Исследовательская работа по теме "Биссектриса угла треугольника", 9класс

         Министерство образования и науки Республики Татарстан

            Управление образования исполнительного комитета

    Бугульминского муниципального района Республики Татарстан

г. Бугульма

МБОУ  СОШ  №1 с углубленным изучением отдельных предметов

Класс: 9 А

Научно-исследовательская работа

Тема: Биссектриса угла треугольника

                                                                         Учащийся: Александров А.А

                                                                       Руководитель: Чуканова И.И.

                                       Бугульма, 2012

                                    Содержание.

1.Введение…………………………………………………………………………3

2.Основная часть:

   2.1.  Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника……………...4

   2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе угла    треугольника………………………………………………………………………..

      2.21. Метод подобия……………………………………………………………

      2.22. Метод площадей…………………………………………………………5

      2.23. Описанная окружность …………………………………………………..

      2.24 Теорема синусов. ………………………………………………………...6

      2.25.Векторный метод…………………………………………………………7

      2.26. Доказательство с применением осевой симметрии……………………

   2.3.  Решение задач на применение……………………………………………..8

      2.31. Решение задач из учебника……………………………………………....

      2.32. Решение олимпиадных задач…………………………………………….

      2.33. Авторская задача…………………………………………………………9

3.Заключение………………………………………………………………...........10

4.Используемая литература…………………………………………………….11

1.Введение.

              Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал её богатства. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрам и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии.

          Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

           Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств.  Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

         К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о биссектрисе угла треугольника.

         Теорема о биссектрисе треугольника часто используется при решении геометрических задач. Теорема интересна тем, что существует много методов ее доказательства (метод подобия, метод площадей, метод движений и т.д.). В данной работе предлагаются только 4 способа доказательства этой замечательной теоремы.

Цель и задачи исследования:

1.            Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.

2.            Научиться работать с чертежами.

3.            Решать задачи на применение теоремы.

4.            Составлять и решать задачи практического содержания.

1.     Основная часть.

  2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника.

                                           

      Теорема:     Биссектриса внутреннего угла треугольника делит   

                          противоположную сторону на части, пропорциональные

                          прилежащим сторонам треугольника. 

      Если BD – биссектриса ∆ ABC, то выполняется равенство.

  2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе

         угла треугольника.

 2.21. Метод подобия   

      Проведем прямую m параллельную биссектрисе BD.

1.     ÐABD = ÐDBC (т.к. BD – биссектриса).

2.    ÐDBC = ÐBCD₁ (т.к. m ǁ BD и BC – секущая).

3.    ÐBD₁C = ÐABD (т.к. m ǁ BD и BD₁ - секущая).

4.    ÐBCD₁ = ÐBD₁C.

 Значит ∆BCD₁ - равнобедренный  =>    BC=BD₁.

∆ABD  ∆ AD₁C (по двум углам).

 Следовательно:

     .  

     Что и требовалось доказать.

2.22. Метод площадей.

 

     Рассмотрим ∆ABD и ∆CBD.

     S_{∆ ABD} : S_∆CBD = AD : DС ( так как h – общая высота).

    BD – биссектриса  ∆ ABC. Каждая точка биссектрисы BD равноудалена от

     сторон   ∆ABC. Значит DH = DM - высоты   ∆ABD и ∆CBD.

     S_{∆ ABD} : S_∆CBD = AB : BC.

     Итак:    AB : BC = AD : DС => AB : AD = BC : DС.

     Что и требовалось доказать.

2.23.Описанная окружность.

    Опишем вокруг ∆ ABC окружность. Продолжим BD до пересечения с

   окружностью в точке Е.

   ∆BAE∆ BDC (по двум углам). Значит: (1).

  ∆BCE∆ BAD (по двум  углам). Значит:  (2).

  Так как ∆ ACE – равнобедренный , то AE = CE. Тогда  AB ∙ DC = BC ∙ AD =>

  .

  Что и требовалось доказать.

  2.24. По теореме синусов.

  

  В треугольнике ABC   ÐABD = Ð DBC = β (т.к. BD – биссектриса ∆ ABC).

  Рассмотрим ∆ ABD. По теореме синусов:     (1).

 Рассмотрим ∆ BCD. По теореме синусов:

  (2).

  Следовательно:.

 Что и требовалось доказать.

2.25.Векторный метод.

Для любой точки Д отрезка АС вектор ,

где k =  и  1- k =  .

Действительно, 

В нашем случае вектор   параллелен вектору   ∙+  ∙,

и поэтому    =  :      , тогда    =  , откуда  =  .

Что и требовалось доказать.

2.26.Осевая симметрия.

  

   Выполним осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD,  

  получим  S_BD (A) = A_{1 ,}   S_BD (C) = C₁  и  S_BD (B) = B.

 Тогда ∆ CDC₁  ∆ ADA₁ (по двум углам) и ∆ СС₁B  ∆ AA₁B (по двум углам).

 AB = A₁B (т.к. ∆ ABA₁ – равнобедренный).

  Тогда    и   . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

2.3  Решение задач на применение.

2.31.Задача из учебника.

  Медиана и высота делят треугольник на три равные части. Найдите углы  треугольника.

∆ ACH=∆ MCH по катету и острому углу.

Поэтому ∆ ACМ - равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.

 По свойству биссектрисы СМ    ∆ HВС имеем:                . Тогда  СВ=2СН ,

 ÐСВН=30⁰, ÐВСН= 60⁰, β=30⁰, ÐС=90⁰

 Ответ: 30⁰,  60⁰, 90⁰.

2.32.Олимпиадная задача.

 В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N     соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

  Решение:

 В равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP — биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB: BC = AP: PC, поэтому

AB =                                 .

 По формуле для квадрата биссектрисы треугольника:

                                                                       .   Следовательно:  BP = 5.  

  Ответ: BP = 5.

2.32.Авторская задача.

 

 Дано:

 ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса  ∆ АВС.

 КС=3см,   R ∆ BKC  =1см. S ∆ ABC=60см².

 Найти: АВ.

 Решение:

 1. S∆ BKC =   .  Следовательно:  S ∆ BKC =18см².

 2. S ∆ АВК = S∆ АВС –S ∆ ВКС . Следовательно:  S∆ АВК = 42см².

 3.Площади треугольников, имеющих  равные  высоты, относятся как

  основания: =  .

4. По теореме о биссектрисе треугольника: АК: КС=АВ: ВС.

   Тогда 21: 9 = АВ: 4, отсюда: АВ=14см.   

   Ответ:  АВ= 14 см.

3.Заключение.

·        Подводя итог работе, хотелось бы сказать, что биссектриса очень важный элемент в геометрии. Она обладает огромным количеством свойств и эти свойства помогают при решении различных геометрических задач.

·        Теорема о биссектрисе угла – одно из основных свойств биссектрисы.  С помощью неё я смог доказывать другие теоремы.

·        В этой работе, приведя различные способы эта доказательства, я показал насколько универсальна теорема.

·        Она проста в понимании, но в то же время помогает мне при решении очень сложных и запутанных задач.

·         Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя, расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу к дальнейшему изучению геометрии.

4.Используемая литература.

•         Приложение к журналу КВАНТ  №1/1995.

          Статьи: Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о

          биссектрисе.//Квант, №2,1985.

          С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о

          биссектрисе.//Квант, № 8, 1983.

•      Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И.

           Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений.

           Просвещение, 2003 год.

•          И.Ф.Шарыгин . Геометрия 7-9 классы. Москва, Издательский дом

          «Дрофа», 1997.

•      Единая коллекция  ЦОР.

•       Г.К.Пак. «Биссектриса». Серия: Готовимся к математической

           олимпиаде. Владивосток, 2003.