Элементы теории вероятностей и комбинаторики

Министерство образования и науки Республики Татарстан

ГАПОУ «Нижнекамский технологический колледж»

Методические рекомендации к практическим занятиям по математике

«Элементы теории вероятностей и комбинаторики»

для студентов и преподавателей образовательных организаций

 среднего профессионального образования 

Нижнекамск

2015

Согласовано

Заседание ПЦК

Протокол №_______

От «___»_______2015 г.

Председатель

_______ Е.В. Григорчук

Утверждаю

Зам.директора по ОД

ГАПОУ «НТК»

_______Р.А. Вахитова

«___»_____________2015 г.

Автор: преподаватель математики Ильина В.Ф.

Данная работа предназначена в помощь студентам образовательных организаций среднего профессионального образования. Она также может быть полезна преподавателям «Основ теории вероятностей и математической статистики».

Оглавление

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ.. 2

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.. 2

I. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. 2

1.1. Комбинаторика. Выборки элементов. 2

1.2. Основные правила комбинаторики. 2

1.3.   Главная   теорема   комбинаторики  (Теорема   о   включениях   и   исключениях) 2

1.4. Перестановки. 2

1.5. Размещения. 2

1.6. Сочетания. 2

1.7. Сходства и различия в определениях сочетаний и размещений. 2

II. СОБЫТИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. 2

2.1. Понятие события. Виды событий. 2

2.2. Классическое определение вероятности. 2

2.3. Сумма вероятностей несовместных событий. 2

2.4. Произведение вероятностей независимых событий. 2

III.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. 2

3.1 Формула полной вероятности. Формула Байеса. 2

3.2. Вычисление вероятностей гипотез по формуле Байеса. 2

IV. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. 2

4.1. Понятие случайной величины. 2

4.2. Числовые характеристики ДСВ.. 2

4.3. Биноминальное распределение ДСВ. 2

4.4. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). Формула вычисления вероятностей. 2

V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.. 2

5.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.. 2

5.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины. 2

VI. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. 2

Теория вероятностей. 2

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины.. 2

VII. ОТВЕТЫ.. 2

Комбинаторика. 2

Теория вероятностей. 2

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины. 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 2

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

                                                                        Без учета влияния случайных явлений человек становится бессильным направлять

 развитие интересующих его процессов

 в желательном для него направлении.

Б. В. Гнеденко

Главной целью математического образования в специальных учебных заведениях является развитие умственных способностей студентов. Нужен переход от информационно-объяснительной технологии к деятельно-развивающей, направленной на развитие личностных качеств каждого студента. Важными должны стать не только усвоенные знания, но и сами способы усвоения и переработки учебной информации, развитие познавательной деятельности и творческого потенциала студента. Большинство студентов свои приобретенные знания по математике вряд ли будут использовать в повседневной жизни. Человек быстро забывает те знания, которыми постоянно не пользуется, но с ним навсегда остается его логическое мышление. Поэтому нельзя говорить о низком коэффициенте полезного действия изучения естественных наук, поскольку изучение их повышает умственный уровень обучающихся. В последнее время происходит значительное сокращение часов, отводимых на изучение естественных дисциплин, в пользу гуманитарных. Изменение программ не принесло ожидаемого эффекта, так как гуманизация общества вряд ли произошла, а вот его умственное развитие снизилось. Еще в пятидесятых годах прошлого века американский психолог Чарльз Спирмен показал, что общий интеллект человека складывается из трех отдельных составляющих. Пространственный интеллект обеспечивает представление реального мира в форме образов и многомерных схем. Семантический интеллект позволяет оперировать суждениями и понятиями и определяет успешность «метафорического» мышления. Формальный или математический интеллект дает возможность работать с абстрактными символами, причем без опоры на наглядность. Именно низкий уровень математического интеллекта привел к общему снижению кривой распределения коэффициента интеллектуальности IQ среди россиян. Задачи теории вероятности и комбинаторики обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления.

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятности и математическая статистика – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений, то есть статистических закономерностей. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социально-экономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные. Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача

I. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.

1.1. Комбинаторика. Выборки элементов.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,… , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

n- факториалом и пишут

.

Пример. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение:

 а) .

б) Так как  и , то можно вынести за скобки

Тогда получим

.

в) .

1.2. Основные правила комбинаторики.

Очень часто встречаются задачи в которых необходим подсчет количества комбинаций, которые можно составить из заданных объектов конечного множества, безразлично какой природы, которые подчинены каким-то условиям. Для успешных решений этих задач необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики.

Пусть задано множество, содержащее конечное число элементов. (Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.). Пусть а₁, а₂, …,а_n – элементы некоего конечного множества. Сформулируем два важных правила, которые применяются в комбинаторике:

Правило суммы: Если элемент а₁ может быть выбран n₁ способом, элемент а₂ может быть выбран другими n₂ способами, элемент а₃ может быть выбран отличными от первых двух n₃ способами и т.д., элемент а_k – n_k способами, отличными от первых (k-1) способа, то выбор одного из элементов: или а₁, или а₂,…, или а_к может быть осуществлен n₁+n₂+…+n_k способами.

Примеры 1.2.1.

Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 180 из них – 1-го сорта, 100 – 2 –го сорта, а остальные – 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика детали 1-го или 2-го сорта?

Решение. Деталь первого сорта может быть извлечена n₁=180 способами, 2-го сорта – n₂=100 способами. По правилу суммы существует n₁+n₂=280 способов извлечения из ящика детали 1-го или 2-го сорта.

Пример. В корзине 12 роз, 13 пионов и 23 гвоздики. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины?

Решение. Роза может быть извлечена n₁=12 способами, пион – n₂=13 способами, а гвоздика – n₃=23 способами. По правилу суммы существует n₁+n₂+ n₃=48 способов, которыми можно выбрать один цветок из корзины.

Правило произведения: Если элемент а₁ может быть выбран n₁ способом, после каждого такого выбора элемент а₂ может быть выбран n₂ способами, и т.д., элемент а_k – n_k способами,  то выбор всех элементов  а₁,а₂,…, а_к может быть осуществлен n₁*n₂*…*n_k способами.

Пример.

а) при подбрасывании трёх монет возможно 2 · 2 · 2=8 различных результата

б) бросая дважды игральную кость, получим 6 · 6=36 различных результатов

в) трёхзначных чисел бывает 9 · 10 · 10 = 900;

г) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 · 9 · 8;

д) чётных трёхзначных чисел возможно 9 · 10 · 5;

Пример 1.2.3.

В группе 24 человека. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 24 учащихся, его заместителем – любой из 23 оставшихся , а профоргом – любой из оставшихся 22 учащихся, т.е. n₁=24 , n₂=23, а n₃=22 . По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно n₁*n₂*n₃=24* *23*22=12 144 способов.

 

1.3.   Главная   теорема   комбинаторики

               (Теорема   о   включениях   и   исключениях)

Пример. На предприятии работает 70 человек. Из них 50 знают английский, 35 – немецкий и 25 – оба языка. Сколько человек не знают ни английского, ни немецкого?

Решение: Построим диаграмму,   на   которой   изобразим   прямоугольник,   соответствующий   общему числу работающих (70) и две пересекающиеся области A и B по 50 и 35 человек ( знающих английский и немецкий языки). На диаграмме общая часть этих двух областей соответствует 25 – количеству работающих, которые знают оба языка. Требуется найти область прямоугольника, не входящую ни в область A, ни в область B.

Очевидно, что N = 70 – 50 – 35 + 25 = 10.

          Главная   теорема   комбинаторики   (Теорема   о   включениях   и   исключениях) Пусть имеется множество из N объектов произвольной природы. На этом множестве пусть задано  n свойств. Каждый объект может обладать либо не обладать некоторыми из этих свойств. Сами свойства обозначим: . Будем обозначать N( ) – количество объектов точно обладающих свойством   и может быть какими-то другими, а  N ()  –  число   объектов   не   обладающих   ни   свойством  ,  ни свойством  . Тогда число объектов, не обладающих ни одним из перечисленных свойств:

              (1)    

   Продолжение примера. Пусть теперь 21 человек знают французский, 12 – английский и французский, 10 – английский и немецкий и 5 – все три языка.

    Тогда в соответствии с теоремой количество человек, не знающих ни одного из трех перечисленных языков (но может быть знающих китайский язык), равно N = 70 – 50 – 35 – 21 + 25 + 12 + 10 – 5 = 6.

 

1.4. Перестановки.

Определение: Перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n  элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом  P_n («пэ из эн») и вычисляется по формуле

                                     Р_n=n!,                                                                          (2)

 где n! - произведение n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…3*2*1.

Доказательство: У нас есть n способов выбрать (взять и поставить в ряд) первый предмет (назовем это первым этапом выбора). Далее у нас есть, независимо от того, как выбран первый предмет, n-1 способов взять второй предмет - в любом случае, это может быть какой угодно предмет, кроме первого выбранного. Затем есть n-2 способа взять третий предмет - он может быть какой угодно, кроме первых двух выбранных... и так далее. Итого, мы имеет n этапов выбора, на каждом из которых число вариантов равно (независимо от того, как сделан выбор на предыдущих этапах), соответственно, n, n-1, n-2,..., 1. Поэтому, согласно правилу произведения, мы получаем общее число перестановок из n элементов n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…3*2*1., ч.т.д.

Комбинаторный  смысл  числа  перестановок прост:  сколькими  способами  можно упорядочить конечное n-элементное множество.

Пример. Сколько  перестановок  можно  составить  из 2-х-элементного множества?

Решение. Р₂= 2!=2. Действительно, существует две такие перестановки: (a,b), (b,a).

 Из трехэлементного множества можно составить Р₃=3!=6 перестановок: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 5 элементов, т.е. Р₅=5!=120.

Определение:  Если в перестановке из общего числа элементов n есть к различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент повторяется n₂ раз, k-й элемент - n_k  раз, причем n₁+n₂+…+n_k=n, то такие перестановки называются перестановками с  повторениями из n элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно

                                                                                 (3)

Пример. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу.

Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком следования цифр, причем n₁=1 , n₂=3, а n₃=1, а их количество равна 5, т.е. является перестановкой с повторениями из 5 элементов. Их число находим по формуле (3) .

Пример. На карточках написаны буквы М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А. Сколько различных 10-ти буквенных «слов» можно составить из этих карточек? (здесь и далее словом считается любая последовательность букв русского алфавита)

Решение. Перестановка двух букв М, осуществляемая Р₂= 2 способами, трех букв А, осуществляемая Р₃= 3!=6 способами и перестановка двух букв Т, осуществляемая Р₂= 2 способами не меняет составленное из карточек слово.  слов.

Определение: перестановки из общего числа элементов n , которые расположены по кругу называются перестановками по кругу из n элементов.

В  строчку  можно  разместить  3  различных  элемента  6-ю  различными  способами – их мы рассматривали выше ((a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)), а  по  кругу  получим  только  две  различных  возможности:

         a                  a    

     b  O  c         c  O  b

 Тождественные  перестановки          Различные  перестановки

                  c                 a                                       a              a    

              b  O  a       c  O  b                                b O с       c O b

Заметим, что n предметов можно переставлять n! способами, но так как

перестановки, отличающиеся поворотом круга, считаются одинаковыми , то поэтому число перестановок по кругу из n элементов равно

                                                                                       (4)

Пример. К одному человеку в гости пришли 6 его друзей. Все они ужинали за круглым столом. Время ужина пролетело незаметно, и хозяин сказал гостям, что он будет рад видеть их у себя за ужином столько раз, сколько различных перестановок за этим столом они смогут образовать. Друзья, конечно, согласились. Сколько раз придется кормить своих друзей ужином радушному хозяину?

Решение: Так как всего за круглым столом сидело 7 человек: 6 гостей и сам хозяин, то число перестановок равно =720. Т.е. 720 совместных ужинов.

Пример. В условиях первой задачи у хозяина есть любимое место, с которого он решительно отказывается перемещаться. Сколько в этом случае совместных ужинов предстоит собравшимся?

Решение: Если  некий  человек  будет  сидеть  на  постоянном  месте, то  оставшихся  6  можно  размещать  как  бы  в  строчку, поэтому  число  возможностей  по прежнему равно  6! = 720.

Пример. В условиях первой задачи есть два гостя, которые категорически отказываются сидеть рядом. Сколько в этом случае совместных посиделок предстоит собравшимся?

Решение: Найдем  сначала  число  возможностей, при  которых  два  определенных  человека  будут (“таки  да!”)  сидеть  рядом  друг  с  другом.   Их  можно  считать  за  одного  человека, т.е.  нам  надо  как  бы  рассадить  6  человек  по  кругу.  Это  можно  сделать  5!  различными  способами. Но  двое  особых  людей, кроме  того, тоже  можно  менять  местами, поэтому  полученное  число  следует  умножить  на  2!, всего  получим  2!×5!. Это  есть  общее  число  возможностей  разместить  по  кругу   7  человек, чтобы  двое  определенных  из  них  всегда  сидели  рядом. Вычтем  полученное  число  из  общего  числа  возможностей  и  получим  нужное  число  возможностей: 6! - 2!×5! = 720 - 240 = 480.

1.5. Размещения.

Определение:  Размещениями  из  n  элементов  по  k  элементов  будем  называть  упорядоченные подмножества,  состоящие  из  k  элементов,  множества  ,  состоящего  из  n элементов. Число размещений из n элементов по k элементов обозначается   (читается "А из n по k").

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета размещений

1) Сколькими  способами можно  выбрать  из 15  человек 5  кандидатов  и  назначить  их  на 5 различных должностей?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

В  задачах  о  размещениях  полагается  k<n.  В  случае,  если  k=n,  то  легко  получить

Число размещений из n элементов по k элементов вычисляется по формуле   

                       .                                            (5).

Доказательство: Для  подсчета   используем  тот  же  метод,  что  использовался  для  подсчета  Pn ,только здесь возьмем лишь k предметов. Первый предмет можно выбрать n способами (любой из n данных предметов), второй, при выбранном  первом, можно выбрать n-1 способам. Можно продолжать этот процесс до  выбора  последнего  k-го  предмета.  Этот предмет  при  выбранных  первых  k-1  предметов   можно  выбрать  n-(k-1)  способами (или  n-k+1).  Таким  образом  все  k  предметов выбираются   числом способов, равным n(n-1)(n-2). . . (n-k+1).Что и требовалось доказать.

Пример. Студенты  второго курса изучают 10 различных дисциплин. Определить – сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник планируется поставить 5 пар?

Решение: Каждый вариант расписания представляет собой выборку 5 элементов из 10, причем эти варианты отличаются друг от друга не только выбором этих дисциплин, но и порядком их следования, т.е. является размещением из 10 элементов по 5. .

Пример. Сколько  существует  различных  вариантов  выбора 4-х  кандидатур  из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Решение: .

Определение: Пусть даны n  различных видов предметов, которые можно разместить по k различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле:

                                                       (6) .

Пример. Среди 15 студентов второго курса проводился конкурс на «Самого умного», «Самого доброго», «Самого смелого» и «Самого умелого». Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные призы?

Решение: Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 4 участников из 15, отличающуюся от других комбинаций как составом номинантов, так и их порядком, причем один и тот же участник может быть номинантом несколько раз. Т.е. мы имеем дело с размещением с повторениями из 15 элементов по 4. Их число находим по формуле (6)

.

Можно было рассуждать иначе: победителем в первой номинации может быть любой из 15 студентов, победителем во второй номинации может быть также любой из 15 студентов, ведь один участник может быть номинантом несколько раз, победителями в третьей и четвертой номинациях опять  может быть любой из 15 студентов. Следовательно, общее число вариантов распределения призов существует .

Пример. Сколько 6-значных чисел можно составить, используя цифры 3,4,5.

Решение: Все шестизначные числа, составленные из этих чисел отличаются друг от друга либо самими цифрами, либо порядком их следования. Следовательно они являются размещениями с повторениями из 3 элементов по шесть, т.е .

Этот же результат можно было получить, используя правило умножения: каждую цифру можно выбрать 3 способами. Всего получается .

1.6. Сочетания.

Определение: Сочетаниями  из  n  элементов  по  m  элементов  будем  называть  любое подмножество,  состоящие  из  m  элементов,  множества  ,  состоящего  из  n элементов. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается   (читается "це из эн по ка").

Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле

Формула (7) может быть получена следующим образом. Выберем по очереди m предметов из n. Мы это можем сделать  способами. Однако нас не интересует в данном случае порядок выбранных предметов. От перестановки этих предметов наш выбор не меняется. Поэтому полученное выражение нужно разделить на m!

                                                                                          (7).

Пример. Из группы 35человек нужно выбрать троих для работы в колхозе. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Если выбирать их последовательно, то получим варианта. Но так как для нас порядок выбора не имеет значения, а имеет значение только состав выбранной бригады, поэтому полученный результат нужно еще разделить на 3!. Т.е. получим вариантов. Или можно было сразу воспользоваться формулой  .

Пример. В середине 60 годов  в России появилась лотерея, которая была названы “Спортлото”: лотерея 5/36 . Играющий покупал                                                                       билет, на котором имелось 36 клеточек. Каждая клеточка соответствовала какому-либо виду спорта. Нужно было выделить (зачеркнуть) 5 из этих клеточек и отправить организаторам лотереи. После розыгрыша лотереи   объявлялись   пять   выигравших   номеров.   Награждался   угадавший все пять номеров, четыре номера и даже угадавший три номера. Соответственно, чем меньше угадано номеров (видов спорта), тем меньше был выигрыш.

Решение: Подсчитаем, сколько существует разных способов заполнения карточек “Спортлото” при условии, что используется лотерея 5/36. Казалось   бы,   заполняя   последовательно   номер   за   номером,   получим: . Но ведь порядок заполнения не имеет значения,  тогда получаем: .

Данный результат означает, что если все участники лотереи заполняют карточки по-разному, то в среднем один из примерно 377  тысяч человек угадает все 5 номеров.

А сколько человек в среднем угадают 4 номера? .

Итого, в среднем 155 человек из примерно 377 000 угадают 4 номера.

Определение: сочетания, содержащие m элементов, в которых любой элемент может присутствовать некоторое число раз, не превосходящее m, называются сочетаниями  из n элементов по m с повторениями.

Например: соединения {a, a}, {a, b}, {a, c}, {b, b}, {b, c}, {c, c}  – сочетания из 3 элементов {a, b, с} по два с повторениями (в соединение могут входить два одинаковых элемента).

Подсчет числа сочетаний с повторениями осуществляется по формуле :                                                            (8).

Пример. Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?

Решение: порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2}, {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе сочетаний из двух видов  монет по четыре с повторениями.

           способов.

Пример. В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных?

Решение: это задача о числе сочетаний из 5 видов пирожных по 4 с повторениями.

           способов

Пример. Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение: это задача о числе сочетаний из 5 цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.

;  ; ;

;

Согласно правилу сложения: 5+15+35+70+126=251 чисел.

1.7. Сходства и различия в определениях сочетаний и размещений.

Сходства. Сочетания и размещения – это подмножества, состоящие из m элементов n-элементного множества. В них имеет значение порядок следования элементов последовательности. Различия. В размещении важен порядок расположения элементов, а в сочетаниях порядок не важен.

Сочетания	Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 6 человек? {Дима, Антон} = {Антон, Дима} – одно и тоже Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 6, значит это сочетание из шести по два	1. Сколькими способами шесть человек могут обменяться фотографиями? { Дима, Антон } ¹ { Антон, Дима } – разные обмены Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 6, значит это размещение из шести по два
2. Сколько аккордов можно сыграть с помощью трех клавиш из семи?  {до, ми, соль} = { до, соль, ми } – одно и тоже Значит, порядок неважен, значит это подмножество по три элемента из семи, значит это сочетание из семи по три	2. Сколько мелодий (трезвучий, проигрышей) можно сыграть с помощью трех клавиш из семи?  {до, ми, соль} ¹ { до, соль, ми } – разные мелодии Значит, порядок важен, значит это последовательность по три элемента из семи, значит это размещение из семи по три

II. СОБЫТИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.

2.1. Понятие события. Виды событий.

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

 Результат этого действия или наблюдения называется событием.

 Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, … .

Полной системой событий А₁, А₂, А₃, … , А_n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;

В и С - противоположные события.

Полную группу событий составляют  А и Д, В и С.

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

2.2. Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

1.                 Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n, получим

.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .

Пример. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

                                  .         

Пример. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.

Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

.

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

.

Классическое определение вероятности дает возможность рассматривать лишь события, которые распадаются на конечное число равновероятных исходов. Это – недостаток классического определения вероятности. Построим понятие вероятности события для случаев с бесконечным множеством равновероятных исходов испытания. В общем виде задачу, которая приводит к расширению понятия вероятности и к другому ее определению, можно сформулировать следующим образом. Пусть на плоскости имеется область G  и некоторая область g в ней. Их площади равны соответственно S_G и S_g соответственно. В область G бросается наугад точка. Вероятность того, что точка окажется в области g, принимается равной P=S_g/S_G. При этом предполагается, что точка может попасть в любую часть области G, а вероятность попадания точки в область g пропорциональна лишь ее площади и не зависит ни от расположения, ни от формы области. Аналогично могут быть определены вероятности попадания точки в объем v, находящийся в объеме V (P=v/V), на отрезок l, расположенный на отрезке L(P=l/L). Вероятности, определяемые по такой схеме, получили название геометрических.

2.3. Сумма вероятностей несовместных событий.

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А₁+А₂+ … +А_n.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

 или

Следствие 1. Если событие А₁, А₂, … ,А_n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий  и  равна единице.

.

Пример. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

.

Пример. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

, т.е. .

Пример. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность  того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

, т.е .

2.4. Произведение вероятностей независимых событий

При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос:

Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число .

Обозначив условную вероятность , получим формулу

, .

Пример. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда ,  и по формуле находим

.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

.

Пример. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть  - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события   и  независимы.

Так как , , то по формуле  находим

.

Пример. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,

.

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие  (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий  и :

;

.

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть  и, значит,

.

III.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

3.1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Рассмотрим два события А и Н. Каковы бы ни были взаимоотношения между событиями А и Н, всегда можно сказать, что вероятность события А равна вероятности пересечения событий А и Н плюс вероятность пересечения А и дополнения Н (событие ). Поясним сказанное на диаграмме Венна (рис.1). Разложение А на части зависит от  и .

Р(А) = Р(АН) + Р(А∩).

Рис. 1. Диаграмма Венна к формуле (1)

Наборы  и  – форма расчленения набора A на два подмножества взаимно несовместных событий. События Н и  взаимно противоположны. Событие А может произойти либо с Н, либо с , но не с двумя вместе (см. рис. 1).

Рассмотрим более сложный случай. Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одним из событий Н₁, H₂, H₃,..., H_n, образующих полную группу, т. е. эти события являются единственно возможными и несовместными (рис. 2). Так как заранее неизвестно, какое из событий Н₁, H₂, H₃,..., H_n наступит, то их называют гипотезами. Пусть также известны вероятности гипотез Р(Н₁), Р(Н₂),…, Р(H_n) и условные вероятности события А, а именно: Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),…, Р(А/Н_n).

Так как гипотезы образуют полную группу, то  

Рассмотрим событие А – это или Н₁·А, или … Н_n·А. События Н₁·А, Н₂·А, …, Н_n·А – несовместные попарно, так как события Н₁, H₂, H₃,..., H_n попарно несовместны. К этим событиям применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

Р(А)=Р(Н₁·А)+Р(Н₂·А) +…+ Р(Н_n ·А) =.            

События Н₁ и А, Н₂ и А,..., Н_n и А – зависимые. Применив теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим (рис. 2):

Р(А) = Р(Н₁)∙Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)∙Р(А/Н₂) +...+Р(Н_n)∙Р(А/Н_n) = .

Рис. 2. Событие А может осуществляться лишь с одним

из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий

Проиллюстрируем сказанное на примере с колодой карт (рис. 2.3). Определим А как событие, состоящее в извлечении карты с картинкой (т. е. карты с изображением или туза, или короля, или дамы, или валета). Пусть события В, С, D, Е означают извлечение карт различной масти («трефы», «бубны», «черви», «пики»). Мы можем сказать, что вероятность извлечь из колоды карту с изображением туза, короля, дамы или валета есть Р(А) = Р(А∩В) + Р(А∩С) + Р(А∩D) + Р(А∩Е) = 4/52 + 4/52 + 4/52+4/52 = 16/52. Это означает, как мы уже знаем, вероятность извлечения карты с картинкой из колоды в 52 карты. Событие А представляет собой набор, составленный из пересечений А с наборами В, С, D, Е (рис. 3).

Рис. 3. Пример с колодой карт

Вывод. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n на соответствующую условную вероятность события А.

Случай двух событий:

.                                          

Случай более чем двух событий:

,

где i = 1, 2, ..., п.

Пример. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, в случае успешного развития экономики страны, и эта же вероятность составит 0,30, если произойдет спад экономики. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение: Событие А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Составим рабочую таблицу:

Hi	Гипотезы Hi	Р(Hi)	P(А/Hi)	Р(Hi)P(А/Hi)
1	H1 – «подъем экономики»	0,80	0,75	0,60
2	H2 – «спад экономики»	0,20	0,30	0,06
∑		1,00	–	P(А) = 0,66

Пример. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложен один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после перекладывания, окажется черным.

Решение: Событие А – «шар, извлеченный из урны 2, – черный». Составим рабочую таблицу:

Hi	Гипотезы Hi	Р(Hi)	P(А/Hi)	Р(Hi)P(А/Hi)
1	H1 – «из урны 1 в урну 2 переложили черный шар»	6/10	7/11	42/110
2	H2 – «из урны 1 в урну 2 переложили белый шар»	4/10	6/11	24/110
∑		1,00	–	Р(А) = 0,60

3.2. Вычисление вероятностей гипотез по формуле Байеса

Представим, что существует несколько предположений (несовместных гипотез) для объяснения некоторого события. Эти предположения проверяются с помощью опыта. До проведения опыта бывает сложно точно определить вероятность этих предположений, поэтому им часто приписывают некоторые вероятности, которые называют априорными (доопытными). Затем проводят опыт и получают информацию, на основании которой корректируют априорные вероятности. После проведения эксперимента вероятность гипотез может измениться. Таким образом, доопытные вероятности заменяют послеопытными (апостериорными).

В тех случаях, когда стало известно, что событие А произошло, возникает потребность в определении условной вероятности P(H_i/A). Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одной из гипотез H_i, (i = 1, 2,..., n). Известны вероятности гипотез Р(Н₁), ..., Р(Н_п) и условные вероятности А, т. е. Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),…, Р(А/Н_n). Так как A·H_i = Н_i·А, то Р(А·Н_i) = P(Н_i·А) или , а отсюда по правилу пропорций:

.

Итак можно записать формулы Бейеса:

случай двух событий:

;                                                         

случай более чем двух событий:

.                                                                        

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипо­тез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Как видим из выражения (2.5), вероятность события H, задаваемая при условии появления события А, получается из вероятностей событий  и  и из условной вероятности события А при заданном Н. Вероятности событий и называют априорными (предшествующими), вероятность Р(Н/А) называют апостериорной (последующей).

Пример. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста – 0,5 и низкого роста – 0,2. Предположим, доллар дорожает в течение текущего периода, чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение: Определим гипотезы: Н₁ – «активный экономический рост»; H₂ – «умеренный экономический рост»; H₃ – «низкий экономический рост».

Определим событие А – «доллар дорожает». Имеем: Р(Н₁) = 0,3; Р(Н₂) = 0,5; Р(Н₃) = 0,2; Р(А/Н₁) = 0,7; Р(А/Н₂) = 0,4 и Р(A/Н₃) = 0,2. Найти: Р(Н₁/А).

Используя формулу Бейеса (2.6) и подставляя заданные значения вероятностей, получаем:

     Пример. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом №1, 30% – заводом №2, 50% – заводом №3. Для завода №1 вероятность вы-пуска бракованной детали равна 0,05, для завода №2 – 0,01, для завода №3 – 0,06. Чему равна вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь ока-жется бракованной?

     Решение: Обозначим через B событие: наудачу взятая деталь – бракован-ная., через H₁, H_2, H₃ – деталь, изготовленная соответственно заводом №1, №2, №3. Из условия известны вероятности:

P(H₁)=0.2,     P(H₂)=0.3,       P(H₁)=0.5 ,

P(B|H₁)=0.05,   P(B|H₂)=0.01,    P(B|H₃)=0.06.

По формуле полной вероятности находим

P(B)=0.20.05+0.30.01+0.50.06=0.043 .

     Пример. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й урнах – по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана 4-я или 5–я урна, если извлеченный шар оказался белым?

     Решение: Обозначим через B событие – выбранный шар белый, H₁ –шар выбран из 1-й , 2-й или 3-й урны, через H₂ –шар выбран из 4-й или 5-й урны. Нужно определить P(H₂|B). Определяем вероятности: P(H₁)=3/5, P(H₂)=2/5, P(B|H₁)=2/5, P(B|H₂)=1/2. По формулам Байеса находим

.

IV. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4.1. Понятие случайной величины.

В этом разделе теории вероятностей мы познакомимся с числовыми оценками, соответствующими исходам испытаний, например таким, как подбрасывание кости. Отсюда исходы испытаний, определяемые случаем, – случайные величины (СВ). Определим случайную величину следующим образом.

Случайная величина – это величина, которая в результате эксперимента (опыта, испытания) принимает одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно. Примеры случайных величин:

·       число дефектных деталей в партии при контроле качества;

·       процент завершенного строительства жилого дома спустя 6 месяцев;

·       число клиентов операционного отдела банка в течение рабочего дня;

·       число продаж автомобилей в течение месяца.

Случайные величины обозначаются заглавными латинскими буквами: X, Y, Z и т. п. Строчные буквы используются для обозначения определенных значений случайной величины. Например, случайная величина X принимает значения х₁, х₂, ..., х_n. различают случайные, дискретные и непрерывные величины.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называют случайную величину, которая принимает конечное или бесконечное (но счетное) число отдельных, изолированных возможных значений с определенными вероятностями. Число студентов на лекции – дискретная случайная величина.

Совокупность значений может быть задана таблицей, функцией или графиком. Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Простейшей формой закона распределения для дискретных случайных величин является ряд распределений.

Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, в которой перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_п с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n.

хi	х1	х2	…	хп
рi	р1	р2	…	рn

Таким образом, случайная величина X в результате испытания может принять одно из возможных значений х₁, х₂, ..., х_п с вероятностями

Р (Х = х₁) = р₁; Р(Х = х₂) = р₂; Р(Х = х_п) = р_n.

Можно использовать более короткую запись: Р(х) = Р(5) = 0,2. Так как события (Х = х₁), (Х = х₂), …, (Х = х_п) составляют полную группу событий, то сумма вероятностей р₁, р₂, ..., р_n равна единице:

.

Ряд распределения случайной дискретной величины должен удовлетворять следующим условиям:

,

.

Пример. Каждый день местная газета получает заказы на новые рекламные объявления, которые будут напечатаны в завтрашнем номере. Число рекламных объявлений в газете зависит от многих факторов: дня недели, сезона, общего состояния экономики, активности местного бизнеса и т. д. Пусть X – число новых рекламных объявлений, напечатанных в местной газете в определенный день. X – случайная величина, которая может быть только целым числом. В нашем примере случайная величина X принимает значения 0; 1; 2; 3; 4; 5 с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1 соответственно (табл. 1).

Таблица 1 . Ряд распределения случайной величины X

xi	0	1	2	3	4	5
P(xi)= pi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

Поскольку появления различных значений случайной величины X – несовместные события, то вероятность того, что в газету будут помещены или 2 или 3 рекламных объявления, равна сумме вероятностей P(2) + P(3) = 0,3 + 0,2 = 0,5. Вероятность же того, что их число будет находиться в пределах от 1 до 4 (включая 1 и 4), равна 0,8, т. е. P(1 ≤ X ≤ 4) = 0,8; a P(X = 0) = 0,1. Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности. Если точки (x_i, p_i) соединить отрезками прямых, то полученная ломаная линия есть многоугольник (или полигон) распределения.

Рис. 1. Полигон распределения

Пример. В книжном магазине организована лотерея. Разыгрываются две книги стоимостью по 10 руб. и одна – стоимостью в 30 руб. Составить закон распределения случайной величины X – суммы чистого (возможного) выигрыша для того, кто приобрел один билет за 1 руб., если всего продано 50 билетов.

Решение: Случайная величина X может принимать три значения: 1 руб. (если владелец билета не выиграет, а фактически проиграет 1 руб., уплаченный им за билет); 9 руб.; 29 руб. (фактический выигрыш уменьшается на стоимость билета – 1 руб.). Первому результату благоприятствуют 47 исходов из 50, второму – два, а третьему – один. Поэтому их вероятности таковы: P(X = –1) = 47/50 = 0,94; P(X =9) = 2/50 = 0,04; P(X = 29) = 1/50 = 0,02;

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Сумма выигрыша, X	–1	9	29
Вероятность, Р	0,94	0,04	0,02

Контроль:  = 0,94 + 0,04 + 0,02 = 1.

4.2. Числовые характеристики ДСВ

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения х_k, k= 1,2,… с вероятностями р_k. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

1)      для любой постоянной величины C: MC=C;

2)      для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;

3)      для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;

4)      если случайные величины X(w) и Y(w) таковы, что X(w) £ Y(w) для всех , то МX £ MY;

5) 

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(X–MX)².

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

1)    для любой постоянной величины C: DC=0;

2)    для любой постоянной a: D(aX)=а²*D(X).

Утверждение. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX ² – математическое ожидание случайной величины X ². Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

. Пример. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX ²-(MX)².

MX ²= 100²*1/3+200²*4/15+300²*1/5+400²*2/15+500²*1/15=70000; DX = 15555,(5).

4.3. Биноминальное распределение ДСВ.

Понятие геометрического распределения.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них – биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Такие  испытания называются испытаниями Бернулли.

Cобытие А будем называть «успехом», а событие  – «неудачей».

Рассмотрим случайную величину Х – число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех  Действительно, вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и (n – k) неудач в остальных  (n – k) испытаниях равна  Распределить k успехов среди n испытаний можно  способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

Решение: При каждом подбрасывании «успех» – выпадение герба, n = 10, k = 4, р = 1/2.

Биномиально  распределенная случайная величина X – это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию.

(бином Ньютона) 

Математическое ожидание  

Дисперсия

Пример. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10*(1/2) = 5, дисперсия равна DX = nрq = 5*(1/2) = 5/2. Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х – число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы.         

X 1 2 ... k ... P q pq ... pk-1q ...

 

P(Х = k) =р^k-1*q,  k = 1, 2, 3,…

Такое распределение называется геометрическим.

Пример. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов?

Пусть X – число ударов, сделанных игроком.[Найдем вероятность дополнительного события. Р(Х< 4) = 0,3+0,7*0,3+(0,7)²*0,3 = 0,657.  Тогда Р(Х ³ 4) = 1–0,657 = 0,343.

Производящая функция случайной величины с геометрическим распределением  Математическое ожидание Дисперсия

Пример. Cреднее число ударов бильярдиста MX=1/q=1/0,3=10/3=3,(3). Дисперсия числа ударов  DX= р/q² = 0,7/(0,3)² = 70/9 = 7,(7).

 

4.4. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). Формула вычисления вероятно­стей.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на числовом интервале.

Примеры непрерывных случайных величин: возраст студентов, длина ступни ноги человека, масса детали и т. д. Это положение относится ко всем случайным величинам, измеряемым на непрерывной шкале, таким как меры веса, длины, времени, температуры, расстояния. Измерение может быть проведено с точностью до какого-нибудь десятичного знака, но случайная величина – теоретически непрерывная величина. В экономическом анализе находят широкое применение относительные величины, различные индексы экономического состояния, которые также вычисляются с определенной точностью, скажем, до двух знаков после запятой, хотя теоретически их значения – непрерывные случайные величины.

У непрерывной случайной величины возможные значения заполняют некоторый интервал (или сегмент) с конечными или бесконечными границами.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать в виде интегральной функции распределения, являющейся наиболее общей формой задания закона распределения случайной величины, а также в виде дифференциальной функции (плотности распределения вероятностей), которая используется для описания распределения вероятностей только непрерывной случайной величины.

Функция распределения (или интегральная функция) F(x) – универсальная форма задания закона распределения случайной величины. Для непрерывной случайной величины функция распределения также определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т. е.

F(x) = F(X < x).                                                                                        

При изменении х меняются вероятности Р(Х < x) = F(x). Поэтому F(x) и рассматривают как функцию переменной величины. Принято считать, что случайная величина X известна, если известна ее функция распределения F(x).

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. F(x₂) ≥ F(x₁), если х₂ > х₁. Тогда P(x₁ ≤ Х < х₂) = P(Х < х₂) – P(Х < х₁) = F(x₂) – F(x₁).

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то P(x₁ ≤ ≤ Х < х₂) ³ 0, а следовательно, F(x₂) – F(x₁) ≥ 0 и F(x₂) ≥ F(x₁).

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (α, β), равна приращению функции распределения на этом интервале, т. е.

P(α ≤ Х < β) = F(β) – F(α).                                                                        

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Р(Х = х₁) = 0.                                                                                           

Согласно сказанному, равенство нулю вероятности Р(Х = х₁) не всегда означает, что событие Х = х₁ невозможно. Говоря о вероятности события Х = х₁, априорно пытаются угадать, какое значение примет случайная величина в опыте.

Если х₁ лежит в области возможных значений непрерывной случайной величины X, то с некоторой уверенностью можно предсказать область, в которую случайная величина может попасть. В то же время невозможно хотя бы с малейшей степенью уверенности угадать, какое конкретное значение из бесконечного числа возможных примет непрерывная случайная величина.

Например, если метеослужба объявляет, что температура воздуха в полдень составила 5 °С, то это не означает, что температура будет точно равна этому значению. Вероятность такого события равна нулю.

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (α, β), то

F(х) = 0 при х ≤ α; F(х) = 1 при х > β.                                                      

В самом деле, F(x) = 0 для всех значений х ≤ α и F(х) = 1 при х > β, поскольку события X < х для любого значения х ≤ α, являются в этом случае невозможными, а для любого значения х > β – достоверными.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной личины расположены на всей оси ОХ, то справедливы следующие предельные соотношения:

 ,                                                                     

или F(– ∞) = 0; F(+ ∞) = 1. Это следствие справедливо и для дискретных случайных величин.

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности .

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в промежуток (а, в), определяется равенством 

.

График функции называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, в) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=а, х=в.

Задача 1. Даны вероятности значений случайной величины : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

	2	4	8	10
	0,4	0,2	0,1	0,3

Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон) распределения случайной величины

 Задача 2. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5000 руб и одна вещь стоимостью 30000 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина  представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5000 и 30000 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:

;     ;     .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

	0	5000	30000
	0,94	0,04	0,02

В качестве проверки найдем

.

Задача 3. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью , причем

Требуется: 1) Найти коэффициент а; 2) построить график распределения плотности ; 3) найти вероятность попадания в промежуток (1; 2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 3], то

, откуда

, или

, т.е. .

2) Графиком функции в интервале [0; 3] является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс.

х

 

3) Вероятность попадания случайной величины в промежуток (1; 2) найдется из равенства

.

Пусть производится определенное число n независимых опытов, причем в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие Р. Рассмотрим случайную величину , представляющую собой число наступлений событий A в n опытах. Закон ее распределения имеет вид

Значения	0	1	2	…	n
Вероятности

Где , вычисляется по формуле Бернулли.

Закон распределения, который характеризуется такой таблицей, называется биноминальным.

Задача. Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной величины - числа выпадения герба.

Решение. Возможны следующие значения случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна , найдем вероятности значений случайной величины  по формуле Бернулли:

;

;

;

;

;

.

Закон распределения имеет вид

Значения	0	1	2	3	4	5
Вероятности

Сделаем проверку:

.

V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

5.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

          Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид

Значения			…
Вероятности			…

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины  называется число

.

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины  равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

	-1	0	1	2	3
	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Решение.

.

Свойства математического ожидания.

1.       Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

2.       Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

3.       Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

4.       Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

 

5.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин  и , зная законы их распределения

1)

	-8	-4	-1	1	3	7

2)

	-2	-1	0	1	2	3

Решение:

,

.

a)

Получили любопытный результат: законы распределения величин и разные, а их математические ожидания одинаковы.

б)

 

Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания , чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания (рисунок а).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины  относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через .

Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е. .

Отклонение и его квадрат также являются случайными величинами.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

Свойства дисперсии.

1.                 Дисперсия постоянной величины С равна 0:

.

2.                 Если - случайная величина, а С – постоянная, то

.

3.                 Если  и - независимые случайные величины, то

.

Для вычисления дисперсий более удобной является формула

.

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:

	-1	0	1	2
	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти .

Решение. Сначала находим .

,

а затем .

.

По формуле  имеем

.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

VI. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Комбинаторика

1.   Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

2.   Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

3.   В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять четыре детали?

4.   Боря, Дима и Володя сели играть в кары. Сколькими способами им можно сдать по одной карте?

5.   В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?

6.   Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

7.   Студенческая группа, состоящая из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек, пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки? Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки, если принять во внимание инициативу приглашения?

8.   Сколько существует трехзначных чисел, делятся на «5»?

9.   Решить уравнения

а) . б) .

10. У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?

б) сколькими способами можно отпустить котов погулять?

в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного в левую, другого – в правую)?

Теория вероятностей

1.        В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

2.        В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

3.        Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

4.        Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;

б) не более четырёх очков;

в) от 3-х до 9 очков включительно.

5.        В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах

б) двое выйдут на одном этаже;

в) все выйдут на одном этаже.

6. На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?

7.  Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1.                 Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

2.                 Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

3.                 Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

4.                 Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

Х	1	2	3	4
р	0,3	0,1	0,2	0,4

5.                 На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

6.                 Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

 

VII. ОТВЕТЫ

Комбинаторика

1. . 2.192. 3.1365. 4. 42840. 5. 506. 6.123. 7. а) 130, б) 260.

8.180.  9. а) , 5; б) .  10.а) 24, б) 15, в) 12.

Теория вероятностей

1. а) 1/2; б) 1/6; в) 1/3. 2. 25/30. 3. 0,1. 4. а) 1/9; б) 1/6; в) 29/36.

5. а)306/361;  б) 54/361; в) 1/361 . 6. 2/7.  7. 96/935.

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

1.

0	1	2	3	4	5	6
0,046656	0,186624	0,311040	0,276480	0,138240	0,036864	0,004096

2.

1	2	3	4
0,3	0,21	0,147	0,343

3.  4.  5. 6..

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Чернова Н. И. Введение в теорию вероятностей. – М.: Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2008г. – 128с.

2.  Прохоров Ю. В., Пономаренко Л. С. Лекции по теории вероятностей и математической статистике: учебник для студентов высших учебных заведений. – М.: Издательство МГУ, 2012 г. - 254 с.

3.  Балдин К. В., Руносцев А. В., Башлыков В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Дашков и К, 2014г. - 473с.

4.  Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов ВУЗов. _ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011г. - 497 с.

5.  Григорьев С. Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования /С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина; - М.: издательский центр «Академия», - 2011г. - 416 с.

Дополнительная:

6.     Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. Пособие /Мхитарян В. С., Трошин Л. И., Астафьева Е. В., Миронкина Ю. Н. / под ред. В. С. Мхитаряна – М.: Маркет ДС, 2007. – 375 с.

7.     Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

8.     Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400 с.

9.     Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей: Учебное пособие. – 2-е изд., испр. – Новосибирск: Новосиб. Гос. Ун-т, 2003. – 119с.

10. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для ВУЗов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007. – 365 с.