Исследовательская работа по математике "Теорема Пифагора"

• 1 слайд

  Исследовательская работа
  Теорема Пифагора
  подготовила ученица 8 класса Бабушкина Надежда проверила учитель математики Федорова Тамара Васильевна
  

• 2 слайд

  Цель работы
  значение теоремы Пифагора в развитии науки и практической деятельности человека
  Задачи:
  1. Узнать больше информации, мифов, легенд о Пифагоре и его теореме.
  2. Ознакомится с различными способами доказательства теоремы Пифагора.
  3. Рассмотреть применение теоремы Пифагора при решении задач.
  
  

• 3 слайд

  Биография Пифагора
  Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе.
  Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням.
  Имя же матери Пифагора неизвестно.
  По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.
  

• 4 слайд

  Биография Пифагора
  Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.
  

• 5 слайд

  Биография Пифагора
  В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков).
  

• 6 слайд

  Биография Пифагора
  Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.
  

• 7 слайд

  Формулировки Теоремы Пифагора
  В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
  Геометрическая формулировка.
  
  Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
  

• 8 слайд

  Формулировки Теоремы Пифагора
  То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
  a2 + b2 = c2
  
  Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка
  более элементарна, она не требует понятия площади.
  То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о
  площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
  В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
  Алгебраическая формулировка.
  

• 9 слайд

  Доказательства Теоремы
  На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
  Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства.
  

• 10 слайд

  Через подобные треугольники
  Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом.
  Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
  
  
  
  
  
  
  получаем
  Что эквивалентно
  Сложив, получаем
  
  или
  

• 11 слайд

  1.Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано
  на рисунке.
  2.Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух
  острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
  3.Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со
  стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников
  и внутреннего квадрата.
  
  
  
  Доказательство через равнодополняемость
  Что и требовалось доказать.
  

• 12 слайд

  Доказательства через равносоставленность.
  Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.
  

• 13 слайд

  Обратная теорема Пифагора.
  
  
  
  Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.