Итоговый урок геометрии в XI-А классе на тему «Аксиоматика геометрии на плоскости и в пространстве. Параллельность в пространстве».

Учитель: Лознян Александр Валерьевич

Класс: 11 «А»

Дата: 09.11.2017.

№ урока в системе уроков (согласно календарно-тематическому планированию): 11/13

№ урока по расписанию: 3-й урок

Продолжительность урока: 45 мин

Глава: Аксиоматика геометрии на плоскости и в пространстве. Параллельность в пространстве.

Тема урока: Итоговый урок.

Субкомпетенции:

6.1. Описание взаимных расположений точек, прямых, фигур на плоскости, плоскостей и тел в пространстве в реальных и/или смоделированных ситуациях.

6.2. Построение моделей взаимного расположения точек, прямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей и тел в пространстве, используя адекватные материалы.

6.3. Изображение на плоскости плоских и/или пространственных геометрических конфигураций, используя адекватные инструменты.

6.4. Применение признаков параллельности прямых, прямых и плоскостей, плоскостей при решении задач, в реальных и/или смоделированных ситуациях.

6.5. Распознавание плоских фигур в составе пространственных фигур в контексте отношения параллельности в реальных и/или смоделированных ситуациях.

6.6. Выявление аналогий между свойствами геометрических фигур на плоскости и в пространстве в контексте отношения параллельности и их использование при решении задач.

6.7. Применение свойств плоских геометрических фигур относительно их взаимного расположения и отношения параллельности в пространстве в различных контекстах.

6.8. Обоснование заданного и полученного геометрического результата посредством аргументации, доказательства.

6.9. Применение компьютера в контексте моделирования и распознавания взаимных расположений фигур в пространстве с целью формирования и развития пространственного мышления.

6.10. Извлечение значимых элементов и информаций из пространственных геометрических конфигураций и их плоскостных изображений для решения реальных и/или смоделированных задач.

Цели урока:

в конце урока ученик будет способен:

Ц₁ – распознавать и изображать взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых и плоскостей в пространстве;

Ц₂ – применять аксиомы, определения и теоремы геометрии в пространстве в различных контекстах;

Ц₃ – применять свойства плоских геометрических фигур и их элементов относительно их взаимного расположения и отношения параллельности в пространстве;

Ц₄ – работать в малых группах (в парах).

Тип урока: урок формирования способностей анализировать-синтезировать знания.

Дидактические технологии

а) Формы: фронтальная; в парах; индивидуальная.

б) Методы: метод упражнений; наблюдение; доказательство, проблемный метод.

в) Средства обучения:

1) Программа, созданная в среде MS Excel.

2) Карточки.

3) Проектор, презентация созданная в среде MS Power Point.

4) Учебник «Математика 11 класс», авторы: Ион Акири, Валентин Гарит, Петру Ефрос, Василе Нягу и др.. Издательство Prut Internaţional, Кишинэу, 2014.

Проверка и оценивание:

устные и письменные вопросы и упражнения, наблюдение, тестирование при помощи компьютера.

п/п

Этапы урока

Время/

Цели урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Оценивание (процесса)

1.

Стадия вызов. Приветствие. Привлечение первичного внимания учащихся.

Постановка целей урока.

Актуализация опорных знаний и способностей.

t =

10 мин

Цели:

Ц₁

Ц₂

Ц₄

Здравствуйте! На доске – Дата и Классная работа.

- Ставит цели урока.

- Сегодня у нас итоговый урок по теме, а это значит, что сегодня мы постараемся систематизировать пройденный материал и узнать, где у нас ещё остались пробелы, чтобы их закрыть.

- Наш урок можно будет условно разбить на 3 части, каждая из них будет оцениваться при помощи компьютера. За каждый верный ответ вы сможете получить 0, 35 балла. Единица у вас уже есть. При помощи компьютера вы сможете набрать ещё 8,75 балла. Высокая активность на уроке может принести вам дополнительные 0,5 балла.

- Введите номер группы (от него зависят коэффициенты некоторых заданий) и свои фамилии. Перейдите на следующею закладку.

- В первой части урока Вам нужно будет всего указать истинность высказываний, которые появятся на экране как только вы разгадаете слово, являющимся ключевым для данного этапа.

«Все доказывающие науки применяют ******* …. ******* обладают наивысшей степенью общности и представляют начало всего. И если не дело философа, то чьё же ещё – рассмотреть, что по отношению к ним – правда и что ложь». Аристотель.

№1. Установите истинность высказываний:

1. Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна.

2. Существуют точки принадлежащие плоскости и ей не принадлежащие.

3. Через прямую и точку, принадлежащею ей, проходит плоскость, и притом только одна.

4. Если две различные точки прямой принадлежат одной плоскости, то и вся прямая сдержится в ней.

5. Для прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ указаны некоторые пары параллельных, содержащих рёбра, прямых: АВ и С₁D₁, АD и ВС, ВВ₁ и СD.

6. Для прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ указаны некоторые пары скрещивающихся, содержащих рёбра, прямых: АВ и СС₁, А₁В₁ и АС, ВВ₁ и АС.

7. В тетраэдре АВСD, где E, F, G, H середины ребер AD, BD, AC и BC соответственно, прямые EF и GH параллельны.

8. Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, то прямые АВ и СD не пересекаются.

- Введите ключевое слово «оценить».

- Давайте обсудим полученные результаты. (Параллельно вызывает ученика для подготовки доказательства10 пункта) Давайте вместе с учеником у доски докажем методом от противного последнее утверждение.

Записывают «число», «классная работа» и тему урока.

Слушают учителя. Помогают поставить цели урока.

Работаю в парах.

Отгадывают ключевое слово: «АКСИОМЫ».

№1. Ответы:

1. Л. Пропущено слово неколлинеарных.

2. И. Аксиома стереометрии.

3. Л. Пропущено слово «не», т.е. «не принадлежащею ей».

4. И. Теорема 2.

5. Л. Прямые ВВ₁ и СD скрещиваются.

6. И.

7. И. Так как прямые EF и GH параллельны третьей прямой АВ.

8. И. Пусть АВ и СD пересекаются, тогда через две пересекающие прямые проходит плоскость и притом только одна, которой и принадлежат точки А, В, С, D, что противоречит условию. Следовательно наше предположение ложно и верно, прямые АВ и СD не пересекаются.

Наблюдение (проверяется наличие школьных принадлежностей).

Оценивание при помощи компьютера.

Устные и письменные вопросы и задания.

2.

Стадия Реализация смысла.

Преподавание-учение нового материала.

Закрепление материала и формирование способностей.

t =

18 мин.

Цели:

Ц₁

Ц₂

Ц₃

Ц₄

Организовывает работу на втором этапе урока.

- Отгадайте ключевое слово, чтобы увидеть задания для второго этапа.

Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных ********. Д. Пойа

- Почему спросите неправильных? Скажите, а как мы на чертежах изображаем плоскость? Т.е. наша устная договорённость ни как не повлияла на правильность решения задачи. А введение нового понятия поставило перед нами новые задачи и позволило приобрести новый аппарат функциональных знаний, да и по новому посмотреть на то, что мы уже знаем и умеем.

№1. В каждом из случаев установите взаимное расположение прямой и плоскости:

1) прямой А₁D₁ содержащая рёбро прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ и плоскость С₁СD.

2) стороны СD прямоугольника АВСD и плоскости ЕАВ, где Е – точка не лежащая в плоскости прямоугольника.

3) плоскости α содержащую среднею линию трапеции АВСD и большего основания CВ.

4) прямой ВС содержащей сторону треугольника АВС и плоскости α пересекающей стороны АВ и АС в точках X и Y.

5) Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁ и М₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА₁ = k и ВВ₁ = n.

6) Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если:

а). Точка С – середина отрезка АВ и СС₁= n. Ответ: 2n.

б). СС₁= n, АС:ВС = k:k(w-1). Ответ: w*n.

7) Отрезок АВ длиной 30 см лежит в плоскости α. Из точек А и В проведены параллельные отрезки АС и ВD вне плоскости α и по одну от неё сторону так, что АС=kn см (где k от 3 до 7) и ВD= n см. Вычислите длину отрезка ВЕ, где Е – точка пересечения прямой CD с плоскостью α.

Ответ: 30/(k -1).

- Введите ключевое слово «оценить».

- Давайте обсудим полученные результаты. (Параллельно вызывает ученика для подготовки решения 7 пункта у доски).

- Условие задачи под №7 было предложено на прошлогодней зимней сессии, поэтому было бы желательно сохранить решение данной задачи в тетради. Поэтому предлагаю одному ученику оформить решение у доски, а остальным в тетради.

Организовывает работу на третьем этапе урока.

- Отгадайте ключевое слово, чтобы увидеть задания для третьего этапа.

Среди обыденных событий

Немало новых ждет открытий

Всех, кто на жизненном пути

Желает истину найти.

И вас, пытливых, т******

Пусть вдохновляет, как поэма…

А. Ф. Буболо

- Как Вы уже заметили, чтобы научиться решать задачи нужно не только хорошо заучить теоремы но и понимать и применять их. Вот как хорошо Вы понимаете и можете применить теоремы связанные с параллельностью плоскостей мы сейчас и посмотрим.

№3. Установите истинность высказываний:

1. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.

2. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. Отрезки прямых, заключённые между параллельными плоскостями, конгруэнтны.

4. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости, то и третья сторона параллельна плоскости.

Слушаю преподавателя. Задают вопросы. Отвечают на поставленные вопросы.

- Ключевое слово: «чертёжах»

Отмечают правильные расположение прямой и плоскости, вводят в программу правильные значения найденных отрезков.

№2.

1. Пересекает. В точке D₁.

2. Параллельна. Так как СD параллельна прямой АВ содержащейся в плоскости АВЕ.

3. Параллельна. Так как СВ параллельна прямой WX содержащейся в плоскости α.

4. Пересекает. Так как 2/4 ≠ 3/7, то исходя из теоремы обратной теореме Фалеса XY не паралельна плоскости α.

5. Ответ: (k + n)/2.

6.

а). Ответ: 2n.

б). Ответ: w*n.

7. Ответ: 30/(k -1).

- Оформляют решение задачи №2.7 у доски и в тетради.

Слушаю преподавателя. Задают вопросы. Отвечают на поставленные вопросы.

Ключевое слово: «теорема»

Работают в парах, отмечая в программе правильные ответы.

№3. Установите истинность высказываний:

1. И. Теорема 9.

2. Л. Пропущено слово «пересекающиеся».

3. Л. Пропущено слово «параллельных».

4. И. Следует из признака параллельности плоскостей, и аксиом стереометрии.

Устные и письменные вопросы и задания.

Оценивание при помощи компьютера.

Устные и письменные вопросы и задания.

Ответ у доски.

3.

Стадия Рефлексия.

Применение.

Проверка и оценивание достижение целей урока.

t =

15 мин

Цели:

Ц₁

Ц₂

Ц₃

Ц₄

Контролирует введение правильных ответов в программу.

Обращает внимание, что в номерах 5-7 нужно ввести выборочно правильные ответы из номеров домашнего задания к текущему уроку.

5. (№4 стр. 244) Треугольная прямая призма АВСА1В1С1 пересечена плоскостью, проходящей через точку М€[АА1] и параллельной прямым АВ1 и АС1. Найдите периметр многоугольника, полученного в сечении, если АМ=1см, АА1=3см, АВ=АС=4см, ВС=2см.

6.Тетраэдр АВСD пересечён плоскостью, проходящей через точку М€[АD] и параллельной плоскости основания АВС. Найдите периметр многоугольника, полученного в сечении, если АМ=10см, АD=30см, АВ=15см, ВС=18см, АС=12см.

7. Две параллельные прямые пересекают параллельные плоскости α и β. Плоскость α пересекают в точках А1 и А2, а плоскость β в точках В1 и В2 соответственно. Найдите периметр четырёхугольника А1В1В2А2, если А1А2= 20см, а А1В1=10см.

8. Через точку К, лежащею между параллельными плоскостями, проведены две прямые a и b, пересекающие две параллельные плоскости α и β: первую в точках А₁ и А₂, вторую в точках В₁ и В₂ соответственно. Вычислите КА₁ и КВ₂, если А₁А₂:В₁В₂=3:4, А₁В₁=7см, КА₂=12см.

- Введите ключевое слово «оценить».

- Давайте обсудим полученные результаты. (Параллельно вызывает ученика для подготовки решения 8 пункта у доски).

- А как измениться решение задачи, если не указать, что точка К лежит между параллельными плоскостями? Сколько возможных случаев нам придётся рассмотреть?

- Предлагаю одному ученику оформить решение у доски, а остальным в тетради.

- Перейдём с вами на последний лист документа. Перед вами диаграмма, указывающая на ваши успехи на пройденном уроке. Обратите внимание, если есть какие-то недочёты, и в какой из областей они у вас есть. В области знания и понимания, в области применения или в области интегрирования.

- И указанна заработанная вами отметка. Но если Вы считаете, что что-то вам помешало сегодня себя проявить в лучшем и привычном для вас свете, то я могу предоставить возможность данную отметку немного скорректировать.

Решают у доски и в тетради. Работают в парах.

5. Ответ: Р=2/3*(5+5+2)=8см.

6. Ответ: Р=20/30*(15+18+12)=30см.

7. Ответ: Р=(20+10)*2=60см.

Ответ: КВ₂ = 16см, КА₁ = 3см.

В случае поставленного дополнительного условия, кроме первого случая возможен ещё один со значениями:

КВ₂ = 16см, КА₁ = 21см.

Устные и письменные вопросы и задания.

Оценивание при помощи компьютера.

Оценивается ответ у доски.

4.

Стадия Экстенсия (Расширение).

Домашнее задание.

Подведение итогов урока.

t =

2 мин

Цели:

Откройте дневники и запишите домашнее задание.

а) Количественные итоги.

б) Качественные итоги:

Отмечает, кто и какие отметки получил, акцентируя успех каждого из них. Оценивает работу класса на уроке.

Уточняет (формулируя их), какие цели были достигнуты, и какие нет, и почему. Что нужно делать дальше.

- Есть ли у вас какие-то вопросы по уроку? Спасибо за урок! До свидания!

1)Повторить: Параграф 3, 4 стр. 238.

2) Решить

№ 2-4 Вар А, № 2,3 Вар Б стр 248.

Сильные ученики (выборочно) вместо упр. 2-4 Вар А решают №14, 23 Вар Б стр. 246.

Ученики задают вопросы (если есть).

До свидания!

Устные вопросы.