Исследовательская работа на тему

• 1 слайд

  Исследовательская работа
  по геометрии.
  Тема: «Параллелограмм Вариньона»
  А
  В
  С
  D
  L
  M
  N
  K
  

• 2 слайд

  
  
  
  
  
  
  (1654-22.12.1722,Париж)
  Французский математик и механик. Член Французской АН с (1688).Родился в Каенне. Изучал философию и математику. С 1688-профессор математики в Коллеже Мазарини, с 1704-Коллеж де Франс.
  
  Вариньон Пьер
  

• 3 слайд

  Биография
  Основные работы относятся к геометрии и статике. Исходя из теории сложных движений сформулировал (ок. 1710) закон параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и предложил геометрическое доказательство теоремы о том, что момент равнодействующей двух сходящихся сил равен сумме моментов составляющих сил (теорема Вариньона).Установил (1687) теорему о скользящих векторах для случая сходящейся системы сил. Одним из первых начал пользоваться математическим анализом. Изучал равновесие и движение жидкости. Дал объяснение закона Торричелли. Полагая, что вес колонны воды пропорционален высоте h, нашёл выражение для закона Торричелли.
  

• 4 слайд

  Описание работы
  Мы провели исследование по теме: «Параллелограмм Вариньона»
  
  Сформулировали определение четырёхугольника Вариньона.
  
  Доказали свойство: «четырёхугольник Вариньона является параллелограммом».
  
  Определили вид параллелограмма Вариньона для различных видов четырёхугольников.
  

• 5 слайд

  
  Доказали свойство площади
  параллелограмма Вариньона.
  
  Доказали свойство: «Многоугольник Вариньона для правильного многоугольника также является правильным.
  
  Заключение. Подобрали 7 задач, в которых использовали теоретический материал работы.
  
  

• 6 слайд

  Параллелограмм Вариньона
  -это четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного четырёхугольника.
  
  Свойство площади параллелограмма Вариньона
  теорема: площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади данного четырёхугольника.
  
  

• 7 слайд

  Доказательство
  
  
  Пусть S- площадь данного четырехугольника ABCD, s-площадь четырехугольника KLMN , вершины которого- K, L, M, и N середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.
  Поскольку KL и MN- средние линии треугольников ABC и ADC, то
  S▲DLK=1/4 S▲ADC; S▲BMN=1/4 ▲ABC,
  Поэтому:
  S▲DLK+S▲BMN=1/4S▲ABC+1/4S▲ADC=
  =1/4(S▲ABC +S▲ADC)=1/4S
  Аналогично:
  S▲KNC+S▲MAL=1/4 S
  Следовательно, s=S-S▲DLK-S▲MBN-S▲LAM-S▲NCK=S-1/4S-1/4S=1/2S
  A
  B
  M
  L
  D
  K
  C
  N
  

• 8 слайд

  Дано: АBCD-ромб.
  Определить вид параллелограмма Вариньона.
  1.Рассмотрим ▲ABD
  LE-средняя линия
  Т.е получим, что EL║BD, и EL=1/2BD
  2. Аналогично, рассматривая
  ▲BCD получим, что FK║BD, FK=1/2 BD
  То есть EL=FK; EL║FK,
  значит четырёхугольник EFKL является параллелограммом, так как две противолежащие стороны четырёхугольника равны и параллельны.
  А так как диагонали ромба пересекаются под
  прямым углом, то и параллельные им стороны четырёхугольника
  будут тоже пересекаться под прямым углом.
  Следовательно, если исходной фигурой является ромб, то параллелограмм Вариньона принимает вид прямоугольника.
  А
  В
  С
  D
  E
  F
  K
  L
  Определим вид параллелограмма Вариньона для ромба
  

• 9 слайд

  Определили вид параллелограмма Вариньона для различных видов четырёхугольников
  Для прямоугольника
  Для равнобокой трапеции
  Для квадрата
  

• 10 слайд

  Мы подобрали и решили 7 задач, где использовали теоретический материал нашей исследовательской работы.
  

• 11 слайд

  Хотелось бы представить вашему вниманию одну из решённых задач:
  ABCD- прямоугольник, M, K, P и T- середины его сторон, AB=6см, AD=12см.
  Найти площадь четырехугольника MKPT.
  Решение:
  MKPT является параллелограммом Вариньона.
  Используя свойство площади параллелограмма Вариньона: площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади данного четырехугольника, получим:
  Площадь MKPT=1/2 площади ABCD => S=1/2 • 6•12=36(кв.см)
  Ответ: 36(кв.см)
  А
  В
  С
  D
  М
  К
  Р
  Т
  

• 12 слайд

  Заключение
  
  Мы рассмотрели вопросы, связанные с теоремами о параллелограмме Вариньона, и нашли их широкое практическое применение при решении задач.
  Эти знания позволили нам более глубоко познакомиться с данным материалом, и применять их в нестандартных ситуациях. Поиск новой информации из различных печатных источников, а так же из сети Интернет расширил наши знания по предмету геометрии. Мы смогли попробовать себя в новой ситуации, когда знания приобретались нами самостоятельно без помощи учителя, а это в свою очередь позволило нам поверить в себя и в свои возможности.
  Намеченный нами план был выполнен, и мы планируем продолжить нашу исследовательскую работу на тему «Дельтоид», где будут использоваться полученные нами знания.
  
  

• 13 слайд

  Мы пользовались следующей
  литературой :
  Сборник тестовых заданий по геометрии 9 класс, «Интеллект-Центр» Москва 2001.
  Задачи по геометрии 7-11кл., авторы: Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский.
  Научный журнал «Математика в школе».
  Материалы из сети Интернет «Система задач по геометрии Р. К. Гордина».
  

Краткое описание документа:

Данная презентация предназначена для внеурочной работы  по геометрии с учащимися, увлекающимися математикой.

   Этот дополнительный материал может использоваться педагогами для развития интереса к предмету математики и для получения новых знаний по теме "Четырёхугольники". Исследования по теме могут быть продолжены учащимися для других видов четырёхугольников. Исследования, которые проведут учащиеся могут быть использованы на уроках обобщения и систематизации знаний. Выводы по теме позволяют расширить и углубить знания  учащихся по данной теме и в целом по геометрии.