Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по теме "Биссектриса угла треугольника", 9класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа по теме "Биссектриса угла треугольника", 9класс

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Управление образования исполнительного комитета

Бугульминского муниципального района Республики Татарстан



г. Бугульма

МБОУ СОШ №1 с углубленным изучением отдельных предметов

Класс: 9 А



Научно-исследовательская работа



Тема: Биссектриса угла треугольника













Учащийся: Александров А.А

Руководитель: Чуканова И.И.







Бугульма, 2012



Содержание.

1.Введение…………………………………………………………………………3

2.Основная часть:

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника……………...4

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника………………………………………………………………………..

2.21. Метод подобия……………………………………………………………

2.22. Метод площадей…………………………………………………………5

2.23. Описанная окружность …………………………………………………..

2.24 Теорема синусов. ………………………………………………………...6

2.25.Векторный метод…………………………………………………………7

2.26. Доказательство с применением осевой симметрии……………………

2.3. Решение задач на применение……………………………………………..8

2.31. Решение задач из учебника……………………………………………....

2.32. Решение олимпиадных задач…………………………………………….

2.33. Авторская задача…………………………………………………………9

3.Заключение………………………………………………………………...........10

4.Используемая литература…………………………………………………….11

















1.Введение.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал её богатства. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрам и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о биссектрисе угла треугольника.

Теорема о биссектрисе треугольника часто используется при решении геометрических задач. Теорема интересна тем, что существует много методов ее доказательства (метод подобия, метод площадей, метод движений и т.д.). В данной работе предлагаются только 4 способа доказательства этой замечательной теоремы.

Цель и задачи исследования:

  1. Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.

  2. Научиться работать с чертежами.

  3. Решать задачи на применение теоремы.

  4. Составлять и решать задачи практического содержания.



  1. Основная часть.

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника.

D:\Рабочий стол\научнопракти\формулировка биссектрисы.png

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит

противоположную сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам треугольника.

Если BD – биссектриса ∆ ABC, то выполняется равенствоhello_html_3fba2c1c.gif.

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе

угла треугольника.

2.21. Метод подобия

D:\Рабочий стол\Копия конф.png

Проведем прямую m параллельную биссектрисе BD.

  1. ABD = DBC (т.к. BD – биссектриса).

  2. DBC = BCD (т.к. m ǁ BD и BC – секущая).

  3. BDC = ABD (т.к. m ǁ BD и BD - секущая).

  4. BCD = BDC.

Значит ∆BCD - равнобедренный => BC=BD.

ABD hello_html_m1fbc7767.gifADC (по двум углам).

Следовательно:

hello_html_m62a00377.gifhello_html_6706ae5.gif.

Что и требовалось доказать.

2.22. Метод площадей.

D:\Рабочий стол\Конф.png

Рассмотрим ∆ABD и ∆CBD.

S ABD : SCBD = AD : DС ( так как h – общая высота).

BD – биссектриса ∆ ABC. Каждая точка биссектрисы BD равноудалена от

сторон ABC. Значит DH = DM - высоты ABD и ∆CBD.

S ABD : SCBD = AB : BC.

Итак: AB : BC = AD : DС => AB : AD = BC : DС.

Что и требовалось доказать.

2.23.Описанная окружность.

D:\Рабочий стол\научнопракти\Окружность.png

Опишем вокруг ∆ ABC окружность. Продолжим BD до пересечения с

окружностью в точке Е.

BAEhello_html_m1fbc7767.gifBDC (по двум углам). Значит:hello_html_m4a269b70.gif (1).

BCEhello_html_m1fbc7767.gifBAD (по двум углам). Значит: hello_html_2e6cf51b.gif (2).

Так как ∆ ACE – равнобедренный , то AE = CE. Тогда AB ∙ DC = BC ∙ AD =>

hello_html_222d8dbf.gif.

Что и требовалось доказать.

2.24. По теореме синусов.

D:\Рабочий стол\научнопракти\т. синусов.png

В треугольнике ABC ABD = DBC = β (т.к. BD – биссектриса ∆ ABC).

Рассмотрим ∆ ABD. По теореме синусов: hello_html_6755a4eb.gif (1).

Рассмотрим ∆ BCD. По теореме синусов:

hello_html_3ef630e8.gif(2).

Следовательно:hello_html_222d8dbf.gif.

Что и требовалось доказать.







2.25.Векторный метод.

D:\Рабочий стол\векторный метод.png

Для любой точки Д отрезка АС вектор hello_html_5472cbf0.gif,

где k =hello_html_44ea3500.gif и 1- k = hello_html_404a47e.gif .

Действительно, hello_html_m742fab28.gif

В нашем случае вектор hello_html_m62a00377.gifhello_html_m37379f5d.gif параллелен вектору hello_html_2809a6d5.gifhello_html_7cc24ad4.gif+ hello_html_4a4e6655.gifhello_html_32bdd895.gif,

и поэтому hello_html_531410e1.gif = hello_html_2809a6d5.gif : hello_html_4a4e6655.gif , тогда hello_html_3a1160a0.gif = hello_html_m72b23460.gif, откуда hello_html_m2435c036.gif = hello_html_m4ccfe3ed.gif .

Что и требовалось доказать.

2.26.Осевая симметрия.

D:\Рабочий стол\Осевая симметрия.png

Выполним осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD,

получим SBD (A) = A1 , SBD (C) = C1 и SBD (B) = B.

Тогда ∆ CDC1 hello_html_m190a6000.gifADA1 (по двум углам) и ∆ СС1B hello_html_m190a6000.gifAA1B (по двум углам).

AB = A1B (т.к. ∆ ABA1 – равнобедренный).

Тогда hello_html_1f977870.gif и hello_html_650bcb2a.gif. Следовательно, hello_html_m2cc15788.gif.

Что и требовалось доказать.

2.3 Решение задач на применение.

2.31.Задача из учебника.

D:\Рабочий стол\научнопракти\Зад. из уч..png

Медиана и высота делят треугольник на три равные части. Найдите углы треугольника.

ACH=∆ MCH по катету и острому углу.

hello_html_m7ff347b6.gifПоэтому ∆ ACМ - равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.

По свойству биссектрисы СМ ∆ HВС имеем: . Тогда СВ=2СН ,

ÐСВН=30, ÐВСН= 60, β=30, ÐС=90

Ответ: 30, 60, 90.

2.32.Олимпиадная задача.

hello_html_m51d025fa.png

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

Решение:

hello_html_m7df82e9a.gifВ равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP — биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB: BC = AP: PC, поэтому

AB = .

hello_html_33b3d306.gifПо формуле для квадрата биссектрисы треугольника:

. Следовательно: BP = 5.

Ответ: BP = 5.

2.32.Авторская задача.

D:\Рабочий стол\научнопракти\Авторская зад..png

Дано:

ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса ∆ АВС.

КС=3см, RBKC =1см. SABC=60см².

Найти: АВ.

Решение:

1. SBKC = hello_html_m46483bb3.gif . Следовательно: SBKC =18см².

2. S ∆ АВК = S∆ АВС –S ∆ ВКС . Следовательно: S∆ АВК = 42см².

3.Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как

основания:hello_html_3a4b348f.gif =hello_html_m7998deb8.gif .

4. По теореме о биссектрисе треугольника: АК: КС=АВ: ВС.

Тогда 21: 9 = АВ: 4, отсюда: АВ=14см.

Ответ: АВ= 14 см.

3.Заключение.



  • Подводя итог работе, хотелось бы сказать, что биссектриса очень важный элемент в геометрии. Она обладает огромным количеством свойств и эти свойства помогают при решении различных геометрических задач.

  • Теорема о биссектрисе угла – одно из основных свойств биссектрисы. С помощью неё я смог доказывать другие теоремы.

  • В этой работе, приведя различные способы эта доказательства, я показал насколько универсальна теорема.

  • Она проста в понимании, но в то же время помогает мне при решении очень сложных и запутанных задач.

  • Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя, расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу к дальнейшему изучению геометрии.


































4.Используемая литература.




  • Приложение к журналу КВАНТ №1/1995.

Статьи: Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о

биссектрисе.//Квант, №2,1985.

С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о

биссектрисе.//Квант, № 8, 1983.

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И.

Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений.

Просвещение, 2003 год.

  • И.Ф.Шарыгин . Геометрия 7-9 классы. Москва, Издательский дом

«Дрофа», 1997.

  • Единая коллекция ЦОР.

  • Г.К.Пак. «Биссектриса». Серия: Готовимся к математической

олимпиаде. Владивосток, 2003.









12


Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1068
Номер материала ДВ-006483
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх