Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "формула Пика"

Исследовательская работа "формула Пика"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

21


hello_html_m5d40cc1.gif




Формула Пика


Автор: Сажина Валерия Андреевна, учащаяся 9 класса МАОУ «СОШ№11» г Усть-Илимск Иркутской области




Руководитель: Губарь Оксана Михайловна, учитель математики высшей квалификационной категории МАОУ «СОШ№11» г Усть-Илимск Иркутской области










2016 год









Оглавление






Введение

При изучении темы геометрии «Площади многоугольников», я решила узнать: существует ли способ нахождения площадей, отличный от тех, которые мы изучали на уроках?

Таким способом является формула Пика. Л. В. Горина в «Материалах для самообразования учащихся» так описывала данную формулу: «Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!»[2].

В материалах ЕГЭ мне встретились задачи с практическим содержанием на нахождение площади земельных участков[7]. Я решила проверить, применима ли данная формула для нахождения площади территории школы, микрорайонов города, области. А так же рационально ли ее применение для решения задач.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: рациональность применение формулы Пика при решении задач.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Задачи:

- подобрать необходимую литературу, проанализировать и систематизировать полученную информацию;

- рассмотреть различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге;

- проверить экспериментальным путем рациональность использования формулы Пика;

- рассмотреть применение данной формулы.

Гипотеза: если применить формулу Пика для нахождения площадей многоугольника, то можно найти площадь территории, а решение задач на клетчатой бумаге будет более рационально.

Основная часть

Теоретическая часть

Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Уже эта простая решетка послужила К. Гауссу отправной точкой для сравнения площади круга с числом точек с целыми координатами, находящихся внутри него. То, что некоторые простые геометрические утверждения о фигурах на плоскости имеют глубокие следствия в арифметических исследованиях, было в явном виде замечено Г. Минковским в 1896 г., когда он впервые для рассмотрения теоретико-числовых проблем привлек геометрические методы [4].

Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник (Приложение 1, рисунок 1). Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и трапецию, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.

Использованный способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так следующий многоугольник нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае (Приложение 2, рисунок 2). Можно, например, попробовать дополнить его до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

Однако оказывается, что есть очень простая формула, позволяющая вычислить площади таких многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки.

Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 – 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика – Жюлиа, Пика – Невалины, доказал неравенство Шварца – Пика.

Эта формула оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в 1949 г. польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В Германии формула Пика включена в школьные учебники[2].

Она является классическим результатом комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

Доказательство формулы Пика


Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (Приложение 3, рисунок 3).

Обозначим через В - количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г - количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки

вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + hello_html_37ac5882.gif + 4 · hello_html_m2804b413.gif = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 . Это и есть формула Пика.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Практическая часть

Нахождение площади фигур геометрическим методом и по формуле Пика

Я решила убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Я рассмотрела некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см\times1 см и провела сравнительный анализ по решению задач (Таблица№1).

Таблица№1 Решение задач различными способами.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Задача №1сканирование0003


S=Sпр-(2S1+2S2)

Sпр=4*5=20 см2

S1=(2*1)/2=1см2

S2=(2*4)/2=4см2

S=20-(2*1+2*4)=10 см2

Ответ:10 см².



В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)


Ответ: 10 см².


Задача №2сканирование0004


a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 см2


Ответ: 8 см².



В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)


Ответ: 8 см².


Задача №3 сканирование0006


S=Sкв-(S1+2S2)

Sкв=42=16 см2

S1=(3*3)/2=4,5см2

S2=(1*4)/2=2см2

S=16-(4,5+2*2)=7.5 см2


В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)


Ответ: 7,5 см².


Задача №4сканирование0010


S=Sпр-(S1+S2+ S3)

Sпр=4*3=12 см2

S1=(3*1)/2=1,5см2

S2=(1*2)/2=1см2

S3=(1+3)*1/2=2см2

S=12-(1,5+1+2)=7.5 см2


В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)


Ответ: 7,5 см².


Задача №5.[2]pic.105


S=Sпр-(S1+S2+ S3)

Sпр=6*5=30 см2

S1=(2*5)/2=5см2

S2=(1*6)/2=3см2

S3=(4*4)/2=8см2

S=30-(5+3+8)=14см2

Ответ: 14 см²




В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)


Ответ: 14 см²


Задача №6.[2]pic.148



Sтр=(4+9)/2*3=19,5 см2


Ответ: 19,5 см2




В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)


Ответ: 19,5 см2


Задача №7.[4] Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 мсканирование0001


S= S1+S2+ S3

S1=(800*200)/2=80000м2

S2=(200*600)/2=60000м2

S3=(800+600)/2*400=

=280000м2

S=80000+60000+240000=

=420000м2


Ответ: 420 000 м²


В = 8, Г = 7. Shello_html_68845c41.gif = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)


Ответ: 420 000 м²



Задача №8. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе

1 см – 200 м. сканирование0002



S=Sкв-2(Sтр+Sтрап)

Sкв=800*800=640000 м2

Sтр=(200*600)/2=60000м2

Sтрап=(200+800)/2*200=

=100000м2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 м2


Ответ: 320 000 м²

Решение. Найдём Shello_html_68845c41.gif площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1

В = 7, Г = 4. Shello_html_68845c41.gif = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Задача №9. Найдите площадь Sсектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите hello_html_5b3cceaf.gif. hello_html_18e7bb4a.png



Сектор является одной четвертой частью круга и, следовательно, его площадь равна одной четвертой площади круга. Площадь круга равна πR2, где R– радиус круга. В нашем случае R =√5 и, следовательно, площадь Sсектора равна 5π/4. Откуда S/π=1,25.

Ответ. 1,25.


Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, hello_html_5b3cceaf.gif≈ 1,11


Ответ. 1,11.

Задача №10. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите hello_html_5b3cceaf.gif.

hello_html_608488f3.png


Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен

2hello_html_m41f99be7.gif , радиус rвнутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь кольца равна 4hello_html_m5003d22d.gif и, следовательно, hello_html_m1383e754.gif. Ответ:4.



Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, hello_html_5b3cceaf.gif≈ 3,5


Ответ:3,5

Выводы: Рассмотренные задания аналогичны заданию из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике (задачи №5,6),[7].

Из рассмотренных решений задач я увидела, что некоторые из них, например задачи № 2,6, легче решить, применяя геометрические формулы, так как высоту и основание можно определить по рисунку. Но в большинстве задач требуется разбиение фигуры на более простые (задача №7) или достраивание до прямоугольника (задачи №1,4,5), квадрата (задачи №3,8).

Из решения задач №9 и №10 я увидела, что применение формулы Пика к фигурам, которые не являются многоугольниками, даёт приближённый результат.

Для того, чтобы проверить рациональность применения формулы Пика, я провела исследование на предмет затраченного времени (Приложение 4, таблица №2).

Вывод: из таблицы и диаграммы (Приложение 4, диаграмма 1) видно, что при решении задач с помощью формулы Пика, времени затрачивается гораздо меньше.

Нахождение площади поверхности пространственных форм

Проверим применимость этой формулы к пространственным формам (Приложение 5, рисунок 4).

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности по формуле Пика невозможно.

Это недостаток формулы.

Применение формулы Пика для нахождения площади территории

Решая задачи с практическим содержанием, (задачи №7,8; таблица №1), я решила применить данный способ для нахождения площади территории нашей школы, микрорайонов города Усть-Илимска, Иркутской области.

Ознакомившись с «Проектом границ земельного участка МАОУСОШ№11 г .Усть-Илимска» (Приложение 6),[1], я нашла площадь территории нашей школы и сравнила с площадью по проекту границ земельного участка (Приложение 9, таблица 3).

Рассмотрев карту правобережной части Усть-Илимска (Приложение 7),[8], я вычислила площади микрорайонов и сравнила с данными из «Генерального плана г. Усть-Илимска Иркутской области»[3]. Результаты представила в таблице (Приложение 9, таблица 4).

Рассмотрев карту Иркутской области (Приложение 7),[9], я нашла площадь территории и сравнила с данными из Википедии [10]. Результаты представила в таблице (Приложение 9, таблица 5).

Проанализировав результаты, я пришла к выводу: по формуле Пика эти площади можно найти гораздо проще, но результаты приблизительные.

Из проведенных исследований наиболее точное значение я получила при нахождении площади территории школы (Приложение 10, диаграмма 2). Большее расхождение в результатах получилось при нахождении площади Иркутской области (Приложение 10, диаграмма 3). Это связано с тем. Что не все границы области являются сторонами многоугольников, и вершины не являются узловыми точками.

Заключение

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач.

При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Анализ решений и эксперимент по определению затраченного времени показал, что применение формулы даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, более рационально. Это позволяет экономить время на ЕГЭ по математике.

Нахождение площади различных фигур, изображённых на клетчатой бумаге, позволило сделать вывод, что использование формулы Пика для вычисления площади кругового сектора и кольца  нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат, и, что формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

Так же в работе были найдены площади различных территорий по формуле Пика. Можно сделать вывод: использование формулы для нахождения площади различных территорий возможно, но результаты получаются приблизительными.

Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому я решила продолжить работу в этом направлении.



Литература

  1. Волков С.Д.. Проект границ земельного участка, 2008 г, с. 16.

  2. Горина Л.В., Математика. Все для учителя, М:Наука, 2013 г.. №3, с. 28.

  3. Прокопьева В.П., Петров А.Г., Генеральный план города Усть-Илимска Иркутской области, Госстрой России, 2004 г.. с. 65.

  4. Рисс Е. А. , Жарковская Н. М. , Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. - Москва, 2009, № 17, с. 24-25.

  5. Смирнова И. М. ,. Смирнов В. А, Геометрия на клетчатой бумаге. – Москва, Чистые пруды, 2009, с. 120.

  6. Смирнова И. М. , Смирнов В. А. , Геометрические задачи с практическим содержанием. – Москва, Чистые пруды, 2010, с. 150

  7. http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=Pos задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2015.

  8. https://maps.yandex.ru/11273/ust-ilimsk/?text карта города Усть-Илимска.

  9. http://russia-karta.ru/irkutskaja-oblast.htm карта Иркутской области.

  10. https://ru.wikipedia.org/wiki/Иркутская_область Википедия.





Приложения

Приложение 1



сканирование0001







Приложение 2






сканирование0006









Рисунок 3

Приложение 3

сканирование0008















Приложение 4


Таблица №2 Сравнительный анализ времени, затраченного на решение задач.

Геометрический способ


По формуле Пика


достраиванием

по формуле


1

5 минут


2 мин

2

2 минут

24 секунд

1 минут 15 секунд

3

2 минут


1 минут 20 секунд

4

4 минут


1 минут 30 секунд

5

4 минут


46 секунд

6


25 секунд

50 секунд

7


4 минут

3 минут

8


4 минут

3 минут

9


5 минут

2 минут

10


5 минут

2 минут

Всего

34 минут 36 секунд

17 минут 41 секунд



Диаграмма 1 Сравнительный анализ времени, затраченного на решение задач.








Приложение 5



Рисунок 4




























































Приложение 6




Приложение 7





Приложение 8



Приложение 9


Таблица №3 Нахождение площади территории МАОУ «СОШ№11» г. Усть-Илимска

Площадь по формуле Пика

Площадь по проекту границ земельного участка

S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 В = 819, Г = 126. Shello_html_68845c41.gif = 819+126/2-1=881 м2

1 ед² - 25 м²; S =881 ·25=22 025 м2

Ответ: 22 025 м2



25553 м2


Таблица №4 Нахождение площади микрорайонов г. Усть-Илимска.

Микрорайон

Площадь по формуле Пика

Площадь по проекту границ земельного участка

1

S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 В = 15, Г = 5. Shello_html_68845c41.gif = 15+ 5/2 – 1 = 16,5 (см²)

1 см² - 130² м²; S =16,5 · 16900=278 850(м²)

Ответ: 278 850 м²



310 230 м2

2

S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 В = 16, Г = 7. Shello_html_68845c41.gif = 16+ 7/2 – 1 = 18,5 (см²)

1 см² - 130² м²; S =18,5 · 16900=312 650 (м²)

Ответ: 312 650 м²




314 620 м²

3

S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 В = 11, Г = 10. Shello_html_68845c41.gif = 11+ 10/2 – 1 = 15 (см²)

1 см² - 130² м²; S =15 · 16900=253 500 (м²)

Ответ: 253 500 м²



250 500 м²

4

S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 В = 15, Г = 9. Shello_html_68845c41.gif = 15+ 9/2 – 1 = 20,5 (см²)

1 см² - 130² м²; S =20,5 · 16900=346 450 (м²)

Ответ: 346 450 м²



352 460 м²

Таблица №5 Нахождение площади территории Иркутской области.

Площадь по формуле Пика

Материал из Википедии

S = В + hello_html_m56b3c49c.gif - 1 В = 311, Г = 38. Shello_html_68845c41.gif = 311+38/2-1=329 ед2

1 ед² - 2500 м²; S =329 ·2500=822 500 км2

Ответ: 822 500 км2



774846 км2

Приложение 10


Диаграмма 2 Сравнение площадей территорий



Диаграмма 3 Сравнение площадей территорий


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 18.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров536
Номер материала ДВ-466517
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх