Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 3 "Делимость. Остатки и их свойства".

Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 3 "Делимость. Остатки и их свойства".

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Занятие 3.

Делимость. Основные свойства.

1. Делится ли 2ⁿ ∙ 3 на 2? На 3? На 5? На 8? На 9? На 6?

2. Можем ли мы утверждать, что: а) если а делится на 4 и на 3, то а делится на 12; б) если а делится на 4 и на 6 , то а делится на 24; в) если а – чётное, то 3а делится на 6; г) если 15а делится на 6, то а делится на 6; д) если а∙а делится на 8, то а делится на 8?

3. Докажите, что: а) если a2 делится на 3, то а делится на 3

б) если a2 делится на 3, то a2 делится на 9

4. Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6. Докажите, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 60, 120.

5 Можем ли мы утверждать, что: а) если а делится на 4 и ас делится на 6, то ас делится на 24, б) если а делится на 9, ас делится на 10, то ас делится на 90?

Определение: Два натуральных числа называют взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

6. Можно ли монетами 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

7. Дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре у одного пряников вдвое больше, чем у другого. Может ли у всех вместе быть ровно 1000 пряников?

8. Количество натуральных делителей некоторого числа – нечётно. Докажите, что это число – полный квадрат.

НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа и их свойства.

Определения: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и с называется наибольшее из чисел, на которое делятся оба числа а и с. Если а и с – взаимно простые, то НОД(а;с)=1.

Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и с называется наименьшее из натуральных чисел, делящееся на оба числа а и с. Обозначается НОК(а;с)

9. Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме?

10. Из монет 6, 9, 15 рублей наберите наибольшую сумму, не превышающую 200 рублей. Объясните, почему сумма наибольшая?

11. Имеет ли уравнение 3х +9у = 202 решение в целых числах?

12. На ферме 20 коров и уток, всего у них 42 ноги. Найдите, сколько коров и сколько уток.

Остатки и их свойства.

Определение: число а делится на число b с остатком r, 0≤ rb, если а = b∙с + r, где с – целое. При этом с – неполное частное при делении а на b.

Говорят, что числа а и b сравнимы по модулю m, если они дают одинаковые остатки при делении на m. Обозначается а ≡ b (mod m)

Теорема о действиях с остатками. Пусть число а1 дает при делении на m остаток r1, число а2 дает при делении на m остаток r2. Тогда:

  • Число а1 + а2 при делении на m дает тот же остаток, что и число r1 + r2;

  • Число а1 - а2 при делении на m дает тот же остаток, что и число r1 - r2;

  • Число а1а2 при делении на на m дает тот же остаток, что и число r1r2.

Таким образом остатки можно складывать, вычитать и умножать.

13. Найдите остаток от деления 25 на 7, 25 на 5, 28 на 5, -15 на 7.

14. Найдите остаток от деления 7100 на 6.

15. Найдите остаток от деления 11100 на 12.

16. Найдите остаток от деления 2100 на 5.

17. Найдите остаток при делении на 7 числа 100100 – 30100 .

18. Докажите, что a5 + 4а делится на 5 при любом натуральном а.

19. Докажите, что a2 + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном а.

20. Докажите, что a3 + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном а.


Домашнее задание.

1 Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было различным?

2. Представьте число 203 в виде суммы нескольких чисел так, чтобы произведение этих чисел было равно 203

3. Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел равняться их сумме?

4. Имеет ли уравнение 7х + 21х = 107 решение в целых числах?

5. Найдите остаток от деления 37 на 8, 29 на 5, 44 на 3, -11 на 4

6. Найдите остаток от деления 8100 на 7.

7. Докажите, что a3 + 8а не делится на 5 ни при каком натуральном а.






Решение и ответы к занятию 3.

1. да, да, нет, да, нет, да

2. а) да, б) нет, например 12, в) да, г) нет, например а=2, д)нет, например а=4

3. а) У чисел а и a2 одинаковые простые множители, но в числе a2 степень каждого простого множителя в 2 раза больше. Если бы а не делилось на 3, то и a2 также не делилось бы на 3.

б) если a2делится на 3, то а делится на 3, то есть у числа а есть множитель 3. Значит, у числа

a2 множителей 3 хотя бы два, тогда a2 делится на 9, так как 9=3∙3.

4. Так как каждое второе число делится на 2, а каждое третье – на 3, то произведение трёх последовательных чисел делится и на 2 и на 3, значит на 6. Так как каждое четвёртое число делится на 4, а каждое пятое на 5, то произведение пяти последовательных чисел делится на 3х4х5=60. Заметим, что среди последовательных чисел хотя бы два чётные, одно из которых делится на 4, получаем, что их произведение делится на 2х3х4х5=120.

5. а)нет, б) да

6. Нет, числа 14 и 35 делятся на 7, значит ими можно оплатить только сумму, которая делится на 7. Легко проверить, что 1999 не делится на 7.

7. Нет, в каждой паре общее количество пряников делится на 3, значит сумма всех пряников делится на 3. Число 1000 на 3 не делится.

8. У числа а – не являющегося полным квадратом, все делители разбиваются на пары (с; а:с), то есть их количество чётно. У полного квадрата а = х2

Все делители, кроме числа х, разбиваются на пары, то есть у полного квадрата – нечётное количество делителей. Если у некоторого числа нечётное число делителей, то они не могут разбиться на пары, значит такое число не может не быть полным квадратом.

9. Нет. Предположим, что НОК(а;с) = к и а+с = к. Так как а делится на а и к делится на а, то обязательно с делится на а, следовательно НОК(а;с) = с.

10. 198. Так как числа 6,9,15 делятся на 3, то ими можно набрать только сумму делящуюся на 3. Наибольшее число, не больше 200 и делящееся на 3, равно198. Сумму 198 набрать можно, например, взять 33 монеты по 6 рублей.

11. Нет. Левая часть уравнения делится на 3, а правая – нет.

12. 1 корова и 19 уток. Пусть на ферме х коров, тогда уток (20- х). Учитывая, что у коров по 4 ноги, а уток по 2 ноги, получаем уравнение: 4х + 2(20-х) = 42, откуда получаем х = 1.

13. 4; 0; 3; 6

14. 7 ≡1 (mod 6), тогда 7100 1100 1(mod 6).

15. 11 ≡ - 1 (mod 12), тогда 11100 ≡ (- 1)100 1(mod 12).

16. 21 ≡2 (mod 5), 22 ≡4 (mod 5), 23 = 8≡3 (mod 5), 24 = 23 ∙ 2 ≡3 ∙ 2 = 6 ≡1 (mod 5),

2100 = 24∙25 125 = 1(mod 5).

17. 100 ≡2 (mod 7), 30 ≡ 2(mod 7), 100100 – 30100 ≡ 2100 - 2100= 0 (mod 7)

18. Найдём какие остатки при делении на 5 может давать выражение a5 + 4а, в зависимости от остатков числа а при делении на 5. Составим таблицу.

0

1

2

3

4

a5

0

1

2

3

4

0

4

3

2

1

a5 + 4а

0

0

0

0

0

Из таблицы видно, что какой бы остаток при делении на 5 ни давало число а, число a5 + 4а даёт остаток 0, что и означает требуемое.

19. Найдём какие остатки при делении на 3 может давать выражение a2 + 1, в зависимости от остатков числа а при делении на 3. Составим таблицу.

0

1

2

a2

0

1

2

a2 + 1

1

2

2

Из таблицы видно, что при любых значениях а, число a2 + 1 даёт ненулевой остаток при делении на 3.

20. Найдём какие остатки при делении на 9 может давать выражение a3 + 2 в зависимости от остатков числа а при делении на 9. Составим таблицу.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

a3

0

1

8

0

1

8

0

1

8

a3 + 2

2

3

1

2

3

1

2

3

1

Из таблицы видно, что при любых значениях а, число a3 + 2 даёт ненулевой остаток при делении на 9.








Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 10.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров93
Номер материала ДБ-117997
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх