Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "История чисел"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа "История чисел"

библиотека
материалов


МКОУ Таловская СОШ













Тема: «История развития чисел»


























Работу выполнила Христенко Ира

6 «Б» класс






2015

СОДЕРЖАНИЕ



Введение…………………………………………………………………..….3


Первые нумерации…………………………………………………………...4

Единичная нумерация…………………………………………………4

Египетская нумерация………………………………………………...4

Нумерация древних римлян…………………………………………..6


Алфавитные нумерации…………………………………………………..…7

Древняя греческая нумерация………………………………………………7

Славянская глаголическая нумерация………………………………..8

Славянская кириллическая нумерация……………………………….9


Позиционные нумерации……………………………………………………11

Вавилонская нумерация……………………………………………….11

Нумерация индейцев Майя……………………………………………12

Китайская нумерация………………………………………………….12

Индийская нумерация…………………………………………………13


Математические задачи с римскими цифрами……………………………...15


Заключение……………………………………………………………………17


Литература ……………………………………………………………………17

Введение


Любовь к математике присуща не всем людям. Но найдется немного людей в наше время, которые поставили бы под сомнение огромное значение математики в развитии других наук и техники. Но любая наука, и математика в особенности, строится на знаниях, добытых в предшествующие эпохи.

Цифры, которыми в наше время пользуются люди, были придуманы не сразу – они создавались постепенно и медленно входили в употреб­ление. Цифры изобретались и видоизменялись на протяжении многих столетий одновременно с развитием письменности. Отсюда вытекает цель данной работы: создать учебное пособие– презентацию в программе Power Point, иллюстрирующее историю возникновения цифр разных народов.

Для того чтобы достичь поставленной цели, мне необходимо решить следующие задачи:

-найти и проанализировать литературу по истории математики;

-отобрать нужный материал по данной теме;

-подобрать иллюстративный материал;

-оформить работу;

-создать презентацию в программе Power Point.


Первые нумерации


Единичная нумерация


Современному человеку трудно представить себе математику без обозначений чисел и арифметических действий. Тем не менее, когда-то этих обозначений не существовало. Древние культуры вообще были в большей степени ориентированы на устную речь, на устное обучение, чем современная. Постепенно люди сталкивались с необходимостью сооружать пост­ройки, делить землю на участки, подсчитывать собранный урожай, вес­ти календарь. Человек учился считать, выполнять действия над числа­ми. Запоминать все вычисления становилось трудно и поэтому возни­кает необходимость в записи чисел. Цифры – условные знаки для обозначения чисел. Человечество выработало целый ряд различных систем записи чисел – различных нумераций.

Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях.

hello_html_6680d363.png

 Зарубки на волчьей кости, Моравия, 3 тысячилетие до н. э.

В 1937 в Моравии (на территории современной Чешской Республики) была найдена относящаяся к 3 тысячелетию до н. э. волчья кость с 55 глубокими зарубками; это старейшая из известных в настоящее время записей числа (если, конечно, это действительно запись числа, а не что-либо другое, например, специфический орнамент). В позднейшее время числа тоже обозначались зарубками: еще в XIX в. в Западной Европе применялись деревянные бирки, на которых зарубками фиксировались долги (одна такая бирка оставалась у должника, а другая – у кредитора); у других народов для тех же целей применялись веревки с соответствующим числом узелков (в некоторых районах Китая и Японии такая практика сохранилась до XX в.).

Одним из древнейших способов фиксации чисел состоял в обозначении каждого предмета некоторой совокупности одним и тем же значком, обозначавшим единицу.

Ее можно изобразить в виде палочки, Ѕ, кружочка, или любой другой фигуры. Числа будут записываться примерно так: 1 - / ; 2 - //; 3 - ///; 4 - ////; 5 - ///// и т.д.

Таким образом, число изображалось соответствующим количеством единиц. Такая система записи называется единичной нумерацией.

Но в чистом виде единичная нумерация не очень удобна, если речь идет о числах, скажем, больше 10: такие обозначения перестают быть наглядными, зарубки или узелки становится слишком долго пересчитывать. Для простоты их группируют в совокупности по 3, по 5 или как-нибудь еще (как, например, штрихи, соответствующие миллиметровым делениям на линейке, сгруппированы по 5).

Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности. Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.

Различные народы имели каждый свою нумерацию. Египтяне, китайцы, жители Центральной Америки для записи чисел приме­няли картинки — иероглифы, которые изображали птиц, зверей, лю­дей, части человеческого тела и многое другое.


Египетская нумерация


Одна из древнейших нумераций египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок- иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы.

Сохранились два математических папируса, позволяющих судить о том, как считали древние египтяне. Один из них хранится в Британском музее в Лондоне, а другой – в Музее изобразительных искусств им. А.С.Пушкина в Москве. Для записи чисел древние египтяне употребляли иероглифы.

hello_html_m3dc8e119.jpg



hello_html_3b7697ff.png

1

Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.

hello_html_52b32b33.png

5

Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше.

hello_html_m76a56086.png

10

Такими путами египтяне связывали коров.

hello_html_m76a56086.pnghello_html_m76a56086.pnghello_html_m76a56086.png

30

Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

hello_html_m2e8826e8.png

100

Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

hello_html_m6630783e.png

1 000

Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.

hello_html_3af460a5.png

10 000

"В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.

hello_html_581813bb.png

100 000

Это головастик. Обычный лягушачий головастик.

hello_html_m463aff43.png

1 000 000

Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф.

hello_html_d7cb999.png

10 000 000

Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.

Все остальные чис­ла составлялись из основных с помощью сложения.. При записи числа иероглифы единицы, десятка, сотни и т. д. писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда. Разряды писались справа налево (слева – меньшие, справа – большие) – в обратном порядке, чем у нас сейчас.

Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

Рассмотрим запись нескольких чисел для примера:

hello_html_m6630783e.pnghello_html_m6630783e.pnghello_html_m2e8826e8.pnghello_html_m2e8826e8.pnghello_html_52b32b33.png- 1205,

hello_html_m463aff43.pnghello_html_3af460a5.pnghello_html_3af460a5.pnghello_html_m6630783e.pnghello_html_m6630783e.pnghello_html_m6630783e.pnghello_html_m76a56086.pnghello_html_m76a56086.pnghello_html_2a107220.png- 1 023 029


Нумерация древних римлян


hello_html_m3b20edd3.gifhello_html_m6aedb9b3.gifhello_html_m4caa6cd4.gifhello_html_7199511.gif Следы первобытного приема записи чисhello_html_69acfd64.jpgел дошли до наших дней в виде первых римских цифр: в письменной нумерации древних римлян первые три числа изобра­жаются черточками или палочками: 1 —I; 2 II; 3 — III. При чтении этих записей в уме производят сложение или подсчет чис­ла поставленных палочек: один и один — два, один, один и один — это три. А дальше для удобства записи был введен особый знак V, обозначающий число 5, Некоторые историки предполагают, что этим знаком в древние времена заменили изображение руки. Руку рисовать долго, вычерчивать пять палочек тоже долго, а поставить знак в виде галочки значительно быстрее.

Когда для цифры 5 был введен знак V, то довольно легко было изобразить числа 6, 7 и 8, используя тот же прием сложения, что и при изоб­ражении чисел 2 и 3; III—это 1 + 1 + 1, а 6—это 5 + 1,то есть VI, 7 — это 5+2, или VII, 8 = 5 + 1 + 1 + 1, или VIII. Но чтобы ускорить запись чисел 4 и 9, потребовалось ввести новый прием — вычитание; 4=5-1, а 9 = 10 - 1. А чтобы показать, что от пяти надо вычесть единицу, ее записывали не справа, а слева от пяти. Четыре в римской нумерации записывают так: IV. Для десяти древние римляне также ввели новый знак — две пятерки, но для удобства записи они изображали их одну под другой в перевернутом виде, как две пересекающиеся черточки. X — это 10.IX–конечно, это 9, так как 10- 1=9.

Запишем римскими цифрами число 37. XXX — это 30, а 7 — это VII, поэтому 37 — XXXVII. А запись числа 39 будет иной: ведь 9—-это 0— 1, или IX, поэтому 39 запишем: XXXIX.

Зная, как в римской нумерации записываются числа от единицы до десяти, легко сообразить, как можно записать этими цифрами и другие числа вплоть до 49. Для чисел 50, 100, 500, 1000 в этой нуме­рации введены особые знаки (L, С, D, М).

Значки I, V, X исходно были обозначениями пальца, ладони и двух ладоней. Значок С происходит от лат. centum – сто. Следует отметить, что современный вид римской нумерации не во всем совпадает с бытовавшим в Древнем Риме. Ряд значков изменили свои начертания; так, обозначения М (от mille – тысяча) и D (от demimille – полтысячи) пришли на смену более древним. Изменились и правила использования этих символов: например, древний римлянин вполне мог бы написать для 4 знак IIII. Один из самых бросающихся в глаза недостатков римских цифр – ограниченность записываемых ими чисел: для обозначения десятков тысяч приходится десятки раз повторять знак М. В действительности в Древнем Риме существовали значки и для 10 000, и для 100 000. Последний знак впоследствии проэволюционировал в П-образную рамочку, которая увеличивала значение заключаемого в нее символа в 100 000 раз.

hello_html_20102c28.jpg

В Средние века была придумана черта над символом, увеличивающая его значение в 1000 раз: например, Х – 10, а hello_html_mfe88ea1.gif – 10 000. Кроме того, существует способ писать число тысяч также, как единиц, отделяя число тысяч от числа единиц маленькой подстрочной буквой m: например, число 273 847 можно написать ССLXXIIImDCCCXLVII.

В наших книгах, газетах, на плакатах, на циферблатах часов доволь­но часто можно встретить числа, записанные римскими цифрами. Гра­мотному человеку необходимо знать римскую нумерацию чисел.

Запись чисел римскими цифрами менее удобна, чем общепринятая. Запись чисел римскими цифрами гро­моздка и требует значительно большего времени для написания, она осложняет выполнение письменных действий. Попробуйте, например, сложить столбиком XXXIX и XXVII или разделить XXXXVIII на XII и вы убедитесь, что это потребует значительно большего напряжения ума, чем при сложении чисел, записанных известными нам цифрами 39 и 27, и делении 48 на 12. Даже при чтении чисел, записанных римскими цифрами, требуется производить сложение и вычитание, что хотя и не­сложно, но довольно утомительно, особенно в том случае, когда прихо­дится иметь дело с большим количеством чисел.

Уже в 1 классе при изучении математики мы по-разному записываем одни и те же числа. Так, выполняя действия, сравнивая выражения, числа один, два, три обозначаем знаками: 1, 2, 3. Но, записывая кратко задачу, перечисляя пункты плана, мы эти же числа записываем иначе: I, II, III. Почему одно и то же число мы записываем по-разному?

Это происходит потому, что до сегодняшних дней, наряду с индийс­кой системой записи чисел, люди пользуются римской нумерацией.


Алфавитные нумерации


Древняя греческая нумерация


hello_html_m507730c3.jpg

 Запись чисел в Древней Греции

Близкая к римской нумерация существовала и у древних греков – так называемая аттическая нумерация, позднее вытесненная ионийской нумерацией, построенной по алфавитному принципу (см. ниже). Символ для пяти – Г – исходно обозначал ладонь, как V у римлян; позднее он стал восприниматься как первая буква слова «пента» (пять; в аттических областях буква «Г» обозначала звук «п», а не «г»; ср. лат. букву Р, больше похожую на Г, чем на П). Δ, Н, Х – первые буквы слов «дека» (десять), «гекатон» (сто) и «хилиас» (тысяча); символы для 50 и 500 получились из соединения символа Г с символами Δ и Н, соответственно (50 = 5 ∙ 10, 500 = 5 ∙ 100).

Примерно в третьем веке до нашей эры в Греции получила распространение так называемая "Ионийская" система. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита:

hello_html_m1bfccb04.png

Числа 10, 20, -90 изображались следующими девятью буквами:

hello_html_m40b7b199.png

Числа 100, 200, -900 последними девятью буквами:

hello_html_m3d6c5d91.png

Цифры пишутся, начиная с больших и кончая меньшими слева направо.

hello_html_mfe75964.png

Чтобы отличать числа от букв, над числами до 999 ставится черточка справа наверху от буквы, а начиная с 1000 слева внизу:

hello_html_m21a8cc58.png

Получается, что черточка слева внизу увеличивает значение цифры в тысячу раз. Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.


Славянская глаголическая нумерация


Славянская глаголическая система записи чисел тоже является алфавитной системой счисления. Эта нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. Использовалась она с VIII по XIII в.

hello_html_168ad2d2.png

1

hello_html_m327c12c9.png

10

hello_html_58a90db4.png

100

hello_html_m4f1abba4.png

1000

hello_html_m7423bd59.png

2

hello_html_m7fed2b06.png

20

hello_html_e689457.png

200


hello_html_m46d8d687.png

3

hello_html_m127613a7.png

30

hello_html_m6cceff2c.png

300

hello_html_m132694e6.png

4

hello_html_m258ccb7d.png

40

hello_html_450eb297.png

400

hello_html_m5668be3b.png

5

hello_html_6b43e230.png

50

hello_html_5c90f255.png

500

hello_html_m19b343d4.png

6

hello_html_m103e1ca7.png

60

hello_html_eeb607f.png

600

hello_html_m42cfbda4.png

7

hello_html_m4d43da5c.png

70

hello_html_m5c100bca.png

700

hello_html_338ffb19.png

8

hello_html_22daab48.png

80

hello_html_m90f7a51.png

800

hello_html_79208c33.png

9

hello_html_2c799707.png

90

hello_html_655d77db.png

900

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали.

Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение:


hello_html_m90f7a51.pnghello_html_m103e1ca7.pnghello_html_m46d8d687.png= 800+60+3 = 863


Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.


Славянская кириллическая нумерация


Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.

Единицы

Десятки

Сотни

1

hello_html_m22564e47.png

10

hello_html_15c9ca93.png

100

hello_html_m48873a54.png

2

hello_html_1524e494.png

20

hello_html_3a7cf8e2.png

200

hello_html_m58ae2838.png

3

hello_html_m1d89909.png

30

hello_html_3c7a0ed4.png

300

hello_html_m295fd174.png

4

hello_html_m341414.png

40

hello_html_m37f25c75.png

400

hello_html_782c93b7.png

5

hello_html_m21e44fee.png

50

hello_html_m668c6bf2.png

500

hello_html_5c2b6414.png

6

hello_html_6fde4e68.png

60

hello_html_71eaed94.png

600

hello_html_2ad3b61b.png

7

hello_html_1f583827.png

70

hello_html_m25e79a24.png

700

hello_html_2cd05e9d.png

8

hello_html_355cd6fe.png

80

hello_html_61e4b3f4.png

800

hello_html_m6b1733f3.png

9

hello_html_m39e607b2.png

90

hello_html_m6c8810d1.png

900

hello_html_64cc41e5.png

 

Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка :

hello_html_3fd0c10b.png

= 4+10 = 14

Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом, у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

hello_html_3d96a3b7.png

= 800+60+3 = 863

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.

hello_html_4c7d750b.png

1964

hello_html_39970d5b.png

7472

Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве.

Числа 1000, 2000... записывались теми же буквами, что и 1, 2... , но слева внизу ставили опознавательный знак тысяч:

hello_html_1a35b022.png

- 1000

hello_html_m39ea0a3d.png

- 2000

hello_html_m3aee9e1f.png

- 9000

Десятки тысяч, сотни и миллионы тоже отмечались первыми буквами алфавита, но уже без титла, и каждый со своим определенным значком. Числа, которые обозначались буквами в кружочках, точках и черточках, имели специальные названия.

hello_html_2d972e0a.png

(Тьма)

hello_html_m80a786d.png

(Легион)

hello_html_4b99961f.png

(Леодр)

hello_html_178dbb75.png

(Ворон)

hello_html_c5721c7.png

(Колода)

 

Со словом "Тьма" связаны выражения "тьма-тьмущая" "тьма народу", означающая немыслимо много. В "Слове о полку Игореве" мы встречаем фразу "орда покрыла вороновым крылом", которую можно истолковать как "побила большой силой", где "большой" можно сравнить с полумиллионом человек.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".

Славянская нумерация основана на следующем правиле: несколь­ко букв под титлом (это черточка вверху буквы), написанных рядом, обозначают число, равное сумме чисел, обозначаемых буква­ми. Эту нумерацию называют также алфавитной. Первые девять букв обозначали единицы, следующие девять — десятки и остальные девять — сотни.

Алфавитные нумерации были мало пригодны для оперирования с большими числами, встречавшимися уже в древности (например, при астрономических расчетах). В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в нашем обиходе и по сей день. Так, мы часто нумеруемпункты при помощи букв алфавита. Правда, буквы служат только для обозначения последовательного порядка, а не для количества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.


В России наряду со славянской нумерацией, в 1703 году была введена индийская. Это впервые сделал в своем учебнике Л.Ф.Магницкий. Сейчас мы привыкли к обозначению чисел с помощью десяти знаков (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9), что не замечаем их удобства и простоты.

Позиционные нумерации

Вавилонская нумерация


Позиционные нумерации были изобретены в разных уголках земного шара: в Междуречье, Центральной Америке, Китае и Индии.

Самая первая из этих систем была в ходу в древнем Междуречье; ею располагали уже шумеры в 3 тысячелетии до н. э., но в историю она вошла как древневавилонская система счисления. Она отражена на многих клинописных глиняных табличках, оставшихся от древневавилонской цивилизации. В отличие от нашей системы, основывающейся на числе 10, древневавилонская имеет основанием 60, то есть числа 1, 60, 3600 и т. д., а также, между прочим, 1/60, 1/3600 и т. д. записывались одним и тем же символом – вертикальным клином, направленным вниз (V). Вначале вместо знака «нуль» употребляли просто пробел. Помимо единицы, использовался еще один знак – 10 (он же 600, 36 000 и т. д.) – горизонтальный клин, направленный влево (<). В записи чисел использовался аддитивный принцип: например, число 25 = 2 ∙ 10 + 5 обозначалось как <

hello_html_3c6de9d9.jpg

 Запись чисел в Древнем Вавилоне

В позиционной системе умножение единиц любого разряда выполняется одинаково, для умножения же различных чисел от 1 до 60 использовались готовые таблицы умножения. Деление осуществлялось не как отдельная операция, а как умножение на обратную величину – существовали таблицы и этих величин.

В поздних вавилонских текстах стал появляться похожий на наклонную стрелку значок hello_html_m56024d56.jpg, эквивалентный нулю и отмечающий пустой разряд посреди числа. Без него было бы затруднительно отличать такие числа, как, например, 4200 = 3600 + 600 и 3610 = 3600 + 10. Этот значок повторялся в зависимости от того, сколько разрядов пропущено. Характерно, однако, что в конце числа этот значок никогда не ставили: таким образом, по одной лишь записи нельзя было отличить какое-либо число от других чисел, отличающихся от него в 60n раз.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления оставила важный след в истории. Именно от вавилонян пошло деление окружности на 360 частей, которые мы сейчас называем градусами, а градусов (как и часов) – на 60 минут, которые, в свою очередь, делятся на 60 секунд. Греческие астрономы поздней античности (например, Клавдий Птолемей) пользовались именно шестидесятеричной системой, заимствованной у вавилонян: во-первых, в этой системе удобно выполнять расчеты, а во-вторых, это было связано и с влиянием весьма развитой вавилонской астрономии на греческую. Правда, эти астрономы для записи целой части числа и единиц каждого шестидесятеричного разряда дробной части пользовались не вавилонскими «клиньями», а более привычной для греков алфавитной нумерацией, – числа в каждом шестидесятеричном разряде, таким образом, получались двузначными. Например, число 359 + 45/60 + 24/3600 греческие астрономы записали бы так.

hello_html_11c60b29.jpg

 Греческая шестидесятеричная нумерация

Т. е. «359,45′24′′» (знак ′ обозначает разрядность: 45 единиц первого разряда, то есть именно 60-х, а 24 единицы второго разряда, то есть 3600-х).

Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 равных частей (градусов).

Нумерация индейцев Майя

В начале нашей эры индейцы племени Майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой позиционной системой с основанием 20 и с двумя главными знаками – для 1 и для 5. Цифры писали в столбик (старшие разряды сверху), единицу обозначала точка, несколько единиц одного разряда писалось в одну строчку, пятерка обозначалась горизонтальной чертой под точками. У майя был знак для пропущенного разряда (аналогичный нашему нулю), напоминающий полузакрытый глаз. Нумерация майя принципиально отличалась от нашей и от вавилонской тем, что единицами разрядов, кроме 1 и 20, служили не степени 20, а числа 18 ∙ 20n.

hello_html_59b87b3d.jpg

 Запись чисел у индейцев Майя


Китайская нумерация.

Важный шаг к десятичной позиционной системе был сделан в древнем Китае.

В Китае, например, числа записывают с помощью особых знаков – иероглифов.

hello_html_m308274c4.jpg

 Запись чисел в Древнем Китае
















Китайцы пользуются нумерацией, включающей обозначения чисел от 1 до 10, а также 100, 1000 и т. д. Китайская нумерация основана на мультипликативном принципе (от лат. multiplicatio – умножение): если надо изобразить, например, число 30, то они не рисуют три значка для 10, а ставят рядом значки для 3 и для 10. Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились с помощью счетных палочек, которые раскладывали на счетной доске, видимо, разлинованной на строки и столбцы. При этом разные единичные разряды попадали в разные клетки. Таким образом, одни и те же комбинации палочек могли представить, в зависимости от расположения, единицы разных разрядов; при этом не было никакой необходимости в употреблении иероглифов, обозначающих конкретные разряды в мультипликативной записи. Пропущенный разряд при счете на доске был виден непосредственно, в математической же литературе его обозначали кружком, который, возможно, и был предком нашего нуля. Важно, однако, подчеркнуть, что получившееся позиционное изображение чисел применялось, в отличие от древнего Вавилона, только на счетной доске (и в литературе о ней); в обычных текстах китайцы продолжали пользоваться мультипликативной системой.

Записывались цифры, начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде. Вот несколько служебных иероглифов:

hello_html_4de1e0b4.png

hello_html_6f31c14e.png

hello_html_m33a2511c.png

100

1000

10

Запишем для примера несколько чисел:

hello_html_m42191237.pnghello_html_m33a2511c.png

1 000

hello_html_2796c663.pnghello_html_6f31c14e.pnghello_html_m17059593.pnghello_html_4de1e0b4.pnghello_html_66766462.png

548


Индийская нумерация


. Используемые нами символы для обозначения чисел – «арабские цифры» – в действительности восходит к средневековой Индии. В Индии позиционный принцип вначале утвердился в словесных обозначениях чисел. Именно индийцы изобрели десятичную систему счисления, только их цифры были еще не совсем похожи на современные. Для обозначения чисел чертили (острием на земле или углем на доске) колонки так, что получались десятичные разряды: в первой колонке ставили единицы, во второй — десятки, а в третьей — сотни и т.д.; если не было единиц какого-либо разряда, то эта колонка оставалась пустой.

Богатый по своему словарному запасу язык санскрит располагал большим количеством синонимов для разных чисел. При этом, скажем, единица могла именоваться названиями предметов, которые имеются только в единственном числе, например, Луна, Земля; двойка – словами, обозначающими «близнецы», «крылья», «губы»; четверка – словами «океаны», «стороны света» и т. д. Еще в V в. зафиксировано словоупотребление, при котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а наименование разряда опускается, при чем пустой разряд (нуль) также может обозначаться разными синонимами: «пустое», «небо», «дыра». Например, число 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна». Одно из индийских названий нуля – «шунья» (то есть «пустое»; слово играет важную роль в философии буддизма) – было переведено на арабский словом «сыфр», имеющим то же значение и ставшим, таким образом, арабским названием нуля; именно от этого слова происходят русские слова «цифра» и «шифр» (а также, между прочим, английское и французское названия нуля – zero; русское же «нуль» восходит к лат. nullus – никакой). В это же время была разработана нумерация, в которой, во-первых, используются различные девять знаков для чисел от 1 до 9, а во-вторых, эти знаки могут обозначать количества единиц различных разрядов. Первая известная запись такого рода относится к 595 г. (число 346, обозначающее номер года), а первая запись, содержащая нуль, относится к 876 г. (число 270). В литературе конкурируют две теории о происхождении значка для индийского нуля – он может быть заимствован с востока, например, из Китая, но может быть и с запада (Греция и Вавилон). В Индии не только была придумана современная нумерация, но и были разработаны основанные на ней правила арифметических действий.

