Экзаменационные билеты по геометрии 7, 8, 10 класс к УМК Л.С. Атанасян

Экзаменационные билеты по геометрии

для промежуточной аттестации в 10 классе.

Билет №1.

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии и их следствия. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Дайте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте свойства параллельных плоскостей. Сделайте пояснения и чертежи.
3. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Поясните.
4. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани
   10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Билет №2.

1. Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Тетраэдр и его элементы. Правильный тетраэдр и его свойства. Сделайте чертежи и пояснения.
3. Сколько двугранных углов имеет прямоугольный параллелепипед? Сделайте чертеж и укажите несколько.
4. В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30º. Сторона основания равна 12 см.  Найдите площадь поверхности пирамиды.

Билет №3.

1.       Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Сделайте чертежи и пояснения.

2.       Сформулируйте теоремы о трех перпендикулярах: прямую и обратную. Сделайте пояснения и чертежи. Приведите примеры.

3.       Одна из двух прямых перпендикулярна к плоскости, а другая – не перпендикулярна к ней. Могут ли эти прямые быть параллельными? Поясните.

4.       Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы

Билет №4.

1.       Опишите взаимное расположение прямых в пространстве. Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве? Сделайте пояснения и чертежи.

2.       Прямоугольный параллелепипед и его свойства.

3.       Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и с быть параллельными? Ответ обоснуйте.

4.       В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60º. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №5.

1.       Перпендикулярность прямой и плоскости. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.

2.       Понятие многогранника. Призма и ее элементы. Наклонная и правильная призмы.

3.       Могут ли две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, быть по отношению друг к другу перпендикулярными? Поясните.

4.       Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №6.

1.       Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей. Сделайте чертежи и пояснения.

2.       Расстояние от точки до плоскости. Сделайте пояснения и чертежи.

3.       Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если .

4.       Через вершину прямого угла К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ = 15 см,
FK = DK = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.

Билет №7.

1.       Сформулируйте лемму о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Сделайте пояснения и чертежи.

2.       Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.

3.       Верно ли утверждение: если одна прямая параллельна плоскости, а другая прямая перпендикулярна этой плоскости, то прямые перпендикулярны друг другу?

4.       В правильной треугольной пирамиде  боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60º. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №8.

1.       Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

2.       Опишите правила сложения и вычитания векторов, суммы нескольких векторов. Поясните на примерах с использованием чертежа прямоугольного параллелепипеда.

3.       Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD – точки M и N.
а) Докажите, что .
б) Найдите ВС, если AD=10см, NM=8см.

4.       Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки К, М и Т – середины ребер СС₁, В₁С₁ и С₁D₁ соответственно. Найдите АС₁, если  периметр сечения куба плоскостью КМТ равен см.

Билет №9.

1.        Угол между прямой и плоскостью.

2.       Правильная пирамида. Перечислите свойства правильной пирамиды.

3.       Прямая  CD проходит через вершину треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. E и F – середины отрезков АВ и ВС.
а) Докажите, что CD и EF – скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если .

4.       В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна высоте и равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Билет №10.

1.       Параллелепипед и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения.

2.       Векторы в пространстве. Равенство векторов. Классификация векторов. Приведите примеры, используя чертеж прямоугольного параллелепипеда.

3.       Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AB║CD).
а) Докажите, что треугольники MAD и MBC имеют параллельные средние линии.
б) Найдите длины этих средних линий, если AD:BC=5:3, а средняя линия трапеции равна 16см.

4.       Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ АС₁ равна .Найдите периметр сечения куба плоскостью РТН, где точки Р, Т и Н – середины ребер ВС, ВВ₁ и АВ соответственно.

Билет №11.

1.       Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

2.       Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число. Поясните правила на чертеже прямоугольного параллелепипеда.

3.       Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости? Поясните.

4.       Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь полной и боковой поверхности призмы.

Билет №12.

1.       Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2.       Понятие многогранника. Пирамида и ее элементы. Усеченная и правильная пирамиды.

3.       Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежащая в плоскости квадрата.
а) Докажите, что КА и CD – скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между КА и CD, если , .

4.       Через вершину  угла Е  прямоугольного треугольника НРЕ с гипотенузой НЕ проведена прямая МЕ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки М до плоскости ЕРН, если ЕР = 5 см, а расстояние от точки М до прямой РН равно 10.

Билет №13.

1.       Угол между прямой и плоскостью. Приведите примеры величины угла между прямой  и плоскостью. Сделайте чертежи и пояснения.

2.       Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Сделайте пояснения на примере прямоугольного параллелепипеда.

3.       Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причем KP║MN, EF║AC.
а) Докажите, что AC║KP.
б) Найдите KP и MN , если KP:MN=3:5, а AC=16см.

4.       Через вершину прямого угла С  равнобедренного треугольника DСЕ проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки К до прямой DЕ, если СК = 35 см, CD =  см.

Билет №14.

1.        Признак перпендикулярности двух плоскостей.

2.       Понятие призмы, ее элементы, правильная призма. Перечислите свойства правильной четырехугольной призмы.

3.       Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Каково расположение другой его диагонали по отношению к этой плоскости? Поясните.

4.       Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Билет №15.

1.       Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

2.       Понятие призмы, ее элементы, правильная призма. Перечислите свойства правильной четырехугольной призмы.

3.       Верно ли утверждение: если одна прямая параллельна плоскости, а другая прямая перпендикулярна этой плоскости, то прямые перпендикулярны друг другу? Поясните на чертеже.

4.       Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро пирамиды равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №16.

1.       Сформулируйте аксиомы стереометрии и их следствия. Сделайте чертежи и пояснения.

2.       Правильная пирамида. Перечислите свойства правильной треугольной пирамиды.

3.       Можно ли через одну и ту же точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых будут друг другу перпендикулярны? Поясните.

4.       В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45º. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Экзаменационные билеты по геометрии

для промежуточной аттестации в 7 классе.

Билет №1.

1.     Точка, прямая, отрезок.

2.     Теорема о первом признаке равенства треугольников с доказательством

3.     Задача.

Билет №2.

1.     Луч, дополнительные лучи, плоскость и полуплоскость.

2.     Теорема о втором признаке равенства треугольников с доказательством

3.     Задача.

Билет №3.

1.     Угол, виды углов, биссектриса угла.

2.     Теорема о третьем признаке равенства треугольников с доказательством

3.     Задача.

Билет №4.

1.     Треугольник. Виды треугольников.

2.     Теорема о высоте равнобедренного треугольника, проведенной к основанию с доказательством

3.     Задача.

Билет №5.

1.     Треугольник. Элементы треугольника.

2.     Теорема об угле в 30⁰ в прямоугольном треугольнике с доказательством

3.     Задача.

Билет №6.

1.     Измерение отрезков и углов.

2.     Теорема о двух прямых перпендикулярных к третьей прямой с доказательством

3.     Задача.

Билет №7.

1.     Смежные и вертикальные углы.

2.     Свойство углов равнобедренного треугольника с доказательством

3.     Задача.

Билет №8.

1.     Теорема. Обратная теорема. Следствие. Доказательство методом от противного.

2.     Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету с доказательством

3.     Задача.

Билет №9.

1.     Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.

2.     Признак равнобедренного треугольника с доказательством

3.     Задача.

Билет №10.

1.     Равнобедренный треугольник.

2.     Теорема об  отрезках касательных к окружности с доказательством

3.     Задача.

Билет №11.

1.     Равносторонний треугольник и его свойства.

2.     Обратная теорема об угле в 30⁰ в прямоугольном треугольнике с доказательством

3.     Задача.

Билет №12.

1.     Прямоугольный треугольник.

2.     Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку с доказательством

3.     Задача.

Билет № 13.

1.     Признаки равенства прямоугольных треугольников.

2.     Свойство вертикальных углов с доказательством

3.     Задача.

Билет №14.

1.     Перпендикуляр. Наклонная. Расстояние от точки до прямой.

2.     Свойство биссектрисы угла с доказательством

3.     Задача.

Билет №15.

1.     Четырехугольник. Прямоугольник. Квадрат.

2.     Теорема о сумме углов треугольника с доказательством

3.     Задача.

Билет №16.

1.     Серединный перпендикуляр к отрезку (определение, теорема, обратная теорема, следствие).

2.     Теорема о внешнем угле треугольника с доказательством

3.     Задача.

Билет №17.

1.     Равные треугольники. Неравенство треугольника.  Соотношения между сторонами и углами треугольника.

2.     Теорема о свойстве касательной к окружности с доказательством

3.     Задача.

Билет №18.

1.     Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности.

2.     Теорема о сумме углов прямоугольного треугольника с доказательством

3.     Задача.

Билет №19.

1.     Окружность. Хорды, дуги, углы.

2.     Свойство диагоналей прямоугольника с доказательством

3.     Задача. 

Задачи для проведения экзамена по геометрии .

1.     Построить угол, равный данному.

2.     Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 50° . Найдите величину внешнего угла при основании.

3.     Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42°

4.     Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого

5.     Отрезки АВ и СД –диаметры окружности. Докажите, что хорды АС и ВД равны.

6.     Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

7.     Дан треугольник АВС. Построить биссектрису данного треугольника

8.     Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 114⁰

9.     В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

10. Отрезки АВ и СД пересекаются в их общей середине. Докажите, что АС и ВД параллельны.

11. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АД. Найдите угол АДС, если  угол С равен 50⁰

12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу

13. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.

14. Отрезки АВ и СД –диаметры окружности. Докажите, что угол  ВАД равен углу ВСД.

15. На сторонах угла САД отмечены точки В и Е, так, что точка В лежит на стороне АС, а точка Е на стороне  АД , причем АС=АД, АВ=АЕ. Докажите, что угол СВД равен углу ДЕС.

16. На биссектрисе угла А взята точка Д, а на сторонах этого угла- точки В и С такие, что угол АДВ равен углу АДС. Докажите, что ВД=СД. .

17. Равнобедренные треугольники АДС и ВСД  имеют общее основание ДС. Прямая АВ пересекает отрезок СД в точке О. Докажите, что ДО=ОС.

18. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВД. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F, так, что АЕ=СF. Докажите , что треугольник ВДЕ  равен треугольнику ВДF.

19. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115⁰.Найдите углы треугольника.

Экзаменационные билеты по геометрии

для промежуточной аттестации в 8 классе.

Билет №1.

  1.Параллелограмм (определение). Свойство сторон и углов параллелограмма.

2. Биссектриса угла. Свойство биссектрисы угла .Следствие.

3. Задача

Билет №2

1. Ромб (определение).Свойства ромба. Квадрат  (определение).Свойства квадрата.

2.Средняя линия треугольника (определение).Свойство средней линии с доказательством

3. Задача

Билет №3

1.     Подобные треугольники.

2.     Трапеция (определение).Площадь трапеции с доказательством

3.     3. Задача

Билет № 4.

       1.Прямоугольник (определение). Свойство диагоналей прямоугольника.

2.Синус ,косинус , тангенс острого угла прямоугольного треугольника (определение). Основное тригонометрическое тождество. Значение синуса ,косинуса ,тангенса для углов 30⁰, 45⁰ ,60⁰.

3. Задача

Билет № 5.

       1.Площадь треугольника. Следствия из теоремы.

2. Касательная к окружности(определение).Свойство касательной к окружности.

3. Задача

Билет № 6.

      1.Дуга окружности (определение).Определение центрального угла. Свойство центрального угла. Полуокружность. Сумма градусных мер дуг окружностей.  

     2.Вписанный угол (определение).Теорема о вписанном угле. Следствия из теоремы.

3. Задача

Билет № 7.

     1. Хорда (определение). Теорема об отрезках двух пересекающихся хорд.

  2. Теорема Пифагора с доказательством.

3. Задача

Билет №8.

1.     Серединный перпендикуляр .Теорема о серединном перпендикуляре. Следствие.

2. Вписанная окружность. Теорема о вписанной окружности. Замечания. Свойство сторон четырехугольника .

3. Задача

Билет № 9.

       1.Описанная окружность. Теорема о описанной окружности. Замечания. Свойство углов     

четырехугольника .

       2.Средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции.

3. Задача

Задачи для проведения экзамена по геометрии .

1. Сумма трех углов параллелограмма  равна 254⁰ .Найдите углы параллелограмма.

2. Найдите углы параллелограмма ,если его диагональ образует со сторонами углы 40⁰ и 35⁰ .

3.                                                      Дано: ВС || АД , угол ВАС=ДСА

                                                         Доказать : АВСД -параллелограмма.

4.   

      В                                С             Дано : АВСД- прямоугольник ,

                                                       угол АВД=48⁰

                                                               Найдите : угол СОД , угол САД.

       А                               Д

5.Угол ромба равен 32⁰ . Найдите углы ,образующие его стороной с диагоналями.

6.Стороны параллелограмма равны 8см и  14см ,а один из углов равен 30⁰. Найдите  площадь параллелограмма.

7.Найдите площадь треугольника ,если высота ,проведенная к одной из его сторон , равна 11см ,а средняя линия ,параллельная этой стороне , равна 10см.

                                                                   В

                                                        

                                           М                 К

 

               А                                                   С

                                                                Д

8.Найдите площадь  равнобедренного прямоугольного треугольника ,если гипотенуза равна 2см.

9.Найдите площадь  трапеции, если ее основания 5см ,17см ,а боковые стороны соответственно равны 20см и 16см .

10.Докажите ,что треугольник со сторонами 9см ,40см ,41см является прямоугольным.

11. В прямоугольном треугольнике с острым  углом 45⁰,  гипотенуза  равна 3√2 см. Найдите площадь этого треугольника.

12. Медиана ,проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 13. найдите площадь треугольника , если один из его катетов равен 24.

13. У подобных треугольников сходственные стороны равны 7см и 35 см.Площадь первого треугольника равна 27см² .Найдите площадь второго треугольника.

14. Используя данные ,приведенные на рисунке ,найдите расстояние АВ от лодки А до берега  b.

                                                          А

                        1м           10м            В         b

 

15.Средняя линия МК треугольника АВС отсекает от него треугольник МВК ,площадь которого равна 10 см². Найдите  площадь треугольника АВС.

16. Найдите сторону равностороннего треугольника ,если его высота равна 3.

17.В треугольнике АВС  угол С равен 90⁰ ,синус угла А равен  12/13.Чему равен  катет АС, если гипотенуза  равна 13см?

18.Прямая КМ касается окружности радиуса 5см (точка М- точка касания). Найдите  КМ ,если  КА=13см.

19.К окружности проведены две касательные СА и СВ из точки С. Найдите площадь четырехугольника

АСВО, если  точка О-центр окружности ,ОС=25 ,а радиус равен 7.

20. Найдите угол α ,вписанный в окружность.

 

21.Точки Аи В делят окружность на две дуги ,длины которых относятся как 9:11.Найдите величину центрального угла, опирающегося  на меньшую из дуг.