ЕГЭ. Задание 11. Задачи разных видов.

1. Чернослив содержит 25% влаги. Его получают из сливы, содержащей 90% влаги, путем сушки. Сколько нужно килограмм сливы, для получения 5 кг чернослива?

Решение: Давай попробуем нарисовать.

Количество сухого (красного на рисунке) вещества не изменилось. Изменилась лишь его пропорция. Давай попробуем найти его вес. Поскольку сухого вещества в черносливе – 100%−25%=75%   то масса сухого вещества составит –      0,75⋅5 кг = 3,75 кг.

Нам нужно взять такое количество сливы, чтобы в нем было  3,75 кг сухого вещества. Обозначим вес необходимого количества сливы за  x. По условию мы знаем, что сухого вещества в сливе - 100%−90%=10%, т.е. 0,1⋅x кг, а нам нужно3,75 кг. Получается, что    0,1x=  3,75​ ;     x=37,5​​
Для получения  55 кг чернослива, нам нужно взять    37,5 кг сливы.

Ответ:37,5.

2. Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится 10% серебра, во втором – 25%. Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к 10кг первого, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра?

Решение:

Обозначим за x искомый вес второго сплава, а за y – массу получившегося сплава.

Масса серебра в первом сплаве –10%⋅ 10 кг=0,1⋅10 кг=1 кг, во втором–25%⋅x=0,25x, в новом сплаве –20%⋅y=0,2y.

Теперь у нас есть два уравнения  10 + х =10  и 1 + 0,25х = 0,2у  составим  систему  уравнений, решив которую найдем искомый x:     получаем х = 20

Получается, добавив в 10 килограммов 10% сплава, 20 килограммов 25% сплава - мы получим30 килограммов 20% сплава.    Ответ: 20

Пример 3.Смешали 3 кг 5%-го водного раствора щелочи и 7 кг 15%-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение:  Давай попробуем визуализировать ситуацию. 33 кг 5% водного раствора. Значит воды в этом растворе 95%

Нарисуем:

А теперь второй раствор:

После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить 3 кг + 7 кг = 10 кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за x, а количество воды – (10−x):

 

Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе – 0,05⋅3=0,15 кг  щелочи и 3−0,15=2,85 кг воды, во втором - 0,15⋅7=1,05 кг щелочи и 7−1,05=5,95 кг воды:

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: x=0,15+1,05=1,2x  кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

1,2 : 10=0,12​  Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на 100% -0,12⋅100%=12%   Ответ: 112.

Задачи на движение по прямой

1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна км/ч. Примем расстояние между пунктами за . Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 32 км/ч. Ответ: 32.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста на пути из A в B, тогда скорость велосипедиста на пути из B в A –  км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 7 часов, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равно 7 км/ч. Ответ: 7.

3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста на пути из B в A, тогда скорость велосипедиста на пути из A в B равна  км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 3 часа, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч. Ответ: 10.

4. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч. Ответ: 10.

5. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна  км/ч. Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/ч. Ответ: 52.

6. Два велосипедиста одновременно отправились в 88–километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, тогда скорость первого велосипедиста – км/ч. Первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 8 км/ч. Ответ: 8.

7.  Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго велосипедиста — км/ч, . Первый велосипедист прибыл к финишу на 1 час раньше второго, отсюда имеем:

Значит, первым финишировал велосипедист, двигавшийся со скоростью 16 км/ч. Ответ: 16.

8.  Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Решение.
Примем расстояние между городами 1. Пусть время движения велосипедиста равно ч, тогда время движения мотоциклиста равно ч, К моменту встречи они находились в пути 48 минут и в сумме преодолели всё расстояние между городами, поэтому

Таким образом, велосипедист находился в пути 4 часа. Ответ: 4.

9. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть автомобиль находился в пути часов, тогда его средняя скорость равна:

км/ч.  Ответ: 70.

10.  Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть км – весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:

км/ч.   Ответ: 88.

11. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость равна:

км/ч.  Ответ: 70.

12.  Расстояние между городами  А и В равно 150 км. Из города А  в город В выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл вВ. Найдите расстояние от А до  С. Ответ дайте в километрах.

Решение.
Обозначим км – расстояние от A до C, км/ч – скорость автомобиля, ч – время движения мотоциклиста от A до C. Тогда и Решим систему полученных уравнений:

Тогда км.    Ответ: 90.

13.  Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Решение.
Пусть ч – время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние км, а второй –  км. Тогда имеем:

.

Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа. Ответ: 4.

14.  Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость третьего велосипедиста, а ч – время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом,

.

А через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Таким образом,

Таким образом, .   Ответ: 25.

15.  Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость автомобиля равна

км/ч.   Ответ: 72.

16.  Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Скорость товарного поезда меньше, чем скорого на 750 м/мин или на

.

Пусть км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда км/ч. На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый, отсюда имеем:

Ответ: 45.

17. Из городов  А и  В, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города В. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города А . Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Автомобиль, выехавший из города А , преодолел расстояние (330 – 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть км/ч – скорость данного автомобиля. Таким образом,

км/ч.    Ответ: 50.

18. Расстояние между городами  А и В равно 470 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города  В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А . Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость первого автомобиля. Автомобиль, выехавший из города  В, преодолел расстояние (470 – 350) км = 120 км. Первый автомобиль находился в пути на 3 часа больше, чем второй. Таким образом,

.Ответ: 70.

19. Расстояние между городами и равно 435 км. Из города в город со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение.
Пусть автомобили встретятся на расстоянии км от города , тогда второй автомобиль пройдет расстояние км. Второй автомобиль находился в пути на 1 час меньше первого, отсюда имеем:

.

Ответ: 240.

20. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение.
Пусть км/ч – скорость второго пешехода, тогда скорость первого – км/ч. Пусть через часов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 километра. Таким образом,

,

часа или минут. Ответ: 12. 

21. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.
Скорость поезда равна . За 36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба – проходит расстояние равное своей длине:

.Ответ: 800.

22. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.
Скорость поезда равна

.

За 60 секунд поезд проезжает

.

За это время поезд проезжает мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда. Поэтому длина поезда равна метров. Отв: 600.

23. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение.
Относительная скорость поездов равна

За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевают расстояние равное сумме их длин:

м,

поэтому длина пассажирского поезда м.   Ответ: 400.

24. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.
Относительная скорость поездов равна

За 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть вместе поезда преодолевают расстояние, равное сумме их длин:

м,

поэтому длина скорого поезда   Ответ: 300.

25. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение.
Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%.  Ответ: 15.

26 В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.
Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на , и их стоимость стала составлять . Во вторник акции подешевели на , и их стоимость стала составлять . В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,

. Ответ: 20.

27. В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в 2010 году на по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение.
В 2009 году число жителей стало человек, а в 2010 году число жителей стало человек.

Ответ: 47088

28. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение.
Антон внес уставного капитала. Тогда Борис внес уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается рублей.

29. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на процентов в год. Тогда за два года она снизилась на , откуда имеем:

Ответ: 11.

30. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.

Ответ: 27.

31. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?

Решение.
Пусть  км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго —  км/ч. Пусть через  часов мотоциклисты поравняются в первый раз. Тогда,

.

Следовательно, часа или 30 минут. Ответ: 30.

32. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.   Ответ: 57.

33.Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в&nbsdp;км/ч.

Решение.
До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна  км/ч, тогда скорость велосипедиста равна

.

Еще через 1/20 часа после первой встречи, мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз. Имеем:

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.   Ответ: 120.

34. Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение.
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

.

Часовая стрелка пройдет 9 деления, что соответствует 9 часам, то есть 540 минутам. Отв: 540.

35. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

.Ответ: 59.

36.Часы со стрелками показывают 8 часа 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

четвертый раз поравняется с часовой?

Решение.
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

.

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам. Отв: 240.

37. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

38.  Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Решение.
Пусть км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

.

Таким образом, мотоциклисты поравняются через  часа или через 20 минут. Ответ: 20.

39. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта  А в пункт В , расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В  2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт  А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — собственная скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна км/ч, а скорость лодки против течения равна км/ч. На весь путь лодка затратила (часов), отсюда имеем:

Таким образом собственная скорость лодки равна 11 км/ч.   Ответ: 11.

40. От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 110 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — скорость второго теплохода, тогда скорость первого теплохода равна км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:

Ответ: 11.

41. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна км/ч, а скорость лодки против течения равна км/ч. На путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:

 Ответ: 16.

42. Баржа в 10:00 вышла из пункта  А в пункт В  , расположенный в 15 км от А . Пробыв в пункте  В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт  А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна км/ч, а скорость баржи против течения равна км/ч. Баржа вернулась в пункт  А через 6 часов, но пробыла в пункте  В 1час 20 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:

 Ответ: 2.

43. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна км/ч, а скорость теплохода против течения равна км/ч. На весь путь теплоход затратил 40 – 10 = 30 часов, отсюда имеем:

Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч.  Ответ: 5.

44. От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:

Таким образом, скорость первого теплохода равна 20 км/ч.    Ответ: 20.

45. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна км/ч, а скорость лодки против течения равна км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.   Ответ: 3.

46. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна км/ч, а скорость теплохода против течения равна км/ч. На весь путь теплоход затратил 34–2=32 часов, отсюда имеем:

Отв: 16.

47. Пристани  А и В расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из   А в В . На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из  А  в В . Найдите скорость баржи на пути из  А в В . Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость баржи на пути из  А в В , тогда скорость баржи на пути из  В в  А u +3 км/ч. На обратном пути баржа сделала остановку на 9 часов, и в результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько и на прямой, отсюда имеем:

  Ответ: 10.

48. Расстояние между пристанями  А и  В равно 120 км. Из   А в   В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А . К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Скорость плота равна скорости течения реки 2 км/ч. Пусть км/ч – скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна u + 2 км/ч, а скорость яхты против течения равна u – 2 км/ч. Яхта, прибыв в пункт В , тотчас повернула обратно и возвратилась в А , а плоту понадобилось на час больше времени, чтобы пройти 24 км.

Ответ: 22.

49. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение.
Пусть весь путь теплохода равен 2S км. Время в пути составляет 30 часов, из которых 5 часов – стоянка:

.  Ответ: 616.

50. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть  2 S км — весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:

км/ч    Ответ: 38,4.

51. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение.
пока сухогрузы перейдут из первого положения во второе, второй сухогруз переместился относительно первого на

м.

Пусть – разность скоростей сухогрузов, тогда

м/мин км/ч    Ответ: 6.

52. Весной катер идёт против течения реки в   раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в    раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение.
Пусть (км/ч) — собственная скорость катера, (км/ч) — скорость течения реки весной. Тогда летом она составит (км/ч); . Составим таблицу по данным задачи:

	Весна	Лето
По течению
Против течения

Решим систему уравнений:

Таким образом, скорость течения весной равна 5 км/ч.   Ответ: 5.

53. На изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение.
Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает деталь. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей, отсюда имеем:

.

Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час.   Ответ: 10.

54. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Решение.
Обозначим — объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает литров воды в минуту. Известно, что резервуар объемом 375 литров вторая труба заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров, отсюда имеем:

  Ответ: 25.

55. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

Решение.
Обозначим – число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталь, . На изготовление 156 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

  Ответ: 13.

56. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

Решение.
Обозначим — количество литров воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:

Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.  Ответ: 10

57. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение.
Обозначим – число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталей, . На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:

.

Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час   Ответ: 25.

58. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Решение.
Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает деталь. На изготовление 110 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

  Ответ: 10.

59. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Решение.
Пусть литров — объем воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает

 х +1  литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:

Значит, первая труба пропускает 10, а вторая — 11 литров воды в минуту. Ответ: 11.

60. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Решение.
Пусть литров — объем воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров, отсюда имеем:

Значит, первая труба пропускает 10 литров, а вторая — 11 литров воды в минуту.   Ответ: 10.

61. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Решение.
Обозначим и – объёмы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объём работ примем за 1. Тогда по условию задачи и . Решим полученную систему:

Тем самым, первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней. Ответ: 20.

62. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Решение.
Скорость совместной работы насосов

.

Для того, чтобы перекачать 25 литров воды, понадобится

мин мин.Ответ: 6.

63. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.
Обозначим объем бака за 1. Тогда три насоса, работая вместе, заполнят бак за

минут.  Ответ: 10.

64. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.
Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.

Другое рассуждение.
Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за

часа.   Ответ: 4.

65. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Решение.
Пусть вторая труба наполняет резервуар за x минут, а первая — за x + 6 минут. В одну минуту они наполняют соответственно и часть резервуара. Поскольку за 4 минуты обе трубы заполняют весь резервуар, за одну минуту они наполняеют одну четвертую часть резервуара:

.

Далее можно решать полученное уравнение. Но можно заметить, что при положительных x функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения — единственно. Поскольку вторая труба заполняет резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 6 минут.  Ответ: 6.

66. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.
Обозначим N — число вопросов теста. Тогда время, необходимое Пете, равно мин., а время, необходимое Ване, равно мин. Петя закончил отвечать на тест через часа после Вани. Поэтому:

  Ответ: 24.

67. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение.  Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1. Пусть за , , часов Игорь, Паша и Володя, соответственно, покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь и Паша красят забор за 9 часов:

         Паша и Володя красят этот же забор за  12 часов:

,                    а Володя и Игорь — за 18 часов:

Получаем систему уравнений:

Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:

 Ответ: 8.

Другое   решение.

За один час Игорь и Паша красят забор за 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:

  забора.

Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.

68.  Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение.
Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объём работы на совместную производительность:

часов.

Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.  Ответ: 9.

69. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:

.

По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть . Таким образом,

.

Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.  Ответ: 9.

 Другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.

70. Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.

Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на тонн. Поскольку

.         Имеем

.

Следовательно, за пятый день было перевезено 8 тонн щебня.   Ответ: 8.

71. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300%, то есть в раза, по сравнению с предыдущим годом. За 2003 год Бубликов заработал

рублей.     Ответ: 320000.

72. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Решение.
Пусть улитка проползла в первый день метров, во второй – , … , в последний – метров. Тогда м, а за дней проползла метров. Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: . Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.

Отв: 30.

73. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение.
Пусть бригада в первый день бригада покрасила метров забора, во второй – , … , в последний – метров забора. Тогда м, а за дней было покрашено

метров забора.

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: . Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.  Ответ: 8.

74. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Решение.
В первый день Вера подписала открыток, во второй – , …, в последний – открыток. Всего было подписано открыток. Количество подписываемых открыток увеличивалось на каждый день.

.

Тогда за четвертый день было подписано

открыток.  Ответ: 22.

75. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма

.

Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма

.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.   Ответ: 35 000.

76. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Решение.
В первый день Вася решил задач, в последний — задач. Всего надо решить задач. Поскольку , где имеем:

.          Тогда

задач.     Ответ: 65.

77. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Решение.
В первый день турист прошел км, во второй – , …, в последний – км. Всего он прошел км. Каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на км, , дней. Таким образом,

км.

Тогда за третий день турист прошел   км.   Ответ: 18.

78. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.
Пусть рабочие в первый день проложили метров тоннеля, во второй — , …, в последний — метров тоннеля. Длина тоннеля метров. , дней. Тогда в последний день рабочие проложили

метров.  Ответ: 97.

79. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась каждодневно на тонн. Тогда

.Тогда за девятый день было перевезено

(тонн).

Ответ: 18.

80. Пу­те­ше­ствен­ник пе­ре­плыл море на яхте со сред­ней ско­ро­стью 30 км/ч. Об­рат­но он летел на спор­тив­ном са­мо­ле­те со ско­ро­стью 370 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость пу­те­ше­ствен­ни­ка на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ре­ше­ние.Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь прой­ден­ный путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Пусть 2S км — путь пу­те­ше­ствен­ни­ка, тогда сред­няя ско­рость на этом пути равна:

По­это­му сред­няя ско­рость пу­те­ше­ствен­ни­ка 55,5 км/ч.   Ответ: 55,5.

81.  Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 10 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 78 км/ч, и через 40 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна  км/ч. За 2/3 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 10 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 63.

82.  Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние. Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 9 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за ше­стой день, если весь путь он про­шел за 7 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 105 ки­ло­мет­ров.

Ре­ше­ние.В пер­вый день ту­рист про­шел  км, во вто­рой — , …, в по­след­ний —  км. Всего он про­шел  км. Если каж­дый день ту­рист про­хо­дил боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на  км, то

,

где  дней,  км. Таким об­ра­зом,

  Тогда за ше­стой день ту­рист про­шел

   Ответ: 19.

83.  Ра­бо­чие про­кла­ды­ва­ют тон­нель дли­ной 87 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму про­клад­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый день ра­бо­чие про­ло­жи­ли 7 мет­ров тун­не­ля. Опре­де­ли­те, сколь­ко мет­ров тун­не­ля про­ло­жи­ли ра­бо­чие в по­след­ний день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 6 дней.

Ре­ше­ние.Пусть ра­бо­чие в пер­вый день про­ло­жи­ли  мет­ров тон­не­ля, во вто­рой —  , …, в по­след­ний —  мет­ров тон­не­ля. Длина тон­не­ля  мет­ров, при­чем , где  дней. Тогда имеем:     Сле­до­ва­тель­но, в по­след­ний день ра­бо­чие про­ло­жи­ли 22 метра тон­не­ля.   Ответ: 22.

84. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 48 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 1 час. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние. За одну ми­ну­ту пер­вая труба на­пол­ня­ет  бас­сей­на, а обе трубы —  бас­сей­на. Сле­до­ва­тель­но, вто­рая труба на­пол­ня­ет  бас­сей­на в ми­ну­ту. По­это­му одна вто­рая труба на­пол­нит бас­сейн за 240 минут, то есть, за 4 часа .Ответ: 4.

Задачи на движение по воде.

1. Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включённым мотором, её скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость  байдарки.

	v(км/ч)	t(ч)		S(км)
Моторная лодка	х+5			s
Байдарка	х+3			s

                                                                                               разделим на S.

                                                                                     НОЗ=21(Х+5)(Х+3)

(не удовлетворяет условиям задачи)

Ответ: скорость байдарки 4 км/ч.

2. Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от данной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывает 25 км. Найдите время движения катера  вверх по реке.

Решение:

В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч, и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за x км/ч.

   Тогда на путь по течению катер со скоростью (15+x) км/ч затратил ч, а на путь против течения катер со скоростью (15-x) км/ч затратил ч.

Спасательный круг проплывает 25 км по течению реки за км/ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплывает 25 км, составим уравнение:

                                                

   Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 5 и  получим

                                                

   Так как по условию задачи 0<x<15, то есть знаменатели всех дробей в уравнении отличны от нуля, умножим обе части уравнения на (15+x)(15-x)x и получим уравнение, равносильное данному:

                               (12(15-x)+12(15+x))x=5(15+x)(15-x).

    Приведем полученное уравнение к квадратичному:

                                               

Уравнение имеет единственный положительный корень x=3, отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.

Итак, скорость течения реки равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке:   

Ответ: 5.

3. Лодка прошла 10 км по течению реки, а затем 4 км против течения, затратив на весь путь 1 час 40 минут. Собственная скорость лодки была постоянная во время всего пути и равна 8 км/ч. Определите максимально возможное значение (в км/ч), которое может иметь скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч- скорость течения реки, тогда

       

       

       

Ответ: 2.

1.1. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 9

1.2. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 14

1.3. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 1

1.4. Лодка в 5:00 вышла из  пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

Ответ: 1

1.5. Баржа в 10:00 вышла из  пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 45 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Ответ: 3

1.6. Катер в 10:00 вышел из  пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.

Ответ: 1

1.7. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 180 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 12

1.8. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 238 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 14

1.9. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 130 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 13

1.10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 24

1.11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 3

1.12. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 3

Задачи на движение по суше.

2.1. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 52

2.2. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 36

2.3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 1

2.4. Два велосипедиста одновременно отправляются в 154 -километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 11

2.5. Два велосипедиста одновременно отправились в 99-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 9

2.6. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 10

2.7. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 7

2.8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 63 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 7

2.9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 14

Задачи на производство.

3.1. На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Ответ: 5

3.2. На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Ответ: 8

3.3. На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Ответ: 10

3.4. Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 713 деталей, на 8 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 837 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

Ответ: 31

3.5. Первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 575 деталей, на 2 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 600 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

Ответ: 25

3.6. Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 391 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 460 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

Ответ: 23

3.7. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут раньше, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Ответ: 25

3.8. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 420 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 399 литров?

Ответ: 20

3.9. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 425 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 525 литров?

Ответ: 2

3.10. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Ответ: 10

3.11. Заказ на 182 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Ответ: 13

3.12. Заказ на 195 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

Ответ: 13

Задачи на совместную работу.

1. Одна труба подаёт в бассейн 1 воды на 4 мин быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 ч, если она подаёт за это время на 100 воды меньше, чем первая?

Решение:

Пусть первая труба подаёт  в бассейн 1 воды за Х мин, то есть за  тогда вторая труба подаёт в бассейн 1 воды за (х+4)мин, то есть за

Это означает, что за 1 ч первая труба подаёт в бассейн  воды, а вторая труба подаёт в бассейн воды.

По условию задачи больше, чем  на .

Составим и решим уравнение

                         

Разделим обе части уравнения на 20 и решим его:

                          

Так как по условию задачи значение х должно быть положительным, то х=2. тогда вторая труба подаёт в бассейн 1 воды за 6 мин, за 1 час она подаёт в бассейн 10 воды, а за 5 чводы.

Ответ: 50

2. Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трёх насосов, работающих вместе. Производительности насосов относится как 3:5:8. сколько процентов объёма будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и третьего насосов?

Решение:

Так как объём бака не указан, то примем его за 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен Х, тогда производительности насосов равно 3Х,5Х,8Х. И время наполнения бака при совместной работе всех трёх насосов равно  или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.

Решим уравнение .

Производительность второго насоса равна .

Производительность третьего насоса равна .

Совместная производительность второго и третьего насосов равна .

За 1 час 18 минут второй и третий насосы наполнят  объёма бака.

Итак, при совместной работе второго и третьего насосов за 1 час 18 минут будет

заполнено  объёма бака.

Возможна запись:

;

 

Производительность II насоса равно

Производительность III насоса равно

Совместная производительность II и III насосов равно

За 1 час 18 минут II и III насосы наполнят  объёма бака.

Ответ: 42,25.

Задачи на проценты.

1. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем ещё на 120 рублей и, наконец, ещё на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%.
2.  

Решение:

Пусть  рублей – первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной  рублей, затем стала равной рублей и, наконец, после последнего повышения стала равной рублей.

Составим уравнение:

Получим:

Таким образом, первоначальная цена товара составляла 800 рублей.

Ответ: 800.

Задачи (задание 11) карточка №1

1.    Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

2.    Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

3.    Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4.    Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

5.    Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

6.    Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

7.    Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

8.    Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

9.    Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

10.  Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

11.  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

12.  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

13.  От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

14.  От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

15.  Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

16.  Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

17.  На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

18.  На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

19.  Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

20.  Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

21.  Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

22.  Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

23.  Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

24.  Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

25.  Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

26.  В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

27.  В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

28.  Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

29.  Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

30.  Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

31.  Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

32.  Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

33.  Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

34.  Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

35.  Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

36.  Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

37.  Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

38.  Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

39.  Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

40.  Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

41.  Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

42.  Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

43.  Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

44.  Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

45.  Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

46.  Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

47.  Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

48.  Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

49.  Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

50.  Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

51.  Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

52.  Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

53.  Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

54.  Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

55.  Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

56.  Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

57.  Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

58.  Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

59.  Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

60.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

61.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

62.  По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

63.  По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

64.  По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина

пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

65.  Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

66.  Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

67.  Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

68.  Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

69.  Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

70.  Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

71.  Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

72.  В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

73.  Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

74.  Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

75.  Дорога между пунктами  и  состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км.

Путь из  пункта   в  у туриста  занял 5 часов, из которых 1 час ушёл на  спуск.  Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

76.  Плиточник должен уложить 175 м² плитки. Если он будет укладывать на 10 м² в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

77.  Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

78.  Автомобиль выехал с постоянной скоростью 75 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 275 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 255 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 50 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч

79.  Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

80.  Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

81.  Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Задачи на движение по воде.

1. Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включённым мотором, её скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.

Решение:                 Пусть х км/ч - скорость  байдарки.

	v(км/ч)	t(ч)		S(км)
Моторная лодка	х+5			s
Байдарка	х+3			s

                                   разделим на S.

                                                       НОЗ=21(Х+5)(Х+3)

(не удовлетворяет условиям задачи)       Ответ: скорость байдарки 4 км/ч.

2. Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от данной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывает 25 км. Найдите время движения катера  вверх по реке.

Решение:

В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч, и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за x км/ч.

   Тогда на путь по течению катер со скоростью (15+x) км/ч затратил ч, а на путь против течения катер со скоростью (15-x) км/ч затратил ч.

Спасательный круг проплывает 25 км по течению реки за км/ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплывает 25 км, составим уравнение:

                                               

   Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 5 и  получим

                                                

   Так как по условию задачи 0<x<15, то есть знаменатели всех дробей в уравнении отличны от нуля, умножим обе части уравнения на (15+x)(15-x)x и получим уравнение, равносильное данному:

                               (12(15-x)+12(15+x))x=5(15+x)(15-x).

    Приведем полученное уравнение к квадратичному:

                                               

Уравнение имеет единственный положительный корень x=3, отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.

Итак, скорость течения реки равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке:   

         Ответ: 5.

3. Лодка прошла 10 км по течению реки, а затем 4 км против течения, затратив на весь путь 1 час 40 минут. Собственная скорость лодки была постоянная во время всего пути и равна 8 км/ч. Определите максимально возможное значение (в км/ч), которое может иметь скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч- скорость течения реки, тогда

       

       

                         Ответ: 2.

Задачи на сплавы и смеси

1. В первом сплаве меди в четыре раза больше, чем цинка, а во втором сплаве – в 4 раза меньше. Из этих двух сплавов требуется получить 20 кг третьего сплава, в котором медь составляет 35%. Сколько килограммов первого сплава требуется для этого взять.

              Решение:

             1 сплав:     Всего 5x  

             2 сплав:     Всего 5у

             Получен третий сплав, в котором всего 20 кг

             Уравнение:

             5х+5у=20

             Медь - 35% - ? кг

            Всего - 100% - 20кг

            Медь =  = 7кг

            4x+y=7

 

          

           x+7– 4x=4

              x=1

          1спл. = 5х = 5 (кг)       Ответ: 5

Задачи на совместную работу.

1. Одна труба подаёт в бассейн 1 воды на 4 мин быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 ч, если она подаёт за это время на 100 воды меньше, чем первая?

Решение:

Пусть первая труба подаёт  в бассейн 1 воды за Х мин, то есть за  тогда вторая труба подаёт в бассейн 1 воды за (х+4)мин, то есть за

Это означает, что за 1 ч первая труба подаёт в бассейн  воды, а вторая труба подаёт в бассейн воды.

По условию задачи больше, чем  на .

Составим и решим уравнение

                         

Разделим обе части уравнения на 20 и решим его:

                          

Так как по условию задачи значение х должно быть положительным, то х=2. тогда вторая труба подаёт в бассейн 1 воды за 6 мин, за 1 час она подаёт в бассейн 10 воды, а за 5 чводы.   Ответ: 50

2. Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трёх насосов, работающих вместе. Производительности насосов относится как 3:5:8. сколько процентов объёма будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и третьего насосов?

Решение:

Так как объём бака не указан, то примем его за 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен Х, тогда производительности насосов равно 3Х,5Х,8Х. И время наполнения бака при совместной работе всех трёх насосов равно  или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.

Решим уравнение .

Производительность второго насоса равна .

Производительность третьего насоса равна .

Совместная производительность второго и третьего насосов равна .

За 1 час 18 минут второй и третий насосы наполнят  объёма бака.

Итак, при совместной работе второго и третьего насосов за 1 час 18 минут будет

заполнено  объёма бака.

Возможна запись:

;

 

Производительность II насоса равно

Производительность III насоса равно

Совместная производительность II и III насосов равно

За 1 час 18 минут II и III насосы наполнят  объёма бака.

Ответ: 42,25.

Задачи на проценты.

1. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем ещё на 120 рублей и, наконец, ещё на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%.

Решение:

Пусть  рублей – первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной  рублей, затем стала равной рублей и, наконец, после последнего повышения стала равной рублей.

Составим уравнение:

Получим:

Таким образом, первоначальная цена товара составляла 800 рублей.

Ответ: 800.

Задачи на движение

1. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 9

1.Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 14

1. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 1

1.4. Лодка в 5:00 вышла из  пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч. Ответ: 1

1.5. Баржа в 10:00 вышла из  пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 45 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч. Ответ: 3

1.6. Катер в 10:00 вышел из  пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч. Ответ: 1

1.7. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 180 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 12

1.8. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 238 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 14

1.9. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 130 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 13

1.10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 24

1.11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 3

1.12. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 3

Задачи на движение по суше.

2.1. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 52

2.2. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 36

2.3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/чОтвет: 1

2.4. Два велосипедиста одновременно отправляются в 154 -километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 11

2.5. Два велосипедиста одновременно отправились в 99-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 9

2.6. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 10

2.7. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 7

2.8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 63 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 7

2.9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 14

Задачи на производство.

3.1. На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Ответ: 5

3.2. На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Ответ: 8

3.3. На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Ответ: 10

3.4. Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 713 деталей, на 8 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 837 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий? Ответ: 31

3.5. Первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 575 деталей, на 2 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 600 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий? Ответ: 25

3.6. Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 391 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 460 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий? Ответ: 23

3.7. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут раньше, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Ответ: 25

3.8. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 420 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 399 литров? Ответ: 20

3.9. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 425 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 525 литров? Ответ: 2

3.10. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше? Ответ: 10

3.11. Заказ на 182 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?Ответ: 13

3.12. Заказ на 195 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше? Ответ: 13

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ и движение.

1. Костюм состоит из пиджака, брюк и жилета. Пиджак дороже брюк на 26% и дороже жилета на 60%. На сколько процентов жилет дешевле брюк? 

2. В школе девочек на 25% больше, чем мальчиков. На сколько % мальчиков меньше, чем девочек.

3. Летом Женя похудел на 10%, а к Новому Году поправился на 10%. Поправился ли Женя, и если вес его изменился, то на сколько %.

4. Стоимость футболки после двух повышений на одно и то же число процентов изменилась с 500 рублей до 720 рублей. На сколько процентов повышалась цена футболки каждый раз?

5. При повышении цены билета на 29% число зрителей уменьшилось на 23%. На сколько процентов уменьшилась выручка театра?

6. Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

7. В 2008 году  в городском квартале  проживало  40000 челевек.  В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9%  по сравнению с 2009.  Сколько  человек  стало проживать в квартале в 2010 году?

8.  Цена холодильника  в магазине ежегодно уменьшается на  одно  и то же  число процентов от предыдущей  цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась  цена холодильника , если, выставленый на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

9. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию  с уставным капиталом 200000 рублей . Митя внес 14% уставного  капитала, Антон – 42000 рублей, Гоша – 0,12 уставного капитала, а оставшуюся  часть капитала внес Борис. Учредители  договорились  делить ежегодную  прибыль  пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях,

10.  В понедельник акции компании  подоражали на некоторое количество  процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали  стоить

на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько  процентов подорожали акции компании в понедельник?

11. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

12. Семья состоит  из мужа, жены и их дочери студентки.  Если бы зарплата мужа  увеличилась  вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы степендия  дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько  процентов  от общего дохода семьи составляет  зарплата жены?

13.Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.Ответ дайте в км/ч. 

14.Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

15.Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

16.Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. 

17. Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

18. Пу­те­ше­ствен­ник пе­ре­плыл море на яхте со сред­ней ско­ро­стью 30 км/ч. Об­рат­но он летел на спор­тив­ном са­мо­ле­те со ско­ро­стью 370 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость пу­те­ше­ствен­ни­ка на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

19 .Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 10 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 78 км/ч, и через 40 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

20. Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние. Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 9 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за ше­стой день, если весь путь он про­шел за 7 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 105 ки­ло­мет­ров.

21. Ра­бо­чие про­кла­ды­ва­ют тон­нель дли­ной 87 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму про­клад­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый день ра­бо­чие про­ло­жи­ли 7 мет­ров тун­не­ля. Опре­де­ли­те, сколь­ко мет­ров тун­не­ля про­ло­жи­ли ра­бо­чие в по­след­ний день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 6 дней.

22. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 48 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 1 час. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Задачи на смеси, растворы и сплавы.

1.Сме­ша­ли 3 литра 25-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 12 лит­ра­ми 15-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна . Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна:

Ответ: 17.

2. Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим расствор, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах - (20 : 200)100 = 10%,Процентное содержание воды - (180 : 200)100 = 90%. Результаты запишите в виде таблицы.

вода	180	90%
соль	20	10%
расствор	200	100%

3. Возьмем одно ведро цемента и три ведра песка высыпим содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание цемента) - это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах - (1 : 4)100 = 25%,
Процентное содержание песка - (3 : 4)100 = 75%. Результаты запишите в виде таблицы.

цемент	1	25%
песок	3	75%
смесь	4	100%

При решении задач на смеси, растворы и сплавы, мы используем их общее свойство, которое заключается в том, что масса смеси, раствора или сплава равна сумме масс их компонентов. Процентное содержание каждого компонента указывает на отношение массы компонента к массе смеси (раствора или сплава).

При смешивании смесей, растворов или сплавов их общие массы, также как и массы компонентов складывают.

В этой статье мы везде будем использовать тот факт, что 1% =0,01.

4. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавли 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?

Рещение.

Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода это раствор, содержащий 0 литров соли.

	1-й раствор		2-й раствор		3-й раствор		смесь
вода						100%
соль		15%		20%		0%
расствор	4 л	100%	5 л	100%	1 л	100%

Концентрация раствора - это отношение объема (массы) соли к объему (массе) раствора, записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно решить три следующие задачи:

а) найти объем соли в каждом из трех растворов;

б) найти объем соли в смеси;

в) найти объем смеси;

г) найти отношение объема соли, содержащейся в смеси и объема самой смеси и выразит это отношение в процента.

1. Объем соли в 1-м растворе. 40, 0,15 = 0,6 (л);

2. Объем соли в 2-м растворе .  50,2 = 1 (л);

3. Объем соли в смеси.  0,6 + 1 + 0 = 1,6(л);

4. Объем смеси.  4 + 5 + 1 = 10(л);

5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)100 =16%.

Ответ: 16%.

5. Сколько килограммов олова нужно добавить к куску бронзы массой 4 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 25% от общей массы?

Рещение.

Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что смешали два сплава, причем второй сплавсодержит 100% олова и не содержит остальных компонентов.

	1-й сплав		2-й сплав		новый сплав
олово		15%		100%		60%
остальные компоненты				0%
сплав	4кг

В данной задаче известно процентное содержание компонента, поэтому мы можем количество этого компонента во втором сплаве считать равнцым х кг и выражить отношение массы олова в новом сплаек к массе сплава через х .

1. Масса олова в первом сплаве  40,15 =0,6 (кг);

2. Масса олова во втором сплаве х (кг);

3. Масса олова в новом сплаве 0,6 + х (кг);

4. Масса второго сплава х (кг);

5. Масса нового сплава 4 + х (кг);

6. Отношение массы олова в новом сплаве к массе нового сплава (0,6 + х):(4 + х), по условию задачи оно должно быть равно 0,6. Имеем уравнение

(0,6 + х):(4 + х) = 0,6. Это уравнение равносильно уравнению

5(0,6 + х) = 3(4 + х);

5х - 3х = 12 - 3;

х = 4,5.

Ответ: 4,5 кг.

6 . Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?

Рещение.

Запишем условие задачи в виде таблицы, считая что к первому сплаву добавили второй сплав содержащий х кг олова и 8 кг меди.

	1-й сплав		2-й сплав		новый сплав
олово		70%	х кг			3
медь			8 кг			1
сплав	10 кг	100%		100%		100%

По условию задачи концентрация меди в новом сплаве должна быть в три раза выше, чем концентрация олова. Этот факт мы используем для составления уравнения. Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова равна 75%.

1. Масса олова в первом сплаве 100,7 = 7 (кг);

2. Масса олова во втором сплаве х кг;

3. Масса олова в новом сплаве х + 7 (кг);

4. Масса ноавого сплава 10 + 8 + х (кг)

5. Концентрация олова в новом сплаве (х + 7):( 18 +х), имеем второе уравнение.

(х + 7):( 18 + х) = 0,75;

4(х + 7) = 3(18 + х);

4х - 3х  =  54 - 28;

 х  =  26.

Ответ: 26 кг.

7. Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.

Рещение.

В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью "твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу самой смеси.

	1-я смесь		2-я смесь
вода	m	25%	m - 30	?
зерно
смесь	200 кг	100%	200-30	100%

1. Масса воды в 1-й смеси 200 0,25 = 50 (кг);

2. Масса 2-й смеси 50 - 30 = 20 (кг);

3. Масса второй смеси 200 - 30 = 170 (кг);

4. Процент влажности второй смеси (20:170)100 =11,8%.

Ответ: 11,8%..

8. Сухие грибы содержат 12% воды, а свежие - 90% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг сежих грибов?

Решение.

	свежие грибы		сухие грибы
вода		90%		12%
"мякоть"
смесь	22> кг	100%	?	100%

При сушке грибов, ягод, фруктов происходит испарение воды, поэтому масса воды уменьшается, а масса "мякоти" сохраняется неизменной.

1. Процентное содержание "мякоти" в свежих грибах 100% - 90% = 10%;

2. Масса "мякоти" 22 0,1 = 2,2 (кг);

3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% - 12% = 88%;

4. Пусть масса  сушенных грибов  х (кг);

5. Отношение массы "мякоти" к массе сушенных грибов 2,2 : х, что по условию задачи равно 0,88.

Имеем уравнение 2,2 : х = 0,88;

х = 2,2:0,88;

х = 2,5;

Ответ: 2,5 кг.

9.  Сначала приготовили 25% раствор поваренной соли. Затем одну треть воды испарили. Найти концентрацию получившегося раствора.

Рещение.

Запишем условие задачи в виде таблицы.

	раствор		новый раствор
соль		25%		?
вода			-1/3
раствор		100%		100%

Процентное содержание воды в растворе 100% - 25% = 75%.

Пусть масса раствора была х кг, тогда масса соли в растворе 025х кг, масса воды 0,75х кг.

Одну треть воды испарили, значит, уменьшилась как масса воды в растворе, так и масса самого раствора, количество соли в растворе не изменилось.

Масса воды в новом растворе 0,75х - 0,25х = 0,5х (кг).