Распространению индийской позиционной системы на запад способствовали арабские математики начиная с ал-Хорезми (ранее у арабов применялась алфавитная нумерация, похожая на используемые другими семитскими народами Ближнего Востока – сирийцами и евреями; кроме того, арабы часто записывали числа словами, из этой записи в результате ее сокращения возникла новая система обозначения чисел, до сих пор используемая торговцами в странах Востока). Именно благодаря переводам сочинений арабских математиков на латынь индийская позиционная система с XII в. постепенно завоевывает Европу, а имя ал-Хорезми в его латинизированной форме Algorithmus становится названием всей десятичной позиционной арифметики. Впоследствии слово «алгоритм» приобрело смысл всякого вычислительного процесса, происходящего по некоторым правилам и приводящего к решению задач определенного класса за конечное число шагов (например, алгоритм Евклида). Наглядной демонстрации преимуществ (в том числе экономичности) новой нумерации по сравнению с римской уделяет внимание Фибоначчи в «Книге абака».

Следует отметить, что в процессе странствий от Индии к арабам, а затем на латинский Запад начертание многих цифр сильно изменилось. Поскольку эти цифры не сразу обрели установившуюся форму, они сравнительно поздно стали появляться на монетах (лишь с XV в. в континентальной Европе, с XVI в. в Великобритании). На могильных плитах новые цифры появились раньше, уже в XIV в.

hello_html_m1d2916b7.jpg

 Эволюция арабских цифр

 Индийская нумерация распространилась по всему миру. При этом одни народы переняли у индийцев только принцип обозначения чисел, другие заимствовали и написание цифр. На приведенной таблице видно, как постепенно видоизменялись цифры «губар»( вторая строка в таблице), употреблявшиеся в мавританских государствах. Откуда произошли сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.

В страны Европы новая индийская нумерация была занесена арабами в XXIIIвв.(отсюда и название «арабские цифры), однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось применять только римские цифры. Но преимущества позиционного принципа счисления были настолько велики, что еще в XIII в. Он стал применяться итальянскими купцами. В Германии, Франции, Англии до конца XV в. Новая нумерация почти не употреблялась. Но к концу XVI – началу XVIIв. Позиционная система одержала решительную победу – ее приняли не только купцы, но и все ученые. Ее стали применять повсеместно.

У нас в России эти цифры стали применять в основном лишь 250 лет тому назад. До этого же времени наши предки пользовались славян­ской нумерацией. При Петре I индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а позднее славянские цифры вообще быстро исчезают из обихода.

Приведем в заключении слова знаменитого французского математика и физика VIIIXIX вв. П.Лапласа: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им кроме значения по форме еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой»[4.258].


Математические задачи на римскую нумерацию.


Спички – детям не игрушка. И это, конечно, правда. Но если их не зажигать, а еще лучше заменить тонкими палочками, то можно придумать очень много задач и развлечений. Такие задачи тренируют наше воображение, способность увидеть условие задачи с неожиданной стороны. Приведем примеры таких задач.

Передвиньте одну спичку так, чтобы равенство выполнялось.

hello_html_m4cc2516f.jpg


 Арифметические действия с римскими цифрами

hello_html_m5bf2d6b1.jpg






















Заключение


В работе рассмотрены условные знаки - цифры разных народов, представлены 9 различных нумераций. По каждой нумерации подобран иллюстративный материал, позволяющий обеспечить наглядность рассматриваемых систем записи чисел. Показано сходство и различие в нумерациях.

Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики у учеников, а также для расширения их кругозора.


.

Литература


  1. Акимова С. Занимательная математика.–Тригон.–Санкт-Петербург, 1997

  2. .Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П.Савин,

  3. В.В. Станцо, А.Ю. Котова, М.: ООО «Фирма «Издательстово АСТ»,199-480с.

  4. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка.5-6 кл.–М.: Изд-во НЦ ЭНАС,2003.

  5. Башмакова И.Г. Числа /Детская энциклопедия.–М.:Педагогика,1972.

  6. http://files.school-collection.edu.ru

  7. http://iclass.home-edu.ru

  8. http://muz4in.net/.news/kak_poluchilis_arabskie_cifry

  9. http://www.scribd.com;

  10. http://storyof.ru/chisla/chisla-otkuda-oni-poyavilis/;

  11. http://www.bestreferat.ru/referat-198514.html;

  12. http://ru.wikipedia.org/wiki/;

  13. http://rcio.pnzgu.ru/personal/171/4/5/;

  14. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html;





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 21.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров577
Номер материала ДВ-542780
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх