Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Фрагмент урока на тему "Изучение формул тригонометрических функций двойного и тройного аргумента".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Фрагмент урока на тему "Изучение формул тригонометрических функций двойного и тройного аргумента".

библиотека
материалов

Фрагмент урока на тему: «Линия тангенсов и линия котангенсов».

Таблица 1.

Фрагмент урока.

Деятельность учителя

Записи на доске

Деятельность учащихся

Вы уже умеете решать уравнения вида hello_html_m4eda0a95.gifгде hello_html_m8f522f9.gif – заданное число. Как мы решали такие уравнения? Расскажите алгоритм решения уравнения вида hello_html_1bc06f80.gif а затем - hello_html_m14266830.gif



Уравнения вида hello_html_m4eda0a95.gifгде hello_html_m8f522f9.gif – заданное число, мы решали с помощью единичной окружности. Для синуса угла отмечали точку hello_html_m8f522f9.gif на оси hello_html_m6b79b6a.gif и проводили через получившуюся точку прямую, параллельную оси hello_html_m3aa317.gif. В результате этих действий, получится две точки пересечения данной прямой с нашей окружностью, они и будут являться ответом данного уравнения. Для косинуса угла отмечали точку hello_html_m8f522f9.gif на оси hello_html_m3aa317.gif и проводили через получившуюся точку прямую, параллельную оси hello_html_6ab60c42.gif. В результате этих действий, получится две точки пересечения данной прямой с нашей окружностью, они и будут являться ответом данного уравнения.



Продолжение табл.1.


А как вы думаете, можно ли решить с помощью единичной окружности уравнения вида hello_html_m435b72e8.gif? Что нам для этого нужно знать?


Наверное, можно. Для того чтобы решить уравнения вида hello_html_m435b72e8.gif, нужно знать геометрическую интерпретацию тангенса и котангенса.


11.png

Из треугольника hello_html_m595ef1ca.gif, а из треугольника hello_html_m27e3158.gif hello_html_4686a3c5.gif, так как это единичная окружность, то hello_html_mbd24610.gif радиус окружности и равен 1, тогда получаем что hello_html_777d16e0.gif равен ординате точки hello_html_2460219.gif.

Прямая hello_html_m8f522f9.gif является касательной к единичной окружности, проведенной в точку hello_html_6a4a434.gif.


Прямая hello_html_m8f522f9.gif является линией тангенсов. Чем является эта прямая для нашей единичной окружности? Тогда что же такое линия тангенса?


Линия тангенса – касательная к тригонометрической (единичной) окружности, проведенная в точке с координатами hello_html_799d7073.gif.

Проверим, справедлива ли данная интерпретация тангенса для любого угла hello_html_7d00c32c.gif Как это можно сделать?

13.png




Мы рассмотрели уже тот случай, когда угол hello_html_695bfd0f.gif лежит в первой координатной четверти. Чтобы проверить достоверность данной геометрической интерпретации, нужно рассмотреть и случаи, когда угол hello_html_695bfd0f.gif находится во второй, в третьей и в четвертой координатной четверти.


14.png

Пусть hello_html_4204c69b.gif точка единичной окружности, соответствующая некоторому углу hello_html_695bfd0f.gif. Проведем прямую через точку hello_html_m38caab32.gifи начало координат. Пусть эта прямая пересекает линию тангенсов в точке hello_html_2460219.gif.



Продолжение табл.1.





15.png


Какой можно сделать вывод из рассмотренных нами случаев? На каком основании был сделан это вывод?


Из рассмотренных случаев можно сделать вывод, что изображение тангенса с помощью линии тангенсов, справедливо для любого угла. Действительно, с учетом знаков hello_html_m1fd1e50d.gif и из того, что hello_html_m3c8c4f9f.gif легко установить, что отношение hello_html_m7e96b32d.gif в каждом рассмотренном нами случае оказывается равно ординате точки hello_html_2460219.gif.

Мы рассмотрели геометрическую интерпретацию тангенса. Как вы думаете, для котангенса есть геометрическое представление? Предположите каким оно может быть? Чему тогда равен котангенс? Продемонстрируйте свою идею на чертеже.

07.png

Для котангенса тоже должна быть геометрическая интерпретация.

Так как котангенс угла, это отношение косинуса угла к его синусу, то есть отношение абсциссы точки к ординате этой точки, и учитывая то, что линия тангенса проходит параллельно оси hello_html_m6b79b6a.gif, то можно предположить, что для котангенса существует линия котангенса – касательная к окружности, проведенная в точке (0;1) и параллельная оси hello_html_m3aa317.gif. hello_html_208e89cc.gif.

Верно, котангенс угла hello_html_695bfd0f.gif равен абсциссе точки Т. Так как же наглядно представить котангенс на линии котангенсов?


Пусть hello_html_4204c69b.gif точка единичной окружности, соответствующая некоторому углу hello_html_695bfd0f.gif. Проведем прямую через точку hello_html_m38caab32.gifи начало координат. Пусть эта прямая пересекает линию котангенсов в точке hello_html_2460219.gif.

Продолжение табл.1.




Тогда котангенс угла hello_html_695bfd0f.gif равен абсциссе точки Т.

Сделайте геометрическую интерпретацию котангенса угла, лежащего во второй, в третьей и в четвертой координатной плоскости.

04.png

Рассмотрим последовательно случаи, когда угол hello_html_695bfd0f.gif лежит во второй, в третьей и в четвертой координатной плоскостях. Будем действовать по уже известному нам алгоритму (описанному выше).

Верна ли наша идея представления котангенса таким образом или есть какие-то исключения?

05.png

06.png

Получаем, что данная интерпретация справедлива для любого угла hello_html_695bfd0f.gif.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров193
Номер материала ДВ-066534
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх