Итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс в формате ЕГЭ

Итоговая контрольная работа по математике 10 класс

Пояснительная записка.

Контрольно-измерительные материалы  позволяют установить уровень усвоения учащимися 10 класса программного материала по математике, а так же определить характер сформированности необходимых учебных компетенций.

            Структура контрольной работы

Контрольная работа по структуре и содержанию приближена к формату ГИА и ЕГЭ по математике и включает в себя  модуль «Алгебра» и «Геометрия»

            Время выполнения работы

На выполнение контрольной работы отводится 2 урока по  40 минут.

            Критерии оценивания

            За работу выставляется две оценки по алгебре и геометрии.

            «Алгебра»

            «3» - верно выполнены 5-6 заданий

            «4»- верно выполнены 7-8 заданий

            «5» - верно выполнены 9-10 заданий

            «Геометрия»

            «3» - верно выполнены 3 заданий

            «4»- верно выполнены 4 заданий

            «5» - верно выполнены 5 заданий

Итоговая контрольная работа по математике 10 класс

            Критерии оценивания

            За работу выставляется две оценки по алгебре и геометрии.

            «Алгебра»

            «3» - верно выполнены 5-6 заданий

            «4»- верно выполнены 7-8 заданий

            «5» - верно выполнены 9-10 заданий

            «Геометрия»

            «3» - верно выполнены 3 заданий

            «4»- верно выполнены 4 заданий

            «5» - верно выполнены 5 заданий

Модуль «Алгебра»

1. Оля от­пра­ви­ла SMS-cооб­ще­ния с но­во­год­ни­ми по­здрав­ле­ни­я­ми своим 14 дру­зьям. Сто­и­мость од­но­го SMS-со­об­ще­ния 1 рубль 30 ко­пе­ек. Перед от­прав­кой со­об­ще­ния на счету у Оли было 77 руб­лей. Сколь­ко руб­лей оста­нет­ся у Оли после от­прав­ки всех со­об­ще­ний?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, во сколь­ко раз наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей боль­ше, чем наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей за день.

3.

 Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

4. На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

5.                                                

Ре­ши­те урав­не­ние.  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

6. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?

7.  Ре­ши­те урав­не­ние 

8. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

     9.  При взве­ши­ва­нии жи­вот­ных в зоо­пар­ке вы­яс­ни­лось, что жираф тя­же­лее вер­блю­да, вер­блюд     тя­же­лее тигра, а лео­пард легче вер­блю­да. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые верны при ука­зан­ных усло­ви­ях.

1) лео­пард тя­же­лее вер­блю­да

2) жираф тя­же­лее лео­пар­да

3) жираф легче тигра

4) жираф самый тяжёлый из всех этих жи­вот­ных

.

10. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

Модуль «Геометрия»

1.      В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, СН — вы­со­та, , . Най­ди­те ВН.

 

2.      Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

3.      В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми  и .

4.     Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны

5.      Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­дите ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ключ

№ задания	ответ
«Алгебра»
1	58.8
2	2
3	32
4	0.25
5	5
6	7
7
8	15
9	24
10
«Геометрия»
1	4.8
2	3
3	2
4	12
5

                                               Бланк ответов

ФИ_____________________класс_______вариант___________________

№ задания	ответ
«Алгебра»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
«Геометрия»
1
2
3
4
5

   Решение:

Алгебра

1.

Оля от­пра­ви­ла SMS-cооб­ще­ния с но­во­год­ни­ми по­здрав­ле­ни­я­ми своим 14 дру­зьям. Сто­и­мость од­но­го SMS-со­об­ще­ния 1 рубль 30 ко­пе­ек. Перед от­прав­кой со­об­ще­ния на счету у Оли было 77 руб­лей. Сколь­ко руб­лей оста­нет­ся у Оли после от­прав­ки всех со­об­ще­ний?

Ре­ше­ние.

За 14 SMS-со­об­ще­ний Оля за­пла­ти­ла 14  1,3 = 18,2 рубля. Зна­чит, после от­прав­ки всех со­об­ще­ний у Оли оста­лось: 77 − 18,2 = 58,8 руб­лей.

Ответ: 58,8.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, во сколь­ко раз наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей боль­ше, чем наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей за день.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей (800 тысяч) боль­ше, чем наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей за день (400 тысяч) в 2 раза (см. ри­су­нок).

Ответ: 2.

3.  Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та и ма­лень­ко­го квад­ра­та. По­это­му

 см².

Ответ: 32.

4. На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

Ре­ше­ние.

ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с виш­ней равна

.

Ответ: 0,25.

5.  Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Боль­ший ко­рень равен 5.

Ответ: 5.

6. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:  м/с. Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни  ско­рость была равна 2 м/с, решим урав­не­ние:

с.

Ответ: 7.

7.        Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при 

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­сколь­ку  по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что , на­хо­дим: 

Ответ: 

8.        Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 15.

9.       При взве­ши­ва­нии жи­вот­ных в зоо­пар­ке вы­яс­ни­лось, что жираф тя­же­лее вер­блю­да, вер­блюд тя­же­лее тигра, а лео­пард легче вер­блю­да. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые верны при ука­зан­ных усло­ви­ях.

1) лео­пард тя­же­лее вер­блю­да

2) жираф тя­же­лее лео­пар­да

3) жираф легче тигра

4) жираф самый тяжёлый из всех этих жи­вот­ных

По­яс­не­ние.

Со­ста­вим не­ра­вен­ства со­глас­но за­да­че:

1) жираф тя­же­лее вер­блю­да: Ж>В

2) вер­блюд тя­же­лее тигра: В>Т

3) лео­пард легче вер­блю­да: Л<В

Со­ста­вим общие не­ра­вен­ства: Ж>B>Т и Ж>В>Л.

Про­ана­ли­зи­ру­ем пред­став­лен­ные утвер­жде­ния:

1) лео­пард тя­же­лее вер­блю­да - не­вер­но, так как в усло­вии ска­за­но, что лео­пард легче вер­блю­да

2) жираф тя­же­лее лео­пар­да - верно, ис­хо­дя из со­став­лен­ных нами не­ра­венств

3) жираф легче тигра - не­вер­но, ис­хо­дя из со­став­лен­ных нами не­ра­венств

4) жираф самый тяжёлый из всех этих жи­вот­ных - верно, ис­хо­дя из со­став­лен­ных нами не­ра­венств

Ответ: 24

10.   Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ: 

«Геометрия»

1.        В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, СН — вы­со­та, , . Най­ди­те ВН.

Ре­ше­ние.

Углы А и НСВ равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

.

Ответ: 4,8.

2.        Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно , тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба , а диа­го­наль куба . Тогда

.

Ответ: 3.

3.        В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми  и .

По­яс­не­ние.

рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

4.      

Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит, 

Ответ: 2.

4.  Длины ребер AB, AA₁ и AD пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­даABCDA₁B₁C₁D₁ равны со­от­вет­ствен­но 12, 16 и 15. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A₁ до пря­мойBD₁.

Ре­ше­ние.

Опу­стим из точки  пер­пен­ди­ку­ляр  на пря­мую  Так как  то  а, зна­чит, от­ре­зок  ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  от­ку­да  Далее на­хо­дим:

 

Ответ: 12.

5. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­дите ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Пер­вый слу­чай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем АB, r₁ — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Тогда CH — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHC на­хо­дим, что

Тогда

Из ра­вен­ства 18r₁ = 60 на­хо­дим, что 

Вто­рой слу­чай. (рис. 2). Пусть AB = BC = 13, CH — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, r₂ — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH на­хо­дим, что

Из ра­вен­ства  по­лу­ча­ем, что 

 

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай.

Тре­тий слу­чай со­сто­ит в том, что BC = AB и эти сто­ро­ны об­ра­зу­ют ост­рый угол. Тогда вы­со­та CHбудет ле­жать внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC и  В этом слу­ча­ем ра­ди­ус будет равен 

Ответ: