Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по математике по теме "Теорема пифагора"

Исследовательская работа по математике по теме "Теорема пифагора"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №30






Городская научно-практическая конференция

«Старт в науку»






Секция математики





Теорема Пифагора






Автор:

Мухина Татьяна,

ученица 9 Б класса

МБОУ СОШ №30

Руководитель:

Бойко Галина Ивановна,

учитель математики

МБОУ СОШ №30.

















г. Дзержинск

2013г.

Оглавление











Введение


«Прежде чем приступить к возведению

дворца вселенной,

сколько нужно еще добыть

материала из рудников опыта!»

Гельвеций К.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Впервые о теореме Пифагора я узнала на уроках геометрии. Задачи на эту тему давались мне очень легко. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Теорема имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций, поэтому эта тема и стала основой для моего исследования. Больше всего меня заинтересовал вопрос: каким образом теорему Пифагора можно использовать в практической деятельности человека? Цель моей работы состоит в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и практической деятельности человека.

Для достижения поставленной цели я поставила перед собой следующие задачи:

1. Узнать больше информации, мифов, легенд о Пифагоре и его теореме.

2. Ознакомится с различными способами доказательства теоремы Пифагора.

3. Рассмотреть применение теоремы Пифагора при решении задач.

4. Исследовать практическое применение теоремы.

Гипотеза:

С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи, но и использовать на практике.

Объект исследования: теорема Пифагора

Предмет исследования: практическое применение теоремы в современной науке и повседневной деятельности человека.

Методы исследования:

  1. Анализ различных источников литературы

  2. Метод исследования

  3. Систематизация и обобщение данных.

Новизна. В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора практически не рассматривается.










1. Биография Пифагора


О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. По легенде, отец его, Мнесарх, обратился к Пифии по поводу одной важной для него поездки. Он получил ответ, что поездка будет удачной, а его жена родит дитя, которое будет выделяться среди всех когда-либо живших красотой и мудростью и принесет человеческому роду величайшую пользу на все времена. Мнесарх после предсказания дал своей жене новое имя – Пифаида, а новорожденному – Пифагор.

Отец дал ему хорошее образование, обучая его у самых знаменитых учителей того времени. Многие считали, что он сын бога Аполлона. После смерти отца Пифагор отправляется в Милет, где учителями его были Ферекид, Анаксимандр и Фалес. У Ферекида Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Единство музыки, поэзии и отточенной мысли, с малых лет усвоенное Пифагором, оказало на его мировоззрение огромное воздействие. Для упражнения памяти Гермадамант заставлял учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Он прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.

hello_html_m31739d48.jpg

Рис. 1. Пифагор



    1. Путешествие Пифагора по Египту


Пифагор тайно бежит с острова, решив продолжить образование в Египте, этой своеобразной для древних эллинов научной Мекке. Путь был далек и опасен, а все дороги вели через Милет, и здесь юный Пифагор внимательно слушает лекции Фалеса, основателя первой философской школы, тогда уже восьмидесятилетнего старца, и его более молодого коллегу и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время пребывания в Милетской школе, но Фалес советует ему за знаниями продолжить путь в Египет.

Перед Египтом Пифагор на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Пока Пифагор был в Финикии, Поликрат не только прощает беглеца, но и пишет письмо для Амазиса - фараона Египта.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полу-людей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

В Египте проведет он 22 года. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Но жизнь его вдруг резко меняется. Скончался фараон Амазис, а его преемник по трону не выплатил ежегодную дань Камбизу, персидскому царю, что послужило поводом для войны. Персы не пощадили даже священные храмы, подверглись гонениям и жрецы, их убивали или брали в плен. Пленен был и Пифагор.

hello_html_md6d0f15.jpg

















Рис. 2. Пифагор и его научные открытия


    1. В плену в Вавилоне


Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. В плену в Вавилоне Пифагор встречается с персидскими магами, знакомится с учением халдейских мудрецов, со знаниями, накопленными восточными народами за многие века: астрономией, медициной и арифметикой. Изучает восточные религии. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Все это способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. Приобщившись к математике, он создает из нее центр своей философской системы. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Двенадцать лет пробыл в плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, и он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ.




