Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цели урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения комбинированных задач; развитие познавательного интереса к математике.

Задачи:

Образовательные:

• совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий;
• применять свои знания в практических ситуациях;
• расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;

Развивающие:

• развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитательные:

• воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; воспитывать чувство прекрасного;
• формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;

Тип урока: отработка умений и навыков, применение знаний при решении комбинированных задач.

Форма проведения: личное соревнование с использованием презентации.

Длительность: 2 учебных часа.

К уроку прилагается презентация Приложение1.ppt

Эпиграф урока.

Закончился XX век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:

“Прогрессио – движение вперёд”.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Сценка “Мужик и купец”.

(Стол. На столе – самовар; у окна сидит купчиха. Входит купец )

Купец: Послушай, жена! На базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.

Жена: Какую?

Купец: Он каждый день будет приносить мне по 100 000 рублей, а я ему в первый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100 000 рублей. Во второй день за 100 000– две копейки, в третий– 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100 000 рублей!

Жена: Откуда у этого глупца столько денег?

Купец: Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на 1 месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.

(Раздаётся стук. Жена выглядывает в окно.)

Жена: Там кто-то пришел!

Купец: Это он. (Входит мужик)

Мужик: Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку. (Взяв копейку, уходит)

Купец: Как я боялся, что он не придёт! А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?

Жена: Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что он поймёт это завтра. Говорят же: “Если дурак, то надолго”.

Купец: Так-то оно так, да всё равно боязно.

Ведущий: Каждый день мужик приносил по 100 000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24 день он отдал уже более 83000 рублей.

Купец: О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп! Какой я глупец! Разве можно заключать сделки на базаре!

Ведущий: Видите, ребята, сколь неожиданными бывают результаты, когда не знаешь математику. Вероятно, купец не оказался бы в безвыходном положении, знай он хоть чуть-чуть математику.

“Так о чём же, ребята, пойдёт сегодня речь?”

III. Сообщение темы и целей урока.

Конечно о прогрессиях. Но встретим мы её в комбинированных нестандартных задачах. Сегодня мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть занимательной. Нам предстоит поработать и с формулами, вспомнить, как решаются уравнения и строятся графики, посадить “волшебное дерево” и услышать исторические факты, решить задачу и написать тест.

А вот почему же в конце месяца купец посчитал себя глупцом?

Сколько пришлось заплатить каждому?

IV. Устная работа

1. Считают “мужик” и “купец”

“Мужик” заплатил: S₃₀ = 100 000• 30 = 3 000 000рублей.

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.

S₃₀ =1• (2³⁰ – 1):(2-1)= 2 ³⁰ -1=1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 коп.= 10 738 418 руб.23коп

2.Найди ошибку. (Текст решения на слайде)

В то время пока двое подсчитывают суммы, следующий ученик комментирует решение и находит ошибку в решенном неравенстве:

х²+ х(-1-1/2-1/4-…) – 8 < 0,

Имеем в скобках сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна S=1/(1-1/2)=2, и тогда неравенство приобретает вид

х² -2x -8 <0.

Рассмотрим функцию у = х² -2х -8. График парабола, “ветви” вверх, т.к. а=1, 1>0.

Нули функции: 4; -2.

Построим параболу схематично:

Ответ: (-2;4).

V. Работа с формулами.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

восприятие речи на слух. Проговариваю название формулы один раз, а учащиеся пишут номер формулы (двое у доски, остальные под копирку на листочках, повернувшись так, чтобы работать спиной к доске).

Вопросы к формулам

1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
2. Формула n-го члена арифметической прогрессии.
3. Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.
4. Сумма n-первых членов геометрической прогрессии.
5. Формула n-го члена геометрической прогрессии.
6. Свойство членов арифметической прогрессии.
7. Свойство членов геометрической прогрессии.
8. Знаменатель геометрической прогрессии.
9. Разность арифметической прогрессии.

Формулы.

1. a_n = a₁ + ( n-1)d

2. b_n = b₁• q^n-1

3. S_n.

4. S_n =

5. S =.

6. a_n = .

7. b_n=

8. d = a_{n + 1} – a_n.

9. q =

Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняем проверку по коду.

Получили 9-значное число 513 426 798.

Это КОД ОТВЕТА.

VI. Практическая часть урока.

“Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным образцам и постоянно тренируясь”,– говорил Д.Пойа.

1.Задача. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.

Дано: а₁+а₂ +а₃=27 –сумма трёх членов арифметической прогрессии; а₁-1; а₂ -3; а₃+3– геометрическая прогрессия

Найти: а₁; а_2; а_3.

Решение.

d² +4d-60=0,

d₁=6, d₂=-10.

Если d₁=6, то ; .

Если d₂=-10, то ; .

Ответ: если арифметическая прогрессия 3; 9; 15, то геометрическая прогрессия 2; 6; 18.

Если арифметическая прогрессия 19; 9; -1, то геометрическая прогрессия 18; 6; 2.

Нестандартные комбинированные задачи по теме “Прогрессии” мы можем встретить и при решении уравнений, неравенств, при построении графиков функций.

2. Решите неравенство:

Двое учащихся упрощают скобки в данном неравенстве. Сумма 6-ти слагаемых арифметической прогрессии равна (-18) . Сумма 6-ти слагаемых геометрической прогрессии равна 126.

Неравенство перепишется в виде : (3х-18)(х+126)>0.

Третий ученик решает его методом интервалов.

Ответ: (– ; -126) U (6; + ).

VII. Проверка домашнего задания.

Мы знаем легенду об изобретателе шахмат, которая гласит, что изобретатель шахмат Сета попросил у индусского царя Шерам за своё изобретение столько пшеничных зёрен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – ещё в два раза больше, т.е. 4 зерна, и т.д. до 64-й клетки. Одно из домашних заданий заключалось в том, чтобы посчитать современными способами и записать, сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат?

S₆₄ = 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709миллионов 551 тысяча 615.

Современники сказали бы так:

S₆₄ = 1, 84• 10 ¹⁹ – стандартный вид данного числа.

Если бы индусскому царю Шерам удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Мы ещё посмотрели сценку о мужике и купце. А когда же стали встречаться первые упоминания о прогрессиях?

VIII. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в “Книге абака” (1202 г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке “Наука о числах”, увидевшей свет в 1484 году.

IX. Практическая часть. (Продолжение)

Великому Эйнштейну приходилось делить время между политикой и уравнениями. Он говорил: “Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

3. Итак, уравнение, содержащее прогрессию.

х² -3 |х | = 2+1+1/2+…

Решение: S= 2/(1-1/2)=4.

Уравнение приобретает вид х² -3 |х | -4=0.

1) Если х >= 0, то х² -3х – 4 =0. Его корни 4 и -1;

х= -1 не удовлетворяет условию х >= 0.

2) Если х < 0, то х² +3х – 4=0. Его корни -4 и 1;

х=1 не удовлетворяет условию х < 0.

Ответ: 4; – 4.

4. Построить график функции:

у = .

Решение. 1+sin30+sin² 30+sin³ 30+...=1+1/2+1/4+1/8+... – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.к. q=1/2.

S = 1/(1-1/2)=2.

Функция приобретает вид: 1) у = х +2, если х > 0.

2) у = х – 2, если х < 0.

Область определения х 0. У доски работают 2 ученика, каждый строит свою часть графика.

В нашей школе стало традицией: выпускники школы, заложив однажды “аллею выпускников”, продолжают эту традицию каждую новую весну.

Но пока ещё зима, самое время посадить “волшебное дерево”.

5. Логическая задача.

Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно “достанет” до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8м?

Решение: через 33 дня. Один день – 2м. Два дня – 4м. Три дня – 8м. 36-3=33 дня.

X. Индивидуальная работа.

В этом году вы принимаете эстафетную палочку от 11 классов и тоже сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Текст теста по вариантам).

Решается тест в тетради, записывается в тетради номер ответа, тесты сдаются и выполняется проверка по коду. Привожу пример теста.

Вариант 1.

1. (а_n ) – арифметическая прогрессия, а₁ =10; d = – 0,1. Найди а₄.

1) 9,7; 2) 97; 3) –97; 4) 10,3; 5) –10,3.

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁.

1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1.

3. (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2

1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25.

4. Найди сумму бесконечной геометрической прогрессии 12;6;…

1) 6; 2) – 12; 3) –24; 4) 24; 5) 12.

5. Представь в виде обыкновенной дроби число 0, (1).

1) 9; 2) 11/9; 3) -1/9; 4) – 9; 5) 1/9.

6. Найди сумму 100 – первых членов последовательности (x _n ), если x _n =2n +1.

1)10200; 2) 20400; 3)1200; 4) 102; 5) 1020.

7. Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 3.

1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80; 5) – 40.

Код ответов 1234542

XI. Подведение итогов.

Итак, сегодня мы в нестандартных комбинированных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, , поработали с формулами, вспомнили, как решаются уравнения и строятся графики, встретились с занимательной математикой и посадили “волшебное дерево” при решении занимательной логической задачи, услышали исторические факты, решили задачу и написали тест. (Итоги подводят ученики)

Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.

XII. Выставление оценок.

За работу с формулами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.

XIII. Домашнее задание – творческое:

составить 3 комбинированных задачи по теме “Прогрессии” и их решения оформить на альбомном листе.