Исследовательская работа "Вероятность в нашей жизни"

• 1 слайд

  
  Выполнила: ученица
  8 класса
  Золотухина Валерия
  «Вероятность в нашей жизни»
  

• 2 слайд

  Цель: Выявить использование вероятности в повседневной жизни.
  Задачи:
  
  Проанализировать теоретический материал.
  Прорешать ряд задач на классическое определение вероятности.
  Экспериментально проверить применение вероятности в повседневной жизни.
  
  

• 3 слайд

  Понятие вероятности
  классическое
  статистическое
  Геометрическое
  

• 4 слайд

  Формула вычисления вероятности
  

• 5 слайд

  Задача 1: На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007-2009гг, 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить не неисправную машину?
  n=1000 m=650 P=0,650 (вероятность купить исправную машину)
  m=1000 n=150 P=0, 150 (вероятность купить неисправную машину)
  
  
  
  
  
  Задача 2: На 1000 электрических лампочек в среднем приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
  n=1000 m=5 P=0,005 (вероятность купить неисправную лампочку
  n=1000 m=995 P=0,995 (вероятность купить исправную лампочку)
  
  

• 6 слайд

  Эксперимент № 1
  

• 7 слайд

  Эксперимент № 2
  

• 8 слайд

  Вывод:
  Изучив литературные источники, проанализировав полученную информацию и прорешав ряд задач, я выяснила, что теория вероятности имеет широкое применение : для прогнозирования погоды, для покупки исправных автомобилей, также для покупки исправных лампочек и разное другое. Я провела два эксперимента, на прогнозирование погоды в определенное число и время. При завершении своей работы можно сделать вывод: теория вероятности действительно применяется не только для учебников, но и в повседневной жизни также может найти применение.
  

• 9 слайд

  Спасибо за внимание
  

Содержание:

Введение.                                                                               Стр. 2

Глава 1 Изучение литературы.                                             Стр. 3-12

1.1 История возникновения.                                                 Стр.3-4 

1.2 Достоверное и невозможное событие.                           Стр. 4-5

1.3 Случайное событие.                                                        Стр. 6-7

1.4 Определение вероятности.                                              Стр. 7-10

1.4.1 Случайные события и их вероятности.                       Стр. 7-8

1.4.2 Классическое понятие вероятности события.              Стр.8

1.4.3 Статистическое понятие.                                              Стр. 8-9

1.4.4 Геометрическое понятие.                                             Стр.9-10

1.5 Вычисление вероятности.                                               Стр.11-12

1.5.1 Классическая вероятная схема.                                   Стр. 11

1.5.2 Независимость случайных событий.                           Стр. 11-12

          1.5.3 Теорема о нахождении вероятности противоположного события.   Стр. 12

Глава 2 Решение задач на классическое определение теории вероятности.                                                                            Стр. 13

Глава 3 «Экспериментальная деятельность»                        Стр. 14-15

Выводы                                                                                   Стр. 16

Список литературы.                                                               Стр. 17

 

Введение

Тема: «Вероятность в нашей жизни»

Цель:

Выявить использование вероятности в повседневной жизни. 

Задачи:

1)    Проанализировать теоритический материал.

2)    Порешать ряд задач на классическое определение вероятности.

3)    Экспериментально  проверить применение вероятности в повседневной жизни.

Теория вероятности - математическая наука, которая изучает математические модели случайных  явлений, вычисляет вероятности наступления определенных событий.  Имеет широкое применение в жизни, одним из направлений является прогнозирование погоды в конкретный период. Поэтому возникает желание практически проверить, поможет ли данная наука для прогнозирования температуры в конкретный день.

Глава 1 «Изучение литературы»

       1.1      История возникновения .

     Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него… Они не были   рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятности.

Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он  заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт- подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление, но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половину случаев.

Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л Бюффон (1707-1788)  в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал монету-герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нынешнего столетия подбрасывал её 24000 раз-герб выпал 12012 раз. Лет 20 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Рассмотрим другой, более сложный пример-эксперимент с так называемой доской Гальтона. Доска размещена вертикально. Из верхнего резервуара стальные шарики катятся  (на отдельных участках падают) вниз и накапливаются в нижних гнездах. Каждый шарик, встретив на своем пути очередное препятствие, отклоняется или влево или вправо, а затем падает вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнезд. Между тем правильное расположение шариков (симметричное, при котором в центральных гнездах их много, а в крайних мало) повторяющиеся от эксперимента к эксперименту, убедительно свидетельствуют о существовании объективного закона их распределения.

Итак, случайности могут подчиняться относительно простым и более сложным закономерностям.

1.2Достоверное и невозможное событие.

Рассмотрим следующий пример:

На трех карточках проставлены цифры 1, 2, 3. После перетасовки карточек по очереди выстраиваем их в один ряд. Получается трехзначное число Х.

Пространство элементарных событий Е представляют  события 

е₁- «2 = 123»; е₂ -  «d = 213»; е₃- «312»; е₄ – «2 = 231»; е₅ – «d=132»; е₆ – «2=321».

 Рассмотрим в аспекте пространства Е такие события:                            

V-«d<123»и U-«2>123».

Как складывается у нас представление о событии  V?

1.     Мы интуитивно догадываемся, что событие V в аспекте данного испытания невозможно.

2.     Мы можем наглядно убедиться в том, что среди элементарных событий пространства  E нет ни одного события, благоприятствующего событию V.

Как складывается представление о событии U?

1.     Мы интуитивно догадываемся, что событие Uв аспекте данного испытания достоверно.

2.     Мы можем наглядно убедиться в том, что все элементарные события пространства  E благоприятствуют событиюU.

Следовательно, невозможное событие  V и достоверное событие U как бы крайние  варианты случайного события вообще.

 Наши рассуждения можем обобщить таким графиком:

Случайное событие по отношению к испытанию S

Таким образом, невозможное и достоверное события-это не абсолютные категории  событий, связанные с некоторым конкретным испытанием S.

1.3      Случайные события

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт: одни события при реализации данного комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти.

Рассмотрим группу таких событий:

событие	Реализация комплекса  условий	Исход
А1	При нагревании  проволоки.	Её длинна увеличивалась.
А2	При бросании игральной кости.	Выпали четыре очка.
А3	При бросании монеты.	Выпал герб.
А4	При осмотри  почтового ящика.	Найдено три письма.
А5	При низкой температуре.	Вода превратилась в лёд.

Про события А₁ и А₅мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про события  А₂,А₃, А₄-что они могли произойти, но могло быть иначе. Сравнение данных примеров позволяет ощутить случайность событий  А ₂, А₃ и А₄.

Мы можем рассуждать так. Нас окружают события. Мы замечаем:

 

Когда оно при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

	Случайное событие.

 

Отсюда непосредственно следует определение понятие:

Случайным событием называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а  может и не произойти.

1.4Определение вероятности. 

           1.4.1 Случайные события и их вероятности.

Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 грани, на каждой грани отмечено различное количество точек-от1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующие числам и тогда  говорят о выпадении 1,2 или  6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, и испытанием, а полученный  результат-исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события предсказывать его исход. Какие представления они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

1) Событие А - выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

2) Событие B - выпадет цифра 7, 8, или 9.

3) Событие C - выпадет цифра 1.

Событие A, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит. Называют достоверным событием.

Событие B, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто не возможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Событие C, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос  мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может,  как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Камер говорил: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под  словом «случайный»».

1.4.2  Классическое  понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти элементарные события равновозможными?  Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Мы, конечно,  можем прикинуть, что эти элементарные события будут равновозможными,  когда кость будет предельно правильным кубом с центром тяжести в своём геометрическом центре, когда сделана из идеально однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих «когда» так много, что трудно их все учесть. А может нам обойтись без особых  хитростей и послушаться собственной инструкции; равновозможными элементарными событиями отчитать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при  многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

1.4.3  Статистическое понятие вероятности.

При классическом  подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию - равно возможности  элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Каким путем следует подойти к понятию, например, вероятности выпадения шестерки при бросании такой кости? Через воспоминание о правильной кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при бросании правильной игральной кости .

Допустим, провели n бросаний  такой игральной кости и определили, что 6-ка выпала mраз. Отношение называется статистической частотой появления 6-ки. При проведении серне испытаний может случиться, что при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m₁ раз: статистическая частота p₂₌; при подбрасывании кости n+1 раз шестерка выпала m₂  раз: статистическая частота p_{2 =} ; при подбрасывании кости Nраз 6-ка выпала MNраз: статистическая частота PN=;

Что мы заметили? Для статистических частот p₁,p₂,p₃ … PNбудет  характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться, окало вероятности p= .

              1.4.4  Геометрическое понятие вероятности.

Формулирование геометрического понятия вероятности можно с такого примера.

Пусть на плоскости задан круг и в нем треугольник B. В круг на вероятность события A, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

Предлагаем при подходе  к решению этой задачи руководствоваться следующими исходными положениями: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорциональна площади этой части. Если  площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц, то в силу пропорциональности

P (A)==

На этот раз следует добавить, чтов данной ситуации не обязательно быть рациональным числом, хотя формально результат записывается так же. Смысл он имеет несколько иной.

Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида изменений геометрического  пространства: возможно только, чтобы пространство элементарных событий E и подпространства, представляющее событие A, были бы одинаково вида и одинаковых измерений.

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятности сложных событий.

При том или ином подходе к понятию вероятности вырисовывается  единое ядро: вероятность-это специальная мера.

Определение:

Мера

Вероятностью случайного события A называется численная мера возможности этого события при некотором испытании.  

              Когда она выражается числом

 

 Когда ею измеряется возможность наступления события Aпри некотором испытании. 

	Вероятность события A

 

1.5  Вычисление вероятности

  1.5.1  Классическая вероятная схема.

Для нахождения вероятности события A при проведении некоторого опыта следует:

1.     Найти число N всех возможных исходов данного опыта;

2.     Принять предположения о равно вероятности (равно возможности) всех этих исходов;

3.     Найти количествоN(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие A;

4.     Найти частное  ; оно и будет  равно вероятности события A.

1.5.2  Независимость случайных событий и правило произведения вероятностей.

К понятию независимости случайных событий есть несколько подходов.

Событие B называется независимым от A, если его вероятность не зависит от того, произошло или не произошло событие  A, т. е.

P(B/A)=P(B)=P(B/A).

В случае независимости события B от события A из формулы

P (AᴖB) = P (A) * P (B) - N2

В случае независимости события B от события A из формулы

P (B/A)    (№ 1)

получили:

P (AᴖB) = P (A) * P (B)        (№ 2)

Сопоставляя формулы №1 и №2, убеждаемся, что свойство независимости взаимно. Если событие B не зависит от осуществления A, то и  А не зависит от осуществления B.

На основании формулы №2 формулируем правило: 

Вероятность пересечения двух не зависимых событий равна произведению вероятностей  этих событий.

На практике, при рассмотрении примеров, установления  независимости событий обычно пользуется соображениями, основанными на опыте обращения с данными объектами, а не анализом формул.

1.5.3  Теорема о нахождении вероятности противоположного события.

Теорема¹-  для нахождения вероятности следует  из единицы вычесть вероятность самого события;

P (A) = 1 - P (A).

Теорема²  - вероятность наступления хотя бы одного  из двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей

	Если Aи Bнесовместимы, то P (A+B) = P (A)+ P (B)

 

 

 

Глава 2 «Решение задач на классическое определение  теории вероятности».                                                                                                          

Задача №1

На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007-2009гг, 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить не неисправную машину?

m=1000     n=650           P=0,650 (вероятность купить исправную машину)

m=1000     n=150           P=0, 150 (вероятность купить неисправную машину)

Задача №2

На 1000 электрических лампочек в среднем приходится 5 бракованных. Какова  вероятность купить исправную лампочку?

m=1000      n=5              P=0,005 (вероятность купить неисправную лампочку)

                  n=995          P=0,995 (вероятность купить исправную лампочку)

Задача №3

В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно  выделить трех человек - одну девочку и двух мальчиков - для посещения заболевшего ученика этого класса. Тане Петровой очень хочется попасть в число посетителей. Какова вероятность того, что Таню включат в тройку?

m=15          n= 3            P= о,67 (вероятность того, что Таню включат в тройку)

Задача №4

В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить трех человек - одну девочку и двух мальчиков - для посещения заболевшей ученицы этого класса.  Коле Иванову очень хочется попасть в число посетителей. Какова вероятность того, что Колю включат в тройку?

m= 13              n=3         P=0,23 (вероятность того, что Колю включат в тройку)

Глава 3  «Экспериментальная деятельность»

Эксперимент №1

В течение 15 дней я измеряла температуру воздуха на улице.  Для вычисления вероятности  того, что 23 февраля температура воздуха на улице будет выше  -10⁰ C.

Дни недели, число и месяц.	Температура.
8 февраля. Вторник.	-12
9 февраля. Среда.	-10
10 февраля. Четверг.	-16
11 февраля. Пятница.	-11
12 февраля. Суббота.	-5
13 февраля. Воскресенье.	-3
14 февраля. Понедельник.	-8
15 февраля. Вторник.	-8
16 февраля. Среда.	-9
17  февраля. Четверг.	-6
18 февраля. Пятница.	-14
19 февраля. Суббота.	-14
20 февраля. Воскресенье.	-16
21 февраля. Понедельник.	-10
22 февраля. Вторник.	-13
23 февраля. Среда.	-20

m=15       n=6    P=0, 4

Вывод:  проведя вычисления делаем вывод, что так как вероятность меньше 0,5 , то скорее всего 23 февраля на улице температура воздуха будет ниже      -10⁰. Что подтверждается практически. Температура воздуха 23 февраля -20⁰.

Эксперимент №2

В течение 11 дней мы измеряли температуру воздуха на улице. Для  вычисления  вероятности того, что 8 марта температура воздуха на улице будут выше -10⁰C.

Дни недели, число и месяц.	Температура.
23 февраля. Среда.	-20
24 февраля. Четверг.	-18
25 февраля. Пятница.	-17
26 февраля. Суббота.	-12
27 февраля. Воскресенье.	-11
28 февраля. Понедельник.	-4
1 марта. Вторник.	-8
2 марта. Среда.	-9
3 марта. Четверг.	-6
4 марта. Пятница.	-6
5 марта. Суббота.	-9
6 марта. Воскресенье.	-8
7 марта. Понедельник.	-6
8 марта. Вторник.	-2

m=13        n=8          P=0, 62

Вывод: проведя вычисления делаем вывод, что так как вероятность больше 0,5 , то скорее всего 8 марта на улице температура воздуха будет выше    -10⁰. Что подтверждается практически. Температура воздуха 8 марта -2⁰.

Выводы.

 Изучив литературные источники, проанализировав полученную информацию  и прорешав ряд задач, я  выяснила, что теория вероятности  имеет широкое применение : для прогнозирования погоды, для покупки исправных автомобилей, также для покупки  исправных лампочек и разное другое. Я провела два эксперимента,  на прогнозирование  погоды в определенное число и время.  При завершении своей работы можно сделать вывод: теория вероятности действительно применяется  не только для учебников, но и в повседневной жизни также может найти применение.

Список литературы.

1.     А.Г Мордович, П.В Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Мнемозина   М. 2004г.

2.     В.С Лютикас. Факультативный курс по математике для 9-11 классов. М. «Просвещение»  1990г.

3.     В.А Гусев, А.И Орлов, А.Л Розенталь. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М. «Просвещение» 1977г.

4.     Г.В Дорофеева. Математика учебник для 8 класса. М. «Просвещение»  2006 г.

5.     И.И  Зубарева, А.Г Мордович. Математика  учебник для 6 класса.  «Мнемозина»   М. 2005г.

6.     www.mathge.ru

7.     Www. rp5.ru

 

 

                     Муниципальное образовательное учреждение

Новомихайловская средняя общеобразовательная школа

Вероятность в нашей жизни

Выполнила: ученица 8 класса

Золотухина Валерия

Руководитель: учитель математики

Павленко Е.И.

Новомихайловка 2011

Доклад

Здравствуйте, меня зовут Золотухина Валерия я ученица 8 класса Новомихайловской школы. Тема моей работы «Вероятность в нашей жизни».(слайд 1) Я выбрала эту тему, чтобы узнать можно ли применить теорию вероятности в нашей повседневной жизни. Изучив различные источники информации я выяснила, что  вероятность  присутствовала еще в древности: великие полководцы прежде чем отправить воинов на поле битвы все прогнозировали и просчитывали. А игроки в покер и в игральные кости запоминая сделанные ходы предполагали какая карта или кость выпадет далее. Но вероятность можно применять и для прогнозирования  погоды.

Исходя из всего сказанного была поставлена цель: Выявить использование вероятности в повседневной жизни.  Исходя из цели были сформулированы следующие задачи:

1. Проанализировать теоритический материал.

     2.Прорешать ряд задач на классическое определение вероятности.

3.Эксперементально проверить применение вероятности в повседневной жизни. (слайд 2)

Изучив литературу я выяснила, что существуют три определения вероятности: классическое, статистическое и геометрическое.(слайд 3) Также существует несколько формул для вычисления вероятности. Я пользовалась классической формулой вычисления вероятности. Вероятность обозначается латинской буквой Р, вычисляется по формуле (слайд 4), где н- количество всех исходов, м- количество благополучных исходов.

После того как теоретический материал был изучен, я приступила к решению задач на вычисления вероятности. О двух из них я хочу рассказать более подробнее:

Задача №1(слайд 5)

На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007-2009гг, 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить не неисправную машину?

n =1000     m =650           P=0,650 (вероятность купить исправную машину)

n =1000    m =150           P=0, 150 (вероятность купить неисправную машину)

Задача №2(слайд 5)

На 1000 электрических лампочек в среднем приходится 5 бракованных. Какова  вероятность купить исправную лампочку?

n =1000      m =5              P=0,005 (вероятность купить неисправную лампочку)

                   m  =995          P=0,995 (вероятность купить исправную лампочку)

после того как было ясно как вычислять вероятность, я приступила к эксперименту: я решила выяснить смогу ли я на практике спрогнозировать температуру воздуха в нужный мне день. Для этого я в течение 15 дней каждое утро начиная с 8 февраля по 22 февраля смотрела температуру на улице .Для вычисления вероятности  того, что 23 февраля температура воздуха на улице будет выше  -10⁰ C. Результаты заносила в таблицу

(слайд 6). Затем сделав расчеты выяснила, что так как вероятность меньше 0,5 , то скорее всего 23 февраля на улице температура воздуха будет ниже      -10⁰. Что подтверждается практически. Температура воздуха 23 февраля -20⁰.

В течение 11 дней мы измеряли температуру воздуха на улице. Для  вычисления  вероятности того, что 8 марта температура воздуха на улице будут выше -10⁰C. (слайд 7)проведя вычисления делаем вывод, что так как вероятность больше 0,5 , то скорее всего 8 марта на улице температура воздуха будет выше    -10⁰. Что подтверждается практически. Температура воздуха 8 марта -2⁰.

Проведя эксперимент, можно сказать, что вероятность действительно может быть применима и в нашей повседневной жизни. Для достижения более точного результата необходимо увеличить время проведения эксперимента. При завершении своей работы можно сделать вывод: теория вероятности действительно применяется  не только для учебников, но и в повседневной жизни также может найти применение.(слайд 8)

Спасибо за внимание.