Элективный курс "Решение неравенств методом интервалов"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА

Элективный курс

«Решение неравенств методом интервалов»

разработан учителем математики

Нефедовой Е.В.

2016 г.

Оглавление

Тематический план курса

п/п

Тема

Количество часов

1.

Метод интервалов для решения рациональных неравенств.

1

2.

Решение рациональных неравенств (основные типы).

1

3.

Обобщенный метод интервалов.

1

4.

Решение неравенств с помощью обобщенного метода интервалов.

1

5.

Решение систем неравенств.

1

6.

Расположение корней квадратного уравнения.

1

7.

Решение неравенств, содержащих модули.

1

8.

Зачет.

1

Пояснительная записка

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов направлен на изучение метода решения неравенств — метода интервалов; сообщённого метода интервалов; утверждения относительно расположения корней приведённого квадратного уравнения.

К сожалению, в основной школе на изучение метода интервалов отводится мало времени, и рассматриваются простейшие задания. На вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются сложные задания, решаемые с помощью метода интервалов.

Цель курса: расширить знания учащихся о обобщённом методе интервалов; умения решать задачи с применением метода интервалов.

Задачи курса:

1. Познакомить учащихся с обобщённым методом интервалов и утверждением относительно расположения корней приведённого квадратного уравнения;

2. Научить учащихся решать неравенства различных видов методом интервалов; систем неравенств;

3. Познакомить учащихся с решением заданий с параметрами с помощью утверждения относительно расположения корней приведённого квадратного уравнения;

4. Развивать логическое мышление и способности учащихся к математической деятельности;

5. Предоставить учащимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.

В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность проверить самим, как ими усвоен изученный материал. Учитель может провести обучающие самостоятельные работы. Завершить изучение курса рекомендуется зачётной работой, позволяющей учащимся изучить свои возможности по математике.

Занятие 1: Метод интервалов.

Рассмотрим многочлен первой степени х + : при >0 он принимает положительные значения для любого х Є (-; +) и отрицательные для любого х Є (-) при <0 он принимает положительные значения для любого х Є (-) и отрицательные для любого х Є (-; +).

В частности двучлен положителен для всех , находящихся на

числовой прямой справа от точки , и отрицателен для всех , находящихся слева от этой точки.

+

-

Это свойство двучлена лежит в основе метода интервалов и часто используется при решении неравенств.

Пусть требуется решить неравенство . Рассмотрим многочлен , где , , ... - фиксированные числа, удовлетворяющие условию < <...<. На основании сделанного выше замечания заключаем, что для любого числа , (где корень многочлена ) значение каждого сомножителя положительно; поэтому соответствующее значение многочлена также положительно. Для любого из промежутка (; ) ссоответствующие числовые значения всех остальных сомножителей положительны, поэтому отрицательно. Аналогично для любого Є (; ) число положительно и т.д.

Решение неравенств и состоит в следующем: на числовую ось наносят числа , , ...; в промежутке справа от наибольшего из них ставят знак плюс, в следующим за ним (считая справа налево) промежутке ставят знак минус, затем знак плюс, затем знак минус и т.д. Тогда множество всех решений неравенства будет объединением всех промежутков, в которых поставлен знак плюс, а решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус.

Изменения знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху.

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение:

На числовую прямую наносим числа -3; 1; 2. Проводим кривую знаков. С ее помощью находим решения неравенства.

-3 1 2

х Є (-.

Ответ: (-.

Метод интервалов применяется и для решения неравенств вида и :

1. Найти все действительные корни многочленов

2. Оставить из найденных корней только те, которые не являются одновременно корнями многочленов , и расположить эти корни в порядке возрастания:

3. Отметить на числовой оси точки , разбивающие числовую ось на интервалы, в каждом из которых дробь сохраняет знак

4. Изобразить последовательность знаков с помощью «кривой знаков» и получить все решение неравенства, соблюдая правило чередования знаков (на правом крайнем знаке «+» ).

Пример 2. Решить неравенство:

Решение:

Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, при всех . Следовательно данное неравенство равносильно такому:

_, -2; 1; 3; 4

+ + +

-2 1 3 4

Ответ: х Є (-

Пример 3. Решить неравенство:

Преобразуем данное неравенство к виду

Имеем:

Т.к. дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный и 0 при всех , то данное неравенство равносильно такому:

+ +

-2 2

Ответ: х Є (

Пример 4: Решить неравенство:

Решение:

Пусть . тогда

+ -1 5 +

+ + t

-1 - 5

+ + t

-4 - 1

Ответ: х Є (

Пример 5: Решить неравенство:

Поскольку дискриминанты квадратных трехчленов и отрицательны, то и для любого . Получаем такое неравенство:

1 + 2 3 +

Ответ: х Є (-

Задания для самостоятельного решения:

Решите неравенства:

1). Ответ:

2) Ответ:

3). Ответ:

4). Ответ:

5). Ответ:

Занятие 2: Решение неравенств

№1. Решить неравенство:

Решение:

Т.к. дискриминант квадратного трехчлена отрицательный и коэффициент при положительный, то данное неравенство решений не имеет.

Ответ: решений нет.

№2. Решить неравенство:

Решение:

-5

Ответ: х Є (-

№3. Решить неравенство:

Решение:

+ + X

-1 - 5

Ответ:

№4. Решить неравенство:

Решение:

+ +

-2 - 1 - 6

х Є

Ответ:

№5. Решить неравенство:

Решение:

Пусть , тогда

+ + X

-1 - 2

+ + X

-2 - 3

Ответ:

№6. Решить неравенство:

Решение:

+ + +

-5 - 1 2 - 3

Ответ:

№7. Решить неравенство:

Пусть . Тогда .

Получим такое неравенство:

+ +

-2,5 0 3

+ + X

+ + X

-2 - 1

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

Решите неравенства:

1). . Ответ: ]

2). . Ответ:

3). . Ответ:

4). Ответ:

5) Ответ:

№8. Найти все значения , при которых уравнение

имеет два различных корня.

Решение:

Данное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда и дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, положителен, т.е. и

Т.к.

+ +

1 - 2 - 6

Ответ: при данное уравнение имеет два различных корня.

Занятие 3: Обобщенный метод интервалов.

С помощью обобщенного метода интервалов решаются неравенства высоких степеней вида , если с помощью равносильных преобразований оно приводится к виду:

, где

числа , , ... – фиксированные натуральные числа, , , ... - фиксированные действительные числа (корни многочлена , удовлетворяют условию < <...<, если - четное число, то называют корнем четной кратности, при переходе через эту точку многочлен не имеет знака.

Если - нечетное число, то называют корнем нечетной кратности, при переходе через в этом случае знак многочлена меняется.

На числовую ось наносят числа , , , ....

Справа от ставят знак плюс. В следующем за ним промежутке (считая справа налево) ставят знак плюс если - чётное число, и знак минус, если - нечётное число. Таким образом рассматриваются все промежутки.

Решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс, а объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус, будет решение неравенства .

Рассмотрим пример.

Пример 1. Решить неравенство:

Корни многочлена:

Нанесем на числовую ось найденные корни и отметим (буквами «ч» и «н» четность и нечетность кратности этих корней. Строим кривую знаков справа, сверху, соблюдая четность и нечетность корней, а также правило чередования знаков:

+ «н» «ч» «н» + «ч» +

-4 - 3 - -2 1

- чётной кратности, значит при прохождении через него знак многочлена не меняется, знак сохраняется до следующего корня . Так как это корень нечётной кратности, то при прохождении через него знак меняется на противоположный и становиться отрицательным. Этот знак сохраняется до следующего корня - чётной краткости, поэтому знак многочлена не меняется и остаётся отрицательным. Дальнейшее исследование изменения знака многочлена проводиться аналогично. Результаты исследования схематично отражены на рисунке, где изображены интервалы знакопостоянства. На основании рисунка можно легко записать решение неравенства х Є [-4; -2

Ответ: х Є [-4; -2

На практике при решении неравенств с помощью обобщенного метода интервалов удобно пользоваться следующей схемой:

1. Преобразовать неравенство к стандартному виду:

,

Коэффициент при в каждлй скобке равен 1.

2. На числовую прямую нанести числа , , ... и отметить буквами «ч» и «н» четность и нечетность этих корней.

3. Построить кривую знаков, соблюдая при этом:

1. правило чередования знаков,

2. правило перехода через корень чётной или нечётной кратности

4. Выделить нужные интервалы

5. Выписать ответ

Пример 2. Решить неравенство:

1). Преобразуем данное неравенство к стандартному виду:

Полученное неравенство умножим на

Получим неравенство равносильное исходному:

2). Выпишем корни многочлена и укажем их кратность.

+ «н» «ч» «н» + «ч» +

-4 - -2 - 2 - 3

3). Построим кривую знаков.

4). Выделим интервалы, где многочлен положителен: х Є

Ответ: х Є

Пример 3. Решить неравенство:

1. а) Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Получим:

б)

После преобразований получим неравенство, равносильное данному, но записанное в стандартном виде:

2. Корни многочлена:

Построим кривую знаков

+ «н» «н» + «ч»

-3 - 0 4 -

х Є

Ответ:

Упражнения для самостоятельной работы:

Занятие 4: Решение дробно-paциональных неравенств с помощью обобщённого метола интервалов

В общем виде неравенство может быть записаны следующим образом:

где числа , , ..., , , ... попарно различны.

Рассмотрим пример:

Пример 1.

1. Запишем неравенство, равносильное данному, но в стандартном виде:

2. Выпишем нули числителя и нули знаменателя, указав их кратность.

3.Построим кривую знаков, указав чётность и нечётность корней многочлена, стоящего в числителе и в знаменателе.

«ч» «н» «ч» «ч» «н»

0 2 3,5 5

х Є

Ответ:

Схема решения может быть записана следующим образом:

1. Неравенство необходимо привести к стандартному^- виду (коэффициент при в каждой скобке числителя и знаменателя равен 1).

2. На числовой прямой отметить нули числителя и знаменателя, указав их кратность.

3. Построить кривую знаков.

4. Выделить промежутки, соответствующие знаку неравенства.

5. Выписать ответ.

Пример 1.

1. Запишем неравенство в стандартном виде:

3. Построим кривую знаков:

«н» «н» «ч» «н» «ч» «н» 7 -1,5 0 2 5 7

4. х Є

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство:

1. а) Разложим квадратный трехчлен на множители:

б) Данное неравенство запишем в виде:

3. Построим кривую знаков:

«н» «н» «ч» «ч» «н» -3 0 1 3 4

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

Занятие 5: Решение систем рациональных неравенства.

Решение систем рациональных неравенств не содержит в себе ничего принципиально нового по сравнению с решением систем линейных неравенств, поэтому рассмотрим следующие примеры:

Пример 1. Решить систему неравенств:

1. Решим первое неравенство системы. После преобразований получим равносильное неравенство:

+ +

-2 0 2

2. Решим второе неравенство:

х Є

3. Отметим найденные решения на числовой прямой. Найдём промежутки,

где эти решения совпадают.

-8 -2 0 2 8 Х

Получим, х Є

Ответ:

Пример 2. Решить систему неравенств:

1. Решим 1 неравенство системы:

Разложим на множители квадратный трехчлен:

Получим неравенство:

+ + X

--0.5 - 1.5

x Є [-0,5;1,5]

2. Решим второе неравенство системы:

+ +

-1 0 1

x Є [-1;0]

Запишем в систему полученные решения:

Изобразим решения на одном чертеже

-1 -0,5 0 1 1,5 Х

Получим, х Є

Ответ:

Упражнения для самостоятельной работы:

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ: нет решений

4. Ответ:

5. Найти целые значения , удовлетворяющих системе неравенств: Ответ:

Занятие 6: Расположение корней приведённого квадратного уравнения в зависимости от параметра.

Рассмотрим утверждения относительно расположения корней приведённого квадратного уравнения.

1. Уравнение имеем два положительных корня тогда и только тогда, когда

Геометрическая интерпретация.

Для того, чтобы данная парабола – график функции пересекала положительную полуось ОХ в двух точках (х₁; 0) и (х₂; 0)

(где х₁ > 0 и х₂ > 0) необходимо и достаточно выполнения трёх условий: 1). Вершина параболы – точка лежит либо в нижней части полуплоскости, либо на оси ОХ (условие )

2). Ось симметрии параболы – прямая лежит правее оси ОУ (условие );

3). Парабола пересекает ось ОУ в точке (0;q), лежащей в верхней полуплоскости (q >0)

(0;q)

(х₂; 0) (х₁; 0)

2. Уравнение имеет два корня, каждый из которых больше некоторого числа с, тогда и только тогда, когда

Графическая интерпретация:

Для того, чтобы парабола - график функции пересекала ось ОХ в двух точках (х₁; 0) и (х₂; 0), лежащих правее точки (с;0) необходимо и достаточно выполнение трёх условий:

1. Вершина параболы точка лежит либо в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие )

2. Ось симметрии параболы - прямая - лежит правее прямой (условие )

3. . Парабола пересекается с прямой в лежащей в верхней полуплоскости ( условие ).

(х₂; 0) (х₁; 0)

3. Уравнение имеет два корня, каждый из которых меньше некоторого числа , тогда и только тогда, когда

Геометрическая интерпретация:

Для того, чтобы парабола - график функции пересекала ось ОХ в точках (х₁; 0) и (х₂; 0), лежащих левее точки (с; 0) необходимо и достаточно выполнение трёх условий:

1) Вершина параболы точка лежит либо в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие )

2) Ось симметрии параболы - прямая , лежит левее прямой х = с (условие -);

3) Парабола пересекается с прямой в лежащей в верхней полуплоскости ( условие ).

(0;q)

(х₂; 0) (х₁; 0)

4. Уравнение имеет два корня, один из которых больше числа с, а другой меньше с, тогда и только тогда когда

Геометрическая интерпретация:

Для того, чтобы парабола - график функции пересекала ось ОХ в точках (х₁; 0) и (х₂; 0) между которыми лежит точка (с; 0) необходимо и достаточно, чтобы парабола пересекалась с прямой х=с в точке которая лежит в нижней полуплоскости (условие ).

(х₂; 0) (х₁; 0)

(0;q)

Пример 1. Найти все значения для которых уравнение

имеет два положительных корня.

Решение:

Для того, чтобы оба корня и уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена был неотрицательным, а произведение и сумма были положительными. Из теоремы Виета получаем:

+ + a

0 - 4

x Є [-0,5;1,5]

Ответ: уравнение имеет два положительных корня при а Є

Пример 2. Найти все значения а при которых уравнение имеет корни и , удовлетворяющие условию .

Решение :

Т.к. необходимо выяснить при каких данное уравнение имеет два корня, один из которых больше , а другой меньше , то воспользуемся утверждением 4:

+ + a

-3 - 0

Ответ при a Є

Пример 4. Найти все значения a, при которых множество всех решений системы является вся числовая прямая.

Решение:

Квадратный трехчлен при любом , получаем такую систему:

Т.к. коэффициенты полученных трехчленов при старших членах положительны, то необходимо, чтобы их дискриминанты были отрицательны, получим:

+ + a

+ + a

-1 - 7

Решение системы:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1. Найти все значения , при которых квадратное уравнение имеет корни, и определить знаки этих корней:

Ответ: 1)

2)

3)

4)

5) корней нет при

2. Найти все значения , при которых уравнение:

имеет два корня, причем один из них больше, а другой меньше .

Ответ:

3. При каком значении один из корней уравнения

в два раза больше другого?

Ответ: при .

Занятие 7: Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля с помощью метода интервалов.

Неравенства, которые рассматриваются на этом занятии можно решать, используя определение модуля. При этом в лучшем случае получится две системы. Этого можно избежать, если использовать метод интервалов. Такие неравенства нельзя записать в стандартном виде: разложив и числитель и знаменатель на множители (не раскрывая модуля), поэтому необходимо использовать следующую схему:

1. Найти нули числителя.

2. Найти нули знаменателя.

3. На числовую прямую нанести полученные числа.

4. Найти знак выражения, стоящего в левой части неравенства в каждом полученном промежутке.

5. Выписать ответ.

Рассмотрим примеры:

Пример 1.

1. Найдём нули числителя:

2. Найдём нули знаменателя:

3. Нанесём полученные числа на прямую. Получим три интервала. Найдём знак в каждом интервале:

+ + +

-1 1

А) Если , то

Б) Если , то

В) Если , то

x Є

Ответ:

Пример 2.

1. Найдем нули числителя:

Получим две системы:

или

2. Найдем нули знаменателя:

или

3. Найдём знак в каждом интервале:

- + +

-1/3 3

А) Если , то

Б) Если , то

В) Если , то

x Є

Ответ:

Пример 3.

1. A)

Б)

Нули числителя

3. Найдем знак в каждом интервале:

+ - + - - +

-5 -2 2 3 5

А) Если , то

Б) Если , то

В) Если , то

Г) Если , то

Д) Если , то

Е) Если , то

x Є

Ответ:

Упражнения для самостоятельного решения:

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

Занятие 8: Зачет

1. Решить неравенства:

2. Ответ:

2. Решить системы неравенств:

1. b)

Ответ: [1;6] Ответ: {3}

3. Найти все значения , при которых все решения неравенства: являются решениями неравенства

Ответ:

Литература

1. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. («Наука» М. 1987 г.)

2. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. («Наука» М. 1987 г.)

3. Г.и. Богатырёв, О.А. Боковнев. Математика для подготовительных курсов техникумов. Учебное пособие. («Наука» М. 1988 г.)

4. Горштейн П.И., Полонских В.Б. Алгебраический тренажер, М.

5. Галицкий М.Л., Гольдман А. М., Зюлов A.И. Сборник задач по алгебре, 8-9 кл. («Просвещение» М. 1995 г.)

6. Мордкович А .Г. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для подготовительных отделений вузов («Высшая школа» 1978 г.)

7. Крамор В.С. Повторение и систематизация школьного курса алгебры и начала анализа («Просвещение» М. 1994 г.)