    1. Жизнь Пифагора на Самосе


Жизнь на Самосе изменилась - бурно развивались строительство и торговля. После возвращения домой Пифагор попытался создать на родине свою школу (лучше назвать - секту, общину), в основу которой положил аристократическую идеологию, резко противоречащую идеологии античной демократии, преобладавшей в то время на Самосе. Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину.

Однако ж Пифагор болезненно воспринял атмосферу тирании и насилия Поликрата, царившую на острове, и переселился в Кротон - небольшую греческую колонию на юге Апеннин. И сразу же «привлек всеобщее уважение как человек, много странствовавший и дивно одаренный судьбой и природою. С виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и в голосе, и в обхождении, и во всем...», - писал древнегреческий философ Порфирий.


hello_html_41ca6f02.jpg

Рис. 3. Гравюра с изображением Пифагора


    1. Создание школы


Он переселяется в южную Италию - колонию Греции – Кротон. В Кротоне Пифагор основывает школу - пифагорейский союз, просуществовавший около двух веков и ставший центром духовной и общественной жизни. Желание людей послушать философа было столь велико, что даже девушки и женщины нарушали закон, запрещавший им присутствовать на собраниях. Одна из них, Феано, становится женой Пифагора. У них рождается трое детей (два сына и дочь), в будущем последователи отца.

Свою школу Пифагор создает как тайную организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Со временем Пифагор прекращает выступления в храмах и на улицах, а учит уже в своем доме. Система обучения жаждущих знаниями сложная и многолетняя. В этот период проверялось их терпение, скромность. Одна из особенностей школы - почти священное почитание учителя. Только тех, кто прошел многие ступени знаний, Пифагор называет ближайшим учеником и допускает во двор своего дома, где они и ведут беседу. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Учитель, прежде всего, учил своих учеников молчанию. «Первое упражнение будущего мудреца состояло у Пифагора в том, чтобы до конца смирить свой язык, и слова, те самые слова, что поэты называют летучими, заключить, ощипав перья, за белой стеной зубов. Иначе говоря, вот к чему сводились начатки мудрости: научиться размышлять, разучиться болтать», - пишет Апулей во «Флоридах», подтверждая, что и ему это чувство меры доставило «столько же похвал за своевременное безмолвие, сколько одобрений за уместные речи».

В "правилах" воспитания, основанных на идее о бессмертии души, обязательными были: преклонение перед богами, почитание родителей, воспитание дружбы, смелости, уважения к старшим. Пифагору приписываются "Золотые стихи" и "Символы". Вот некоторые изречения из них:

Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
– Не делай никогда того, чего ты не знаешь. Но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.

Не пренебрегай здоровьем, своего тела. Доставляй ему вовремя пищу и питье, и упражнения,

в которых оно нуждается.

Приучайся жить просто и без роскоши.

Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошедший день.

Не проходите мимо весов (то есть не нарушайте справедливости).

Не садитесь на подушку (то есть не успокаивайтесь на достигнутом).

Не грызите своего сердца (то есть не предавайтесь меланхолии).

Не поправляйте огня мечем (то есть не раздражайте тех, кто и без того в гневе).

Не принимайте под свою кровлю ласточек (то есть говорунов и легкомысленных людей).

Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. Числа понимались как суть всего существующего, им придавался мистический смысл. Основу пифагорейской математики составляет учение о декаде: 1+2+3+4=10. Эти четыре числа описывают все процессы, происходящие в мире. Знаменитая декада повлияла через пифагорейцев на Платона, придававшего особое значение четырем материальным элементам: земле, воздуху, огню и воде.

Декада, в частности, отображает и законы музыкальной гармонии: через нее выражаются основные музыкальные интервалы - октава (2:1), квинта (3:2), кварта (4:3). Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения выражены на языке математики. Пифагорейцами положено и начало музыкальной психологии: музыка использовалась как средство воспитания и исцеления души и тела. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях. Например, отношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6:8:12.

В школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», без которых мир распался бы на части, впоследствии приведшие к революции в астрономии, тоже впервые появились здесь же. Число для Пифагора было и материей, и формой Вселенной. Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики теории чисел.

Занимаясь вопросом о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника.


hello_html_m66906efb.pnghello_html_4956e8d6.pnghello_html_1c62131a.png


Рис. 4. Покрытие плоскости правильными многоугольниками


Пифагорейцы занимались задачей о нахождении совершенных чисел, то есть таких, которые равны сумме своих делителей (исключая само число), как, например, 6=1+2+3 или 28=1+2+4+7+14. Совершенных чисел не много. Среди однозначных – это только 6, среди двузначных, трехзначных и четырехзначных – только 28, 496 и 8128 соответственно. Все они четны и выражаются формулой 2p-1(2p-1), где p, 2p-1 являются простыми числами. Однако вопрос о том, имеется ли конечное или бесконечное число совершенных чисел, до сих пор не решен, также не найдено ни одного нечетного совершенного числа и не доказано, что таких чисел не существует.

Что же касается числа 36, то оно производило сильное впечатление на пифагорейцев своими качествами: с одной стороны, оно представляет сумму кубов трех первых чисел натурального ряда (13+23+33), а с другой – является суммой первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел:

(2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.

Весь мир, по мнению пифагорейцев, был построен на первых четырех нечетных и на первых четырех четных числах, а потому самой страшной клятвой у них считалась клятва числом 36.

Согласно преданию, ученик Пифагора Гиппас Месапонтский, раскрывший эту тайну, был "наказан" богами и погиб во время кораблекрушения.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и

геометрии, в том числе:

1) теорема о сумме внутренних углов треугольника;

2) построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

3) геометрические способы решения квадратных уравнений;

4) деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

5) доказательство того, что 2 не является рациональным числом;

6) создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.


  1. Пифагоровы тройки


Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел ( x,y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2+y2=z2). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, проявляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.

Треугольник, стороны которого равны пифагорейским числам, является прямоугольным. Простейшие из них - египетский треугольник со сторонами 3,4 и 5.

Некоторые Пифагоровы тройки:

(3,4,5),(6,8,10),(9,15,17),(12,16,20),(15,20,25),(7,24,25),(10,24,26),(20,21,29),(18,24,30),(10,30,34),(21,28,35), (12,35,37), (15,36,39), (24,32,40), (9, 40,41), (27,35,45), (14,48,50), (30,40,50)…

Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время значение их необходимо при решении многих задач. При решении задач по геометрии с применением теоремы Пифагора я пользуюсь этими сведениями.

Кстати в 9 классе я изучила теорему косинусов, которую иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора, так как если в треугольнике ABC угол C прямой, то

cosC= cos 900=0 и из формулы c2=a2+b2-2bc cosC получаем c2=a2+b2.

В 10 классе я буду изучать пространственную теорему Пифагора, которая звучит так:

Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра - прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.



  1. О теореме Пифагора и способах ее доказательства


Теорема Пифагора-это одна из самых известных геометрических теорем древности. Ее и сейчас знают практически все, кто когда-либо изучал планиметрию. Мне кажется, что если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника.

hello_html_m7c58e30f.jpghello_html_6863b173.gif


Рис. 5. Геометрическая иллюстрация к теореме Пифагора

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось.


    1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур


На рис. 6 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

hello_html_m4dc3c0dc.png










Рис. 6. Доказательство через равновеликость


    1. Доказательство теоремы с помощью разбиения


1hello_html_67398af3.jpg) На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 7, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).




Рис. 7. Доказательство ан-Найризия


2)Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 8. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.


hello_html_5188ca80.jpghello_html_m7e9d6af1.gif

Рис. 8. «Колесо и лопасти»


Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.


    1. Алгебраический метод доказательства


1) Рис. 9 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое дhello_html_md3f4c3b.jpgревнее) занимает доказательство, использующее подобие.







Рис. 9. Алгебраический способ


2) Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

На рис. 10 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CMAB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того, что треугольник ABC подобен треугольнику ACM следует, что b2 = cb1; (1) из того, что треугольник ABC подобен треугольнику BCM следует a2 = ca1. (2). Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c (b1 + a1) = c2.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.


hello_html_1d6b88a.jpg







Рис. 10. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике


    1. Доказательства методом достроения


Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

1) Рис. 12 иллюстрирует доказательство, предложенное Гофманом.
Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

hello_html_6841f726.pnghello_html_m5eab1473.jpg






hello_html_m58c1605f.gif


Рис. 11. Метод достроения

4. Задачи по теореме Пифагора


А) Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

« Случится некому человеку к стене лестницу прибрать, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Решение: ВС2=АВ2-АС2; ВС2=15625-13689=44 стоп.

Ответ: ВС=44 стоп.


Бhello_html_4a5f55f0.jpg) Задача Бхаскари

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Решение: По теореме Пифагора АВ2= ВС2+АС2 ;9+16=25, АВ=5 Футов; СD=3+5=8 футов.

Ответ: высота тополя 8 футов.





Рис. 12. Задача Бхаскари


В) Метрополитен

Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Решение.


а) Пусть АВ – длина лестницы из 17 ступенек.

Из hello_html_40566196.pngАКD по теореме Пифагора

АD = hello_html_a1c46e7.png(см),

АВ = 45 • 17 = 765 (см) = 7, 65 (м).

б) ВС = 40 • 17 = 680 (см).

Из hello_html_40566196.pngАСВ по теореме Пифагора

АС = (см) = 3,5 (м).

Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.

Г) Сказка

Давным-давно в некоторой стране жила прекрасная принцесса и была она настолько прекрасной, что затмевала красотой всех своих подруг и свою старшую сестру, которая красотой не блистала. Старшая сестра завидовала принцессе и решила ей отомстить. Тогда она пошла к ведьме и попросила ее заколдовать принцессу. Ведьма не смогла ей отказать, но все же, ей стало жалко принцессу, поэтому ведьма придумала усыпить принцессу в башне до той поры, пока какой-нибудь принц не посмотрит на окно башни с такого места, чтобы расстояние от глаз принца до окна было 50 шагов. И вот принцесса заснула крепким сном. Прошло много лет, но никто мне смог расколдовать принцессу, несмотря на то, что отец ее Король пообещал отдать принцессу в жены тому, кто спасет ее от пут сна.

И вот, в один прекрасный день в этом городе появляется на белом прекрасном коне молодой принц. Узнав, какое несчастье произошло с принцессой, молодой принц берется расколдовать ее. Для этого он измеряет длину от основания башни до окна, за которым скрывается принцесса. У него получается 30 шагов. Затем что-то прикидывает в уме и отходит на 40 шагов, поднимает голову и вдруг...башня озаряется светом и через мгновенье навстречу принцу выбегает еще более прекрасная принцесса...

Как же принц догадался, что нужно отойти на 40 шагов?

hello_html_m443588fa.png


Рис. 13. Задача «Сказка»


    1. Занимательная страница. Помогла теорема Пифагора


Этот эпизод взят из реальной следственной практики. Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утверждал, что преступник проник в помещение, где хранились ценности, через окно. Осмотр показал, что подоконник находится на расстоянии 124 см от земли. Поверхность земли на расстоянии 180 см от стены здания покрыта густой порослью; не имевшей никаких следов повреждений. Возникло, предположение, что преступник, проникая в помещение через окно, каким-то образом преодолел расстояние между наружным краем поросли и подоконником. Оно было с применением теоремы Пифагора:

X=√1242+1802=√47776≈219 (см).

Очевидно, что преодолеть такое расстояние без какого-либо технического средства, например лестницы, невозможно. Поиски этого средства в рассматриваемом случае не увенчались успехом.

С учётом указанного обстоятельства и некоторых других данных следователь выдвинул версию об инсценировке кражи, которая входе дальнейшего расследования подтвердилась. Так школьная геометрия помогла расследованию (статья из журнала «Математика в школе», №5, 1975 г.).













  1. Применение теоремы Пифагора


Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в практической жизни. Область применения теоремы достаточно обширна. Применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали ее для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Воз­никла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означа­ет «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять вообра­жаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. О теореме Пифагора писали в своих произведениях писатели Плутарх, инженер Витрувий, греческий ученый Диоген, математик Прокл. Не всякое математическое положение удостаивается такого внимания поэтов и писателей.

В конце 19 века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать, но очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.


    1. Использование теоремы Пифагора в Древнем Египте

Дhello_html_41961e5.jpgревнегреческие авторы писали о существовании в Египте особого метода для построения прямого угла на местности: этому служила кольцевая веревка, на которой были отмечены 12 узелков на равных расстояниях. Если натянуть данную веревку, образовав треугольник со сторонами, пропорциональными 3, 4 и 5, то этот треугольник будет прямоугольным: в самом деле, его стороны удовлетворяют теореме Пифагора (32 + 42 = 52).


Рис. 14. Египетский треугольник

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами до сих пор иногда называются египетскими треугольниками. В то же время из сохранившихся древнеегипетских папирусов математического содержания невозможно извлечь никаких свидетельств о знакомстве с теоремой Пифагора, даже в ее частном случае. Вполне возможно, что египтяне знали только об одном целочисленном прямоугольном треугольнике, и знали о нем не раньше середины I тысячелетия до н. э. – времени, к которому относятся первые греческие сведения о египетском методе построения прямого угла.

    1. Использование теоремы Пифагора в Вавилоне

В отличие от египтян, древние вавилоняне еще в середине II тысячелетия до н. э. хорошо знали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Сохранилась таблица, из которой ясно, что вавилонянам были известны многие «пифагоровы тройки» целых чисел, удовлетворяющих равенству x2 + y2 = z2, в том числе совсем нетривиальные (например, 72, 65, 97 или 3456, 3367, 4825). К сожалению, мы ничего не знаем о том, каким методом были найдены эти числа. Теорема Пифагора использовалась для вычисления диагонали квадрата; радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника; сторон правильных n-угольников. Сохранились и некоторые задачи, при решении которых надо воспользоваться этой теоремой: например, требовалось определить длину шеста, который вначале вертикально прислонен к стене, а затем наклоняется так, что его верхний конец опускается на три локтя, а нижний отходит от стены на 6 локтей.

hello_html_m3c3afc43.jpg

Рис. 15. Задача о шесте. Вавилон


    1. Применение теоремы Пифагора в других отраслях


  1. Молниеотвод. Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов (в нашей стране - сотнями миллионов рублей). Я считаю, что возведение молниеотводов очень актуально, т.к. природные катаклизмы не обходят стороной и нас.

Пример: Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Рhello_html_m54a3ceb.jpgешение:

      По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.








Рис. 16. Расчеты длины молниеотвода

  1. Мобильная связь. В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора.

Пример: Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Рhello_html_722329e1.jpgешение:

      Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB
OB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.





Рис. 17. Расчеты высоты антенны


    1. Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре

hello_html_6cccb3fd.pnghello_html_m332428cd.jpgВ зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке (Приложение №4)представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

hello_html_6be3c008.pngВ романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке 16. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.

Рис. 18. Окно в романском стиле



По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)2=( b/4)2+( b/2-p)2; или b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2; откуда bp/2=b2/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.





    1. Практическое применение


Каждое лето я провожу в деревне. В этом году моя мама, дядя и бабушка решили построить летнюю кухню.

При этом в семье возник спор: бабушка хочет, чтобы крыша летней кухни была высотой 1м, ей кажется, что такая крыша будет выглядеть красиво.

Дядя считает, что крыша должна быть выше 2 м, т.к. с нее лучше будет скатываться снег и наледь зимой, но при этом придется наращивать стропила.

Решение данной задачи я решила возложить на свои плечи и рассчитать, какой должна быть высота крыши, чтобы конструкция была устойчивой, хватило строительного материала, и мои родственники были довольны.

Решение: размеры летней кухни 3,0 х 3,0 м, длина стропил 2,5 м.

Высота крыши вычисляется по теореме Пифагора: гипотенуза равна 2,5 м, катет 1,5 м. Второй катет равен 2м. (рис. 19)

Тhello_html_fc718a8.pngаким образом, не правы ни дядя ни бабушка. И оптимально полученная высота крыши должна равняться 2 м.

Вот так теорема Пифагора помогла мне разрешить спор между родственниками.






Рис. 19. Схема летней кухни


    1. Писатели о теореме Пифагора


Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает, даже ближайшие обстоятельства, сопровождающие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого романиста Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век.

Обильно было жертвоприношение

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье сожженье

За света, луч пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А смогут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

В III- IV вв. до н. э. появилась компиляция высказываний Пифагора, известная под названием «Священное слово», из которой позднее возникли так называемые «Золотые стихи». Заключительный отрывок из «Золотых стихов» в переводе И. Петер:

Ты же будь твёрдым: божественный род присутствует в смертных,

Им, возвещая, священная всё открывает природа.

Если не чуждо это тебе, ты наказы исполнишь,

Душу свою исцелишь и от множества бедствий избавишь.

Яства, сказал я, оставь те, что я указал в очищеньях.

И в избавленье души ко всему подходи с размышленьем.

И руководствуйся подлинным знанием лучшим возничим.

Если ты, тело покинув, в свободный эфир вознесёшься,

Станешь нетленным, и вечным, и смерти не знающим богом.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов.

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу».

hello_html_3514bcaf.jpg













Рис. 20. «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу» Ф.А. Бронников





Заключение


После изучения построенного материала можно заключить, что теорема Пифагора - одна из самых главных теорем геометрии потому, что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач. Пифагор и школа Пифагора сыграли большую роль в усовершенствовании методов решения научных проблем: в математику твёрдо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений.

Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.

В результате решения поставленных задач я пришла к выводу, что выдвинутая мною гипотеза нашла подтверждение. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи, но и широко использовать ее в практической деятельности человека. Теорема Пифагора нашла своё применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе.

И даже я, ученица 9 класса, смогла найти ей практическое применение. Правда, вместо летней кухни мы решили построить новую баню. И думаю, что при ее строительстве нам очень понадобятся мои знания по математике.

Результатом моей работы является:

  1. приобретение навыка работы с литературными источниками;

  2. научилась работать с большим объёмом информации, отбирать нужную информацию;

  3. это мой первый проект по математике, в результате которого я приобрела опыт обработки данных и написания исследовательского проекта.

Было интересно почувствовать себя исследователем, но главное меня заинтересовал процесс познания. Работа над проектом помогла мне реально применить полученные на уроках знания, навыки, опыт в практической деятельности, в соответствии с моими интересами.





Список используемой литературы


1. Асмус В. Ф. «Античная философия». М.: «Высшая школа» 1976г.

2Афанасьев В.В. «Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач». Ярославль. 1996 г.

3. Атанасян М.С. «Геометрия» 7-9 класс. М.: Просвещение, 1991 г.

4. Большая математическая энциклопедия для школьников. 2011 г.

5. Волошинов А.В. «Пифагор» М.: 1993г.

6. Глейзер Г.И. История математике в школе VII-VIII классы, пособие для учителей. М.: Просвещение. 1982г.

7. «Математика». Издательский дом «Первое сентября». №17. 1996 г.

8. «Математика». Издательский дом «Первое сентября» № 3. 1997 г.

9. Колосов А.А. «Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах». М.: 1963 г.

10. Никитин Н.Н. «Геометрия» 6-8 класс. М: Просвещение, 1969;

11. Скопец З.А.Геометрические миниатюры, М.: Просвещение,1990г.

12. Ткачева М.В. Домашняя математика. М.: Просвещение ,1994г.

13. Шепан Еленьский «По следам Пифагора». Детгиз 1961г.


Список использованных источников информации

  1. http://ru.wikipedia

  2. www.exponenta.ru









21




Автор
Дата добавления 03.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1805
Номер материала ДВ-027467
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх