Исследовательский проект "Загадки и свойства площади"

Преподаватель математики

Алешина Надежда Ивановна

Федеральное государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Санкт-Петербургское суворовское военное училище

Министерство обороны Российской Федерации»

Конкурс «Педагогический проект»

Название проекта:

«Загадки и свойства площади»

e-mail: [e-mail]

Введение

    Скорее всего, в практике каждого учителя математики возникала ситуация, когда ученик заявлял: «А зачем доказывать, и так видно, что треугольники равны, прямые параллельны, углы прямые …». Как убедить ученика, что доказательство необходимо?

Данный проект показывает, зачем нужно рассуждениями доказывать геометрические теоремы. Проект «Загадки и свойства площади» объясняет парадоксы площади, связанные с перемещением частей фигуры и подтверждает, что площадь аддитивна.

Главное достоинство данного проекта в увлекательности и парадоксальности исследуемого явления, что способствует развитию креативного, поискового, навигаторского мышления и расширению кругозора.

Проект позволяет вовлечь в работу учащихся разных параллелей, что так же является одним из его достоинств.

Краткая характеристика поэтапной работы над проектом.

1. Постановка проблемы

    Создаётся ситуация, которая заинтересовывает учеников данной проблемой.

2. Определение названия проекта. Проблема, которая способствовала разработке проекта, связана с понятием и свойствами площади, поэтому проекту дали название «Загадки и свойства площади».
3. Цель проекта. После рассмотрения ряда проблемных вопросов, выбирается наиболее значимый, который определяет цель проекта: выяснить, откуда появляется и куда пропадает «лишняя площадь» при перестановке частей фигуры.
4. Задачи проекта.

– собрать информацию о понятии «площадь» в толковых словарях;

- изучить свойства площади;

- найти причину «появления и исчезновения площади» при перестановке частей фигуры.

5. Гипотеза.

Если при перестановке частей фигуры изменяется её площадь, то появляется возможность покрыть материалом меньшей площади большую площадь, что позволит сэкономить покрывающие материалы, следовательно, даст экономический эффект!   Исследования позволят подтвердить или опровергнуть эту гипотезу.

6. План работы.

Определив цели и задачи, знакомимся с методами исследования, которыми можно пользоваться при работе над проектом:

- подумать самостоятельно; 

- посмотреть книги; 

- спросить у взрослых;

- обратиться в Интернет;

- провести эксперимент.

7. Продукт проекта.

Продуктами проекта являются:

а) Реферат «Загадки и свойства площади», в котором  дана интересная и полезная информация о понятии площади, её свойствах; представлены различные модели исследования, исследование одной модели с изменением размеров её частей, показаны результаты исследования.

б) Презентации «Понятие площади в толковых словарях», «Числа Фибоначчи».

8. Выводы (итог) проекта.

Цель проекта достигнута: выяснена причина «изменения» площади фигуры при перестановке местами её частей. Гипотеза опровергнута, подтвердилось свойство - площадь аддитивна.

Содержание проекта

1. Постановка проблемы

Очень часто полагаясь только на зрение, можно прийти к неверным результатам (1).

Пример первый, какой отрезок длиннее?

Пример второй, какой отрезок короче?

 

 

Пример третий: параллельны ли линии?

                                                                                  Здание в Мельбурне

Чтобы узнать правильный ответ, достаточно  наложить отрезки друг на друга или измерить их длину линейкой; убедиться, что расстояния между линиями равны и т.д.

Но бывают случаи, когда сразу трудно дать ответ.

Итак, проблема. Пример № 1.

Имеем фигуру, состоящую из нескольких частей, плотно прилегающих друг к другу. Меняем местами эти части внутри фигуры и получаем пустоты.

Имеем ситуацию «Не верь глазам своим».

Пример № 2.

При перестановке частей квадрата  в нём появилась дырка величиной с целую клетку!

Пример № 3.

При переходе от нижнего рисунка к верхнему появилась лишняя клетка

Пример № 4. Ну а на этом рисунке потеряны даже две клетки!

Что изменилось при перестановке частей фигуры?

Первое, что приходит на ум – изменилась площадь. Почему?

2. Название проекта «Загадки и свойства площади» отражают его основную идею: выяснить, что такое площадь, какими свойствами она обладает, отчего возникают парадоксы площади при перемещении частей фигуры.
3. Цель и задачи проекта.

Ряд проблемных вопросов:

- что обозначает понятие «площадь»?

- как измерить площадь фигуры?

- какими свойствами обладает площадь?

- как влияют размеры частей, соотношения размеров частей, положение частей на площадь всей фигуры.

Главная цель: понять, что нельзя полагаться только на зрение, надо вычислять и доказывать.

Задачи проекта:

- дать определение площади,

- изучить свойства площади,

- найти причину «появления и исчезновения площади» при перестановке частей фигуры.

4. Исходя из цели, выдвигаем гипотезу: «Если при перестановке частей фигуры изменяется её площадь, то появляется возможность покрыть материалом меньшей площади большую площадь, что позволит сэкономить покрывающие материалы, следовательно, даст экономический эффект!  

5. План работы.

    Во-первых, выясним, что такое площадь. Учебник не даёт определения площади.

Обратимся к толковым словарям.

Результатом поисковой деятельности с помощью Интернет является презентация «Понятие площади в толковых словарях» (Приложение 1).

Площадь – часть поверхности, ограниченная каким-либо замкнутым контуром.

Величина площади выражается числом квадратных единиц, заключённых в ней.

    Во-вторых, найдем в учебной литературе и Математической энциклопедии, какими свойствами обладает площадь.

Площадь обладает следующими свойствами:

1)      площадь неотрицательна;

2)      площадь аддитивна (если фигура F составлена из фигур F1 и F2, не имеющих общих внутренних точек, то площадь фигуры F  равна сумме площадей фигур F1 и F2).

      3) площадь сохраняется при перемещениях;

      4) площадь единичного квадрата равна 1.

Площадь плоской фигуры со свойствами 1) – 4) существует и единственна.

Одним из следствий свойств 1) – 4) является то, что площадь всей фигуры не меньше площади её части.

Выяснив, что такое площадь, и какими свойствами она обладает, нам остаётся подтвердить или опровергнуть свойство 2) – площадь аддитивна.

Пример № 5. При перестановке частей В и С площадь фигуры, дополняющей их до половины прямоугольника увеличилась на  целую клетку!

Пример № 6. Поменяем положение частей А и С,

и фигура площади 30 квадратных единиц

превращается в фигуру площади

32 квадратных единиц!

                    3·10 = 30                                                        2·6 + 4·5 = 32

Пример № 7. Способ перестановки частей квадрата позволяет из квадрата с площадью

64 кв.ед. получить прямоугольник с площадью 65 кв.ед.!

Почему? Может всё дело в числах длин сторон? Попробуем изменять длины сторон квадрата.

    Поделив сторону квадрата в отношении 1:2,  3:5,  8:13, а затем, складывая прямоугольник из частей квадрата, мы получали увеличение площади на одну клетку. Поделив сторону квадрата в отношении 2:3,  5:8,  13:21 – получали уменьшение площади на одну клетку.

Длины частей стороны квадратов, так же как и длины сторон фигур из примера №1 являются последовательными числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21).

    Одно из фундаментальных свойств чисел Фибоначчи: квадрат любого числа Фибоначчи равен произведению двух соседних (предшествующего и последующего) чисел плюс или минус 1, то есть . Левая часть этого равенства задаёт площадь квадрата со стороной , а правая – уменьшенную или увеличенную на 1 площадь прямоугольника со сторонами . Знаки «плюс» и «минус» чередуются при переходе от одного числа Фибоначчи к следующему. Значит ли, что загадка кроется в свойствах чисел ряда Фибоначчи? Кто такой Фибоначчи? (Учащиеся находят информацию о Фибоначчи и выполняют презентацию. Приложение 2).

 С другими числами такая перестановка не получается. Происходит наложение частей.

Может быть, разгадка здесь?

 Попробуем изменить (увеличить)

масштаб 1 кв.ед.

	3

 

Действительно, в одном случае происходит наложение частей одной на другую, а в другом случае, образуется пустота, имеющая форму четырёхугольника.

    Проанализируем  какой-нибудь из «благоприятных» случаев, например, когда сторона квадрата в 64 клетки делится на части длиной в 5 и 3 единицы. Складывая треугольник А с трапецией С и треугольник В с трапецией D, мы не можем получить слияние линий EFK и EHK в одну диагональ ЕК прямоугольника, так как линии EFK и ЕНК – не прямые, а ломаные с очень небольшим изломом в точках F и Н. Это легко доказать. Пусть М – точка, в которой пересекается сторона KL прямоугольника с продолжением стороны EF треугольника EFN. Если EFK прямая, а не ломаная, то точка М совпадает с точкой К. Проверим  расчётом, совпадают ли эти точки.

Из подобия треугольников EFN и EML имеем:   ML : FN = EL : EN, или ML : 3 = 13 : 8

Отсюда ML = = 4,875, в то время как KL = 5.

Точка М, как видим, не совпадает с вершиной К, значит, EFK, а также и EHK – ломаные.

Площадь прямоугольной фигуры KLEG действительно содержит 65 клеток, но в ней есть ромбовидная щель EFKH, площадь которой как раз составляет одну клетку.

Рассмотрим пример №1.  

Секрет  в том, что синий и красный треугольники имеют неравные углы, что визуально незаметно из-за слишком малой разницы. Поэтому на первом рисунке создаётся излом внутрь, а на втором – наружу. Это легко проверить наложением и вычислениями. Площадь каждого треугольника 13х5 не равна площади частей, из которых они составлены. «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией.

    Действительно, общая площадь четырёх частей (жёлтой, красной, синей и зелёной) равна 32 кв.ед., а площадь треугольника 13х5 равна 32,5 кв.ед., отношение длин катетов синего треугольника 5:2, а красного – 8:3, поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы. Гипотенузы в обоих треугольниках 13х5 на самом деле являются ломаными линиями. Если наложить треугольники 13х5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь.

     Вообще, данные фигуры не являются 

     треугольниками. Они представляют собой

     соответственно выпуклый и вогнутый

     четырёхугольники.

Делаем вывод, то, что нам казалось очевидным, оказалось оптической иллюзией. Площадь никуда «не исчезает» и «не возникает» ниоткуда. Наша гипотеза не подтвердилась, а подтвердилось свойство, что площадь аддитивна.

В прочесе работы над проектом мы узнали о существовании ряда чисел Фибоначчи. Многие другие задачи на перестановку фигур, подобные рассмотренным, основаны на свойствах последовательности чисел Фибоначчи. Хорошо бы, больше узнать об этих числах и их свойствах, но это будет уже другой проект.

Источники информации:

1. Библиотечка «КЕНГУРУ», 2007. Выпуск №17, стр. 7.

2. Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи.— Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).

3. Гарднер М. «А ну-ка, догадайся!»:пер. с англ. – М.: Мир, 1984. Стр.83-89.

4. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/Под реакцией М.К.Потапова – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. Стр.54; 162-163.

5.  Кордемский Б.А. Математическая смекалка.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.Стр.352-359, 564-566.

6. ru.wikipedia.org/wiki/Исчезновение_клетки

7. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка:

Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988.Стр. 47-49.