Масса нового раствора х - 0,25х = 0,75х (кг).

Концентрация нового раствора (0,25х : 0,75х)100 = 33,7%.  Ответ: 33,7%.

10. Имеется 1 литр 6% раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта нужно добавить в первй раствор, чтобы получить 5% раствор.

Рещение.

Запишем условие задачи в виде таблицы.

	1-й раствор		2-й раствор		новый раствор
спирт		6%		3%		5%
вода
раствор	1 л	100%	?	100%

Решение.

Объем спирта в 1-м растворе 10,06=0,06 (л).

Пусть объем второго раствора равен х л.

Объем спирта во втором растворе 0,03х (л).

Объем спирта в новом растворе 0,06 + 0,03х (л).

Объем нового раствора 1 + х (л).

Концентрация нового раствора (0,06 + 0,03х) : (1 + х). По условию задачи она должна быть равной 0,05. Имеем уравнение

(0,06 + 0,03х) : (1 + х) = 0,05;

20(0,06 + 0,03х) = 1 + х;

х - 0,6х = 1,2 - 1;

х = 0,5;

Ответ: 0,5 л.

Масса раствора равна сумме масс воды и соли.

Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот сплав.

Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси.

Концентрация соли или процентное содержание соли в растворе - это отношение массы соли к массе раствора, записанное в виде процентов.

Чтобы найти на сколько процентов большее число больше меньшего числа, можно:
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на меньщее число.
3.  Полученное число умножить на сто.

Чтобы найти на сколько процентов меньшее число меньше большего числа, можно:
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на большее число.
3. Полученное число умножить на сто.

Один процент от числа - это сотая часть от этого числа.

Раствор. 

11. В 190 грамм воды добавим 10 грамм уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм. Концентрация кислоты (процентное содержание) — это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах:

Процентное содержание воды:

Смесь. 

12.У нас есть одно ведро песка и три ведра извести. Смешаем содержимое всех ведер, получим смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание песка) — это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах:

Процентное содержание извести:

Сплав.

13.  Имеем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Концентрация (процентное содержание меди) – отношение количества меди к количеству смеси в процентах:

Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:

где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m –  масса чистого вещества

M  — масса сплава или раствора.

14 В сосуд, содержащий 5 литров 15%-ого раствора соли, добавили 7 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?

Решение.

Нарисуем таблицу и заполним ее:
1. Для начала определимся, какую неизвестную мы обозначим за х. В нашей задаче удобно за х принять саму искомую величину, т.е. концентрацию соли в полученном растворе.
Теперь в таблице заполним все ячейки, которые нам известны.

	1-ый раствор	2-ой раствор	Полученный раствор
Соль	15%		х%
Вода		100%
Масса раствора	5 л.	7 л.	12 л.

2. Чтобы применить формулу, нам нужно знать массу соли в полученном растворе, а так как масса соли в первом растворе и в полученном одинакова, то можем найти ее:

3. Теперь несложно найти х, подставив данные в формулу:

Ответ: Концентрация соли в полученном растворе – 6,25%.

15. Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13% меди, чтобы повысить содержание в нем меди до 25% от общей массы?

Решение.

По условию составим таблицу, считая, что смешали два сплава и второй сплав содержит 100% меди и не содержит остальных компонентов.

	1-ый сплав	2-ой сплав	полученный сплав
медь	13%	100%	25%
бронза
сплав	8кг.

1. Масса меди в первом сплаве

2. Обозначим массу меди во втором сплаве х кг;

3. Масса меди в полученном сплаве (1,04 + х) кг;

4. Масса второго сплава х кг, так как он состоит только из меди, которую в пункте 2 мы обозначили за х кг;

5. Масса полученного сплава (8 + х) кг;

6. Отношение массы меди в полученном сплаве к массе полученного сплава

по условию задачи оно должно быть равно 0,25. Имеем уравнение

Решим его

Ответ: 1,28 кг. нужно добавить к 1-ой смеси.

16. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Запишем данные в таблицу:

	Свежие грибы	Сухие грибы
вода	90%	15%
«мякоть»
смесь	34 кг.	х кг.

При сушке грибов (ягод, фруктов) происходит испарение воды, то есть масса воды уменьшается, а масса «мякоти» остается постоянной.

1. Процентное содержание «мякоти» в свежих грибах 100% — 90% = 10%;

2. Масса «мякоти»

3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% — 15% = 85%;

4. Обозначим массу сушеных грибов за х кг;

5. Отношение массы «мякоти» к массе сушеных грибов 3,4 / х, что по условию задачи равно 0,85.

Имеем уравнение

Ответ: Получим 4 кг. сухих грибов.

ЗАДАЧИ на смеси сплавы.

1.   К  200 граммам сиропа, содержащего 25% сахара, добавили 75 граммов воды и некоторое количество сахара. После перемешивания получили сироп, содержащий 28% сахара. Определите, сколько граммов сахара было добавлено.  Ответ: 37,5

2.   В бидон налили 3 литра молока 6% жирности, некоторое количество молока 2% жирности и тщательно перемешали. Определите, сколько литров молока 2% жирности было налито в бидон, если известно, что жирность молока, полученного после перемешивания, составила 3,2%. Ответ: 7

3.   Два слитка массой 7кг и 3кг, состоящих из серебра и примесей других металлов, переплавили в один слиток. Определите процентное содержание серебра в полученном слитке, если известно, что меньший по весу слиток содержал 90% серебра, а больший – 85%.

                                                                                                                            Ответ: 86,5

4.  Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер положили 200г мороженого жирностью 10% и добавили 300г молока 6% - ой жирности. Определите жирность полученного коктейля (в процентах).    Ответ: 7,6

5. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

6. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

7. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

8. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

9.  Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

10.Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

11. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

12. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

13. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

14.Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 13% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

15. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

16. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

17. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 6 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

18. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

19. В растворе 40% соли. Если добавить 120 г соли, то процентное содержание соли станет равным 70. Сколько грамм соли было первоначально в растворе?

 20. Сме­шав 41-про­цент­ный и 63-про­цент­ный рас­тво­ры  кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 49-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 54-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 41-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

21. В сосуд, со­дер­жа­щий 8 лит­ров 24-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 4 литра воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра.

22. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

                                                                                  Задачи на сплавы и смеси

1.  Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

  Решение:  Итак, у нас есть три вещества:

1.     4 литра 15-процентного раствора;

2.     6 литров 25-процентного раствора;

3.     Третий раствор с неизвестной концентрацией.

Составим таблицу:

	Общая масса, кг	Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (15%)	4	0,15 · 4 = 0,6
Раствор 2 (25%)	6	0,25 · 6 = 1,5
Раствор 3	x	y

По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основноговещества y.

Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:

4 + 6 = x ⇒ x = 10;
0,6 + 1,5 = y ⇒ y = 2,1.

Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найтиконцентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:       y : x = 2,1 : 10 = 0,21

Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:   0,21 · 100 = 21. Ответ 21.

2 способ

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.  Концентрация раствора равна . Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:  Ответ: 21.

2.   Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:    Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентногораствора y. Получим таблицу:

	Общая масса, кг	Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (30%)	x	0,3x
Раствор 2 (60%)	y	0,6y
Чистая вода	10	0
Раствор 3 (50%)	10	0,5 · 10 = 5
Смесь «30% + 60% + вода»	x + y + 10	0,3x + 0,6y + 0
Смесь «30% + 60% + 50%»	x + y + 10	0,3x + 0,6y + 5

По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:

0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)

Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:

0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)

Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:

Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно,x = 60 — это и есть ответ.

3. В первом сплаве меди в четыре раза больше, чем цинка, а во втором сплаве – в 4 раза меньше. Из этих двух сплавов требуется получить 20 кг третьего сплава, в котором медь составляет 35%. Сколько килограммов первого сплава требуется для этого взять.

              Решение:

             1 сплав:     Всего 5x  

             2 сплав:     Всего 5у

             Получен третий сплав, в котором всего 20 кг

             Уравнение:

             5х+5у=20

             Медь - 35% - ? кг

            Всего - 100% - 20кг

            Медь =  = 7кг

            4x+y=7

 

          

           x+7– 4x=4         x=1           1спл. = 5х = 5 (кг)        Ответ: 5

4. В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.   Концентрация раствора равна     .

Объем вещества в исходном растворе равен литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:       Отв: 5

5.Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.
Пусть масса первого сплава кг, а масса второго – кг, масса третьего сплава – кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди, третий сплав – 30% меди. Тогда:

    Отв: 9.

6. Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.
Концентрация раствора равна . Пусть объем получившегося раствора литров. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

        Ответ: 17.    

7. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение.
Пусть масса первого сплава кг, а масса второго – кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах и , соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:

Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.     Ответ: 100.

 8. В сосуд, со­дер­жа­щий 8 лит­ров 24-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 4 литра воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?
Ре­ше­ние.Кон­цен­тра­ция ра  во­ра равна.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен  литра. При до­бав­ле­нии 4 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра ста­нет равна:

.  Ответ: 16.

9.   Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты – , а концентрация второго – . Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты: . Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты: . Решим полученную систему уравнений:

Поэтому    Ответ: 18.

 10.  Сме­шав 41-про­цент­ный и 63-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 49-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 54-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 41-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние.Пусть масса 41-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты –  кг, а масса 63-про­цент­но­го – . Если сме­шать 41-про­цент­ный и 63-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить  кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 49-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли  кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 54-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Зна­чит было ис­поль­зо­ва­но 35 ки­ло­грамм 41-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты.  Ответ: 35.

11.В растворе 40% соли. Если добавить 120 г соли, то процентное содержание соли станет равным 70. Сколько грамм соли было первоначально в растворе?

Для составления пропорции обозначим за x первоначальную массу соли в растворе, а за y массу воды в растворе. Так как концентрация соли в исходном растворе 40%, то соответственно вода составляет 
100% - 40%= 60%    Изобразим графически условия задачи.

Составим пропорцию, связывающую эти величины до добавления соли.

 Для решения задачи нам надо определить какая из неизвестных (x или y) остаётся неизменной после добавления соли.

Этой величиной является масса воды в растворе (y).

Выразим её, учитывая изменения в растворе после добавления соли.

• (x + 120) г - масса соли в новом растворе
• 100% - 70% = 30% - процентное содержание воды в новом растворе.

Составим пропорцию аналогично предыдущей, но с учётом изменений произошедших после добавления соли.

Так как масса воды осталось неизменной после добавления соли, приравняем её значения до и после добавления соли и решим уравнение.

 Ответ: 48 г - масса соли в первоначальном растворе.

1. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

2. В первом сплаве меди в четыре раза больше, чем цинка, а во втором сплаве – в 4 раза меньше. Из этих двух сплавов требуется получить 20 кг третьего сплава, в котором медь составляет 35%. Сколько килограммов первого сплава требуется для этого взять.

3. Смешав 32- процентный и 84 – процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получили 34 - процентный  раствор кислоты. Если бы вместо 10кг воды добавить 10 кг 50 проценного раствора  той же кислоты, то получили бы 39 – процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 32 – процентного раствора использовали для получения смеси?

4.Сме­ша­ли 3 литра 25-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 12 лит­ра­ми 15-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра

5.Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавли 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?

 6.Сколько килограммов олова нужно добавить к куску бронзы массой 4 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 25% от общей массы?

7. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?

8.Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.

9.Сухие грибы содержат 12% воды, а свежие - 90% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг сежих грибов?

10. Сначала приготовили 25% раствор поваренной соли. Затем одну треть воды испарили. Найти концентрацию получившегося раствора.

11.  Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток разделен на три куска и из 9 получившихся кусков получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное процентное содержание золота в получившихся слитках независимо от его содержания в исходных слитках.

12. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?

13.  В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало p-34%) в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

14. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди в новом сплаве.

15. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350 г воды

16.Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

17.Имеется 1 литр 6% раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта нужно добавить в первй раствор, чтобы получить 5% раствор.

18.В сосуд, содержащий 5 литров 15%-ого раствора соли, добавили 7 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?

19.Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13% меди, чтобы повысить содержание в нем меди до 25% от общей массы?

20.Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

21.Чернослив содержит 25% влаги. Его получают из сливы, содержащей 90% влаги, путем сушки. Сколько нужно килограмм сливы, для получения 5 кг чернослива?

22.Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится 10% серебра, во втором – 25%. Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к 10кг первого, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра?

823 Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2 : 1, 3 : 1, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго. 
Ответ: 1,92 кг, 0,96 кг, 9,12 кг.

24. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов 3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего. Ответ: 13,75 кг, 5,5 кг, 2,75 кг.

25. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов 4 : 1, 1 : 1, 1 : 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение олова и свинца в нем составило 2 : 3. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 6,4 кг, 3,2 кг, 14,4 кг.

26. Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих металлов 1 : 1, 1 : 5, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение золота и серебра в нем составило 2 : 1. Найти массу каждого исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого.

27. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Ответ: 3 кг , 7 кг.

28. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра?

14. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди? 
Ответ: 9 кг и 6 кг.

29. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42% золота?
Ответ: 15 кг.

30. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока?
Ответ: 300 кг.

31. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны растворы?
Ответ: 3 : 2.

32. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах.
Ответ: 5%.

33. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного раствора. Определить концентрацию полученного раствора.
Ответ: 12,5%.

34. Какое количество воды надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5% раствор уксуса?
Ответ: 1300 гр.

35. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем повысилась на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?
Ответ: на 4%.

36. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%.
Ответ: 60 кг.

37. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет  веса меди. Сколько килограммов серебра в данном сплаве?
Ответ: 0,25 кг.

38. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40% . Сколько нужно взять каждого из этих сортов металлолома, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%.
Ответ: 40 т и 100 т.

38. Кусок сплава меди с оловом весом 2 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?
Ответ: 1,5 кг.

40. Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
Ответ: 441 г.

41. Сплав из меди и цинка весом в 24 кг при погружении в воду потерял в своем весе  Определить количество меди и цинка в этом сплаве, если известно, что медь теряет в воде своего веса, а цинк своего веса.
Ответ: 17 кг и 7 кг.

42. Имеются два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?
Ответ: 1 кг, 7 кг.

43. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая в отношении 3 : 7. По сколько ведер надо взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 : 5?
Ответ: 9 ведер из первой и 3 ведра из второй.

44. Два раствора, из которых первый содержал 800 г безводной серной кислоты, а второй 600 г безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определить вес первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем процент содержания безводной серной кислоты во втором.
Ответ: 4 кг и 6 кг.

45. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором сплаве. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, содержание меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг.
Ответ: 20% и 60%.

46.  36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца содержится в сплаве?
Ответ: 108 г цинка и 184 г свинца.

47. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров смеси. Сколько кислоты было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л меньше кислоты, чем в первом?
Ответ: 20 литров.

48. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

49. Имеется два сосуда. В одном содержится три литра 100%-ной серной кислоты, а в другом два литра воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый – один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная кислота. Сколько серной кислоты в процентах содержится теперь в первом сосуде?
Ответ: 72%.

50. Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное содержание меди в исходных кусках?
Ответ: 40% и 100%.

51. Из колбы в пробирку отлили  раствора соли. Раствор в пробирке выпаривали, пока процентное содержание соли в нем не увеличилось в два раза. Получившийся раствор вернули в колбу, что увеличило процентное содержание соли в находившемся в колбе растворе на 2 %. Какое процентное содержание соли было в растворе первоначально? Ответ: 10%.
52.В  5% раствор кислоты массой 3,8 кг добавили 1,2 кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)? (3,8%)

53. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Разные способы решения задач на процентную концентрацию.

1. Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток разделен на три куска и из 9 получившихся кусков получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное процентное содержание золота в получившихся слитках независимо от его содержания в исходных слитках.

Решение: Процентное содержание золота в новых получившихся слитках 2 кг, 3 кг и 5 кг будет равно процентному содержанию золота в слитке, который получится если просто сплавить исходные слитки массой 2 кг, 3 кг и 5 кг в десятикилограммовый кусок. Тогда золото входит в каждый новый слиток в отношении 2 : 3 : 5 . Значит нужно Каждый исходный слиток разделить на части пропорциональные этим числам. Всего частей 10. Получим 2 : 10 * 2 = 0,4; 2 : 10 * 3 = 0,6; 2 : 10 * 5 = 1 и т.д. Представим этот результат в виде таблицы.

	Масса слитка	1часть	2часть	3часть
1 слиток	2 кг	0,4 кг	0,6 кг	1 кг
2 слиток	3 кг	0,6 кг	0,9 кг	1,5 кг
3 слиток	5 кг	1 кг	1,5 кг	2,5 кг

2. В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало p-34%) в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу:

Кол-во смеси	Кислота в %	Кислота в литрах
y л	х%	0,01xy
(y + 3) л	(x – 34) %	0,01(y + 3)(x – 34)
(y +1) л	(x – 17) %	0,01(y + 1)(x – 17)

Если к раствору кислоты добавить чистую воду, то изменится концентрация кислоты, а количество кислоты не меняется. На этом основании составим систему уравнений:

  Ответ: 68%.

 3. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?

Решение: Заметим, что во втором слитке нет меди, а если его сплавить с первым, в котором есть медь, то процент меди в новом сплаве будет в 2 раза меньше, чем он был в первом слитке, значит масса первого слитка равна массе второго. Пусть их масса будет х.

Если сплавить второй слиток, в котором есть никель, с третьим слитком, в котором никеля нет, то процент никеля в новом сплаве будет в 3 раза меньше, чем он был во втором слитке. Значит второй слиток по массе в 2 раза больше второго. Значит его масса будет 2х. Занесем данные в таблицу:

	Масса слитка	Zn (%)	Zn (масса)
1 слиток	х	нет	нет
2 слиток	х	6%	0,06х
3 слиток	2х	11%	0,22х
4 слиток	4х	y %	0,28х

 Ответ: 7%

4. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Решение: Пусть в первом слитке содержится х кг золота и 2х кг меди. Тогда масса всего слитка 3х кг. Пусть во втором слитке содержится 2у кг золота и 3у кг меди. Тогда масса всего слитка 5у кг. Составим таблицу:

		1 случай			2 случай
	Масса всего сплава	Масса части сплава	Золото (кг)	Медь (кг)	Масса части сплава	Золото (кг)	Медь (кг)
1 сплав	3х кг	х кг			2х кг
2 сплав	5у кг				2,5у кг	у кг	1,5 у кг
3 сплав			2х				(2у + 1) кг

По данным таблицы составим систему уравнений 

Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

5. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?

Решение: Пусть взято х частей первого сплава и у частей второго. В х частях первого сплава содержится частей первого металла и  частей второго. В y частях второго сплава содержится  частей первого металла и  частей второго.

Составим таблицу:

	В частях	1 металл	2 металл
1 сплав	х частей	частей	частей
2 сплав	у частей	частей	частей
3 сплав	44 части	17 частей	27 частей

Из таблицы видно, что можно получить три уравнения. 1) х + у = 44 , 2)  

3) . Решив систему из двух уравнений, получим ответ.

Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

6. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же как в первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60% цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках.

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу

		1 случай		2 случай
	масса	Zn (%)	Zn (кг)	Zn (%)	Zn (кг)
1 сплав	2кг	х %	0,02 х кг	у %	0,02 у кг
2 сплав	3кг	у %	0,03 у кг	х %	0,03 х кг
3 сплав	5кг	45%	2,25 кг	60%	3 кг
4 сплав	10кг	50%	5 кг	55%	5,5 кг

По таблице составим систему уравнений 
 прибавим к первому уравнению второе, получим
Ответ: 40% и 65%.

7. Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.

Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.

При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.

Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

8. Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди. Известно, что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску № 1?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу

		1случай		2 случай		3 случай
	масса	Cu (%)	Cu (кг)	масса	Cu (кг)	масса	Cu (кг)
1 сплав	1 кг	n%	0,01n кг	х кг	0,01n  кг	у кг	0,01n у кг
2 сплав	1 кг	m%	0,01m кг	у кг	0,01m у кг	х кг	0,01m х кг
3 сплав	2 кг	65%	1,3 кг	7 кг	60% или 4,2 кг

По данным таблицы составим систему уравнений , найти надо значение выражения 0,01n у + 0,01m х. Представим его в виде 0,01(n у + m х). Решим систему уравнений.

. Умножим первое уравнение на третье и вычтем второе. 

Ответ: 4,9 кг.

9. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Аналитическая модель:

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение:

0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08.

Решив уравнение, получим х = 12.

Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди

10. Смешали  30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение 1: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго

(600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15

x = 150           

Решение 2: Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x)

Ответ: 150 г 30% и 450 г 10% раствора

11.Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля?

С использованием графика: 
(приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

10*х = 25*(140 – х)

х = 100

140 – 100 = 40

Ответ: 100 т и 40 т

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ

12.У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?

Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4.

13. Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен

14.Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:

Получаем: (864 – х): (х – 600) = 75: 150

1728 – 2х = х – 600

х = 776.

Ответ: сплав 776-й пробы.

 «Правило креста»

При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:

15. Например , для приготовления 30 г 80%-го раствора H3PO4  требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

16. От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?

Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления

0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х

х = 1,2

Ответ: 1,2 кг

17. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его

содержание меди составляет  процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:

18. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

Обозначим искомую величину за х.

По правилу квадрата получим: Составим пропорцию:

19. Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

 

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

 

Записываем одну из систем:

 

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.

20. Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

х = 140 и у = 60

С использованием графика: 
(приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

10*х = 25*(140 – х)

х = 100

140 – 100 = 40

Ответ: 100 т и 40 т

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ.

1. Костюм состоит из пиджака, брюк и жилета. Пиджак дороже брюк на 26% и дороже жилета на 60%. На сколько процентов жилет дешевле брюк? 

Брюки Х, жилет У, тогда пиджак
1,26x = 1,6y  =>  y/x=1,26/1,6=0,7875 (такую  часть  составляет стоимость жилета от стоимости брюк)
=> 1-0,7875=0,2125=21,25% (на столько  процентов  жилет дешевле брюк)

В решении задачи  надо за 100% принимать то, с чем сравнивают.

1)Пиджак дороже брюк, значит брюки - 100%. пиджак 126%. Пусть брюки - 100руб. пиджак 126 р.
2)Пиджак дешевле жилета на 60%, значит жилет 100%, а пиджак 160%.
Найдем цену жилета:

  = 0, 7875  =>  78, 55%
3)Вопрос задачи: на ск. процентов жилет дешевле брюк 
значит брюки 100%, тогда пиджак 78,75%, а разность 100-78,75=21,25%
Ответ 21,25

 МОЖНО РЕШИТЬ :

Если x,y,z - стоимости пиджака, брюк и жилета соответственно, то x=1,26y, x=1,6z, тогда 1,26y=1,6z, z=0,7875y, т.е. стоимость жилета составляет 78,75% стоимости брюк. 100%-78,75%=21,25%
Ответ: 21,25%

Одна из самых распространенных ошибок при решении задач  на ЕГЭ!

 1. Костюм состоит из пиджака, брюк и жилета. Пиджак дороже брюк на 26% и дороже жилета на 60%. На сколько процентов жилет дешевле брюк? 

Одна из (противоречащих здравому смыслу части носителей) особенностей русского языка: предложение типа "мера подлежащего на x процентов отличается в ту или иную сторону от меры дополнения из группы сказуемого" подрузамевает исчисление процентов от меры дополнения. 
Поэтому если мы говорим: "стоимость пиджака примем за x, а стоимость брюк за y", то это не означает, что y=(1-0,26)x, но означает, что x=(1+0,26)y и жилет, соответственно, стоит не (1-0,6)x, а x/(1+0,6). При этом стоимость жилета составляет 1,26/1,6 =0,7875 стоимости брюк.

Или

Пусть х% стоит пиджак, тогда брюки стоят (х-26)%, а жилет (х-60)%. Находим разность между ценой жилета и брюк: (х-26)-(х-60) = 34%.
Ответ: на 34% жилет дешевле брюк.
После анализа решения озвучивается версия ошибки: цена пиджака дана относительно двух величин, связь между которыми надо найти, а затем найти отношение разности цен относительно брюк.

 2. В школе девочек на 25% больше, чем мальчиков. На сколько % мальчиков меньше, чем девочек.
Решение (с ошибкой):
1) Пусть х% составляют мальчики, тогда девочек (х+25)%, всего (х+х+25)%, что составляет 100%. Получаем уравнение х+х+25=100; х=37,5% 
2) 62,5%-37,5%=25%   Ответ: на 25%.
После анализа решения озвучивается версия ошибки: количество мальчиков надо принимать за х, а не количество % и надо рассматривать отношение разности к количеству девочек, а не к количеству учеников.
Верное решение:
Пусть х мальчиков в школе, тогда девочек 1,25 х, и на (1,25-х) человек меньше, чем девочек мальчиков, что составляет 0,25x*100%/1,25x = 20%. 
Ответ: на 20%.

3. Летом Женя похудел на 10%, а к Новому Году поправился на 10%. Поправился ли Женя, и если вес его изменился, то на сколько %.
Решение (с ошибкой):
Пусть 100% составил вес Жени, тогда после лета вес Жени составлял 90%,а к Новому году вес Жени опять составил 90%+10% = 100%. Ответ: Женя не поправился.
После анализа решения озвучивается версия ошибки: вес Жени после Нового года увеличился на 10% от 90%, т.е. увеличился на 9%
Верное решение: 
Пусть х кг – вес Жени, тогда после лета вес Жени стал 0,9х, а после Нового года его вес стал (0,9х+0,1*0,9х) кг, т.е. 0,99х, что составляет 0,99x*100%/x= 99%. Вес Жени уменьшился на 1%.
Ответ: Женя похудел на 1%.

4. Стоимость футболки после двух повышений на одно и то же число процентов изменилась с 500 рублей до 720 рублей. На сколько процентов повышалась цена футболки каждый раз?
Решение (с ошибкой):
1) Найдем разность рублей в стоимости футболки 750-500 = 220 рублей.
2) Выразим эту разность в процентах 220*100%/500 = 44%.
3) Т.к. повышение шло 2 раза на одно и то же число процентов, то 44:2 = 22%.
Ответ: на 22% повышалась цена футболки каждый раз.
После анализа решения озвучивается версия ошибки: второе повышение цены футболки рассчитывается не от первоначальной цены, а от новой. 
Верное решение: 
Пусть на х % повышалась цена футболки каждый раз, тогда после первого повышения цена стала 50*(1+x/100) рублей, а после второго повышения цена стала 500*(1+x/100)* (1+x/100)рублей, что составляет 720 рублей. Составим уравнение:

Ответ: на 20% повышалась цена футболки каждый раз.

5. При повышении цены билета на 29% число зрителей уменьшилось на 23%. На сколько процентов уменьшилась выручка театра?
Решение (с ошибкой):
Пусть цена билета была х рублей, тогда после повышения она стала 0,29х. Пусть у человек было зрителей, а стало 0,23у человек. Тогда ху – была выручка, а стала 0,29х*0,23у = 0,0667ху. Выручка уменьшилась на ху – 0,0667ху = 0,9333ху, что составляет 93,33%. 
Ответ: на 93,3% уменьшилась выручка театра.
После анализа решения озвучивается версия ошибки: при повышении величины х на 29 %, она становится 1,29х.
Верное решение: 
Пусть х рублей – цена билета, а у человек – количество зрителей, тогда ху рублей – выручка театра. После изменения 1,29х – цена билета, а 0,77у – количество зрителей, и выручка станет 0,77у*1,29х = 0,9933ху. Выручка уменьшилась на ху-0,9933ху = 0,0067ху, т.е. 0,67%.
Ответ: на 0,67% уменьшилась выручка театра.

6. Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение:

Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов).
60 % = 0,6
500 • 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Нахождение числа по его проценту.

ü Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть

разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами задача «число по его проценту» тогда   надо число  разделить на проценты и умножить на 100.

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

   Итак, нам неизвестно, сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик (138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Так как 138 стр. - это всего лишь часть, само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

(138 : 23%) 100 = 600 (стр)

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) - общее количество страниц в книге.

Сколько процентов одно число составляет от другого

ü  Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100 %.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее количество арбузов и умножаем

на 100 %.   ( 16 : 200)  100 = 0,08  100 = 8 %.Ответ: 8 % - составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

Задачи по вкладам

Люди кладут деньги в банк (открывают вклад),   с целью получения прибыли. Банк предлагает следующее: вы кладёте в банк определённую сумму на определённый срок. Например, на год. В течение года вы не сможете воспользоваться своими деньгами (ими будет пользоваться банк), но за это банк вам заплатит, вернув через год не только вложенную вами сумму, но и небольшое вознаграждение.  Какова будет сумма вознаграждения? Для её нахождения банк устанавливает процент годовых. Если вы умножите сумму вашего вклада на процент годовых, вы найдёте, какое вознаграждение добавит банк к вашему вкладу.

1.Вкладчик внес в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через год, если банк начисляет доход в размере 4 % годовых?

Решение:

Найдем какое вознаграждение банк доложит вкладчику. Для этого умножим 1200 р. на процент годовых 4%.
4% = 0,04
1200 • 0, 04 = 48 р. - такое вознаграждение доложит банк вкладчику через год.

Теперь найдем общую сумму, которую заберет вкладчик через год.
1200 + 48 = 1248 р. - в такую сумму превратится вклад через год.

Ответ: 1248 р. - в такую сумму превратится вклад через год.

Задачи на скидку (уценку)

Скидка - это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах. Поэтому, чтобы найти на сколько в рублях понизилась цена товара, нужно цену товара умножить на процент скидки.

Цена изделия составляет 5000 р. На изделие предложена скидка 10%. Найти цену товара с учетом скидки.

Решение:

Найдем скидку в рублях.
10% = 0,1
5000 • 0,1 = 500 р. - скидка в рублях.

Теперь найдем цену товара с учетом скидки.
5000 - 500 = 4500 р. - цена товара с учетом скидки.

Ответ: 4500 р. - цена товара с учетом скидки.

Формулы на увеличение  и уменьшение числа на процент.

1. Если величину  увеличить на  процентов, получим:

Раскроем скобку: х + х(р/100), действительно, х увеличивается на р процентов, так как х(р/100) это часть от х соответствующая проценту р.

2. Если величину х уменьшить на р процентов, получим: 

Раскроем скобку: х – х(р/100), действительно, х уменьшается на р процентов, так как х(р/100)  это  часть от х соответствующая проценту р.

3. Если величину х увеличить на р  процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим соответственно:

4. Если величину х уменьшить на р  процентов, а затем увеличить на q процентов, получим соответственно:

5 Если величину х  дважды увеличить на р процентов, получим:

6. Если величину х  дважды уменьшить на р процентов, получим:

Задача

В 2010 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2011 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 15%, а в 2012 году — на 10% по сравнению с 2011 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2012 году?

По условию, в 2011 году число жителей выросло на 15%, то есть их стало

Можно, конечно же, найти 15% от 50000 путём составления пропорции, и затем прибавить полученное число к 50000.  Результат будет тот же.

А в 2012 году число жителей выросло на 10%, теперь уже по сравнению с 2011 годом. Получаем, что в 2012 году в квартале стало проживать

Или сразу можно было рассудить так: так как сначала число жителей увеличилось на 15%, а потом ещё на 10% от полученного, то можно было решать:

  Ответ: 63250

Задача 

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Антон — 60000 рублей, Гоша — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.Выразим все доли соучредителей в процентах.

Митя внёс 18%.

Антон внёс 60000 рублей. Составим пропорцию и найдём какой он внёс процент:

200000 руб   –   100%

60000  руб    –     x%

Гоша внёс 0,18  – это 18%.

Борис внёс остальное:  100–18–30–18 = 34%

Какой бы прибыль не была, но если она делится пропорционально внесённому вкладу, это означает, что каждый получает свой изначально внесённый процент  от  прибыли (или часть, сути это не меняет).

У нас в задаче 1100000 рублей прибыли.

Борис должен получить от неё 34% (или 0,34).

Значит, Борису причитается 0,34∙1100000 = 374000 рублей.

Ответ: 374000

Задача 

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20700 рублей, через два года был продан за 16767 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале. Холодильник стоил 20700 рублей. Его цена два раза уменьшилась на р%, и стала 16767. Значит,

Решаем квадратное уравнение:

Понятно, что реальный смысл имеет только ответ 10% (холодильник не может уменьшаться в цене на 190%).

Таким образом, цена холодильнтка уменьшалась на 10% каждый год.Ответ: 10

Задача 

Пять рубашек дешевле куртки на 15%. На сколько процентов восемь рубашек  дороже  куртки?

Так как нам неизвестна ни стоимость рубашки, ни стоимость куртки, то примем стоимость рубашки за х, стоимость куртки за у. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки.

Значит стоимость пяти рубашек составляет 85% от цены куртки, то есть 5х = 0,85у. Для того, чтобы определить стоимость восьми рубашек необходимо найти стоимость одной, она будет в 5 раз меньше:

Таким образом, стоимость восьми рубашек равна:

Получили, что восемь рубашек на 36%  дороже куртки..   Ответ: 36

 Задача

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд, кажется, что цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но это впечатление ложное.

Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х рублей. К вечеру понедельника они подорожали на р% и стали стоить х(1 + р/100).

Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на р% по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

По условию, акции в итоге подешевели на  9%, значит стали стоить

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на х (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения (разность квадратов):

По смыслу задачи р > 0.    Получаем, что р = 30.

Акции кампании в понедельник подорожали на 30%.

То есть, изначально стремиться к нахождению самой стоимости акций не нужно.

Ответ: 30

Задача 

Пять рубашек дешевле куртки на 15%. На сколько процентов восемь рубашек  дороже  куртки?

Так как нам неизвестна ни стоимость рубашки, ни стоимость куртки, то примем стоимость рубашки за х, стоимость куртки за у. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки.

Значит стоимость пяти рубашек составляет 85% от цены куртки, то есть 5х = 0,85у. Для того, чтобы определить стоимость восьми рубашек необходимо найти стоимость одной, она будет в 5 раз меньше:

Таким образом, стоимость восьми рубашек равна:

Получили, что восемь рубашек на 36%  дороже куртки.

Как видите, в данной задаче  стремится к нахождению стоимости рубашки и куртки не нужно.   Ответ: 36

Задача

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 120%. Если бы стипендия дочери уменьшилась в 4 раза, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Так как нет никаких данных о конкретной зарплате каждого (в рублях) принимаем х – зарабатывает муж, у – жена, z – дочь.

Составим таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «А» и «В».

Когда в условии задачи речь идёт о каких-то двух (и более) вариантах, то это обычно означает, что мы можем составить уравнения (это касается и задач на растворы в том числе).  В данном случае можем составить два уравнения.

Сказано: если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 120%, первое уравнение

Сказано: если бы стипендия дочери уменьшилась в 4 раза, общий доход семьи сократился бы на 6%, второе уравнение

Система:

Мы видим два уравнения и три неизвестных!

.

Возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму x + y + z.

Получим:  2х = 1,2 (x + y + z),  то есть х = 0,6 (x + y + z)

А это значит, что зарплата мужа составляет 60% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы  также вычтем из обеих частей выражение

Получаем:

Значит, стипендия дочки составляет 8% от общего дохода семьи.

Таким образом,  зарплата жены составляет 100 – 60 – 8 = 32 процента от  общего дохода семьи.Ответ: 32

Задача

Это задачи на нахождение средней скорости.

Если участков пути было два, тогда 

Если три, то соответственно:

и так далее.

Как вы поняли, смысл таков: в знаменателе складываются отрезки времени, в числители суммируем расстояния пройденные за соответствующие им отрезки времени.

Задача

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 61 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения.

В задаче сказано о двух участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Пусть на весь путь автомобиль затратил t часов.

Тогда за первую половину времени со скоростью 61 км/ч автомобиль прошёл 0,5t∙61 километров, а за вторую половину времени 0,5t∙87 километров, тогда:  

Ответ: 74

Задача

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 323 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. 

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. 

Когда расстояние не указано его принимают за 1 (в данном случае — одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно 1/17, а время, затраченное на полет, равно 1/323. 

Общее время равно:

Тогда средняя скорость равна:

Ответ: 32,3 

Задача

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Обозначим весь пусть S.

Тогда первую треть пути автомобиль ехал:

Вторую треть пути автомобиль ехал: 

Последнюю треть пути автомобиль ехал: 

Таким образом

Ответ: 60

Задача

Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два  часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Исходя из условия мы можем определить протяжённость каждого участка:

Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.

Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.

Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.

Находим скорость:

Ответ: 88

Задача

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. 

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Протяжённость участков дана. Определим время, которое затратил автомобиль на каждый участок: на первый участок автомобиль затратил 120/60 часов, на второй участок 120/80 часов, на третий 150/100 часов.

Находим среднюю скорость:

 Ответ: 78

  Какой уровень знания математики у вас сейчас? Как вы его оцениваете? Обозначим некоторую  точку отсчёта, относительно которой вы можете оценить свои знания и навыки.  Перечислю моменты, которые не должны вызывать у вас затруднений:

1.       Сложить в уме два трёхзначных числа, например  185 и 238.

2.       Сложить, найти разность, умножить и разделить столбиком любые целые числа.

3.       Произвести действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление), сократить дробь.

4.       Найти результат умножения (деления)  положительных и отрицательных чисел (не потерять знак).

5.       Выразить из равенства любую неизвестную величину.

6.       Найти результат уножения  многочленов.

7.       Записать свойства корней и степеней по памяти.

8.       Решить квадратное уравнение, неравенство.

9.       Перечислить и построить графики основных функций.

10.    Воспроизвести  основные теоремы (Пифагора, косинусов, синусов, сумма углов треугольника и пр).

11.    Назвать признаки равенства треугольников, подобия треугольников.

12.    Озвучить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.

13.    Воспроизвести формулы площадей (треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, круг, сектор круга).

14.    Записать все формулы, связанные с координатной плоскостью (длина отрезка, координаты середины отрезка, координаты вектора, длина вектора, скалярное произведение).

15.    Записать основные формулы тригонометрии.

16.    Записать формулы сокращённого умножения.

  Если вы смогли это сделать, то теоретическая база у вас отличная, если нет — учебники всегда готовы вам помочь, дело наживное. Какие бы изменения не произошли с  в будущем: добавят или исключат  какие-либо части  или задачи — если у вас будет хорошая математическая база, то вы решите любую задачу.

Краткое описание документа:

В данном материале представлены карточки с задачами разных видов: на движение по прямой, на движение по воде, на движение по окружности, на совместную работу, на прогрессии, на проценты, на смеси, растворы и сплавы. Имеется справочный материал с подробным решением задач, а также наборы карточек для самостоятельной работы.