Исследовательская работа "Музыка и математика"

Министерство общего и профессионального образования

Ростовской  области

муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя  общеобразовательная школы № 8

Музыка      и математика

Выполнила:  Лебедь Диана,

ученица  5 а класса.

Руководитель: Голубова

Наталья Валерьевна,

учитель  математики.

Волгодонск, 2015

Содержание

1.      Введение                                                                                                                       3

2.      Связь между музыкой и математикой                                                                       3

3.      Практическая часть

3.1Создание математической модели музыкального фрагмента                            5

3.2Транспонирование мелодии с помощью математической модели.                   7

3.3Исследование дат рождения                                                                                  8

4.      Заключение                                                                                                                   11

5.      Список литературы                                                                                                      12

6.       

ВВЕДЕНИЕ

«Музыка есть таинственная арифметика души;

Она вычисляет, сама того не подозревая»

Г.Лейбниц.

Актуальность: На одном из занятий кружка, когда я сказала, что у меня не очень хорошие способности по математике, моя учительница спросила о моих успехах по сольфеджио. Услышав мой ответ, что  по сольфеджио у меня хорошие успехи, Наталья Валерьевна  сказала, что и по математике должно быть хорошо. Я задумалась над тем, что услышала. Действительно, мне нравятся уроки математики, люблю решать задачи. Нравится музыка  и игра на фортепиано, пение. Неужели такие две  совершенно разные области  как математика и музыка взаимосвязаны? В своей работе я выдвинула следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить, как некую математическую модель.

Цель: на примере музыкальных произведений выявить  взаимосвязь между музыкой и математикой.

Задачи:

1.Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.

2. Провести свое исследование по установлению связи между музыкой и цифрами, рассмотрев музыкальные произведения как математическую модель.

3. Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку. Установить связь между звуками и способностями личности.

Объект исследования: музыка и математика.

Методы исследования:

1.Изучение, обработка и анализ документов.

2.Метод исследования музыкального произведения.

3.Метод проблемно-поисковой ситуации.

СВЯЗЬ МЕЖДУ МУЗЫКОЙ И МАТЕМАТИКОЙ

Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.

Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”.

История знает массу людей, талант которых многогранен и способности к одному роду занятий как бы дополняют способности к другому. Леонардо да Винчи был скульптором, художником, архитектором, инженером; пел, преподавал пение и был первым, кто изучил природу вокального искусства.

Александр Сергеевич Грибоедов, русский писатель и дипломат, был еще композитором, пианистом и органистом. Михаил Иванович Глинка прекрасно рисовал. Эйнштейн играл на скрипке... Дети, обучающиеся музыке, обычно обнаруживают способности и тягу к другим видам искусства, потому что, помимо когнитивных способностей, музыка развивает эмоции, улучшает личностные качества. 

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета – музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самосее. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект. Он учился музыки в Египте и сделал ее предметом науки в Италии. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд  - “Compendium Musicae” в переводе “Трактат о музыке” ) , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

Вывод. «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» – писал Г. Нейгауз. Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Создание математической модели музыкального фрагмента.

Рассмотрим фрагмент польки А. Спадавеккиа «Добрый хук» из кинофильма «Золушка». Попробуем сделать математическую модель этого произведения: каждой ноте соответствует номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II ,3 – III, 4 – IV, 5 – V ,6 – VI ,7 – VII, 8 – I, 9 – II ,10 – III. Переложили ноты на числа и получили при этом такой ряд чисел:  

Правая рука: 3553  l  455  l  466  l  531  l  3553  l  455  l   3653  l   1   II

Левая рука 1535  l  2545  l  2545  l  1535  l  1535  l  2545 l 2545  l  351   II

Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.  

В музыке есть понятие – устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени.

Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность:

	Правая рука		Левая рука
1 такт		3+5+3+5=16	1+5+3+5=14
2 такт		4+5+5=14	2+5+4+5=16
3 такт		4+6+6=16	2+5+4+5=16
4 такт		5+3+1=9	1+5+3+5=14
5 такт		3+5+3+5=16	1+5+3+5=14
6 такт		4+5+5=14	2+5+4+5=16
7 такт		3+6+5+3=17	2+5+4+5=16
8 такт		1	3+5+1=9

Наблюдаем, что в произведении есть повторяющиеся группы чисел и для левой руки: 16,14,16,9,16,14,17,1  и для правой руки 14,16,16,14,14,16,16,9 – это 14,16.

Ритм – один из важнейших элементов музыки. Ритм – чередование длительностей. Рассмотрим ритм 3/4, музыканты называют его размером. В такте могут встречаться такие чередования длительностей:

	1.

	3.

	2.

	7.

	6.

	4.		5.

В музыке существуют и другие размеры ,

Рассмотрим ритм, размер  чередования длительностей: 1/2 I  1/4 1/4  I  1/8 1/8 1/ 8 1/8  II

	Правая рука		Левая рука
1 такт		1/8+1/8+1/8+1/8=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
2 такт		1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
3 такт		1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
4 такт		1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
5 такт		1/8+1/8+1/8+1/8=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
6 такт		1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
7 такт		1/8+1/8+1/8+1/8=4/8	1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
8 такт		1/2	1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8

Сумма длительностей в каждом такте равна размеру 2/4=1/2=4/8.

Найдем сумму длительностей всех нот музыкальной фразы: 4/8+4/8+4/8+4/8+4/8+4/8+4/8+1/2=28/8+1/2=7/2+1/2=8/2=4

Сумма всех длительностей в музыкальной фразе равна целому числу.

Значит, зная ступени,  длительности нот, размер я могу записать эту пьесу в любой другой тональности или от другой ноты, т. е. транспонировать.

Транспонировние.  «Плясовая».

Проставив ступени и записав длительности нот, я получила математическую модель пьесы, чтобы не перепутать октавы я поставила стрелочки, но можно было у каждой ступени указать номер октавы.

 

1.Последовательность ступеней 1512  321  21# 7 1 2 5    11  1624  321  5#6#7122    11         

2.Размер 2/4  и длительности: 1/8  1/8  1/8  1/8   1/8 1/8  1/4   1/16 1/16 1/16  1/16  1/8 1/8   1/4  1/4   1/8  1/8  1/8  1/8   1/8 1/8  1/4  I /16 1/16 1/16  1/16  1/8 1/8   1/4  1/4 

3. Сложила устойчивые  ступени, получила последовательность 8,4,7,2,1,4,6,2. Повторение чисел  есть , 4 повторяется через 3 цифры и 2 повторяется через 3  цифры.

	Правая рука
1 такт		1+5+2=8
2 такт		3+1=4
3 такт		1+1+5=7
4 такт		1+1=2
5 такт		1
6 такт		3+1=4
7 такт		5+1=6
8 такт		1+1=2

Затем записала гамму от ноты фа и проставила номера ступеней:

Проставила ступени в каждом такте и записала мелодию.

В своей исследовательской работе я выдвинула гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель.

По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует, что моя гипотеза верна, так как способов перевода может быть несколько. В работе я рассмотрела два способа: запись мелодии по ступеням и  сложение устойчивых ступеней, запись ритмического рисунка с помощью дробей. Данная модель помогла транспонировать мелодию в другую тональность.

Исследование дат рождения

Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.

Нумерология – паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно распространенная название – магия чисел. В нумерологии все слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным человеком), которые соответствует оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это значит, что каждому числу, согласно нумерологии, соответствует определенные свойства, образы и понятия. Нумерологию используют для определенного характера человека, его природных способностей для выявления сильных и слабых сторон его личности, а также для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личностей, а также для определения подходящих профессии, места проживания и многих других факторов.

Даты рождений – это ряд чисел. Попробуем установить связь между числами и музыкой.

Мною были исследованы даты рождений 12 учащихся 5а класса, в котором я обучаюсь. Как известно дата – набор цифр. Мы предложим даты на ноты. В таблице, где знак «– », мелодия звучала негармонично, а значит, диссонанс. А если мелодично, то знак « + » – это консонанс. Каждой ноте мы присвоили номер ступени. До – 0, ре -1, ми – 2, фа – 3, соль – 4, ля – 5, си – 6, до– 7, ре – 8, ми – 9.

У каждого человека получилось по мелодическому ряду:

№	ФИ	Дата	Нотная  последовательность		увлечения
1	Борцов Евгений	18.06.2003		_	акробатика
2	Горяинова Надежда	26.09.2003		_	литература, биология
4	Калачева Дарья	04.01.2003		_	особых увлечений нет, успехи в точных науках
5	Кирман Алина	05.09.2003		_	спорт, точные науки, танцы
10	Макарова Марина	26.12.2002		_	точные науки, танцы
6	Козлова Татьяна	08.03.2003		+	спорт, танцы
7	Лебедь Диана	11.10.2003		+	музыка
8	Малашенко Виктор	08.09.2003		+	конструирование, хорошо поет
9	Плотников Петр	07.08.2003		+	Хорошо поет, конструирование, точные науки
3	Жукова Арина	21.09.2003		+	художественная школа

После того, как мы переложили даты рождения на мелодию, попробуем установить связь между звучанием даты рождения и способностями человека.

I Группа (дети, у которых мелодии благозвучные):

№	ФИ	Дата	Нотная  последовательность		увлечения
6	Козлова Татьяна	08.03.2003		+	спорт, танцы
7	Лебедь Диана	11.10.2003		+	музыка
8	Малашенко Виктор	08.09.2003		+	конструирование, хорошо поет
9	Плотников Петр	07.08.2003		+	Хорошо поет, конструирование, точные науки
3	Жукова Арина	21.09.2003		+	художественная школа

II группа (дети, у которых мелодии звучали «резко»):

№	ФИ	Дата	Нотная  последовательность		увлечения
1	Борцов Евгений	18.06.2003		_	акробатика
2	Горяинова Надежда	26.09.2003		_	литература, биология
4	Калачева Дарья	04.01.2003		_	особых увлечений нет, успехи в точных науках
5	Кирман Алина	05.09.2003		_	спорт, точные науки, танцы
10	Макарова Марина	26.12.2002		_	точные науки, танцы

Методом опроса я выяснила, чем каждый ученик увлекается.

Дети класса творческие люди на это влияют их даты рождения. В первой группе, музыкальный ряд  звучал мелодичнее, большинство детей с творческими наклонностями: некоторые из них занимаются в художественной школе или танцами. Данная группа детей обладает творческими способностями, косвенно или напрямую связана с музыкой.

Во второй группе, где музыкальный  звучал «резко», надо отметить, что очень «резко, даже безобразно» звучащих не было,   большинство детей занимаются изучением точных наук, техническим моделированием, предпочитают занятия спортом.

Следует отметить, что в исследуемой группе оказались те, кто по тем или иным причинам ничем не увлекаются и не занимаются в каких либо секциях. Предполагаю, что возможно, они имеют эти склонности, но они ещё не реализовали их.

Вывод: большее количества учащихся класса имеют творческие способности. Возможно, именно с этим связанно активное участие класса во всех школьных мероприятиях, свободно организуем классные вечера, концерты для родителей.

Мои исследования оказались интересны не только мне, но и одноклассникам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате проделанной работы мною  были выполнены поставленные задачи. Рассмотрела связь ритмов и чисел, дробей и длительностей нот. Работа над этой темой позволила  выявить  много интересной информации о закономерностях, которые встречаются в музыке и математике. Построила математическую  модель музыкального произведения полька «Добрый жук» из  к/ф « Золушка». Установила связь между датами и ступенями, переложила даты рождений одноклассников на музыку.  Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет определенный тип особенностей человека, необходимо большее количество исследуемых.

Возможность перевода нот в числовой ряд подтверждает мою гипотезу.  Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика  пронизывает  музыку.

Выполняя работу,  я отметила, что в мелодии постоянно происходит чередование сильных и слабых долей, чередование тактов, где сильных долей больше с тактами, где меньше или только одна сильная доля, что музыкальная фраза заканчивается 1 ступенью. Если проанализировать больше произведений и более сложные музыкальные формы, то вероятно можно выявить еще закономерности. Также мне пришла идея попробовать одну и ту же последовательность  нот записать в разных ритмических рисунках, а может и придумать свою композицию, например,  по «красивой»  числовой  последовательности.

Список  литературы:

1. Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005

2.Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего “Я”. Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.

3. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.

4. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.

5. Сольфеджио 2 класс

6. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. – Э68-е изд., испр./Глав. Ред. М.Д. Аксенова. – М..6 Аванта +, 2006 – 688 с.: ил.

7. Энциклопедический словарь юного математика. М.; «Педагогика» 1985г

12. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Музыка /авт. А.С. Кленов. Под общей ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО Фирма «Издательство АСТ», 2010. – 46

Интернет ресурсы:

1.http://www.stonot.ru/

2.http://www.krugosvet.ru/

3.http://www.wikipedia.org/

4. http://ru.wikibooks.org/wiki

5.http://www.piano-notes.net/