Презентация по математике на тему:"применение скалярного произведения"

• 1 слайд

  
  Применение скалярного произведения векторов при решении уравнений и систем
  

• 2 слайд

  
  Сегодня мы с вами рассмотрим нестандартный способ решения уравнений и систем уравнений с помощью векторного метода, применение которого в большинстве школьных учебников не рассматривается. Однако векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьной алгебры. Довольно большое число задач существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.
  

• 3 слайд

  Главная идея: Облегчить работу при решении задач, сделать решение более доступным.
  Задачи:
  1.Научиться узнавать задачи, решаемые векторным методом.
  2.Использовать знания программного материала о векторах, научиться переводить данные и требования задачи с языка алгебры на язык векторов, а именно:
  найти координаты векторов, их длины и скалярное произведение, выполнять преобразования векторных выражений, переводить полученные результаты с языка векторов на алгебраический язык.
  3.Научиться исследовать полученное задание.
  Всё это будет полезно выпускникам школы при подготовке к олимпиадам, конкурсам и итоговой аттестации.
  

• 4 слайд

  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
  a
  b
  =
  a
  b
  cos( )
  a
  b
  

• 5 слайд

  a
  b
  =
  a
  b
  cos( )
  a
  b
  a
  b
  = 0
  a
  b
  ^
  Û
  a
  b
  > 0
  Û
  a
  b
  < 900
  a
  b
  < 0
  Û
  a
  b
  > 900
  a 2
  =
  a 2
  Повторение
  

• 6 слайд

  a
  b
  =
  a
  b
  =
  a
  b
  cos 00
  a
  b
  1
  a
  b
  = 00
  Если
  a
  b
  a
  b
  =
  a
  b
  cos1800
  a
  b
  -1
  a
  b
  = 1800
  Если
  a
  b
  = –
  a
  b
  

• 7 слайд

  d { 5 ; 4;-3}
  b {-2; 1;-7}
  Найдите скалярное произведение векторов
  Пример
  ( )
  ( )
  Скалярное произведение векторов
  
  и
  
  
  выражается формулой
  a {x1; y1;z1}
  b {x2; y2;z2}
  = x1x2 + y1y2+z1z2
  a
  b
  5
  +
  -2
  1
  4
  = 15
  -7
  -3
  +
  

• 8 слайд

  
  Условие коллинеарности векторов:
  Условие перпендикулярности векторов
  Длина вектора
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  
  Как распознать уравнение, которое можно решить векторным методом?
  Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида х 2 + у 2 или х 2 + у 2 + 𝑧 2 - то длина некоторого вектора а (х, у) на плоскости или а (х, у, z)
  в пространстве. Возможны ситуации, как например:
  х 2 + у 2 + 𝑧 2 =𝑎 можно рассмотреть вектор 𝑏 𝑥,𝑦,𝑧 ,длина которого равна а
  2. Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида 𝑥 1∙ 𝑥 2 + 𝑦 1 ∙ 𝑦 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 , то его можно считать скалярным произведением векторов а и 𝑏
  3.Если левую часть уравнения можно представить скалярным произведением
  Некоторых векторов, а правую часть – произведением их длин.
  

• 11 слайд

  
  РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ и СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
  

• 12 слайд

  
  Решить уравнение: 𝟐 х+𝟏 + 𝟒−х =𝟓
  Обозначим векторы: а 2;1 и 𝑏 𝑥+1 ; 4−𝑥 . Тогда а = 2 2 + 1 2 = 5,
  𝑏 = 𝑥+1+4−𝑥 = 5 Cкалярное произведение векторов а 𝑏 =2∙ 𝑥+1 +1∙ 4−𝑥 =5(по условию) и а 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos𝜑= 5∙ 5 ∙𝑐𝑜𝑠𝜑=5cos𝜑. Приравнивая правые части, получаем: 5с𝑜𝑠𝜑=5, откуда сosφ=1, значит 𝜑=0, тогда а ↑↑ 𝑏, значит их одноимённые координаты пропорциональны
  2 х+1 = 1 4−х ;
  Откуда получаем х=3. Сделав проверку, убеждаемся, что х = 3 – корень уравнения.
  

• 13 слайд

  
  2. Решить уравнение c двумя неизвестными:
  х + 2−х ∙ 3+2х + 6+у ∙ 6−3х =9
  Решение. 1.Обозначим векторы а 1; 2−у ; 6+у ; 𝑏 𝑥; 3+2𝑥 ; 6−3𝑥 .
  2.Найдём длины векторов: а = 1+2−у+6+у = 9 =3;
  𝑏 = х+3+2х+6−3х = 9 =3. запишем скалярное произведение
  векторов: а ∙𝑏 =1∙ 𝑥 + 2−𝑥 ∙ 3+2𝑥 + 6+𝑦 ∙ 6−3𝑥 и
  а ∙𝑏 = а ∙ 𝑏 ∙𝑐𝑜𝑠𝜑. Получили, что 9 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 9, отсюда 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1, 𝜑 =0, значит
  векторы коллинеарны, тогда их одноимённые координаты пропорциональны.
  1 х = 2−у 3+2х = 6+у 6−3х
  
  
  3+2х=х(2−у) 6−3х=х(6+у) ху=−3 6−9х=ху х=1 у=−3 Проверкой убеждаемся,
  что (1;-3) –решение уравнения.
  
  1 х = 2−у 3+2х 1 х = 6+у 6−3х
  

• 14 слайд

  3.Решить уравнение: 2 𝟏−𝟐х −х 𝟐х+𝟗 = 𝟏𝟎( 𝒙 𝟐 +𝟒)
  Решение. О.Д.З.: 1−2х≥0; 2х+9≥0. 4,5≤х≤0,5
  1.Введем векторы а ( 1−2х ; 2х+9 ) и 𝑏 2;−х
  2.Находим их скалярное произведение
  а∙ 𝑏 =2 1−2х −х 2х+9 = 10( 𝑥 2 +4) (по условию)
  3.Вычисляем длины векторов и произведение этих длин
  а = 1−2х+2х+9 = 10, 𝑏 = 4+ 𝑥 2
  а ∙ 𝑏 = 10(4+ 𝑥 2 ) . Получили, что а ∙ 𝑏 = а∙ 𝑏 , а это возможно
  Лишь тогда когда 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1, значит векторы коллинеарны, тогда
  одноимённые координаты пропорциональны 1−2х 2 = 2х+9 −х
  х 2 (1−2х)=4(2х+9), 2х 3 − 𝑥 2 +8х+36=0 используя схему Горнера
  2 -1 8 36
  -2 2 -5 18 0 2 𝑥 2 −5х+18=0 𝐷=25−4∙36<0
  Значит корней нет. Итак единственный корень уравнения -2 удовлетворяющий О.Д.З.
  Ответ: -2
  

• 15 слайд

  4.Решить уравнение:
  х 𝟏+х + 𝟑−х =𝟐х 𝒙 𝟐 +𝟏
  
  Попробуйте решить его сами
  Проверка
  

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

  АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
  
  

• 22 слайд

• 23 слайд

• 24 слайд

• 25 слайд

• 26 слайд

• 27 слайд

• 28 слайд

• 29 слайд

• 30 слайд

• 31 слайд