Исследовательская работа "Формула Бейса"

Муниципальное  бюджетное образовательное учреждение

Новомихайловская средняя общеобразовательная школа

Формула переоценки

гипотез Бейеса

Выполнила: ученица 11 класса

Золотухина Валерия

Руководитель: учитель математики

Павленко Е.И.

                                              Новомихайловка

Содержание:

Введение.                                                                               Стр. 2

Глава 1 Изучение литературы.                                            Стр. 3-10

1.1.История возникновения вероятности.                           Стр.3

            1.2 Определение вероятности.                                           Стр. 3-5

            1.2.1. Случайные события и их вероятности.                   Стр 3-4

            1.2.2  Классическое  понятие вероятности события          Стр 4-5

            1.2.3  Классическая вероятная схема.                                Стр 5

1.3  Условная вероятность события                                     Стр.5

1.4. Теорема сложения вероятностей                                   Стр 6

1.5. Теорема умножения вероятностей                                Стр 6-7

1.6Формула полной вероятности события                          Стр 7-9

1.7Формула Бейеса                                                               Стр 9-10

Глава 2 Применение формулы Бейеса                                 Стр. 11-12

Глава 3 «Экспериментальная деятельность»                       Стр. 13-14

Выводы                                                                                  Стр. 15

Список литературы.                                                              Стр. 16

 

 

Введение

Тема: «Формула переоценки гипотез Бейеса»

Цель:

Рассмотреть применение формулы Бейеса

Задачи:

1)    Проанализировать теоритический материал.

2)    Рассмотреть ряд примеров с использованием формулы Бейеса.

3)    Экспериментально  проверить применение формулы Бейеса

Теория вероятности - математическая наука, которая изучает математические модели случайных  явлений, вычисляет вероятности наступления определенных событий.  Данная наука представляет собой огромное поле деятельности, но меня заинтересовала формула полной вероятности и формула Байеса. Я решила проверить смогу ли я применить данные формулы для решения практических задач, и для некоторых наблюдений.

Глава 1 «Изучение литературы»

1.1 История возникновения .

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей^[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений;Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёныеП. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаряаксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

1.2Определение вероятности.

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

1.2.1 Случайные события и их вероятности.

Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 грани, на каждой грани отмечено различное количество точек-от1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующие числам и тогда  говорят о выпадении 1,2 или  6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, и испытанием, а полученный  результат-исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события предсказывать его исход. Какие представления они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

1) Событие А - выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

2) Событие B - выпадет цифра 7, 8, или 9.

3) Событие C - выпадет цифра 1.

Событие A, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит. Называют достоверным событием.

Событие B, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто не возможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Событие C, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос  мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может,  как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Камер говорил: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под  словом «случайный»».

1.2.2  Классическое  понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти элементарные события равновозможными?  Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Мы, конечно,  можем прикинуть, что эти элементарные события будут равновозможными,  когда кость будет предельно правильным кубом с центром тяжести в своём геометрическом центре, когда сделана из идеально однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих «когда» так много, что трудно их все учесть. А может нам обойтись без особых  хитростей и послушаться собственной инструкции; равновозможными элементарными событиями отчитать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при  многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

1.2.3  Классическая вероятная схема.

Для нахождения вероятности события A при проведении некоторого опыта следует:

1.     Найти число N всех возможных исходов данного опыта;

2.     Принять предположения о равно вероятности (равно возможности) всех этих исходов;

3.     Найти количествоN(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие A;

4.     Найти частное  ; оно и будет  равно вероятности события A.

1.3.Условная вероятность.

Случайное событие  определенно как событие, которое при осуществлении может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не полагается,  то такую вероятность называю безусловной; если же полагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называется условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что указано событие А.Условной вероятностью Pa(B)=P(B/A) (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предложении, что событие А уже наступило. Вероятность современного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие  произошло, т.е.

                             P (AB) =P (B) P (A\B) =P (A) P (B\A)

В частности, отсюда получаем:  P (A\B) = P (AB): P (B)

Пример: В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение: Пусть А- событие, состоящие в том, что на линию вышел трамвай  маршрута №1; В - маршрута №2.Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи):АА, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторим выйдет трамвай маршрута №1.Так как все эти события совместны, то: P (AA) = P (A) * P(A/A)=(15/25)*(14/24)     P (BA) = P(B) * P(A\B) = (10/25)*(15/24).Отсюда искомая вероятность:P = P (AA) + P (BA) = (15/25) * (14/24) + (10/25)*(15/24) = 0,6

1.4.Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: .      Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Её удобнее записать в виде:

.                  

Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.Решение. Рассмотрим события: – выиграть не менее 20 руб.,  - выиграть 20 руб.,     - выиграть 100 руб.,  - выиграть 500 руб. Очевидно,. По теореме сложения вероятностей

.

1.5.Теорема умножения вероятностей

Перед тем,  как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях. Событие  называется независимым от события , если вероятность события  не зависит от того, произошло событие  или нет. Событие  называется зависимым от события , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие  или нет.                Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

.            

Очевидно, при применении теоремы умножения вполне безразлично, какое из событий  и  считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать в таком виде:    .

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

.     

Применяя знак произведения, теорему можно записать в виде:

.            

Рассмотрим примеры на применение теоремы умножения вероятностей.

Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Решение. Обозначим:  - появление двух белых шаров. Событие  представляет собой произведение двух событий: ,

где  - появление белого шара при первом вынимании, - появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей

.

1.6.Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий: ,

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. В этом случае

, (1.6)

т.е. вероятность события  вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе. Формула (1.6.) носит название формулы полной вероятности.

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Решение. Рассмотрим три гипотезы:  - выбор первой урны, - выбор второй урны,

 - выбор третьей урны и событие  – появление белого шара. Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможные, то .

Условные вероятности события  при этих гипотезах соответственно равны:

.

По формуле полной вероятности

.

Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя. Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:  - в самолет не попало ни одного снаряда,

 - в самолет попал один снаряд,  - в самолет попало два снаряда,  - в самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события  (выход самолета из строя) при этих гипотезах равны:

.

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Заметим, что первую гипотезу  можно было бы и не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Пример 3. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени , в течение которого желательно обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуляторов двигатель отказывается с вероятностью , при работе только первого из них – с вероятностью , при работе только второго - , при отказе обоих регуляторов – с вероятностью . Первый из регуляторов имеет надежность , второй - . Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) двигателя. Решение. Рассмотрим гипотезы:  - работают оба регулятора,  - работает только первый регулятор (второй вышел из строя),  - работает только второй регулятор (первый вышел из строя),  - оба регулятора вышли из строя и событие

 – безотказная работа двигателя. Вероятности гипотез равны:

Условные вероятности события  при этих гипотезах заданы:

По формуле полной вероятности получим:

  1.7.Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса. Поставим следующую задачу. Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?  Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность  для каждой гипотезы.

  .         (1.7.)

Формула (1.7.) и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

                              Глава 2: Применение формулы Бейеса

 Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время  равна 0,95; если из деталей обычного качества – его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени  и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы:

 - прибор собран из высококачественных деталей,

 - прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта:

.

В результате опыта наблюдено событие  – прибор безотказно работал время .

Условные вероятности этого события при гипотезах  и  равны:

По формуле (1.7.) находим вероятность гипотезы  после опыта:

.

Пример 2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. 

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:  - ни первый, ни второй стрелок не попадет, - оба стрелка попадут,  - первый стрелок попадет, а второй нет,  - первый стрелок не попадет, а второй попадет. Вероятность этих гипотез:

Условные вероятности наблюденного события  при этих гипотезах равны:

После опыта гипотезы  и  становятся невозможными, а вероятности гипотез  и  будут равны:

Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна .

Пример 3. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях  и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии , а 70% - в состоянии . Наблюдательная станция №1 передает ошибочные сведения приблизительно в 2% всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в 8%. В какой-то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии , а наблюдательная станция №2: объект находится в состоянии .

Спрашивается: какому из сообщений верить?

Решение. Естественно, верить тому из сообщений, для которого больше вероятность того, что оно соответствует истине. Применим формулу Бейеса. Для этого сделаем гипотезы о состоянии объекта: - объект находится в состоянии , - объект находится в состоянии . Наблюденное событие  состоит в следующем: станция №1 сообщила, что объект находится в состоянии , а станция №2 – что он находится в состоянии . Вероятности гипотез до опыта

Найдем условные вероятности наблюденного события  при этих гипотезах. При гипотезе  чтобы произошло событие , нужно, чтобы первая станция передала верное сообщение, а вторая – ошибочное:

. Аналогично

.

Применяя формулу Бейеса, найдем вероятность того, что истинное состояние объекта - :

,

т.е. из двух сообщений более правдоподобным является сообщение первой станции.

                                   Глава 3: Экспериментальная деятельность

На уроке физкультуры идет отработка навыков бросков в баскетбольное кольцо. В нашем классе 7 человек:

1.     Оля

2.     Женя

3.     Диана

4.     Лера

5.      Антон

6.     Таня

7.     Кристина.

Я записывала результаты попадания в кольцо в течении 3-х уроков: 

	Оля	Женя	Диана	Лера	Антон	Таня	Кристина
1 урок	5 из 10	2  из 10	6 из 10	5 из 10	8 из 10	3 из 10	5 из 10
2 урок	6 из 10	3из 10	8 из 10	7 из 10	9 из 10	4 из 10	7 из 10
3 урок	8 из 10	5 из 10	7 из 10	8 из 10	10 из 10	6 из 10	8 из 10
Итого	19 из 30	10 из 30	21 из 30	20 из 30	27 из 30	13 из 30	20 из 30

На 4 уроке нужно попасть с первого раза в кольцо. Какова вероятность того, что попадут в кольцо с первого раза?

Событие: А –попадание в кольцо.

Гипотеза 1:  В кольцо с первого раза попадет Оля.

Гипотеза 2:  В кольцо с первого раза попадет Женя.

Гипотеза 3: В кольцо с первого раза попадет Диана.

Гипотеза 4: В кольцо с первого раза попадет Лера.

Гипотеза 5: В кольцо с первого раза попадет Антон.

Гипотеза 6: В кольцо с первого раза попадет Таня.

Гипотеза 7: В кольцо с первого раза попадет Кристина.

Выбор любой гипотезы до опыта равновероятен, поэтому вероятность каждой гипотезы одинаковая и равна   .

Решение:

 Найдем условные вероятности наблюденного события  при этих гипотезах:

1.      вероятность того, что в кольцо попадет Оля

2.      вероятность того, что в кольцо попадет Женя

3.      вероятность того, что в кольцо попадет Диана

4.      вероятность того, что в кольцо попадет Лера

5.      вероятность того, что в кольцо попадет Антон

6.      вероятность того, что в кольцо попадет Таня

7.      вероятность того, что в кольцо попадет Кристина

Вычислим вероятность того, что при первом броске кольцо будет поражено вне зависимости от выбора учащегося. Применим формулу полной вероятности и получим:

Теперь вычислим вероятность того, что при первом броске кольцо будет поражено именно Таней. Применим формулу Бейеса:

Выводы:

Изучив закон умножения, закон сложения, также полную вероятность и теорему Бейеса я  смогла применить эти законы на практике. Также я узнала как при помощи этих законов можно, в повседневной жизни, вычислить вероятность события, т.е. вычислить произойдет данное событие или нет.

Список литературы.

1.     А.Г Мордович, П.В Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Мнемозина   М. 2004г.

2.     В.С Лютикас. Факультативный курс по математике для 9-11 классов. М. «Просвещение»  1990г.

3.     В.А Гусев, А.И Орлов, А.Л Розенталь. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М. «Просвещение» 1977г.

4.     Г.В Дорофеева. Математика учебник для 8 класса. М. «Просвещение»  2006 г.

5.     И.И  Зубарева, А.Г Мордович. Математика  учебник для 6 класса.  «Мнемозина»   М. 2005г.

6.     Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. — 6-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 1999.— 576 c.

7.     www.mathge.ru

8.     Www. rp5.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• 1 слайд

  «Формула переоценки гипотез Бейеса»
  Выполнила: ученица
  11 класса
  Золотухина Валерия
  

• 2 слайд

  Цель:
  Рассмотреть применение формулы Бейеса
  Задачи:
  Проанализировать теоретический материал.
  Рассмотреть ряд примеров с использованием формулы Бейеса.
  Экспериментально проверить применение формулы Бейеса
  
  

• 3 слайд

  Теория вероятности - математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений, вычисляет вероятности наступления определенных событий.
  Формула классической вероятности:
  
  
  
  
  
  
  Условная вероятность: Если при вычислении вероятности события полагаются и другие дополнительные условия, кроме условий эксперимента.
  
  

• 4 слайд

  Закон сложения: Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
  
  
  
  
  Закон умножения: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.
  
  
  
  

• 5 слайд

  Формула полной вероятности:
  

• 6 слайд

  Формула Бейеса:
  

• 7 слайд

  Экспериментальная задача:
  На уроке физкультуры идет отработка навыков бросков в баскетбольное кольцо. В нашем классе 7 человек:
  
  Оля
  Женя
  Диана
  Лера
  Антон
  Таня
  Кристина.
  
  

• 8 слайд

  Я записывала результаты попадания в кольцо в течение 3-х уроков:
  
  

• 9 слайд

  Гипотеза 1: В кольцо с первого раза попадет Оля.
  Гипотеза 2: В кольцо с первого раза попадет Женя.
  Гипотеза 3: В кольцо с первого раза попадет Диана.
  Гипотеза 4: В кольцо с первого раза попадет Лера.
  Гипотеза 5: В кольцо с первого раза попадет Антон.
  Гипотеза 6: В кольцо с первого раза попадет Таня.
  Гипотеза 7: В кольцо с первого раза попадет Кристина.
  
  
  Вероятность каждой гипотезы =
  

• 10 слайд

  Вычисление полной вероятности:
  Р(А)= * + * + * + * + * + * + * = 0,62
  

• 11 слайд

  Вычисление вероятности по формуле Бейеса:
  
  
  P(H6/A)=
  

• 12 слайд

  Вывод:
  Изучив теоретический материал, проведя эксперимент я узнала, что теорию гипотез Бейеса можно использовать в повседневной жизни для вычисления событий.
  

• 13 слайд

  Спасибо за внимание!!!