Индивидуальный проект 9 класс "Фрактал" (с презентацией)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ     

     УЧРЕЖДЕНИЕ “Школа №147 Имени П. М. Еськова г. о. Самара”                                                                                                                                          

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ НА ТЕМУ

                                               “ФРАКТАЛ”

                                                                                                            Выполнила:

                                                                              Савинкина Софья Дмитриевна

                                                                                             Ученица 9 «А» класса

                                                                  МБОУ СОШ №147 им. П. М. Еськова

Руководитель проекта:

                                                                                           Учитель по математике 

                                                                             Пешкова Ирина Александровна                                                                                               

Дата защиты: 24.03.2022

                                                 г. Самара 

                                                    2022 г.

                                             СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Что такое фрактал………………………………………………........................5

2.История возникновения понятия фрактала……………………………………7

3. Виды фракталов………………………………………………………………...9

3.1 Геометрические фракталы……………………………………........................9

3.2 Алгебраические фракталы…………………………………………………..11

3.3Стохастические фракталы…………………………………………………..13

4.Фракталы в математике и изобретениях человека…………….....................15

5.Методика «Драконовы ключи»……………………………………………….17

6. Мое исследование……………………………………………………………..19

Заключение……………………………………………………………………….21

Приложения………..………………………………………………………….....23

Список литературы...……………………………………………………………32

                                                      2

ВВЕДЕНИЕ

 Новая форма искусства переопределяет границы между «изобретением» и «открытием», как они понимаются в науках, и «творчеством», как они понимаются в пластических искусствах. Может ли чистая геометрия восприниматься «человеком с улицы» как нечто прекрасное? Или более конкретно, может ли форма, которая задается простым уравнением или правилом построения, восприниматься людьми, далекими от геометрии, как эстетически ценная – то есть, по крайней мере, как удивительно декоративная – или даже как произведение искусства? Если геометрическая форма – фрактал, то ответ – да.

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в изгибистой линии морского берега. Некоторые из фракталов постоянно меняются, похоже передвигающимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, похоже деревьям или нашим сосудистым системам, берегут структуру, полученную в процессе эволюции. Очень часто мы встречаемся с особыми объектами, только мало кто знает, что это и есть фракталы. Фракталы — уникальные объекты, порожденные непонятными ходом беспорядочного мира. Они встречаются как в небольших объектах, например, клеточная мембрана, и огромных, таких как Солнечная система и Галактика.

 Предоставленная тема привлекла меня своей необычностью, многообразием, красой элементов, которые в хаотичном распорядке творят красивые фигуры. Мне захотелось подробно изучить фрактал, проделать собственную работу.                              

Цель:

Представить на образце темы “Фрактал”, что математика не независимый от жизни предмет. Математика присутствует во многих областях нашей жизни.

Объект исследования:

Математические абстракции, сотворенные человеком; изобретения человека; окружающий мир.

3

Предмет исследования:

 Методика, составленная по форме фрактала; форма и конструкция исследуемых объектов и явлений.

Задачи:

1. Дать определение фрактала.

2. Рассмотреть различные виды фракталов.                                                                                                                               

3. Рассмотреть возможности практического применения фрактала.                                     

4. Провести практическую работу по методике «Драконовы ключи».

 Большая часть информации была взята с источников интернета: поучительных видео математиков, физиков; википедии и прочих сайтов.

                                                      4

                           1. ЧТО ТАКОЕ ФРАКТАЛ

Фрактал (лат. Fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, владеющее признаком самоподобия (объект, в точности или приближенно совпадающий с самим собой, то есть целое обладает той же формой, что и одна или более частей). В пространстве, обладающие дробной метрической размерностью (в идеи Минковского либо Хаусдорфа), либо метрической размерностью, непохожую на топологическую, потому их следует различать от остальных геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

Существуют множества, которые по своему устройству и свойствам фрактальны, но формально не считаются таковыми вследствие того, что не удовлетворяют определению Мандельброта. Одним из таких множеств является классическая нигде не дифференцируемая функция Ван дер Вардена, точнее, его график (см. Приложение 1).

Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, именуются предфракталами. Выражение «фрактал» применяется не только в свойстве математического термина. Фракталом может именоваться предмет, обладающий свойством владеть сложной структурой на всех масштабах. В этом и отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график функции). Если посмотреть на небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет схож фрагменту прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно заметить идентично сложную картину.

Фрактал представляется самоподобным или приблизительно самоподобным. Владеет дробной метрической размерностью, превосходящей топологическую (размерность объекта – показатель степени, который показывает по какому закону растет внутренняя область).

                                                      5

Фрактал — это объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры абсолютно повторяют структуры, наименьшие по масштабу. Граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из спиралей и завитков. Это не просто сложные фигуры, сгенерированные компьютерами. Все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом. Теоретически, можно сказать, что все что существует в реальном мире является фракталом, будь то облако или маленькая молекула кислорода.

Фракталы можно изменять в масштабе, увеличивать или уменьшать детальность изображения, прокручивать в вертикальном и горизонтальном направлениях. Здесь кроме симметричных изображений можно получать и иррегулярные структуры. Большие возможности соответственно требуют и большого количества времени для их изучения.

Фрактал – значит “состоящие из фрагментов”                 

                                                      6

                  2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛА

Ещё в начале XX века Анри Пуанкаре заметил: «Удивляешься силе, которую может иметь одно слово. Вот объект, о котором ничего нельзя было сказать, пока он не был окрещён. Достаточно было дать ему имя, чтобы произошло чудо». Так и случилось, когда в 1975 году французский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт составил cлово. Из латинских слов frangere (ломать) и fractus (разрывный, дискретный, дробный) сформировался фрактал. Мандельброт мастерски продвигал фрактал как бренд с опорой на эмоциональную притягательность и разумную полезность. Он издает несколько монографий, в том числе, Фрактальная геометрия природы (1982).

Первые образцы самоподобных множеств с необычными свойствами возникли в XIX веке в следствии исследования непрерывных не дифференцируемых функций. Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Георг Кантор с помощью несложной рекурсивной (повторяющейся) операции преобразовал линию в набор несвязанных точек (так именуемая Пыль Кантора). Он брал линию и устранял центральную треть и после этого воспроизводил то же самое с оставшимися отрезками (см. Приложение 2).

                                                        7

Пеано изобразил особый вид линии (см. Приложение 3). На первом шаге он брал прямую линию и сменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина начальной линии. Затем он осуществлял то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно обнаружить точку, присущую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не обладали точной размерностью. Пыль Кантора выстраивалась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек. А кривая Пеано выстраивалась на основании одномерной линии, а в итоге выходила плоскость.

 Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным. Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

                                                     8

3. ВИДЫ ФРАКТАЛОВ 

                                3.1 Геометрические фракталы

История фракталов стартовала с геометрических фракталов, что исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сходу заметна самоподобность.

Фракталы этого типа возводятся поэтапно. Поначалу изображается основа. Далее кое-какие части основы заменяются на фрагмент. На каждом последующем этапе части уже построенной фигуры, похожие смененным частям основы, снова сменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся зрительно незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала необходимо безграничное число этапов. Изменяя базу и фрагмент, можно получить множество различных геометрических фракталов.

Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с иной стороны, их может «увидеть» — даже человек, отдаленный от математики, найдет в них что-то для себя. Подобное составление бывает иногда в современной математике, где все объекты задаются с помощью неясных слов и символов. Оказывается, многочисленные геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сходу оговоримся, что все получаемые воссоздания (в том числе и те, что приведены на этом плакате) представляются лишь конечными приближениями нескончаемых по своей сущности фракталов. Но всегда дозволено нарисовать такое приближение, что глаз не будет распознавать всецело мелкие элементы и наша фантазия сможет создать правильную картину фрактала. Например, обладая достаточно большим листом миллиметровой бумаги и запасом свободного времени, можно вручную нарисовать такое четкое приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров безоружный глаз будет воспринимать его как действительный фрактал.

                                                       9

Благодаря компьютеру дозволено сберечь время и бумагу и при этом еще повысить точность рисования.

Ещё одним типичным образцом геометрического фрактала является кривая Коха (см. Приложение 4). Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, делим на три одинаковые части и заменяем средний промежуток равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх вышедших звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Если в качестве основы брать равносторонний треугольник, то получим треугольник Серпинского (см. Приложение 5). Равносторонний треугольник разделяется прямыми, параллельные его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольников. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Выходит, множество, заключающееся из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество, заключающееся из 9 равносторонних треугольников «второго ранга» и так далее.

                                                     10

                            3.2 Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на базе алгебраических формул порой очень простых.

Первые изучения в этом направлении причисляются к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиаи Пьера Фату. В 1918 году вышел практически двухсот страничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа (см. Приложение 6) - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта(см. Приложение 7). Данный труд был удостоен приза Французской академии, но в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красу выявленных объектов было невозможно. Несмотря на то, что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней достаточно скоро забыли.В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и классифицировал действительно всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легковесном и легко доступном образце рассказал ее. Главной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, приобретенным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело, разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали ведомы широкой публике. Их успех среди не математиков во многом обусловлен тем, что с поддержкою весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красе изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог действительно любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно просто обнаружить множество сайтов, посвященных этой теме.

                                                      11

Алгебраические фракталы – это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процес-сы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят — аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.

                                                     12

3.3 Стохастические фракталы

Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Известным представителем стохастических фракталов является плазма (см. Приложение 8). Для её построения возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок.

Если мы теперь скажем, что цвет точки — это высота над уровнем моря, то вместо плазмы получим горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т. д.

Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины

                                                      13

Стохастические фракталы являются ещё одним известным классом фракталов, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

                                                     14

4. ФРАКТАЛЫ В МАТЕМАТИКЕ И ИЗОБРЕТЕНИЯХ ЧЕЛОВЕКА

Фракталы обширно используются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, плоскости морей и так далее. В последнее время фракталы стали известным инструментом для разбора состояния биржевых рынков.

В физике фракталы естественным образом появляются при моделировании нелинейных процессов, таких, пламя, облака и т. Фракталы применяются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

1) Не разветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…» , «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…» , «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…» ).

2) Не разветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…» ) и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек» )
В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна.

3) Венок сонетов (15 стихотворений) , венок венков сонетов (211 стихотворений).

4) «Рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи» , Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе» )

                                                     15

5) Предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы» ).

6) Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём). В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому Х. Л. Борхес «В кругу развалин», Х. Кортасар «Жёлтый цветок», Ж. Перек «Кунсткамера».

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.          

                                                     16

5. МЕТОДИКА «ДРАКОНОВЫ КЛЮЧИ»

Методика «Драконовы ключи» создана питерским художником Сергеем Рокамболем. Данная методика состоит из серии рисунков, основанных на фрактальной схеме матрицы (см. Приложение 9).

 Драконовы ключи» - это альбом раскрасок, в которой все рисунки сконструированы таким образом, что взаимодействие с ними проявляет и активизирует разнообразные и разно-уровневые скрытые творческие возможности человека.

 Все рисунки методики делят на две группы:

 1. Одинарные

 2. Двойные (парные) – рисунок и его зеркальное подобие для развития правополушарного и левополушарного человеческого восприятия, и действия.

 В основе рисунков – фрактальная схема-матрица, ритмика которой подчинена «золотым пропорциям» и резонирует с реальной ритмикой психических процессов человека и магнитосферы Земли.

Серия состоит из изображений птицы (право и лево ориентированной), дракона (право и лево ориентированного), единорога (право и лево ориентированного), рыбы (право и лево ориентированной), царя, царицы, дерева и бабочки. Рисунки выполнены на плоскостном изображении, являются стилизованными и обобщенными, они не дают определенного представления о том, что это за птица или человек. Контуры самих фигур сильно “зашумлены” как элементами фоновых изображений, так и элементами сложно дифференцированной внутренней структуры рисунка, которая представляет собой ячеистую сетку, на пересечении которой находятся опорные связующие элементы – круги.                                  

                                                     17

Самыми крупными кругам и выделены центральные пространственные оси – вертикальная и горизонтальная, другие направления отмечены более мелкими кружками. Все круги и фигурные элементы этой сетки симметричны относительно срединной вертикальной оси рисунка и могут быть произвольно объединены цветом в более крупные структурные формы – фракталы.

С помощью методики «Драконовы ключи» гармонизируется общее психическое состояние. Активизируются тонкие области внимания и интуиции. Растет сосредоточенность и концентрация внимания. Происходит активизация творческих возможностей, развитие воображения. Активизируются межполушарные связи в головном мозге. Устанавливается гармоническое соотношение между левым и правым полушариями мозга. Растет чувство ритма. Развивается мелкая моторика, ассоциативное и образное мышление. Таким образом, методика имеет и развивающий, и психотерапевтический эффект.

«Логика авторов подводит к тому, что мир, изменяющийся вокруг, если даже и не может быть преображаем и познаваем, то может быть использован нами для изменения нас самих, и превращения нас в людей более открытых, гибких, творческих и смелых…»    

                                                     18

                                      6. МОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Проблема тревожности является очень острой и актуальной в эпоху всеобщей невротизации. По статистике и многочисленным исследованиям у каждого третьего ребенка при переходе в среднее звено количество детей с тревожностью вырастает. Это связано с постоянно меняющейся образовательной системой, ее перестройкой, ежегодными нововведениями, которые предъявляют к ученику, учителям и родителям все новые и новые требования.

Вместе с учителем математики Ириной Александровной мы решили провести практическую работу по теме проекта. Задача работы заключалась в раскраске «Драконовы ключи». Один из начальных классов оказался не против помочь с исследованием. Ребята с интересом как рисунок будет выглядеть в цветном виде принялись за работу.

Было интересно наблюдать за состоянием ребят. Какое настроение было у них перед работой и после, какие эмоции они испытывали. По их работам так же можно было понять, что они испытывали лишь по цветовой гамме. Также было очень любопытно наблюдать за процессом. После продуктивного дела детям были заданы вопросы:

1. Понравилось ли вам раскрашивать подобные картинки?

2. Поднялось ли у вас настроение?

3. Захотелось ли вам еще раскрашивать такие картинки?

Ответы ребят были положительными. Кто-то брал еще рисунки домой. Во время раскрашивания те, кто не стеснялся задавали вопросы:

1. Кто придумал методику?

2. Что означают данные картинки?

                                                     19

У каждого из ребят было свое представление рисунка фрактала. Даже если фрактал был показан как рыба, то для кого-то из ребят это было совершенно другое животное, предмет.

По ходу исследования могу сказать, что было непросто объяснить ответы на вопросы, которые коверкали ребята. В работе есть куча недочетов и ошибок, но мы старались придумать интересную работу, которая подключила бы в помощь детские умы.

Целью такой работы было:

1. Развитие творческих способностей (креативности), воображения

2. Развитие восприятия

3. Устойчивости внимания, памяти, мелкой моторики.

4. Развитие навыков самовыражения.                  

5. Снятие напряжения.

                                                     20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(«Ad infinitum» в переводе с латыни – «до бесконечности»). Это четверостишие вполне может служить описанием фрактала. Ричардсон обратил внимание, что при исследовании турбулентности (хаотических вихрей) воздушных потоков он обнаружил каскад энергии – от больших вихрей к малым, то есть своеобразную гармонию: маленькие вихри возникают внутри больших и как бы повторяют их форму и поведение.

Фрактальность – это мера неправильности. Например, чем больше поворотов имеет река, больше ее фрактальное число. Создатель теории фракталов Мандельброт обнаружил близкое родство между фрактальным числом реки Миссисипи и ценами на хлопок на временном интервале, которое он изучал.

Именно алгоритмом Мандельброта пользуется природа, создавая свои шедевры – фракталы золотого сечения – от листа травы до биологической популяции. Поэтому не удивительно, что фракталы поразительно красивы. Своей красотой и разнообразием форм они поразили не только математиков. В 1984 году Институтом Гете была устроена выставка «Границы хаоса», представлявшая собой портреты фрактальных структур, она имела сенсационный успех и обошла весь мир. Впервые в истории науки результаты математических расчетов демонстрировались широкой публике как произведения искусства. Еще через два года представленные на выставке материалы были собраны в книге Петера Рихтера и Ханца-Отто Пайтгена «Красота фракталов», которая в 1993 году вышла в России. Рихтер и Пайтген были буквально поражены красотой и разнообразием нелинейных фракталов. Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из примет науки конца второго тысячелетия.

Удивительная простота фрактальных алгоритмов и потрясающее великолепие их форм сделали фрактальную геометрию необычайно эффективным орудием для описания морфологических свойств природы. Не случайно говориться: «Мудрость в простоте». Принцип единого простого, задающего разнообразное сложное, можно проследить в устройстве всего мироздания. Этот принцип заложен в геноме человека и животных, когда одна клетка живого организма содержит всю информацию обо всем организме в целом.

                                                     21

Для очертаний объектов природы характерно определенное чередование порядка и беспорядка. Гармония порядка и беспорядка, Космоса и Хаоса, по-видимому, есть один из высших принципов Природы.

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение и в информационных технологиях, например, для синтеза трехмерных компьютерных изображений природных ландшафтов, для сжатия (компрессии) данных и многих других областях.

                                                     22

Приложение 1

                                  Функция Ван дер Вардена

                                                     23

Приложение 2

                                           Пыль Кантора

                                                     24

Приложение 3

                                           Кривая Пеано

                                                     25

Приложение 4

                                             Кривая Коха

                                                     26

Приложение 5

                                   Треугольник Серпинского

                                                     27

Приложение 6

                                         Множество Жюлиа

                                                     28

Приложение 7

                                  Множество Мандельброта

                                                     29

Приложение 8

                                               Плазма

                                                     30

Приложение 9

                                 Методика Драконовы ключи

                                                     31 

                                           ИСТОЧНИКИ

1. Фракталы как искусство. Сборник статей/ Пер. с анг., фр. Е. В. Николаевой, - СПб,; "Страта", 2015 - 224 с.

2. Сергей Деменок. Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2014 – 172 с.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

4. https://vk.com/wall-45945755_1816

5. https://studopedia.ru/6_61280_klass

6. ifikatsiya-fraktalov-vidi-fraktalov.html

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Венок_сонетов

8. https://www.maam.ru/detskijsad/profilaktika-i-korekcija-yemocionalnogo-mira-rebenka-cherez-art-terapiyu-mandalaterapija-i-drakonovy-klyuchi.html

9. http://www.hintfox.com/article/storija-pojavlenie-fraktalnoj-matematiki.html

10. https://cyberleninka.ru/article/n/o-neformalnyh-fraktalah/viewer

                                                       32

         Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

                            “Школа №147 Имени П. М. Еськова”                                                      

           ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ НА ТЕМУ

                                              “ФРАКТАЛ”

                                                             Выполнила:

                                                             Савинкина Софья Дмитриевна

                                                             Ученица 9А класса МБОУ СОШ №147

                                                             Руководитель проекта:

                                                             Пешкова Ирина Александровна

                                                г. Самара 

                                                   2021 г

                                             Содержание 

Введение……………………………………………………………...3 1. Что такое фрактал…………………………………………………5

2.   История возникновения понятия фрактала……………….

3.   Виды фракталов………………………………………

3.1   Геометрические фракталы……………………………………

3.2   Алгебраические фракталы………………………………………………

3.3   Стохастические фракталы………………………………………………

4.   Фракталы в живой и неживой природе…………………………………..  5.Фракталы в математике и изобретениях человека……………

6. Мои исследования………………………………………………………….

Заключение……………………………………………………………...

Источники…………..……………

                                                      2

Введение

Тема моего проекта “Фрактал”. Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции. 

Геометрия, которая изучается в школе и которой мы пользуемся в повседневной жизни, восходит к Евклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Но в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, ели и сосны на какойлибо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Евклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями.  

Данная тема привлекла меня своей необычностью, многообразием, красотой элементов, которые в хаотичном порядке создают шикарные фигуры. Мне захотелось подробно изучить фрактал и попытаться сделать макет фигуры. 

Цель: 

Показать на примере темы “Фрактал”, что математика не оторванный от жизни предмет. Математика присутствует во многих областях нашей жизни. 

Объект исследования:

Человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека, окружающий мир. 

Предмет исследования:

 Форма и строение исследуемых предметов и явлений (фрактал)

                                                       3

Гипотеза:

Строение человека, растительного мира и неживой природы едино с точки зрения фрактальной геометрии. 

Задачи:

1.   Дать определение фрактала.                                                                                 

2.   Рассмотреть различные виды фракталов.                                                         

3.   Рассмотреть природные явления и объекты окружающего мира с точки

зрения проявления в них фрактала.                                                                       

4.   Рассмотреть возможности практического применения фрактала.                               

5.   Придумать и создать собственный фрактал. 

Большая часть информации была взята с источников интернета:

поучительных видео математиков, физиков; википедии и прочих сайтов.

                                                       4

1. Что такое фрактал.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных не дифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

•       Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

•       Является самоподобным или приближённо самоподобным.

•       Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

                                                       5

2. История возникновения понятия фрактала

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Пеано нарисовал особый вид линии. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек. А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.

Вплоть до XX века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Мандельброт (приложение № 6), математик, отец фрактальной геометрии, который предложил термин «фрактал» для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. В книге Мандельброта рассмотрен классический пример – «Какова длина берега Британии?».

                                                       6

Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Измерив берег с помощью километровой линейки, мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровов, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до 1 м - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

                                                     7

Краткое описание документа:

Индивидуальный проект в 9 классе по теме "Фрактал". В работе рассматриваются история изучения, виды фракталов, а также проведена практическая работа с младшим классом "Драконовы ключи".