Исследовательская работа "Геометрия на клетчатой бумаге"

   МБОУ «НАВЛИНСКАЯ СОШ № 2»

II школьный Фестиваль наук

Геометрия

на клетчатой бумаге

                                                                Выполнила:

                            ученица 5 «А» класса

                                                                Криштапова Виктория

                                   Руководитель:

                            учитель математики  

                                                                   Макаричева Елена Олеговна

 п. Навля

2015г. 

 Содержание

Введение	2
Глава 1. Свойства квадрата	3
Глава 2. Построения на клетчатой бумаге. Симметрия	4
Глава 3. Вычисление площадей многоугольников	6
Глава 4.  Разрезание фигур	9
Глава 5. Игры  на клетчатой бумаге	9
Глава 6. Координаты, координаты, координаты…	13
Вывод	15
Список литературы	16

Введение

Клетка – ты Чудо! Загадочна, проста и таинственна. Сколько возможностей открытий хранишь в себе, сколько закономерностей можно раскрыть, благодаря этому Чуду.

Существует много  видов тетрадей: в клеточку, в линеечку, в ромбик , в кружочек.  Но на уроках математики мы используем именно тетрадь в клеточку. В ней мы решаем различные задачи и строим      геометрические фигуры. Помогает ли клетка при выполнении таких заданий?   

Гипотеза: Я предположила, что тетрадь в клетку помогает в
                  математических построениях и вычислениях.

Мотивация выбора темы: Личная заинтересованность.

Объект исследования:  Тетрадь в клетку.

Предмет исследования: Свойства квадрата и их применение

               к выполнению математических построений и вычислений.

Цель:  Выяснить, помогает ли клетка в выполнении           

               математических построений и вычислений.

Задачи:  1. Узнать свойства клетки как  геометрической фигуры.                                                                                                         

               2.  Научиться решать геометрические задачи с помощью                                       

                    свойств клетки.

Методы исследования:

     1.Наблюдение.

     2. Сравнение.

     3. Измерение.

                                            Глава 1. Свойства квадрата

Для того, чтобы понять, почему тетрадь по математике в клетку, я решила узнать побольше о квадрате.

                                                    Я нарисовала квадрат. Из начальной          

В                              С            школы я помню, что у квадрата все стороны

                                                      равны и все углы прямые.         

                                                    Если провести диагональ, то он              

                                                разделится на два равных  прямоугольных                                  п       равнобедренных треугольника с острыми                                                                           у                                              углами по 45⁰.

                                                 

А                              D              

               рис.1.1.                                                                                                                                                    

В                                С         

                                                          Я провела две диагонали. Квадрат разде-                                                                                

                                                     лился на четыре равных прямоугольных    

                                                     равнобедренных треугольника с острыми

                                                     углами по 45⁰.

А                                 D

             рис.1.2.

                М                        

 

В                                С           

                                                     Если провести прямую через середины

                                                    сторон ВС и АD, то квадрат разобьётся на

                                                    два равных прямоугольника. Эти прямоуголь-

                                                    ники симметричны относительно прямой MN. 

 A                                 D                                 

                N                  

            рис.1.3.

                                               

                                               У квадрата четыре оси симметрии.                                                                                                                                                     

 

        рис.1.4.

Глава 2.  Построения на клетчатой бумаге

Тетрадь в клетку очень удобна для занятия геометрией. Она помогает при построении различных   геометрических фигур:

     

                             рис. 2.1. Геометрические фигуры.

 Построение перпендикулярных прямых: Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.  

рис. 2.2

Построение параллельных прямых: Две непересекающиеся прямые на плоскости называют  параллельными. 

рис. 2.3

   Вывод: тетрадь в клетку помогает при построении геометрических фигур.

 Симметрия фигур

В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Посмотрим на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их   объединяет то, что они симметричны. У них есть ось симметрии. Если симметричную фигуру сложить вдоль оси симметрии, то её части совпадут.

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии.  В тетради в клетку легко построить симметричные фигуры.

Если провести прямую через середины сторон ВЕ и АD, то квадрат разобьется на два равных прямоугольника. Эти прямоугольники симметричны относительно прямой МН.

рис. 2.4.

Глава 3.  Вычисление площадей многоугольников

       Площадь многоугольника на клетчатой бумаге измеряется квадратными единицами: мм², см². Но в качестве единицы площади можно рассматривать и клетку.

       Нарисую многоугольник с вершинами в узлах клеток и найду его площадь. Это можно сделать разными способами.

       1 способ.

       Буду пользоваться следующими правилами:

·        Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью. Такие многоугольники называются равновеликими.

·        Если два многоугольника состоят из одинаковых частей, то они

                   называются равносоставленными.

·       Плоские равносоставленные многоугольники также являются

             равновеликими.

      Разделю многоугольник на части и составлю из них равновеликий многоугольник с вершинами в узлах клеток, стороны которого проходят по линиям. В полученном многоугольнике легко посчитать количество клеток, то есть площадь многоугольника.

 

                         рис.3.1.  Нахождение площади многоугольника 1 способом

   Этот способ вычисления площади легко применим для многоугольников несложной конфигурации. А если он выглядит более причудливо? Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах клетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая

формула называется формулой Пика. 

 2 способ. Формула Пика.

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом  Пиком в 1899г.

      Обозначу через В количество узлов внутри многоугольника, Г –

количество узлов на его границе. Тогда его площадь можно вычислить

по формуле: S =  В + Г – 1.

                                    2

 

рис.3.3.   Нахождение площади многоугольника 2 способом

    Вывод: тетрадь в клетку помогает вычислять площади фигур.

Глава 4. Разрезание фигур на клетчатой бумаге

Существует  много различных и очень интересных задач на разрезание фигур. И я предлагаю вам их рассмотреть.

Задача 1: Разрежьте  фигуру на 3 части так, чтобы сложить из них квадрат.

Задача 2: Разрежьте по клеточкам фигуру на 4 равные по форме и объему части так, чтобы в каждой был ровно
1 крестик и 1 точка.  Задачи мне показались на столько интересными, что я предложила их решить своим одноклассникам.

Глава 5. Игры на клетчатой бумаге.

Игры с пентамино

    Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино составляют из двух, трёх, четырёх, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру-домино. (рис. 5.1.)

       Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Получится только две фигуры тримино. (рис. 5.2.)

 

 рис. 5.1. Домино                          Рис. 5.2. Тримино

 На рисунке изображены виды пентамино:

 рис. 5.3.  Пентамино

     Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник.  Но я решила попробовать что-то по интереснее. Из элементов пентамино можно складывать различные фигуры, симметричные узоры, буква алфавита, цифры:

 

                              рис. 5.5.  Петушок

 

                                   рис. 5.6. Бабочка

Вывод: тетрадь в клетку помогает составлять различные узоры на плоскости.

Игры с пентамино напомнили  мне игру «Тетрис». И я задумалась, а есть ли еще игры на клетчатой бумаге? Оказалось, их очень много. Расскажу о некоторых из них.

1.Бридж-ит («перебрось мостик!»)

Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки.

    Линии противников нигде не должны пересекаться.

    Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета.

    Так на рисунке выиграли «синие».

2. Крестики-нолики

Крестики-нолики — логическая игра между двумя противниками на квадратном поле 3 на 3 клетки или большего размера (вплоть до «бесконечного поля»). Один из игроков играет «крестиками», второй — «ноликами». 

Игроки по очереди ставят на свободные клетки поля 3х3 знаки (один всегда крестики, другой всегда нолики). Первый, выстроивший в ряд 3 своих фигур по вертикали, горизонтали или диагонали, выигрывает.

3. Морской бой

 

 В игру «морской бой» играют два человека, которые по очереди называют координаты кораблей на карте противника. Если координаты заняты, то корабль или часть его «топится», а попавший имеет право сделать ещё один ход.

4.Шахматы

1. Шахматная партия играется между двумя партнерами, которые поочередно перемещают фигуры на квадратной доске, названной "шахматной". Играющий белыми начинает партию. Игрок получает право хода, когда его партнер сделал ход.

2. Цель каждого игрока - атаковать короля партнера таким образом, чтобы партнер не имел никаких возможных ходов, которые позволяют избежать "взятия" короля на следующем ходу. Об игроке, который достиг этой цели, говорят, что он поставил мат королю партнера и выиграл партию. Партнер, королю которого был поставлен мат, проиграл партию.

3. Если позиция такова, что никто из партнеров не может поставить мат, партия заканчивается вничью.

Глава 6. Координаты,  координаты, координаты...

    Географическая карта покрыта сетью тонких линий. Это параллели и меридианы. Они образуют на поверхности земного шара координатную сетку. Указывая широту и долготу точки, мы указываем её координаты, т.е. положение точки на карте.

    А теперь перейду к плоскости. Координаты точки плоскости — это пара чисел, из которых одно число является первым и указывается первым, а другое соответственно вторым. Эти координаты помогут построить любую фигуру из точек на листе в клетку.

                              

                                            рис.6.1.  Мишка                                         

                              

                                             рис.6.2.   Лягушка

          

 

 

 

 

                      

Вывод

 В ходе исследовательской работы я изучила свойства клетки как геометрической фигуры. С их помощью я научилась на клетчатой бумаге:
   - строить перпендикулярные и параллельные прямые;
   - строить различные геометрические фигуры;
   - вычислять площади многоугольников с вершинами в узлах  клеток;
   - складывать различные фигуры и узоры из элементов      пентамино;
   - на координатной плоскости строить точки по известным  координатам и любые фигуры из точек;
   - строить точки, симметричные относительно прямой;   симметричные фигуры; находить оси симметрии у симметричных фигур.

 Анализируя все полученные результаты, я сделала вывод: тетрадь в клетку помогает в математических построениях и вычислениях.

Список литературы

 

1.     Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. М.: Просвещение, 1981.          

2.     Смирнова И., Смирнов В. Геометрия на клетчатой бумаге. М.: Чистые пруды, 2007.

3.     Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. М.:     Дрофа, 2000.

4.     Добрина Е.А., Саввина О.А. Практическая работа «Карта звёздного неба».

5.     // Математика в школе. -2007- №1.- с.2-6.

6.     Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика.

7.     // Первое сентября. Математика. – 2009. -№23. – с.24,25.

8.     Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Режим доступа:  http://mmmf.msu.ru/archive/20082009/KanunnikovKuznetsov/2.html

9.      Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод. пособие. – М.: Глобус, 2009.

10.  Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1970.

11.  Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа:  http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf

12.                       Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика //    Математика, 2009, № 17, с. 24-25.