Исследовательская работа учащихся 6 класса

Содержание

1. Введение	3
2. Основная часть	4
2.1. Фигурные числа и их свойства	4
2.2 Арифметические операции с фигурными числами	10
2.3. Новые фигурные числа	10
2.3.1.Попытка нахождения фигур для дробных чисел	10
2.3.2.Создание моделей плоских фигурных чисел	11
3. Выводы	14
4. Список источников информации	15
5. Приложения

В мире нет места для некрасивой математики

Г. Харди

1.      Введение

Давным-давно, помогая себе при счете камешками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камешков.

Можно просто класть камешки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

Фигурные числа были известны еще в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счетной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и  частями», то есть между целыми числами и дробями, но в  то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома», роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без продолжения». Таким образом, пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа.

Числа - камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Фигурные числа – общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Актуальность исследования. Предполагают, что впервые фигурные числа появились в 6 веке до нашей эры- в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались ими: вывели формулы, отыскали множество интересных свойств этих чисел. Живя в 21 веке, я подумал, а нельзя ли найти новые фигурные числа, связанные с другими «неправильными» геометрическими фигурами. Сегодня с одной стороны в математике существуют фигурные числа, сопоставленные с правильными многоугольниками, с другой стороны не нашлось чисел, связанных с «неправильными» многоугольниками так появилось противоречие, исходя из которого возникла, проблема.

Проблема исследования:

Существуют ли фигурные числа, связанные с неправильными многоугольниками.

Цель исследования:

Создание моделей чисел, связанных с «неправильными многоугольниками», а именно: ромбовых, параллелограммовых и трапецевых чисел.

Задачи исследования:

1. Изучить историю возникновения фигурных чисел.

2.Исследовать свойства фигурных чисел, сопоставленных с правильными многоугольниками и многогранниками.

3. Проверить справедливость формулы, существующих фигурных чисел.

4. Изучить свойства геометрических фигур: ромб, параллелограмм и трапеция.

5. Создать модель ромбового, параллелограмного и трапецевого числа.

6. Проверить экспериментально для созданных чисел справедливость формулы фигурного числа.

7. Сравнить фигурные числа, сопоставленные с правильными многоугольниками, с полученными числами, связанными с «неправильными» многоугольниками.

В процессе работы у меня возникла гипотеза:  

Если существуют ромбовые, параллелограммовые и трапецевые числа, то должна существовать формула данного числа.

Предмет исследования – фигурные числа.

Объект исследования – формулы фигурных чисел.

Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала, осмысливание результатов сформулированных свойств.

Достоверность работы: обеспечивается моим личным участием, начиная с изучения литературы, экспериментальных и практических построений и полученных выводов.

2.Основная часть

2.1. Фигурные числа

Фигурные числа- числа, соответствующие количеству точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры.

Виды фигурных чисел:

Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию: 1,2,3,5,7,11,13,…

(линейное число 5)

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей: 4,6,8,9,10,12,14,15,…

(плоское число 6)

Треугольные числа - числа, которые получаются при выкладывании из камешков правильных треугольников.

                                                                                                       10

                                                                6

                                    3

                       1

                       1             2                       3                                     4

Треугольник получается из трех камешков: два в нижнем ряду, один в верхнем, в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка; заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камешками второго ряда; положив в нее камень, мы, наконец, получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камешка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камешка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень - это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,…

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Видна некоторая закономерность, которая доказывается следующим образом. Если n-е треугольное число обозначить через T_n и считать T₁ = 1, то будет справедлива следующая формула:

T_n = 1 + 2+ 3+ …+ n.

На вид она довольна проста, но для вычислений явно не пригодна. Чтобы придать ей более удобную для вычислений форму, заметим, что в правой части равенства равноудаленные от начала и конца слагаемые в сумме дают одно и то же число, а именно n + 1. Напишем нашу формулу два раза, поменяв, во втором случае порядок слагаемых на обратный:

T_n = 1 + 2+ 3+ …+  (n – 2 ) + ( n – 1 ) + n,

T_n = n + (n – 1 ) + ( n – 2 ) + … + 3 + 2 + 1, сложим «столбиком», получим

2T_n = n (n + 1 )

откуда

Примененный здесь метод «спаривания» слагаемых блестяще применил в шестилетнем возрасте мальчик Карл, который впоследствии стал великим Карлом Фридрихом Гауссом, прозванным «королем математики» еще при жизни.

Квадратные числа: - числа, которые получаются при выкладывании из камешков квадратов: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,…

                                                                                                    16

                                                               9

                                       4

                      1

                       1              2                        3                                   4

Видна некоторая закономерность:

Последовательные квадратные числа получаются таким образом..

Свойства квадратных чисел

Свойство №1. Разность двух соседних квадратных чисел равна количеству точек в гномоне: (Приложение №1)

Гномон можно представить в виде двух отрезков: горизонтального и вертикального. Количество точек в горизонтальном отрезке равно порядковому номеру квадратного числа, а в вертикальном – номеру предыдущего числа.

                           1              2                      3                                4                              

То есть получается, что разность двух соседних квадратных чисел равна сумме их порядковых номеров:

4 – 1 = 3=2 + 1

9 – 4= 5 = 3 + 2

16 – 9= 7 = 4 + 3 и т.д.

                                                                 - m                  - n               

Если обозначить два соседних квадратных числа с порядковыми номерами m и n, как K_m и K_n  соответственно, то

K_n - K_m = n+m

поскольку K_n = n², K_m = m² , то

n² - m² = n+m

Такая формула позволяет упростить вычисление разности двух последовательных квадратных чисел. Например:

16² – 15² = 16 + 15 = 31

Свойство №2. Можно  вывести подобную формулу для разности двух любых квадратных чисел. (Приложение №2)

Свойство №3. Квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел.

Пятиугольные числа- числа, которые получаются при выкладывании из из камешков правильных пятиугольников:1,5,12,22,36,49,64,…

 пятиугольного числа.

Существует формула для любого многоугольного числа.

Между фигурными числами имеется много интересных зависимостей. Так, например, древнегреческий ученый Диофант нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К:                                                     8Т+1=К.

Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере треугольного числа 10.

На рисунке изображены 81 клеточки, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К

.

Пространственные фигурные числа.

Кроме плоских фигурных чисел, существуют еще пространственные фигурные числа. Пространственные фигурные числа можно получать, составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел

V₁ = S₁

V₂ = S₁ + S₂

V₃ = S₁ + S₂ + S₃

V₄ = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ и т.д.

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камешков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Кубические числа возникли при складывании

кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.

Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе».

Именно от фигурных чисел пошло выражение «возвести число в квадрат или куб». В отличии от кубических числа 2·2·2·2=16, 3·3·3·3=81, 4·4·4·4=256 и т.д. не имеют своего названия, потому что мы живём в мире трёх измерений (длина, ширина, высота).Квадрат получился, когда выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной; куб - фигура с одинаковой длиной , шириной и высотой. Но нет четвёртого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2·2·2·2 камушков.

2.2. Арифметические операции  с фигурными числами

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:

5·2=2·5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a·b=b·a.

=

В том же числе 10: можно "разглядеть" и распределительный закон умножения относительно сложения: (2+3)·2=2·2+3·2=10 т.е.  (a+b) ·c=a·c+b·c.

Если "камешки", образующие фигурные числа, представить  в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число a·b: автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=a·b.

2.3. Новые фигурные  числа

2.3.1. Попытка нахождения фигур для дробных чисел

Исследование №1. До нашей эры учёные создавали затейливые ряды натуральных чисел, придавая им при этом то или иное геометрическое истолкование. Т.к. между натуральными числами существуют ещё и дробные, например между числами 3 и 4 есть число 3,5 (три с половиной), я попытался найти геометрическую фигуру, которая находилась бы между треугольным и квадратным числом т.е. между треугольником и квадратом. Чтобы получить такую фигуру, можно из четырёх вычесть 0,5 или к трём прибавить 0,5.

                                       +             =

                                              -         =

Вывод по исследованию № 1. Попытка создать дробное число в виде геометрической фигуры имеющей название не удалась, т.к. в результате эксперимента получены фигуры, не имеющие названия в геометрии. На мой взгляд не получен положительный результат потому, что исторически все фигурные складывались из камешков, которые символизировали натуральные числа.

2.3.2. Создание моделей плоских фигурных чисел, связанных с «неправильными»  геометрическими фигурами

Для изобретения своих чисел, я выбрал три «неправильные» фигуры: ромб, параллелограмм, трапецию. Для этого я познакомился с определением и свойствами данных фигур. Принцип построения данных чисел тот же, что и для чисел, соответствующих правильным многоугольникам. Каждое следующее число получается из предыдущего добавлением точек, чтобы получилась данная фигура. Для нахождения формул я искал закономерность в каждом случае.

Исследование №2. Ромбовые  числа-числа, которые получаются при выкладывании из камешков ромба.

Конструкция №1.:1,4,9,16,25,36,49,64,…                    36                                   49

                                                             25                             

                     9                16

        4

1

1

         2

                     3

                                       4                     5

                                                                               6                                      7

Конструкция №2.:1,7,15, 27, 43,63,…

                                                        43                              63                              87

         7        15             27

  1

  1      2         3

                                   4                     5

                                                  6                             7

Вывод по исследованию № 2.Создано две конструкции ромбового числа и при этом   получились различные формулы данного числа.

Исследование №3. Параллелограммовые числа - числа,  которые получаются при выкладывании из камешков  параллелограмма.

Конструкция №1.:1,4,9,16,25,36,49

                                                                                                                    25

                                                                          16

                     4                     9

    1

    1         2                3                        4                                 5

Конструкция №2.:2,4,6,8,10,12,…

    1       4          6             8                  10                        12                          14

   1     2          3               4                    5                          6                            7

Конструкция №3:4,8,12,16,20,24,…

               4               8                           12                                      16

               1               2                            3                                        4

И Конструкция №4: 2,6,12, 20, 30,…

                                                                                                                20     

                                                                          12

                                             6

                2

            1                   2                    3                             4

Вывод по исследованию № 3. Создано четыре конструкции параллелограммового числа и при этом получились различные формулы данного числа.

Исследование №4. Трапецивые числа--числа, которые получаются при выкладывании из камешков трапеции.

Конструкция №1.:1,4,7,10,13,…

                                                                                                     13

                                                              10

                               7

          4

   1

   1     2                   3                              4                                      5

Конструкция №2.:1, 5, 9, 14, 20, 27, 35,…

                                                                                                                                       20

                                                                                14

                                           9

             5

1

1             2                           3                                   4                                            5

Данная конструкция получена из треугольного числа, если убрать верхний камешек. Поэтому я из формулы треугольного числа убрал 1, получил формулу, при проверке она не подтвердилась. Формула для данного числа не найдена.

Вывод по исследованию № 4. .Создано две конструкции трапецивых чисел и при этом   получились различные формулы данного числа.

Исследование №5. Крестовые числа - числа,  которые получаются при выкладывании из камешков креста: 12,24,36,48,60,…

Вывод по исследованиям со № 2 по №5. Получены модели плоских фигурных чисел, связанных с «неправильными»  геометрическими фигурами и найдены для них формулы, которые для каждого из видов чисел не являются однозначными в отличии от правильных фигурных чисел. Формула «неправильного» фигурного числа зависит от выбранной конструкции фигуры и её способа построения.

3. Выводы

Фигурные числа это очень интересные и удивительные числа. В литературе ещё достаточно много фигурных чисел, открытых современными учёными и все они связны с правильными или симметрическими фигурами, однако многое в них мне сегодня непонятно, поэтому я думаю, что продолжу работу по этой теме в дальнейшем. Самым трудным для меня в работе было найти формулу числа связанного одной конструкцией. При нахождении формул, я использовал такие методы: как перебор, подбор, проб и ошибок.

В результате проведённой работы:

1.Изучена история возникновения фигурных чисел.

2.Исследованы свойства фигурных чисел, сопоставленных с правильными многоугольниками и многогранниками.

3.Проверена справедливость формулы, существующих фигурных чисел.

4.Изучены свойства геометрических фигур: ромба, параллелограмма и трапеции.

5.Созданы модели ромбового, параллелограмного и трапецевого числа.

6.Проверена экспериментально невозможность существования дробного фигурного числа.

7.Проведено сравнение фигурных чисел, сопоставленных с правильными многоугольниками, с полученными числами, связанными с «неправильными» многоугольниками.

Таким образом, выдвинутая рабочая гипотеза о существовании ромбовых, параллелограммовых и трапецевых чисел, и существовании формул для данных чисел

доказана. Цель достигнута, проблема решена.

В таблице представлено сравнение полученных мною результатов.

Сравнение фигурных чисел

Известные числа		Новые числа
Название	Формула	Название	Формула
Треугольное		Ромбовое: Конструкция №1 Конструкция №2
Квадратное
Пятиугольное
Многоугольное		Параллелограммовое: Конструкция №1 Конструкция №2 Конструкция №3 Конструкция №4
		Трапецевое: Конструкция №1 Конструкция №2
		Крестовое

На основании  данной таблицы можно сделать вывод:

1.                      Известные числа определены  однозначно и имеют единственную формулу, т.к. за основу взяты  правильные многоугольники.

2.                      Новые числа определены неоднозначно, т.к. имеют несколько конструкций, значит и несколько  формул, потому что за их основу взяты «неправильные» многоугольники.

3.                       Формула «неправильного» фигурного числа зависит от выбранной конструкции фигурного числа и способа её составления.

Практическая значимость. Результаты исследования, проведённые в данной работе, можно использовать в кружковой и внеклассной работе.

4. Список использованной литературы

1.                      Бендукидзе А.Д. Физико математический журнал «Квант», 1974 г, №6

2.                      Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.

3.                      Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1964.

4.                      Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. – Изд. Второе. М.: Просвещение, 1965.

5.                      Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. – М.: Наука, 1974.

6.                      Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М.: Наука, 1991 .

7.                      Стиллвелл Д. Математика и ее история. – Москва – Ижевск, 2004.

8.                      Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова: Под общ. ред. О. Г. Хинн; Худож. А. В. Кардашук, А. Е. Шабельник, А. О. Хоменко.- М. : ACT, 1996. - 450с.