб вписывается     сфера орбиты Юпитера;

в сферу орбиты Юпитера вписывается тетраэдр;

в тетраэдр вписывается сфера орбиты Марса;

в сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр;

в додекаэдр вписывается сфера орбиты Земли;

в сферу орбиты Земли вписывается икосаэдр;

в икосаэдр вписывается сфера орбиты Венеры;

в сферу орбиты Венеры вписывается октаэдр;

в октаэдр вписывается сфера орбиты Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 18)  получила название «Космического кубка» Кеплера. В «кубке» как бы расстояния между планетами определялись размерами платоновых тел, вписанных в их орбиты. С развитием науки эта версия не подтвердилась, но сама идея осталась в истории науки как одна из оригинальных попыток познания тайны гармоничного устройства Вселенной.  [5]

Другой средневековый гений Леонардо да Винчи делал каркасные модели правильных многогранников, изготавливая рёбра из дерева и оставляя грани воображаемыми. Если смотреть на такую модель из точки, лежащей строго напротив центра одной из его граней, то эта грань будет представляться большим многоугольником, внутри которого лежат все остальные грани. Такой рисунок многогранника называется диаграммой Шлегеля.    [3]

На рисунке 16 изображены перспективный чертёж, развёртка и диаграмма Шлегеля для каждого из пяти платоновых тел.

Художник часто изображал на своих полотнах платоновы тела.

В известной гравюре «Меланхолия» (рис. 19) знаменитого немецкого художника  16 века Альбрехта Дюрера на переднем плане изображён додекаэдр.

Идея о связи правильных многогранников с устройством мира продолжила свою жизнь в интересной гипотезе, которую в 80-ых годах 20 века высказали московские инженеры В.Макаров и В.Морозов. Они считают, что земная кора как бы покрыта сеткой (рис. 20) из проекций вписанных в земной шар икосаэдра и додекаэдра. Она имеет 62 вершины и середины рёбер, называемых узлами. Исследователи выяснили, что в этих узлах наблюдаются наибольшее и наименьшее атмосферные давления; гигантские завихрения Мирового океана; располагаются озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник, а также очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. Вдоль линий сетки тянутся многие земные залежи полезных ископаемых. Возможно, со временем эта гипотеза станет очередной научной тропинкой к сокровищам земных тайн.        [7]

Правильные тела широко встречаются в природе. Например, одноклеточный организм – феодария, имеет форму икосаэдра (рис. 21). Возможно, эта природная геометризация вызвана тем фактом, что из всех двадцатигранников именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. И это помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи. В спорах биологов относительно формы вирусов в центре внимания оказался также икосаэдр. Направив поток атомов на вирус, учёные обнаружили, что только икосаэдр, на который направлен свет под тем же углом, даёт точно такую же тень (рис.22). Вышеназванное геометрическое свойство позволяет экономить генетическую информацию. Таким образом, правильные многогранники – «выгодные» фигуры, и природа этим «пользуется». Кристаллы многих веществ имеют форму платоновых тел: куб передаёт форму кристаллов поваренной соли; додекаэдр – сернистого колчедона (применяется при получении железа, особых сортов цемента, серной кислоты); тетраэдр – сурьменистого сернокислого натрия (применяется в различных химических реакциях, синтезирован учёными); икосаэдр – бора и т.д. (рис. 23)  В химии молекулы воды, метана, алмаза и т.д. имеют форму тетраэдра. (рис. 24)Результаты наблюдений в августе 2006 года областей распределения тёмной материи в галактиках говорят  о том, что Вселенная представляет собой набор повторяющихся додекаэдров.   [7]

Один из самых известных математиков мира француз Рене Декарт около 1620 года обнаружил, что число вершин В, рёбер Р и граней Г правильных многогранников связаны равенством

В  - Р +Г = 2.                                  (2)

Величина    В  - Р +Г    называется эйлеровой характеристикой многогранника. Дело в том, что открытие Декарта не стало общим достоянием математиков 17-18 веков, поэтому в 1752 году эту же формулу переоткрыл величайший математик всех времён Леонард Эйлер. Отсюда и название «формула Эйлера» и «эйлерова характеристика». Установлено, что формула (2) выполняется только для простых многогранников («без сквозных дыр»), «устроенных как сфера», - они, образно говоря, превратятся в шарики, если их сделать из резины и надуть. Очевидно, что правильные многогранники – простые тела. Если дыр х, то получим 2-2х.         [1]

Докажем равенство (2) с помощью формулы (1) для суммы углов многоугольника. Возьмём вне некоторого простого многогранника точку О близко к одной из граней F. Спроектируем остальные грани на F из точки О (она подбирается так, что это проектирование возможно). Тогда грань F получается разбитой на многоугольники (образы всех других граней, кроме F). Теперь вычислим сумму углов всех этих многоугольников и самой грани F  двумя разными способами.

1 способ. Запишем отдельно сумму углов каждого многоугольника и самой грани F. Для этого обозначим число всех граней буквой Г, т.е. граней будет 1; 2; 3 …; Г. Тогда число сторон каждой грани обозначится так:  Получим суммы:

 π(); π(); π(); …; π().

 Сложим их и преобразуем сумму:

π() + π() + π() + …+ π() = π - 2π + π π…+ π- 2π = π() - 2 πГ.

Так как стороны граней – это рёбра многогранника, то сумма () = 2Р, где Р – число рёбер. Тогда вся сумма равна

2 πР  - 2 πГ = 2 π(Р  - Г).                           (3)

2 способ. Теперь рассмотрим сумму всех углов многоугольника и самой грани F следующим образом:

1)      при каждой вершине разбиений, находящейся внутри F, сумма углов равна 2π; таких вершин будет В - , где  - число вершин грани F; тогда их сумма равна 2π(В - );

2)      сумма углов при вершинах  равна  π( )  - то есть это сумма углов грани F;

3)      сложив все величины, получим:

2π(В - ) + π( ) + π( )  =  2πВ -  2π + π - 2π + π - 2π = 2πВ - 4π =

= 2 π(В  - 2)                                                      (4)

Так как значения равенств (3) и  (4) описывают одну и ту же величину, то их можно приравнять:

2 π(Р  - Г) = 2 π(В  - 2).

Обе части полученного равенства делим на 2 π 0, и получаем равенство

Р – Г = В – 2.

Отсюда следует формула Эйлера В  - Р +Г = 2.                                  ЧТД        [1]

Таким образом, в необъятном океане многогранных форм правильные многогранники выделяются совершенством, красотой и художественной соразмерностью, я бы сказала, это пять изящных грациозных созданий геометрического подиума.

Попробуйте дома построить образы платоновых тел на плоскости и смоделировал все пять правильных многогранников.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Библиография

1.      Аксёнова М.Д. Энциклопедия для детей. Математика. Т.11.- М.: Аванта, 2003. –342 с.

2.      Атанасян Л.С. и другие. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. -М.: Просвещение, 2008. – 62,75,76с.

3.      Новая большая энциклопедия школьника: 5-11 кл. Учебно- справочное пособие./А.А.Позднякова, Е.А.Панова, И.О.Родин и др.- М.:АСТ:Астроль, 2007. -374-406с.

4.      Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1985. – 195-203с.

5.   «Космический кубок» Кеплера. 900igr.net…2/006-Kosmicheskij-kubok-Keplera.htm!

6.   Правильный многогранник. Ru.wikipedia.jrg

7.   Правильные многогранники. Km.ruРефераты.