Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Дипломная работа по математике тема "Дидактическое обеспечение изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Дипломная работа по математике тема "Дидактическое обеспечение изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах"

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m11060ef4.gifМинистерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Курский государственный университет»


Факультет физики, математики, информатики

Заочная форма обучения

Специальность 050202 Математика

Специализация


Кафедра алгебры, геометрии и теории обучения математике


Выпускная квалификационная (дипломная) работа на тему:

«Дидактическое обеспечение изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах»


Выполнила:

студентка 6 курса

Кравцова Елена Владимировна

Научный руководитель:

к. п. н., доцент кафедры алгебры, геометрии и ТОМ

Фильчакова К. А.




Курск 2013

Оглавление












Введение   

Овладение практически любой современной профессией требует определённых математических знаний.

 Представление о роли математики в современном  мире, математические знания стали  необходимым компонентом общей  культуры. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в информационном мире требуется  достаточно прочная математическая подготовка. Роль и место математики в науке и жизнедеятельности общества, ценность математического образования, понимание  предмета обуславливают цели математического  образования.

Выбор уровня математической подготовки должен определяться способностями и потребностями учащихся, их выбором будущей профессии. Поэтому учащиеся, готовящиеся к естественнонаучным, математическим специальностям должны иметь возможность обучаться по программе углубленного курса математики. Кроме обеспечения прочного сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений – основной задачей обучения математике в школе, «углубленное изучение математики в учебном процессе предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой». [18]

 На самоопределение учащихся большое влияние оказывают факультативные занятия, курсы по выбору, классы с  математическим уклоном.

  Реализация  идеи профильности старшей ступени образования в школе позволяет углубить знания учащихся по отдельным предметам и темам и подготовить их к сдаче ЕГЭ.  Ярким примером может служить решение логарифмических уравнений и неравенств, являющихся обязательным компонентом ЕГЭ по математике.

Аппарат уравнений и неравенств широко используется в  научных исследованиях. В рамках профильного курса математики он позволяет сформировать у обучащихся более глубокие представления о  сущности математического моделирования, заполнить пробелы как в теоретических знаниях, так и в практических навыках решения задач.

Однако многие учащихся плохо понимают применяемые ими алгоритмы решения, не могут объяснить, зачем они производили то или иное действие; уделяя много внимания появлению посторонних корней, они совершенно не заботятся о потере корней.

Творчески работающий педагог находится в постоянном поиске путей и средств решения задач обучения, а также вопросов развития индивидуальных особенностей обучающегося. Поэтому преподаватели обязательно должны целенаправленно выявлять склонности учащихся, учитывая педагогические требования, предлагать им темы работ в соответствии с их знаниями и возможностями. Необходимо позволять обучающимся самим выбирать уровень сложности в самостоятельных, домашних и индивидуальных работах. Тематика, содержание, сложность и трудоёмкость этих заданий должны подбираться с учётом индивидуальных особенностей школьников для успешного выполнения заданий. Все это учитель должен учитывать, составляя дидактическое обеспечение к урокам.

Исследованию проблем, связанных с дидактическим обеспечением учебного процесса рассматриваются в работах Г.С. Итпекова, И.Н. Булдакова, А.Г. Шабанова, П. И. Образцова.

Анализ нормативных документов Министерства образования и науки РФ, психолого-педагогической и методической литературы позволил выявить следующие противоречия:

- на социально-педагогическом уровне - между социально обусловленными требованиями общества к выпускнику школы, выражающимися, в частности, в потребности постоянного совершенствования умений, способности самостоятельно ставить и решать разнообразные задачи профессионального и жизненного плана, и недостаточной разработанностью вопросов использования дидактического обеспечения, обеспечивающих выполнение этих требований;

- на научно-педагогическом уровне - между необходимостью осуществления профильного обучения в системе школьного образования и отсутствием дидактических средств, позволяющих реализовать профессионально значимые образовательные функции школьного курса математики, имеющие прикладной характер;

- на научно-методическом уровне - между высоким дидактическим потенциалом прикладных и практических задач школьного курса математики и отсутствием адекватных педагогических технологий для его реализации в системе профильного обучения.

Необходимость разрешения выявленных противоречий обусловливает актуальность данного исследования. Таким образом, актуальность исследования определяется потребностью в создании дидактического обеспечения изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах.

Выявленные противоречия обусловили проблему исследования, которая заключается в отсутствии теоретически обоснованной методики конструирования профессионально ориентированного дидактического обеспечения изучения логарифмических уравнений и неравенств.

Объект исследования: процесс обучения алгебре и началам математического анализа в профильных 10-11 классах школы.

Предмет исследования: конструирование дидактического обеспечения изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

Цель исследования: разработка, обоснование дидактического обеспечения изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств.

Гипотеза исследования основана на предположении о том, что дидактическое обеспечение образовательного процесса изучения логарифмических уравнений и неравенств может повысить эффективность изучения данной темы и качество подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ.

Исходя из проблемы и цели исследования, определены следующие его задачи:

  • исследовать учебно-методическую, научную, историко-математическую и периодическую литературу по данной теме;

  • провести анализ учебно-методической литературы с целью выявления основных методов решения логарифмических уравнений и неравенств;

  • рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств;

  • теоретически обосновать необходимость конструирования дидактического обеспечения к изучению данной темы;

  • разработать дидактическое обеспечение изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

Для решения поставленных задач использовались следующие методы: изучение литературы, анализ и синтез, наблюдение за работой учителей математики в период практики, экспериментальная апробация разработанного дидактического обеспечения в процессе обучения математике.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что предложена структура и содержание дидактического обеспечения, обоснована методика его проектирования и использования.

Практическая значимость исследования определяется тем, что содержащиеся в ней теоретические положения и выводы позволили разработать и применить дидактическое обеспечение к изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.























Глава 1. Методический анализ изучения дидактического обеспечения в современном курсе математики старшей профильной школы.

  1. Обучение в профильных классах.

           В соответствии с приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 18.07.2002 г. № 2783 «Об утверждении Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» в старших классах общеобразовательных учреждений предусматривается профильное обучение. Целью профильного обучения является создание условий для образования старшеклассников с учётом их склонностей и способностей, для их обучения в соответствии с профильными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. В настоящее время выделяются следующие основные профили: естественно-математический, гуманитарный, технологический, социально – экономический.

Цели и задачи профильного обучения.

     Профильное обучение направлено на реализацию личностно – ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником собственной, индивидуальной образовательной траектории. Таким образом, переход к профильному обучению преследует следующие цели:

  1. Обеспечить углубленное изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

  2. Создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

  3. Способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям учащихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями;

  4. Расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общими профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Таким образом, профильное обучение направлено на достижение индивидуальных потребностей школьника.

Организация обучения математике в основных профилях.

Согласно можно выделить несколько групп основных профилей, для которых математика изучается в наиболее приемлемом для этих профилей объёме.

  1. Естественно – математический профиль: математика изучается в профильном курсе в течение 6 часов в неделю.

  2. Социально – экономический профиль: математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 4 часов в неделю.

Для различных профилей темы и содержание элективных курсов могут быть различны, а могут и совпадать.

Психолого – педагогические особенности обучения математике в классах основных профилей.

       При организации процесса обучения в профильных классах следует учитывать психолого-педагогические особенности учащихся того или иного профиля. Наиболее ярко эти особенности проявляются в математических и гуманитарных классах.

Учащиеся математических классов отличаются характером восприятия математической задачи (задачи в широком смысле слова). Способные к математике учащиеся, воспринимая задачу, сразу выделяют показатели, существенные для данного типа задач, величины, не существенные для данного типа задач, но существенные для данного конкретного варианта. То есть, для способных учащихся характерно формализованное восприятие математического материала, связанное с быстрым схватыванием в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры.

У учащихся математических классов преобладает абстрактно-логическое мышление, которое характеризуется:

  1. быстрым и широким обобщением (каждая конкретная задача решается как типовая);

  2. тенденциями мыслить свёрнутыми умозаключениями (при наличии очень чётко логически обоснованной канвы);

  3. большой подвижностью мыслительных процессов, многообразием аспектов в подходе к решению задач, лёгким и свободным переключением от одной умственной операции к другой, с прямого на обратный ход мысли;

  4. стремлением к ясности, простоте, рациональности, экономичности решения.

Память способных к математике учащихся имеет обобщённый характер: быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и способы их решения, схемы рассуждений, доказательств, логические схемы.

Такие ученики отличаются хорошо развитыми пространственными представлениями, при решении ряда задач они могут обходиться без опоры на наглядные образы. В каком-то смысле логичность заменяет им «образность», они не испытывают трудностей при оперировании абстрактными схемами.

На уроке учащиеся математических классов предпочитают решение нестандартных, проблемных, исследовательских задач. Красоту математики видят в необычных, неожиданных решениях. Во время работы чаще действуют индивидуально.

Математический профиль согласно Концепции общего среднего образования относится к курсу повышенного типа, обеспечивающему дальнейшее изучение математики и её применение в качестве элемента профессиональной подготовки. Это наиболее строгий и полный курс, ориентированный на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой.

Целями изучения математики в этом профиле являются овладение учащимися необходимым объёмом конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности.

Отбор содержания по теме должен проводиться в соответствии с целями, которые ставятся при изучении математики в математическом профиле. А также при изучении материала целесообразно использовать методы работы на уроке, соответствующие этому профилю: эвристический, проблемное изложение, исследовательский. Наиболее привлекательна для школьников индивидуальная работа. Для более полного рассмотрения каких-либо вопросов можно использовать различные средства обучения, в том числе учебные пособия, дидактические материалы, таблицы, экранные средства, приборы, модели и инструменты.

Профильное обучение имеет вековую историю, но и в настоящее время оно не потеряло своей актуальности, так как: профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников (социологические исследования показывают: больше 70% школьников отдают предпочтение тому, чтобы знать основы главных предметов, а углублённо знать только те, которые выбираются, чтобы в них специализироваться).

  1. К 15–16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности (социальный опрос: в 8 классах школьники точно знают, что они пойдут в ПТУ, техникумы, колледжи или будут поступать в ВУЗ, в 9 классе 70–75% школьников точно определились с выбором).

  2. В высшей школе сформировалось устойчивое мнение о необходимости дополнительной специализированной подготовки старшеклассников для прохождения вступительных испытаний и дальнейшего образования в ВУЗе.

  3. Большинство учеников считают, что существующее ныне общее образование не даёт возможностей для успешного обучения в ВУЗе и построения дальнейшей профессиональной карьеры (считают приемлемым меньше 12% учащихся старших классов – данные Всероссийского центра изучения общего мнения).

  4. Анализ зарубежного опыта показывает, что общее образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным .

Таким образом, для того, чтобы учащиеся углублённо осваивали нужные им предметы, а так же успешно сдавали ЕГЭ и не испытывали больших трудностей при обучении в нём, необходим переход на профильную школу, то есть профильное обучение в настоящее время носит актуальный характер.

  1. Сущность понятий «дидактическое обеспечение» и «дидактические средства».


Под дидактическим обеспечением понимается комплекс взаимосвязанных по дидактическим целям и задачам образования и воспитания разнообразных видов содержательной учебной информации на различных носителях, разработанный с учетом требований психологии, педагогики, информатики и других наук, и используемый для дистанционного образования.

Дидактическое обеспечение оценивается по следующим показателям: наличие банка контрольных заданий, тестов для обучающихся; наличие дидактических пособий по учебной дисциплине (аудио-видеоматериалов, компьютерных программ, таблиц, слайдов, раздаточного материала), тематики реферативных работ.

Сборники контрольных заданий, тесты представляют собой набор заданий, позволяющих определить освоение отдельных тем учебной программы (перечень вопросов представляется в заданной последовательности в полном соответствии с образовательной программой). Тестовые задания должны быть представлены по каждой теме учебной дисциплины. В тестовых материалах рекомендуется указывать правила формирования ответов на задания в зависимости от формы теста. Поэтому, в начале задания, должна быть помещена инструкция по форме ответа. Если задания в тесте даны все в одной форме, то инструкция пишется один раз, при изменении формы тестового задания пишется новая инструкция. Ключи (правильные ответы) к тестовым заданиям следует помещать после каждого вопроса теста. С требованиями, предъявляемыми к тестовым заданиям по всем предметам, а также их формами подробнее можно ознакомиться в серии методических рекомендаций для разработки тестовых заданий по дисциплинам. Работа с тестовой системой начинается с подготовки вопросной базы. При использовании тестирования в учебном процессе важно помнить, что каждый вопрос не должен иметь многоцелевую направленность, а призван выявлять лишь один определенный аспект.

Учебник - учебное издание, содержащее систематическое изложение учебной дисциплины, ее раздела, части, соответствующее учебной программе, и официально утвержденное в качестве данного вида издания.

Теоретический материал должен содержать систематизированные сведения научного или прикладного характера, изложенные в форме, удобной для изучения и преподавания. При подготовке материала следует руководствоваться следующими положениями:

- особое внимание должно уделяться связи рассматриваемых вопросов с объектами профессиональной деятельности выпускника и требованиями его образованности, а также рассмотрению новых сведений (концепций, фактов);

- должны отражаться различные взгляды на рассматриваемые вопросы независимо от личной позиции преподавателя;

- не допускается использование устаревших или вызывающих сомнение сведений;

- краткие выводы по теме должны ориентировать учащегося на определенную совокупность сведений, которые следует усвоить и запомнить.

Материал должен быть разбит на логические структурные единицы (входящие в модуль), сопровождаться схемами, таблицами, графиками.

По каждой логической структурной единице необходимо разработать вопросы (тесты) для контроля знаний.

Практикум - учебное издание, содержащее практические задания и упражнения, соответствующие усвоению пройденного материала.

Практикум предназначен для выработки умений и навыков применения теоретических знаний с примерами выполнения заданий и анализом наиболее часто встречающихся ошибок. Рекомендуется представлять пошаговые решения типичных задач и упражнений с выдачей пояснений и ссылками на соответствующие разделы теоретического курса. Реализация практикума может варьироваться в зависимости от предметной области.

Практикум должен включать в себя:

  1. тексты задач (практических ситуаций) для самостоятельного решения при подготовке к итоговой аттестации;

  2. примеры решения задач (практических ситуаций) по темам, на которые предложены аналогичные задания в экзаменационных билетах.

Практикум может содержать:

- лабораторные работы;

- практические занятия;

- задания и упражнения (с примерами выполнения). Объем материалов (практические задания, семинарские занятия, лабораторные работы, приложения) соотносить с учебным планом.

Учебное пособие - учебное издание, дополняющее или заменяющее частично или полностью учебник, официально утвержденное в качестве данного вида издания.

Учебное пособие представляет собой систематизированное изложение учебного материала дисциплины (как правило, семестровый курс), отобранного в соответствии с учебной программой и структурированного на фрагменты (входящие в модуль). Каждый фрагмент представляет собой целостный раздел учебного материала. Необходимо соблюдать общепринятые формулировки (названия, определения, обозначения), которые были введены в дисциплинах, предшествующих данной, или будут использоваться в дальнейшем.

Учебно-методическое пособие - учебное издание, содержащее материалы по методике преподавания, изучения учебной дисциплины, ее раздела, части или воспитания.

Задачник - практикум, содержащий учебные задачи.

Справочное издание - издание, содержащее краткие сведения научного или прикладного характера, расположенные в порядке, удобном для их быстрого отыскания, не предназначенное для сплошного чтения.

Глоссарий (справочник) - обеспечивает толкование и определение основных понятий, необходимых для адекватного осмысления материала. В глоссарии учитывается специфика актуального конспекта. Все термины, которые заносятся в словарь, выделяются жирным шрифтом. Для подчеркивания групп слов и целых предложений должен использоваться курсивный шрифт. Заглавные слова толкового словаря располагаются в алфавитном порядке.

Периодическое издание - сериальное издание, выходящее через определенные промежутки времени, как правило, с постоянством для каждого года числом номеров (выпусков), не повторяющимися по содержанию, однотипно оформленными, нумерованными или датированными выпусками, имеющими одинаковое заглавие.

Общественно-политическое издание - содержит статьи и материалы актуальной общественно-политической тематики, предназначенные для широких кругов читателей.

Отраслевое издание - статьи и материалы по технологии, технике, экономике, организации производства или практической деятельности, методические разработки, предназначенные работникам определенной отрасли.

Научное издание - издание, содержащее результаты теоретических экспериментальных исследований, а также научно подготовленные к публикации памятники культуры и исторические документы.

Хрестоматия - учебное издание, содержащее литературно-художественные, исторические и иные произведения или отрывки из них, составляющие объект изучения учебной дисциплины.

Необходимыми компонентами правильно построенного урока являются дидактические средства. Они включают все предметы и орудия деятельности, которой пользуется учитель и ученики для более эффективной реализации задач образования. Необходимо тщательно подбирать дидактические средства, учитывая характер воздействия этих средств.

    1. Средства обучения и их виды

Средства обучения — это объекты, созданные человеком, а также предметы естественной природы, используемые в образовательном процессе в качестве носителей учебной информации и инструмента деятельности педагога и обучающихся для достижения поставленных целей обучениявоспитания и развития.

Дидактические средства обучения – это все элементы учебной среды, которые педагог сознательно использует для целенаправленного учебно-воспитательного процесса, для более плодотворного взаимодействия с обучаемыми.

Средства обучения помогают лучшему оснащению учебного процесса.

Дидактические средства по сути происхождения, существования и назначения подразделяются на следующие категории (виды):

1.  Трансцендентальные – существующие независимо от социального сознания индивида, присутствующие на всех стадиях обучения и обеспечивающие непрерывную многократную проверку истинности приобретаемых знаний.

2. Искусственно создаваемые – для использования в процессе обучения и подчиненные учебному процессу и преподавателю, как его автору, либо привлекаемые для обеспечения учебного процесса. При этом дополнительно выделяются:

  • общепознавательные наглядные материалы – синтезируемые, как правило, для обеспечения учебного процесса в общеобразовательных предметах и совершенствования общей теории дидактики;

  • конструируемые в виде различных блоков, элементов, учитывающих специфические характеристики участников, время обучения, функции оценивания, образовательные ценности;

  • определяющие структуры системы и жестко ограничивающие алгоритмы системы, а также ее практические, прикладные разработки – технологии, методы, методики;

  • средства искусственного интеллекта — понимаются как «тонкая материя», некая материализация продуктов мышления, активно и, в определенной степени, независимо существующие в пространстве образовательного процесса; являются неотъемлемой частью интерактивных способов обучения.

3. Мотивационно ориентированные – обеспечивающие психофизиологическую ориентацию процесса обучения, стимулирующие воспитательные процессы, в т.ч. с использованием средств поощрения и наказания.

4. Технолого-образующие  – предопределяющие теоретическое обоснование и задающие причинностные основы практико-ориентированного синтеза педагогических методик, методов, теорий, направленных на управление учебным процессом, использующих и раскрывающих методические основы процессов обучения; дополнительно выделяются по преимущественному признаку проявляемой деятельности:

  • анализирующие, дискретизирующие знания – несущие в себе признаки единиц расчленения изучаемой реальности;

  • синтезирующие – суммирующие, перманентно накапливающие знания, использующие в качестве инструмента конструирования идеальные структуры образования (законы педагогики, связи между видами дидактических средств, выражение отношений(между классами дидактических средств), понятия, обобщающие предметы классов и др.);

  • функциональные – вырабатывающие специальные алгоритмы, процедуры, функции, являющиеся составными элементами методов, педагогических технологий, методик и т.д.;

  • модифицирующие - сообщающие инновационные трактовки, расширительные обозрения прежним педагогическим структурам, изменяющие форму, содержание, время действия, целеполагание, степень дискретности учебного материала и т.д.;

  • трансформирующие – амбивалентные, стимулирующие креативную деятельность обучаемых; подразделяемые на активные и пассивные. Активные отличаются интенсивным воздействием на элементы и участников процесса обучения; вариативные по форме, они определяют параметры интенсивности этого влияния, учитывают степень обязательности восприятия учебного материала, уровни результативности в построении структур и единиц потока учебного материала, задают качественные характеристики адресности – в личностном, временном, ситуативном и других аспектах. Пассивные – твердо выполняют практически неизменный алгоритм преобразований учебных структур в соответствии с требованиями педагогической системы.

5. Оценочно-контролирующие – обеспечивающие связь изложения (преподнесения), методов (технологии) обучения и объективности регистрации результатов анализа обучения.

Диапазон прикладного целеполагания дидактических средств определяется совершенством педагогической парадигмы и требованиями социума, предъявляемыми им ко всей педагогической системе.

Поясним это. Анализ представленной схемы позволяет выделить следующие положения. Основные элементы процесса обучения, консолидируясь на базе и с помощью дидактических средств, выстраивают на основе их конструктивных свойств пространство цели, т.е. образуют многомерный базис возможных вариантов маршрутов обучения. Конкретный путь выбирает каждый обучаемый самостоятельно с участием и необходимой помощью преподавателя. Исполненные в режиме реального времени, с использованием конкретных, строго подчиненных сформулированным задачам учебного процесса дидактических средств, переходы от одной частной позиции этого пространства к другой образуют некоторые пути достижения запроектированной заранее степени повышенной обученности. Совокупность финальных вариантов маршрутов достижения искомой степени обученности представляет собой суммарный целевой контур, наивысшая функциональная эффективность которого достигается только на основе принципов деятельностной ориентации дидактических средств.

    1. Функции дидактических средств.


В процессе обучения дидактические средства выполняют следующие функции:

- дидактическую, так как представляют собой важный источник знаний, умений и навыков, приобретаемых студентами; облегчают закрепление проработанного материала, проверку степени овладения и усвоения знаний;

- формирующую, поскольку являются средством развития познавательных способностей, а также чувств и воли студентов;

- познавательную, так как служат непосредственному познанию студентами определенных фрагментов действительности.

    1. Классификация дидактических средств и использование их на уроках


Среди многих типологий дидактических средств - простотой отличается классификация, осуществленная Эдвардом Флемингом и Яном Якоби. Они подразделяют дидактические средства на три группы.

  1. Природные средства, которые непосредственно представляют саму действительность.

  2. Технические средства, которые косвенно отображают действительность. К этой группе относят визуальные, аудиовизуальные, манипуляционные, автоматические средства и модели.

  3. Символические средства, которые представляют действительность с помощью соответствующей символики, например живого и печатного слова, звуков, технических рисунков, графов и т.п.

Эта классификация, так же как и многие другие, не отвечает всем логическим требованиям, поскольку между техническими и символическими средствами линию демаркации установить трудно. Существует иная классификация дидактических средств. Она включает шесть следующих категорий:

А. Простые средства

  1. Словесные средства: прежде всего учебники и другие печатные тексты.

  2. Простые визуальные средства: оригинальные предметы, модели, картины, диаграммы, карты.

Б. Сложные средства

  1. Механические визуальные средства, позволяющие передавать изображение с помощью технических устройств, например фотоаппарата, диаскопа, эпидиаскопа, микроскопа, телескопа.

  2. Аудиальные средства, позволяющие передавать звуки и шумы с помощью проигрывателя, магнитофона или радио. Они позволяют учащимся лучше усваивать материал, новую тему.

  3. Аудиовизуальные средства, объединяющие изображение со звуком: звуковой фильм или телевидение. Они способствуют формированию у учащихся определённых впечатлений, наблюдений, представлений о конкретных предметах, явлениях, процессах. Учитель получает возможность концентрировать внимание учащихся на процессах недоступных непосредственному наблюдателю, демонстрировать предметы с близкого расстояния, показывать процесс в выбранном темпе.

  4. Средства, автоматизирующие процесс обучения, к которым можно отнести дидактические машины, лингвистические кабинеты, называемые языковыми лабораториями, а также компьютеры или электронные и аналоговые цифровые машины.

Дидактические машины - это устройства для закрепления знаний (репетиторы, информационно - инструктирующие и др. машины), устройства для быстрого контроля успехов учащихся, тренировочные машины и т.д.

Эта классификация подчеркивает определенную особенность перечисленных средств, последовательность ее позиций выстроена от простого к сложному, позволяющему все более полно заменять все больше действий учителя и учащегося. Если в тексте учебника печатное слово только заменяет живую речь учителя, то визуальные и аудиальные средства из третьей и четвертой групп позволяют получить новое качество, которое живая речь могла только описать, но не воссоздать. Легко себе представить, как эти средства обогащают дидактический процесс и повышают его эффективность. Еще большие возможности содержатся в средства пятой и шестой групп. Они могут репродуцировать все вербальные действия учителя и, кроме того, все богатство звуков и зрительных образов. В связи с этим как сложные средства они могут в значительно большей степени обогащать дидактический процесс, нежели средства, отнесенные к первой и второй группам, которые мы называем простыми средствами.

Использования дидактических средств на уроках.

Урок, основная форма учебного процесса в современной школе. Организационно урок характеризуется определённостью отводимого на него времени, постоянством состава обучающихся, проведением по установленному расписанию, преимущественно в учебном классе (кабинете) и при коллективной форме обучения. Дидактически урок характеризуется единством дидактической цели, объединяющей содержание деятельности учителя и обучающихся, определённостью структуры, диктуемой каждый раз конкретными условиями и закономерностями усвоения учебного материала.
Как часть учебного процесса урок может содержать: организационный момент, восприятие, осознание и закрепление в памяти информации; овладение навыками (на основе усвоенной информации) и опытом творческой деятельности; усвоение системы норм и опыта эмоционального отношения к миру и деятельности в нём; контроль и самоконтроль учителя и учащихся. При этом на каждом уроке целенаправленно решаются и задачи воспитания. Различают обычно следующие основные типы Урок: организации восприятия и усвоения новых знаний; формирования навыков и умений; формирования опыта творческой деятельности (или проблемный урок); т. н. комбинирующий урок (объединяющий 2 или 3 первых типа). Традиционное выделение специальных уроков для закрепления знаний и опроса учащихся неправомерно: то и другое реализуется при усвоении знаний, формировании умений и навыков и творческом применении знаний.
Правильно организованному на уроке учебно-воспитательному процессу свойственны черты, не зависящие от состава учащихся, учебного оборудования, личности учителя и др.: единство обучающей и воспитательской функции взаимодействия учителя и учащихся, содержания и средств обучения; активность учащихся; развитие познавательной самостоятельности (т. е. стремления и умения познавать новое в процессе творческого поиска); единство дидактической цели и подчинение ей отдельных элементов или частей Урока; построение его частей с учётом содержания образования, закономерностей усвоения учебного материала, методов обучения и места урока или его части в целостной системе обучения (теме, разделе, курсе). Обязательность этих черт, обеспечивающих эффективность урока, отражает, с одной стороны, объективность процесса обучения, с другой - его зависимость от осознания учителем особенностей содержания, закономерностей усвоения и т.д. (субъективный аспект процесса обучения). Вместе с тем соблюдение предъявляемых к уроку требований не ограничивает творчества учителя, свободы его методического почерка в соответствии с уровнем развития и особенностями групп учащихся.
Урок, как форма коллективной, фронтальной работы с классом не исключает и групповой - при заданиях на самостоятельное усвоение и применение знаний; практических работах, требующих коллективных усилий; для усиления активности части учащихся и т.д. Групповые занятия в рамках урока являются определённой формой индивидуализации обучения наряду с индивидуальными заданиями, предоставлением, обучающимся свободного темпа для усвоения материала, программированием действий отдельных обучающихся.
Для усвоения содержания современных программ и смежного материала урок дополняется домашними заданиями, углубляющими знания обучающихся, вырабатывающими у них навыки самостоятельной работы и самообразования.


2.4. Сравнительный анализ понятий «Дидактическое обеспечение» и «Методическое обеспечение».

Проблема всестороннего обеспечения учебного процесса в учебных заведениях всегда находилась и находится в центре внимания педагогов-исследователей. Вместе с тем, анализ научных публикаций за последние два десятилетия приводит к выводу, что единых, принимаемых всеми учеными, научных подходов к раскрытию сущности данного феномена до сих пор не выработано. В различных источниках можно встретить обоснование таких видов обеспечения учебного процесса как методическое и дидактическое обеспечение.

В настоящее время в теории педагогики нет единого понимания сущности понятия «дидактического обеспечения». Так, наряду с термином «дидактическое обеспечение» широко используется такое понятие, как «методическое обеспечение». Чтобы разобраться в сущности данных понятий, рассмотрим ряд интерпретаций данных понятий различными авторами.

Г.С. Итпекова рассматривает понятие «дидактическое обеспечение» как комплекс взаимосвязанных по дидактическим целям и задачам образования и воспитания разнообразных видов содержательной учебной информации на различных носителях, разработанный с учетом требований психологии, педагогики, валеологии, информатики и других наук.

Автор Булдакова И.Н. под «дидактическим обеспечением» понимает педагогическую личностно-ориентированную технологию, основанную на выявленных закономерностях, принципах и условиях ее реализации, которая включает: цель и ее обоснование, диагностический инструментарий, уровневый дидактический материал, адаптированный к индивидуальным особенностям учащихся, а также методические рекомендации для преподавателя с целью творческого развития учащихся.

Под «дидактическим обеспечением» автор Шабанов А.Г. понимает учебно-методический комплекс для формирования информационной культуры личности, построенный на основе современных достижений в области дидактики, психологии, эргономики, информатики и других наук. Он включает в себя совокупность взаимосвязанных по целям и задачам образования и воспитания разнообразных видов педагогически полезной содержательной учебной информации на бумажном или магнитном носителях. Соответственно дидактическое обеспечение оценивается по таким показателям, как наличие банка контрольных заданий, тестов для студентов; наличие дидактических пособий по учебной дисциплине (аудио -видеоматериалов, компьютерных программ, таблиц, слайдов, раздаточного материала), тематики реферативных работ.

Дидактическое обеспечение, по мнению Шабанова А.Г., характеризуется комплектностью, полнотой и достаточностью информации для усвоения учебного курса (программы), вариативностью содержания и способов совместного интеллектуально-эмоционального взаимодействия педагога и обучающихся, оригинальностью и структурированностью информации, разработанных на базе принципов интерактивности, диалогичности, проблемности, практико-ориентированности и других. Оно используется для организации, контроля и коррекции процесса формирования информационной культуры личности и служит одним из средств формирования и саморазвития личности обучающегося. По мнению автора Образцова П. И., разработка и применение в системе дистанционного обучения дидактического комплекса информационного обеспечения учебной дисциплины, включающего в себя совокупность педагогических программных продуктов, дает описание его структуры и содержательного наполнения. В данном случае названые комплексы представляют собой систему, в которую с целью создания условий для педагогически активного информационного взаимодействия между преподавателем и обучающимися интегрируются прикладные программные продукты, базы данных в соответствующей предметной области, а также совокупность методических материалов и средств, всесторонне обеспечивающих и поддерживающих учебный процесс слушателями и преподавателями.

Результаты интерпретаций авторов исследуемого понятия «дидактическое обеспечение» позволяют рассмотреть структуру понятия, в которую входят учебные программы, учебно-методические издания, дидактический материал, средства обучения.

Понятие «дидактическое обеспечение» педагоги, как было оговорено выше, час-то связывают с понятием «методическое обеспечение».

Методическому обеспечению подлежат все формы аудиторной работы студентов (аудиторные занятия) – лекции, лабораторные, практические, семинарские, а также внеаудиторные работы – самостоятельная работа студентов, все виды практик, контрольные, курсовые и дипломные работы, различные формы текущего и итогового контроля знаний, умений и навыков студентов. Основополагающим методическим обеспечением дисциплины является учебно-методический комплекс (УМК), который является одним из средств, позволяющих достичь необходимого качества подготовки.

Разрабатывается УМК в соответствии с законом РФ «Об образовании». Таким образом, проектирование либо изменение уже существующего методического обеспечения дисциплины строго регламентировано Российским законодательством, в котором отражен не только порядок разработки, но и структура учебно-методического комплекса дисциплины.

Иными словами «методическое обеспечение» представляет собой разработку и применение учебно-методического комплекса, который является одним из средств, позволяющих достичь необходимого качества подготовки и профессиональной переподготовки учащихся.

Чтобы ярко выразить взаимосвязь понятий «дидактическое обеспечение» и методическое обеспечение», проанализируем их цель, структуру, функции (таблица «Анализ дидактического и методического обеспечения»). [ 14 ]



Понятие

Дидактическое обеспечение

Методическое обеспечение

Содержание

Комплекс взаимосвязанных по дидактическим целям и задачам образования и воспитания разнообразных видов содержательной учебной информации на различных носителях, разработанный с учетом требований психологии, педагогики, валеологии, информатики и других наук.

Разработанный и примененный учебно-методический комплекс, который является одним из средств, позволяющих достичь необходимого качества подготовки и профессиональной переподготовки учащихся.


Цель

Создание условий для педагогически активного информационного взаимодействия между преподавателем и обучающимися.

Создание условий для постоянного совершенствования педагогической деятельности, приведение его в соответствие с современными достижениями науки и практики, стимулирование инновационной деятельности педагогов и педагогических коллективов.

Функции

Организационная и обучающая функция обеспечивается информационно-содержательным блоком, где информация может быть представлена как на магнитном, так и на бумажном носителях.

Контролирующая и коммуникативная функции осуществляется через контрольно-коммуникативный блок, который включает в себя различного вида тесты, вопросы для самоконтроля (общие, детальные), вопросы к зачетам и экзаменам, критерии оценивания; график контроля текущей успеваемости по данному курсу; график и формы итоговой аттестации по данной программе кодировки и раскодировки результатов тестирования, график и виды текущих консультаций с использованием современных средств коммуникации; график личных встреч с педагогами-кураторами и педагогами-координаторами по различным областям знаний, корректирующая, рефлексивная и прогнозирующая.

Функция внедрения результатов научных исследований в практику предполагает: анализ научной и методической литературы, выявление рекомендаций; детализацию рекомендаций с целью облегчить их внедрение в реальную практику, оценка эффективности применения рекомендаций.

Функция обобщения и трансляции педагогического опыта означает: анализ практики решения педагогических задач; выявление педагогических средств, обеспечивающих наилучший педагогический результат; анализ наиболее типичных трудностей, встречающихся в педагогической практике.

Функция текущей методической помощи предусматривает: консультирование педагогов с целью помощи им в выборе литературы для решения педагогических задач; анализ возникающих у педагогов трудностей, оказание им помощи в решении профессиональных проблем; разработку текущих методических материалов для проведения с учащимися разнообразных занятий и мероприятий.

Структура

Учебные программы, учебно-методические издания (учебник, практикум, учебное пособие, учебно-методическое пособие, задачник, справочное издание, глоссарий (справочник), периодическое издание, общественно-политическое издание, отраслевое издание, научное издание, хрестоматия), дидактический материал, средства обучения.

Учебная программа дисциплины, конспект лекций и учебное пособие, демонстрационная презентация лекционного курса, учебные пособия по циклу лабораторных работ (практикумов) или по циклу практических и семинарских занятий, учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов, контрольно-измерительный материал, организационно методические указания по освоению дисциплины .


  1. Анализ учебной литературы по теме «Логарифмические уравнения и неравенства».

Логико-дидактический  анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

    Логический  анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение «ядерного» материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

    Проведём  логико-математический анализ темы «Логарифмические уравнения и неравенства» в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

    • какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;

    • какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;

    • какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;

    • какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

    В рассматриваемых учебниках исследуемой  теме отводится разное место.

Так, в учебнике А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа, 10-11 класс.[1]

Глава5. Показательная и логарифмическая функции.
§10. Показательная и логарифмическая функции.
39. Решение логарифмических уравнений и неравенств.


Учебник С. М. Никольского Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.[5]

§6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
6.2.Простейшие логарифмические уравнения.
6.3.Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
6.5.Простейшие логарифмические неравенства.
6.6.Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

В учебнике М.И. Шабунина Алгебра. Начала математического анализа, 10 класс. [4]

Глава 10. Степенная, показательная, логарифмическая функции.
§5. Логарифмические уравнения.
§6. Показательные и логарифмические неравенства.


В учебнике Н. Я. Виленкина Алгебра и математический анализ, 11 класс. [6]

Глава 8. Показательная, логарифмическая и степенная функции.

§2.Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

4. Решение логарифмических уравнений и неравенств.


В учебнике А. Г. Мордковича Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Часть 1. Учебник. [2]

Глава 3. Показательная и логарифмическая функции

§ 17. Логарифмические уравнения.

§ 18. Логарифмические неравенства.

Проанализируем пункты этих учебников  в отдельности.

 В учебнике А. Н. Колмогорова тема «Логарифмические уравнения и неравенства» рассматривается в пункте «Решение логарифмических уравнений и  неравенств».

Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что является его решением. Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств. 

    В учебнике С. М. Никольского тема «Логарифмические уравнения и неравенства» выделена двумя отдельными пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

    «Пусть  a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение  называют  простейшим логарифмическим уравнением». Далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений. В следующем параграфе рассматриваются уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. [166]

Логарифмические неравенства вводятся следующим образом:

«Пусть  a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства hello_html_m5898de60.gif > b и hello_html_m5898de60.gif < b называются простейшими логарифмическими неравенствами».178 Далее в параграфе рассматриваются различные примеры решений неравенств. В следующем параграфе рассматриваются неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. [178]

В учебнике М.И. Шабунина темы «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства»[4]изложена в отдельных параграфах. Логарифмические уравнения излагаются следующим образом:

  1. Простейшие логарифмические уравнения – уравнения двух видов:

hello_html_29ac45d.gif, где a>0, a≠1. Уравнение имеет единственный корень x=ab. В общем случае hello_html_7ab8b8ca.gif (a>0, a≠1);

hello_html_465e20a.gif, где A>0. Уравнение при А≠1, В≠0 имеет единственный корень x=hello_html_m51f9dc5a.gif; при А=1, В=0 имеет решением любое отличное от единицы положительное число; приА=1 и В≠0 решений не имеет.

  1. Решение уравнений вида f(hello_html_450ec884.gif) = 0, a>0, a≠1, с помощью замены

t =hello_html_450ec884.gif сводится к решению совокупности следующих уравнений hello_html_15f7cc9.gif1, …, hello_html_15f7cc9.gifn , где ti (i=1,2,…, n) – все корни уравнения f(t)=0.

  1. Пори решении уравнений вида hello_html_m35b3815a.gif, a>0, a≠1,

используется любая из приведенных ниже схем:

hello_html_2358f26b.gif

или

hello_html_m5b762018.gif

Аналогично, для уравнения hello_html_m6943193.gif:

hello_html_1816b73e.gif

или
hello_html_1b228009.gif

  1. При решении логарифмических уравнений иногда применяется формула

hello_html_m41dfae86.gif= hello_html_5fee10a2.gif , где a>0, a≠1, f(x)>0, g(x)>0.

  1. Часто используется формула перехода к другому основанию:

hello_html_m6b571d81.gif, где g(x)≠1, f(x)>0, f(x)≠1.

  1. Имеют место эквивалентности:

hello_html_1d926e39.gif= hello_html_m35aa7cbb.gif

или

hello_html_1d926e39.gif= hello_html_m445fc8ae.gif

Затем рассматриваются примеры уравнений. [414-415]

Логарифмические неравенства изучаются вместе с показательными неравенствами. Вводится эта тема так:

«При решении показательных и логарифмических неравенств применяются те же методы, что и при решении рациональных и иррациональных неравенств. Часто в неравенствах удается все выражения свести к одному основанию. В этом случае можно использовать следующие схемы».

a>1

0

hello_html_3e73f7fd.gif

hello_html_75494e86.gif


Затем приводятся примеры неравенств. [418]


    В учебнике Н. Я. Виленкина [6] данная тема разбита на два пункта :

1.«Простейшие логарифмические уравнения и неравенства», где вводятся понятия логарифмического уравнения и неравенства, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

    «Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является hello_html_m30973cb6.gif, где a>0, a≠1. Так как равенство hello_html_m30973cb6.gif равносильно равенству x=ab , то получем:

 Если a>0, a≠1, то корень уравнения hello_html_m30973cb6.gif равен ab».74

Неравенство вводится через уравнение: «В силу монотонности логарифмической функции решение логарифмических неравенств видаhello_html_m76f0f6ba.gif (а также видаhello_html_m75f8001e.gif ,hello_html_m6a014797.gif , hello_html_m354d65d8.gif) сводятся к решению уравнения hello_html_m30973cb6.gif. Корнем этого уравнения является число x=ab». [74]

2.«Решение логарифмических уравнений и неравенств», где формулируется теоремы:

Теорема1.

«Уравнение hello_html_m35b3815a.gif , где a>0, a≠1, равносильно системе:

hello_html_9f75f7e.gif

  состоящей из уравнения и  двух неравенств.»

Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических уравнений:

«  Для решения уравнения hello_html_m35b3815a.gif при a>0, a≠1 , нужно:

1) решить уравнение  f(x)=g(x);

2)из найденных корней  отобрать те, которые  удовлетворяют неравенству  f(x)>0 (или, то же самое, неравенству g(x)>0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними». [75-76]

    Далее рассматриваются примеры решения  логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

Теорема 2.

«Если a>1, то неравенство hello_html_6323fe22.gif равносильно двойному неравенству f(x)>g(x)>0.

Если 0<a<1, то неравенство hello_html_6323fe22.gif равносильно двойному неравенству 0<f(x)<g(x)». [77]

Далее рассматриваются примеры решения  логарифмических неравенств, но в данном учебнике они более сложные.

    В учебнике А. Г. Мордковича [2] темы «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства» выделены отдельными пунктами. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

    «Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида hello_html_m35b3815a.gif, где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.»

Сформулирована теорема о равносильности.

«Пусть а>0 и a≠1, X – решение системы неравенств hello_html_39bbed49.gif Тогда уравнение hello_html_m35b3815a.gif равносильно на множестве Х уравнению f(x)=g(x)» . [121]

Выделяются  три основных метода решения логарифмических  уравнений:

    1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).

    2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.

    3) Метод введения новой переменной. [125]

Логарифмические неравенства.

«Логарифмическим неравенством называют неравенства вида hello_html_6323fe22.gif , где а – положительное число, отличное от 1, и неравенства сводящиеся к этому виду».

Сформулированы теоремы о равносильности.

Теорема 1.«Пусть a>1 и X – решение системы неравенств hello_html_39bbed49.gif Тогда неравенство hello_html_6323fe22.gif равносильно на множестве Х неравенству f(x)>g(x)».

Теорема 2.« Пусть 0<a<1 и X – решение системы неравенств hello_html_39bbed49.gif Тогда неравенство hello_html_6323fe22.gif равносильно на множестве Х неравенству f(x)<g(x)». [127]

На практике эти теоремы применяют так:

Если a>1, то hello_html_6323fe22.gif hello_html_m78569d5a.gif

Если 0<a<1, то hello_html_6323fe22.gif hello_html_57d1e776.gif

Как и в уравнениях выделено три метода решения неравенств.

Все методы решения  логарифмических  уравнений  и неравенств рассмотрены  в  данных параграфах на примерах, или в предыдущих параграфах. 

Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т. е. для физико-математических классов, больше всего подходит учебник       Н. Я. Виленкина и А. Г. Мордковича, для общеобразовательных классов учебники С. М. Никольского и М. И. Шабунина, для гуманитарных классов, в которых математика изучается на базовом уровне учебник А. Н. Колмогорова.

Специально  разработанные учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе физико-математического профиля некоторые учителя пользуются одновременно учебниками А. Г. Мордковича и Н. Я. Виленкина, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля. 














Глава 2. Использование дидактического обеспечения при изучении методов решения логарифмических уравнений и неравенств.

В школьном курсе алгебры и начала анализа тема «Логарифмические уравнения и неравенства» изучается в 10-11 классах.

Из анализа учебной литературы мы видим, что не во всех учебниках дается теоретический материал изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств, в некоторых учебниках даются разборы примеров без теории.

   Так как специально  разработанные учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому  при  подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Используя различную учебную литературу, учитель составляет план урока, а к нему дидактическое обеспечение.

В данной главе я хочу привести основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств и примеры дидактического обеспечения, которые помогу обучающимся более полно изучить все методы решения логарифмических уравнений и неравенств. И показать применение дидактического обеспечения на уроках при изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

2.1. Основные типы логарифмических уравнений.

1. Простейшие уравнения hello_html_2d8a82ad.gif

Решение простейшего логарифмического уравнения hello_html_meba5b03.gif основано на следующим важном свойстве логарифмов: логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию равны тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения hello_html_meba5b03.gif из этого свойства получаем hello_html_7d3e61ea.gif - единственный корень.

Для уравнения вида hello_html_34a468c0.gif получаем равносильное уравнение f(x)hello_html_730dd83.gif

К простейшим логарифмическим уравнениям относится также уравнение вида hello_html_6d797607.gif, которое:

а) при а≠1 и в≠0 имеет единственный корень hello_html_m4ccaf9b0.gif;

б) при а=1 и в=0 имеет решение любое положительное, отличное от единицы, число;

в) при а=1 и в≠0 корней не имеет;

г) при а≠1 и в=0 корней не имеет.

2. Сведение логарифмических уравнений к простейшим

hello_html_m4a4571fd.gif

Уравнение вида hello_html_5588eae1.gifа>0, а≠1 можно заменить равносильной системой двумя способами:

hello_html_5588eae1.gifhello_html_677b4569.gif

hello_html_5588eae1.gifhello_html_m16df192c.gif

Аналогично уравнение вида hello_html_m18729ad1.gif можно заменить равносильной ему системой двумя способами:

hello_html_m6db568c.gifhello_html_m4fd1bacb.gif

hello_html_m6db568c.gifhello_html_7c9f2613.gif

Заметим, что выбор способа замены определяется тем, какое из неравенств g(x)>0 или f(x)>0 – решается проще.

3. Уравнение вида hello_html_m6602bf6e.gif

Уравнение вида hello_html_m6602bf6e.gif равносильно смешанной системе:

hello_html_m58bc0ad7.gif

4. Уравнения вида hello_html_m501d39e3.gif

hello_html_72f019f5.gif

Уравнение вида hello_html_m5cac0b2d.gifможно заменить равносильной системой двумя способами:

hello_html_m7a317a83.gif

hello_html_m4fa4c18b.gif

Уравнение вида hello_html_67aa4b5d.gif можно заменить равносильной системой двумя способами:

hello_html_72f019f5.gifhello_html_m7e7dc774.gif

hello_html_72f019f5.gifhello_html_m174c06a.gif


5. Уравнение вида hello_html_m15870d62.gif

При решении таких уравнений надо учитывать, что их ОДЗ определяется из условий:

а) на ОДЗ все функции f(x), g(x),hello_html_7cd60883.gif имеют смысл;

б) на ОДЗ основание логарифмов, т.е. функции hello_html_mac1525.gif hello_html_m53a9a157.gif должны удовлетворять условиям: hello_html_m1bf3214d.gif hello_html_40798d04.gif,hello_html_353a6349.gif hello_html_m1b1bbfbb.gif;

в) на ОДЗ функции, находящиеся под знаком логарифма должны быть положительными, т. е. на ОДЗ должны выполняться неравенства f(x)>0, g(x)>0.

6. Уравнение вида hello_html_m325bd0b7.gif

Уравнение вида hello_html_m325bd0b7.gif равносильно системе:

hello_html_6921d34b.gif


2.2. Методы решения логарифмических уравнений

1.По определению логарифма

Так решаются простейшие уравнения вида hello_html_7a2d5c95.gif

1) Решить уравнение

hello_html_m7886cfc.gif

Решение. По определению логарифма:

hello_html_m2f1b6763.gif

hello_html_m737f85bc.gif

Ответ:hello_html_m4027f92.gif


2.Метод потенцирования

Суть метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду hello_html_m32ebce3f.gif Это уравнение при а>0; а≠1 равносильно системе:hello_html_m3b2e0ce3.gif

2)Решить уравнение

hello_html_m78ee7e3c.gif

Решение. ОДЗ уравнения определяется неравенством hello_html_m4ec927c3.gif

Правую часть уравнения преобразуем так,

hello_html_m7bc5a1d8.gif

тогда получим

hello_html_m65dba74c.gif

Ответ:hello_html_57c7f64c.gif

3.Метод подстановки

Обычно замену (подстановку) производят после нескольких преобразований данного уравнения. Поясним суть этого метода на примере.

3) Решить уравнение

hello_html_7240606d.gif

Решение. ОДЗ х>0.

Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь свойствами логарифмов.

hello_html_m488a02b0.gif

Сделаем замену переменной hello_html_53331aa.gif Уравнение примет вид:

hello_html_32bcf9cc.gif

Итак, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений

hello_html_6dc314cb.gif

Ответ: hello_html_60a15a94.gif


4. Метод приведения к одному основанию

Обычно условие примера подсказывает, какому основанию следует перейти. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

4) Решить уравнение

hello_html_aac1e1b.gif

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой
hello_html_m160b0f1d.gif

Переходим к логарифмам по основанию 2.

hello_html_4891ee6e.gif

hello_html_5e39b3da.gif

hello_html_4785c3c2.gif, то обозначим hello_html_65294332.gif тогда

hello_html_m35d2d081.gif

hello_html_mf79f62a.gif

hello_html_m461cbfa2.gif

hello_html_699e0ad2.gif

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности

hello_html_4af7abdc.gif

Ответ: hello_html_m36fd9fcd.gif


5. Метод логарифмирования

Уравнения вида hello_html_m4bf31900.gif Обычно решают методом логарифмирования. Поясним этот метод на примере.

5) Решить уравнение

hello_html_m586735d9.gif

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой hello_html_m124736b4.gif

Проведем некоторые упрощения,

hello_html_m7ba83699.gif

hello_html_2349a46a.gif

Поэтому уравнение примет вид:

hello_html_47bb490.gif

Прологарифмируем обе части по основанию х

hello_html_m6e293e2e.gif

hello_html_3a039655.gif=0.

Обозначим hello_html_597fffc6.gif

hello_html_m2e9cb771.gif

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности

hello_html_7a4c91.gif

Ответ: hello_html_m1a502105.gif


6.Функционально-графический метод

Суть этого метода состоит в использовании свойств показательной функции.

Если невозможно решить уравнение, используя свойства, тогда используют графическую иллюстрации функций, заданных в нем. Рисуем функции в одной системе координат и ищем точки пересечения. Координата hello_html_m7a159f27.gifэтих точек и будет решением уравнения.

6) Решить уравнение hello_html_4228d7ad.gif.

Решение. По определению логарифма: hello_html_4228d7ad.gifhello_html_m3043ea26.gifhello_html_5c2482bb.gif, hello_html_m7d986c9e.gif (так как hello_html_m543de098.gif, hello_html_728e0371.gif по определению). Ответ: hello_html_m7d986c9e.gif.

hello_html_4dc8225f.pngрис. 1


Пример 2. Решить уравнение hello_html_6b7c473a.gif.

x

y

Решение. Это уравнение целесообразнее решать графически. В одной системе координат рисуем графики функций hello_html_27c6919a.gif и hello_html_ma08034f.gif. Смотрим, пересекаются ли данные графики. В данном случае они пересекаются в одной единственной точке (1; 0). Решением данного рис.1 уравнения будет hello_html_10a25a7c.gif.

2.3. Методы решения логарифмических неравенств

Рассмотрим основные методы решения логарифмических неравенств:

1.По определению логарифма

Простейшие логарифмические неравенства имеют следуюший вид hello_html_5be00a34.gif(hello_html_7db6b586.gif). Для их решения используют основное логарифмическое тождество (b=hello_html_6209e957.gif) и получают:

hello_html_52f1c77d.gif(hello_html_m783f85e5.gif).

Теперь делаем выводы:

Если a>1, то f(x)>hello_html_48db7b52.gif, решаем это неравенство.

Если 0<a<1, то f(x)< hello_html_48db7b52.gif, решаем это неравенство.

Аналогично поступаем при решении неравенства hello_html_7db6b586.gif.

При выписывании ответа не забываем, что a > 0, аhello_html_m77d2be4e.giff(x)>0.

1)Решить неравенство: hello_html_m448d34df.gif.

Решение: Данное неравенство решим по второму способу

2,5>1 hello_html_5259227e.gif, т.е. 0<x<6,25 или 0<x< hello_html_ma2d6a2a.gif .

Ответ: hello_html_4db8eb99.gif.

2) Решить неравенство: hello_html_57c13881.gif.

Решение: Данное неравенство решим по первому способу: hello_html_57c13881.gifhello_html_4a56daec.gif

4>1hello_html_mfe829a6.gif, т.е. 2<x<18

Ответ: hello_html_m15783abf.gif.

2.Метод потенцирования

Суть метода в следующем: с помощью формул неравенство привести к виду hello_html_m11739b46.gif.

Решение неравенств вида hello_html_m11739b46.gifосновано на том, что функция hello_html_m6512aa0f.gif (a>0, аhello_html_m77d2be4e.gifx>0) является убывающей при 0<a<1 и возрастающей при a>1.
Таким образом, справедливы следующие утверждения:

1) hello_html_7d51b338.gif при a>1.

2) hello_html_5d83dcd.gif при 0<a<1.

Решение нестрогих неравенств отличается от решения соответствующих строгих неравенств включением во множество всех решений множества корней соответствующих уравнений.

1)Решить неравенство: hello_html_24e0e084.gif.

Решение: Так как 0<0,3<1, то решаем неравенство по второй системе:

hello_html_5c71392a.gif.

Ответ: hello_html_306deee0.gif.

х

-1 2 5 рис. 2

2)Решить неравенство: hello_html_m79d4c45b.gif.

Решение: Так как lg – логарифм по основанию 10 и 10>1,то данное неравенство решаем по аналогии первой системы, только знак первого неравенства системы меняем на противоположный.

hello_html_18493c33.gif.

х

7/3 4 рис. 3

Ответ: hello_html_744ca25f.gif.

3) Решить неравенство: hello_html_m11cd5691.gif.

Решение:

Для наглядности решения построим график функции hello_html_71d0b81.gif.

t

hello_html_m295fd440.gif

hello_html_7a4cfb0b.gif

1

2

4

8

y

-2

-1

0

1

2

3


Рисунок24рис.4

Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при hello_html_m21a63736.gif.

Далее, учитывая область определения функции hello_html_m1163d2d.gif, получим:

hello_html_5413910d.gif.

Ответ: hello_html_m4eea365.gif.

При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.

4) Решить неравенство:hello_html_m495a867.gif.

Решение: Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.

hello_html_1ad26605.gif

Выяснили, что область определения неравенства состоит только из двух точек.

Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.

При hello_html_m21a5a4d9.gifлогарифмическое неравенство принимает вид:

hello_html_m70d173f5.gif- истинно.

При hello_html_m78e97cab.gif логарифмическое неравенство принимает вид: hello_html_m7510f00b.gifhello_html_m79ffda5d.gif - ложно.

Ответ: hello_html_m21a5a4d9.gif.


3. Метод подстановки

Ищем в неравенстве некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым, упрощая вид неравенства. В некоторых случаях, очевидно, что удобно обозначить.

Решить неравенство: hello_html_m5b558007.gif.

Решение: Сразу отметим, что x>0 .

Заменяем hello_html_dc37894.gif. Тогда имеем hello_html_7cae1ed3.gif, (t+2)(t-1)hello_html_m17319cbf.gif, т.е. hello_html_39dc0250.gif

Так как hello_html_dc37894.gif и hello_html_2a13c7c4.gif, то имеем:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m41d3fa5a.gif!!!

С учетом ОДЗ (x>0), получаем hello_html_m124b5d1a.gif.

Ответ: hello_html_1c409d93.gifhello_html_m124b5d1a.gif.

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного неравенства.

2) Решить неравенство: hello_html_m344009fe.gif.

Решение: Неравенство равносильно системе:

hello_html_m217d2045.gif!!!!

Заменяем hello_html_571585d.gif>0, получим неравенство:

hello_html_m32f962ec.gif.

+ - + х

-2 3 hello_html_m64895aae.gif. Рис.5

Вернемся к замене. Так как t>0, то рассматриваем только положительные значения:

hello_html_m1a81d88b.gif.

Ответ: hello_html_m574e0c8c.gif.


4.Метод приведения к одному основанию

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Решить неравенство: hello_html_m54b24ffb.gif.

Решение:

ОДЗ: hello_html_m33e82b72.gif

Все слагаемые приведем к одному основанию:

hello_html_m4799ba9b.gif!!!!!

hello_html_m57689d80.gif.


Воспользуемся свойствами логарифма и получим:

hello_html_m5340258e.gif, т.к. hello_html_7d3ce1f3.gif, то hello_html_5c720133.gif.

hello_html_46819182.gif, hello_html_m37146275.gifhello_html_m74014ead.gifD<0, числитель дроби всегда >0, значит и знаменатель должен быть >0.

Ответ:hello_html_75152bc2.gif.

2) Решить неравенство: hello_html_25e7236c.gif.

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию

hello_html_8218b8f.gif.

Так как основание степени hello_html_m5434e1de.gif, то имеем:

hello_html_93f6ef.gif.

Функция hello_html_1fde87f1.gif определена при hello_html_m9c2b990.gif

Заменяем hello_html_m45072b5c.gif.

Тогда имеем: hello_html_62a49f57.gif.

+ - + х

1 5 hello_html_m3547a24.gif. Рис.6

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

hello_html_416633a6.gif

Так как основание логарифма больше 1, то:

hello_html_m55101fe.gif

Ответ: hello_html_m1df94882.gif.


5.Метод логарифмирования

При решении неравенств вида hello_html_54bdfaad.gif обычно следуют следующей схеме:

Находят ОДЗ неравенства, исходя из того, что на ОДЗ функции f(x) и g(x) определены и положительны.

Логарифмируют неравенство, т.е. заменяют неравенство равносильным ему на ОДЗ при a > 0, hello_html_m63795761.gif неравенством hello_html_22ddfcf9.gif.

Решают полученное неравенство. Его решения и будут решениями исходного неравенства.

2.4. Разработка дидактического обеспечения методов решения логарифмических уравнений и неравенств.

Так как в учебниках теории по методам решения логарифмических уравнений и неравенств не слишком много, было решено разработать дидактическое обеспечение к изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства» и показать на примере уроков его применение.

Дидактическое обеспечение урока:

  1. средства наглядности;

  2. средства обучения;

  3. компьютерные программы педагогического назначения;

  4. средства контроля.

Приведем примеры дидактических средств.

  1. Средства наглядности.

1) hello_html_cb6fe16.gif

hello_html_m4f490654.gifhello_html_75e72d1.gifспособ решения по определению

2) hello_html_41582d23.gif

hello_html_54bfe4fd.gif

hello_html_m653bcf6a.gifспособ решения потенцированием

hello_html_m4e4acc21.gif

3) hello_html_23c31434.gif

hello_html_6cc85ad0.gifспособ введения новой переменной

4) hello_html_18d8ff3.gif

hello_html_2fd0cee0.gifспособ решения логарифмированием



Таблица. Равносильные переходы в неравенствах.

hello_html_4de1c33d.gif


hello_html_2c63818a.gif


hello_html_7a3a28e2.gif


hello_html_271cf64f.gif



Таблица. Равносильные переходы в уравнениях.

hello_html_2358f26b.gif

или

hello_html_m5b762018.gif


hello_html_1816b73e.gif

или

hello_html_1b228009.gif


hello_html_1d926e39.gif= hello_html_m35aa7cbb.gif

или

hello_html_1d926e39.gif= hello_html_m445fc8ae.gif



  1. Средства обучения.

  • Задания на решение определенным методом уравнения или неравенства.

1. Решите уравнения по определению логарифма:

  1. hello_html_5700bdb1.gif;

  2. hello_html_m797dece5.gif

  3. hello_html_b7b8d3.gif.

2. Решите уравнения методом потенцирования:

  1. hello_html_mee2db75.gif

  2. hello_html_3172c089.gif;

  3. hello_html_2b65bdad.gif

  • Задания на сопоставление метода решения с уравнением или неравенством.

Определите каким метод решается уравнение.

Уравнения

Метод решения

hello_html_3887a6be.gif

По определению логарифма

hello_html_3a440f96.gif

Метод потенцирования

hello_html_61efffff.gif

Метод приведения к одному основанию

hello_html_6cfc7d4.gif

Метод подстановки

hello_html_m55bc781b.gif

Использование основного логарифмического тождества

hello_html_m398fdcea.gif

Сворачивание в один логарифм


  • Найди ошибку.

Найдите ошибку в решении неравенства:

1. log8 (5х-10) < log8(14-х),

5x-10 < 14-x,

6x < 24,

x < 4.

Ответ: х hello_html_m2e28bbd1.gif (-∞; 4).

Ошибка: не учтена область определения неравенства.

Верное решение:

log8 (5х-10)< log8(14-х) hello_html_m7de54fba.gif hello_html_m2c17585.gif hello_html_m7de54fba.gif 2<x <4.

Ответ: х hello_html_m2e28bbd1.gif (2;4).

2. log0,5 (3х+1)< log0,5(2-х) hello_html_m7de54fba.gif hello_html_694c1168.gif hello_html_53934910.gif

Ответ: х hello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_7048b60a.gif

Ошибка: не учли основание логарифма.

Верное решение:

log0,5 (3х+1)< log0,5(2-х) hello_html_m7de54fba.gif hello_html_43f8e3fa.gif hello_html_m7de54fba.gif hello_html_m7eded95a.gif

Ответ: х hello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_m6d10364f.gif


  • Различные упражнения на карточках.

  1. Решите уравнение:

hello_html_231b64ba.gif

hello_html_m70823812.gif+hello_html_5a00960b.gif

  1. Найдите наибольший корень.

hello_html_m5d078674.gif

Решите уравнения:

1. hello_html_m38d36f8b.gif

1) найдите ОДЗ.,

2) освободитесь от знака логарифма,

3) решите получившееся уравнение,

4) согласуйте найденные корни с ОДЗ,

5) запишите ответ.

2. hello_html_m3b8aec33.gif

1) найдите ОДЗ,

2) введите замену,

3) решите полученное уравнение,

4) выполните обратную замену,

5) согласуйте корни с ОДЗ,

6) запишите ответ.





  • Домашние задания.

1. Домашнее задание.

Задание. 1 вариант: Выбрать и решить уравнения, которые решаются методом перехода к одному основанию, по определению, методом потенцирования.

2 вариант: Выбрать и решить уравнения, которые решаются методом введения новой переменной, функционально – графическим методом, методом логарифмирования.

  1. log2x2 = 4 1вариант

  2. xlog3x – 3 = 1/9 2вариант

  3. log1/3x = 2x – 7 2вариант

  4. (lgx)2lgx5 + 4 = 0 2вариант

  5. log7(x2 – 4x – 7) = log7(5 – 3x) 1вариант

  6. log8x + log4x + log2x = 11 1вариант


2. Домашнее задание.

На 5 – определить метод решения и решить все.

На 4 – определить метод решения и решить 7-8 примеров.

На 3 – решить 5-6 уравнений.

1. hello_html_35785ebd.gif

2. hello_html_m1dc2a591.gif;

3. hello_html_m7735bcec.gif;

4. hello_html_m6fd49d9f.gif

5. hello_html_6afe9cb8.gif;

6. hello_html_m3141c0fb.gif;

7. hello_html_6f8386fb.gif;

8. hello_html_m6789d2c.gif;

9. hello_html_mde3ecdf.gif;

10. hello_html_m40ad4271.gif;

3. Домашнее задание.

Из дополнительной литературы подобрать по 3-4 неравенства на каждый метод решения.

  • Презентации к урокам. (Приложение 2)

  1. Компьютерные программы педагогического значения.

При объяснении темы «Логарифмические уравнения и неравенства », во время раскрытия методов решения логарифмических уравнений можно воспользоваться мультимедийной программой «Математика. Решение уравнений и неравенств» [30]. Её курс построен на визуальном и фонематическом восприятии информации. На экране воспроизводится уравнение и его решение. Объяснение решения сопровождается при помощи звукового ряда и выделения основных моментов решения.

 Современный учебно-методический комплекс «Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников» [29] предназначен для отработки умений решать различные типы уравнений и неравенств, в том числе логарифмических. Он может служить для отработки навыков решения логарифмических уравнений и неравенств, снабжён подсказками и ссылками на теоретическую часть. 

При помощи этой программы, используя компьютерное обеспечение, можно проводить уроки по отработке навыков решения уравнений. В данном случае учитель будет играть роль контроллера учебного процесса. Помощником при решении уравнений будет само программное обучение.

  Обе программы содержат теоретический  и практический материал.

  1. Средства контроля.

  • Тесты.

Тест «Логарифмические уравнения и неравенства»

1 вариант

1. Найдите произведение корней уравнения: logπ (x2 + 0,1) = 0
1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.

2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

log0,5(x – 9 ) = 1 + log0,5 5
1) ( 11; 13 ); 2) ( 9; 11 ); 3) ( -12; -10 ); 4) [ -10; -9 ].

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log4 (4 – х ) + log4x = 1
1) ( -3; -1 ); 2) ( 0; 2 ); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].

4. Найдите сумму корней уравнения log√3 x2= log√3 ( 9x – 20 )
1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

hello_html_1583c39b.gif5 =15
1) [ -3; 2 ); 2) [ 2; 5 ); 3) [ 5; 8 ); 4) [ 8; 11 ).

6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

lg ( х + 7 ) – lg ( х + 5 ) = 1
1) ( -∞; -7 ); 2) ( -7; -5 ); 3) ( -5; -3 ); 4) ( 0; +∞).

7. Решите неравенство log3( 4 – 2х ) ≥ 1
1) ( -∞; 0,5 ]; 2) ( -∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞ ); 4) [ 0,5; + ∞ ).

8. Решите неравенство logπ( 3х + 2 ) ≤ logπ ( х – 1 )
1) ( -2/3; + ∞ ); 2) ( -∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) решений нет.

9. Решите неравенство log1/9( 6 – 0,3х ) > -1
1) ( -10; +∞ ); 2) (-∞; -10 ); 3) ( -10; 20 ); 4) ( -0,1; 20 ).

10. Найдите число целых отрицательных решений неравенства

lg ( х + 5 ) ≤ 2 – lg 2
1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного

2 вариант

1.Найдите произведение корней уравнения: lg (x2 + 1) = 1
1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log4 (x – 5 ) = log25 5
1) ( -4; -2 ); 2) ( 6; 8 ); 3) ( 3; 6 ); 4) [ -8; -6 ].

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

lоg0,4 (5 – 2х ) - lоg0,4 2 = 1
1) ( -∞; -2 ); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) ( 2; +∞).

4. Найдите сумму корней уравнения lg (4x – 3 ) = 2 lg x
1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log2 (64х² ) = 6
1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) ( 3; 5 ); 4) [ 1; 3 ].

6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

lоg2 ( х - 1 )³ = 6 log2 3
1) [ 0; 5 ); 2) [ 5; 8 ); 3) [ 8; 11 ); 4) [ 11; 14 ).

7. Решите неравенство log0,8 ( 0,25 – 0,1х ) > -1
1) ( -∞; 2,5 ); 2) ( -10; 2,5); 3) ( 2,5; + ∞); 4) ( -10; + ∞).

8. Решите неравенство log1,25 (0,8х + 0,4 ) ≤ - l
1) ( -0,5; + ∞); 2) ( -∞; - 0,5 ]; 3) ( -0,5; 0,5 ]; 4) ( -2; 2 ] .

9. Решите неравенство log10/3 ( 1 – 1,4х ) < -1
1) ( 0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5 ); 3) ( 1,4; 2 ); 4) ( 0,5; 5/7 ).

10. Найдите число целых решений неравенства lоg0,5 ( х - 2 ) ≥ - 2
1) 5; 2) 4; 3) бесконечно много; 4) ни одного.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1вариант

2

1

3

4

1

3

1

4

3

2

2 вариант

2

2

4

2

4

3

2

3

4

2

Ключ

 



Тест с кодированными ответами

І вариант

Вычислите:


1. hello_html_7378c6fa.gif

P-124, E-32, П -ln124, Н-3,5


2. hello_html_m12a12330.gif


Р - hello_html_m5ff1f9a4.gif , Е-1, П-1, Н-6


3.hello_html_m30d2817.gif


Р-81, Е-54, П-8, Н-29


4. hello_html_m24425159.gif

Р-hello_html_4bd19bac.gif, Е- log34, П-hello_html_m16bf1954.gif, Н-4


5. hello_html_m1bdee0e2.gif

Р-35, Е-hello_html_530106ee.gif, П-63, Н-(5+log27)


ІІ вариант

Вычислите:


1. hello_html_85d40d7.gif

P-75, H-3, E-35, П- ln25


2. hello_html_4ae0438b.gif


Р-hello_html_m6907bb46.gif, Н-1, Е-1, П-10


3. hello_html_m48d4b06d.gif


Р-16, Н-32, Е-12, П-64


4.hello_html_m5429fe98.gif

Р- log316, Н-hello_html_m5a7236ce.gif, Е-3, П-hello_html_m62b21d47.gif


5. hello_html_19037d01.gif

Р-10,Н-hello_html_209de48c.gif, Е-(2+log35), П-20



При правильном решении, при верном выборе ответа, должен получиться НЕПЕР – фамилия шотландского математика, который впервые предложил использовать запятую, как математический знак и в 1614 открыл логарифм.

  • Самостоятельные работы.

Проверочная работа по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»

I вариант

На «3» 1) log3 (2x-1)=2

2)log1/3 (7-x)>-2.

На «4» 1) log5 (7x+4)-log5 (2x-1)=1

2)log2 (x-1) +log2 x≤ 1.

На «5» 1)log2 (x2+4x+1)+1=log2 (6x+2)

2)log3 x+log3(x-1)-1≤log3 2


II вариант

На «3» 1)log0,5 (0,5x-2)=1

2)log5 (3-8x)>0.

На «4» 1) log2 (x+1)-log2 (x-1)=1

2) log3 (x+2) +log3 x≤ 1.

На «5» 1)log2 (x2-3)+1=log2 (6x-10)

2)log0,1 x+log0,1(x-2)+1≥log0,1 0,3


Самостоятельная работа на закрепление.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1). Решите уравнение

loghello_html_m183a8fda.gifx-log hello_html_625b3507.gifx=4

Ответ:4

2)Решите неравенство

loghello_html_571cf505.gif (3x + 1)hello_html_e633346.gif loghello_html_571cf505.gif 3 Ответ: [hello_html_6b8f56f5.gifhello_html_m745de4d6.gif;+ ∞)

1).Решите уравнение

loghello_html_m225e79e9.gifх-2 loghello_html_571cf505.gifx = 3

Ответ: 3
2). Решите неравенство

loghello_html_m60754406.gif (4x+1) hello_html_e633346.gif loghello_html_m60754406.gif4

Ответ : [hello_html_m77717a.gif;+∞)

1). Решите уравнение

lg5x+ lg(x-1) = 1

Ответ: 2

2)Решите неравенство

loghello_html_571cf505.gif (3x-1)-loghello_html_571cf505.gif6 > 0

Ответ: (hello_html_m3768876c.gif hello_html_m377703cc.gif)


Вариант 4

Вариант 5

1). Решите уравнение

loghello_html_m5796eaa.gif (x+13) = -2 loghello_html_m5796eaa.gif (x+1)

Ответ: 3

2)Решите неравенство

loghello_html_m5796eaa.gif (3 – 2x)-loghello_html_m5796eaa.gif (13) <0

Ответ: (-5; 1,5)

  1. Найдите наибольшее целое решение неравенства

lg2hello_html_m3e93eb15.gif- lg2 hello_html_m1d18e19a.gifhello_html_e633346.gif lg4

1)1 2)2 3)3 4)4

Решение:

2hello_html_m3e93eb15.gifhello_html_e633346.gif4*2hello_html_22400def.gif; 2hello_html_m3e93eb15.gifhello_html_e633346.gif2hello_html_313b6978.gif; 3х-1hello_html_e633346.gif х+4; 2хhello_html_e633346.gif5; хhello_html_e633346.gif 2,5.

Ответ:2

2. Решите уравнение

log hello_html_m225e79e9.gif (x+2)+ loghello_html_m225e79e9.gif(x+1)= loghello_html_m225e79e9.gif(x+5)

Ответ: х=1


Пробные работы по ЕГЭ.

  • Проверочные работы.

Диктант.

  1. Дайте определение логарифма числа.

  2. Напишите основное тригонометрическое тождество.

  3. Напишите теорему о логарифме произведения.

  4. Напишите теорему о логарифме частного.

  5. При каком условии логарифмическая функция возрастает?

  6. При каком условии логарифмическая функция убывает?

  7. Какая функция называется логарифмической?

  8. Какие уравнения называются логарифмическими?

  9. Является ли уравнение lq5 +xlq3 = 6 логарифмическим?

  10. Напишите основные методы решения логарифмических уравнений.

  • Контрольные работы.
























ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Дидактическое обеспечение обучения даёт возможность полнее и глубже раскрыть, доходчивее и проще изложить содержание учебного материала, способствует формированию у учащихся положительных мотивов.

Учитель может использовать различные средства наглядности: реальные объекты, их изображения, модели изучаемых объектов и явлений. Знание форм сочетания слова и средств наглядности, их вариантов и сравнительной эффективности дает возможность учителю творчески применять средства наглядности с учетом поставленной дидактической задаче, особенностям учебного материала и конкретным условиям обучения.

Практика применения дидактических средств обучения показывает, что они, исполняя роль источника информации, освобождают учителя от большого объема чисто технической работы, освобождают время для творческой деятельности с учащимися. Кстати, многие средства обучения могут быть выполнены самими обучающимися как дополнительное домашнее задание, что еще более повышает интерес к учению.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Первая глава посвящена исследованию теоретических основ понятия дидактического обеспечения. Анализ различной литературы по данной теме позволил установить, что дидактическое обеспечение по своей структуре разнообразно и может применяться на различных этапах изучения тем в образовательном процессе. В первой главе рассматривается структура дидактического обеспечения, классификация и функциональное использование в обучении.

Анализ школьных учебников по алгебре и начала анализа для 10 – 11 классов позволяет сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной учебно-методической литературе. Неразработанность изучения основных методов решения логарифмических уравнений и неравенств при обучении алгебры, затрудняет работу учителя при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства» и при подготовке к сдаче ЕГЭ.

Рассмотрев теоретический материал по теме исследования и с учетом анализа учебного материала, приведем примеры дидактического обеспечения позволяющие учащимся лучше освоить методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Во второй главе рассматриваются основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств, приводятся различные примеры дидактического обеспечения для более успешного освоения данной темы.

Применяя эти примеры дидактического обеспечения к урокам по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» на практике, показали высокую эффективность разработанной технологии обучения учащихся умениям решать и формулировать практико-ориентированные задачи.

Таким образом, в ходе проведения исследования на тему «Дидактическое обеспечение методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах» получены следующие результаты:

  1. исследована и проанализирована учебно-методическая, научная, историко-математическая и периодическая литература по данной теме;

  2. проведён сравнительный анализ учебно-методической литературы с точки зрения изучения методов решения логарифмические уравнений и неравенств;

  3. изучены основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств;

  4. теоретически обоснована необходимость применения дидактического обеспечения изучения тем школьного курса;

  5. разработано дидактическое обеспечение изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства»;

  6. разработаны уроки с применением дидактического обеспечения.

Таким образом, все вышеизложенное позволяет подтвердить выдвинутую в начале исследования гипотезу о том, что дидактическое обеспечение образовательного процесса изучения логарифмических уравнений и неравенств может повысить эффективность изучения данной темы и качество подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ.

Подводя итог, можно сделать вывод о решении в целом поставленных задач и в достижении намеченной цели.














БИБЛИОГРАФИЯ.

  1. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 – 11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А.Н. Колмогорова. – 15 –е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 384 с.

  2. Алгебра и начала анализа(профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений./ А. Г. Мордкович. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 375 с.

  3. Алгебра и начала анализа(профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; Под ред. А. Г. Мордковича. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

  4. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс. / Шабунин М.И., Прокофьев А.А. – М.: БИНОМ, 2007. - 424 с.

  5. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс / Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2009.-430с.

  6. Алгебра и математический анализ. 11 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 8-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2001. – 288 с.

  7. Алгебра и начала анализа, 8-11 кл.: Справочник. / Под ред. Мартковича. – М., 1999

  8. Алгебра и начала анализа: дидакт. материалы для 10 кл. /М.К. Потапов, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 159с.

  9. Генденштейн Л.Э. и др. Наглядный справочник по алгебре и начала анализа с примерами для 7-11 классов. – М.: Илекса, 1997

  10. Логарифм числа. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Методическое пособие для учащихся подготовительных курсов. / Сост. К.Э.Кайбханов. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. – 32с.

  11. Повторяем и систематизируем курс алгебры и начал анализа. / Под ред. Крамора В.С.. – М.: Просвещение, 1995

  12. В.И. Глинзбург. Алгебра и начала анализа. Контрольные работы. Профильный уровень. М.Мнемозина. 2008

  13. Логарифм числа. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Методическое пособие для учащихся подготовительных курсов. / Сост. К.Э.Кайбханов. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. – 32с.

  14. Калеева Н.В. Сравнительный анализ понятий «Дидактическое обеспечение» и «Методическое обеспечение// Молодёжь и наука: Сборник материалов VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных [Электронный ресурс]. — Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2011.

  15. Булдакова И.Н. Дидактическое обеспечение личностно-ориентированного образовательного процесса // Сибирский педагогический журнал, г. Новосибирск, 2007, №12. – с. 247-255.

  16. Б.П. Гейдман. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. - М.: МГУ, 2003

  17. Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В. Я, Луканкин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. пед. институтов. М.: «Просвещение», 1975. – 462с.

  18. Смирнова И. М. Профильная модель обучения математике. \\ Математика в школе. – 1997. – №1 – с. 32-35.

  19. Булдакова И.Н. Дидактическое обеспечение творческого развития личности в общеобразовательной школе // Проблемы подготовки педагога в системе непрерывного профессионального образования: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. – Глазов: Глазовский гос пед ин-т, 2007. – С. 232-235.

  20. И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, B.C. Панферов. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые тестовые задания - М.: Издательство «Экзамен», 2013. — 55 с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания»)

  21. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С) ЕГЭ 2014 по математике.

  22. Корянов А.Г. Задания B5 по математике. Простейшие уравнения.

  23. Мордкович А. Г. О некоторых методических вопросах, связанных с решением уравнений // Математика в школе. – 2006. – №3

  24. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Илекса. – 2008 – 352 с.

Электронные учебники.

  1. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра 7-9. Версия для школьника. Просвещение-МЕДИА. (все задачи школьной математики).

  2. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра 10-11. Версия для школьника. Просвещение-МЕДИА. (все задачи школьной математики).

  3. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников 11.. Просвещение-МЕДИА. (все задачи школьной математики).

  4. Готовимся к ЕГЭ. МАТЕМАТИКА. Решение экзаменационных задач в интерактивном режиме. Просвещение – МЕДИА.

  5. Мультимедийная программа: «Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников» 21

  6. Мультимедийная программа: «Математика. Решение уравнений и неравенств» 22

Интернет ресурсы.

  1. Итоговый тест по теме "Логарифмические неравенства" (N 192097) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a936f9fc-b0e6-4f91-add8-e0258e8a5aab/?from=8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a-6e370cc2df5b&

  2. "Решение логарифмических уравнений"(N192118)http://school-collection.edu.ru/catalog/res/ef77265a-595e-428b-868d-02f73703c187/?from=a87d6303-ae07-46dd-a18a-855c725fb448&

Ресурсы для подготовки к ЕГЭ: В3, В7

  1. http://ege.yandex.ru/math/X

  2. http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main

  3. Задания С3 www.resolventa.ru,resolventa@list.ru

  4. http://school-collection.edu.ru/catalog/teacher/




ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
























Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2296
Номер материала ДA-035814
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх