Как построить график функции

Как построить график функции 
с помощью геометрических преобразований графиков?

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси 

Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  сжать к оси  в  раз.

Пример 1

Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси  в 2 раза:

То есть, график функции  получается путём сжатия графика  к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился: 

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Аналогичную блиц-проверку полезно осуществлять в любом другом примере! Более того, она лучше поможет усвоить суть того или иного преобразования.

Пример 2

Построить график функции 

График функции  сжимается к оси  в 3 раза:

Итоговый график  проведён красным цветом.
Исходный период  косинуса закономерно уменьшается в три раза:  (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь график не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  растянуть от оси  в  раз.

Пример 3

Построить график функции 

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:

И растягиваем её от оси  в 2 раза:

То есть, график функции  получается путём растяжения графика  от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график  отобразить симметрично относительно оси .

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к АРГУМЕНТУ функции  добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию  и положительное число :

Правила: 
1) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц вправо.

Пример

Построить график функции  

График синуса  (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси  на  влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции.  График  функции  получается путём сдвига синусоиды  вдоль оси  на  единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций).

Пример 9

Построить график функции  

Представим функцию в виде  и выполним следующие преобразования: синусоиду  (чёрный цвет):

1) сожмём к оси  в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси  на  (!!!) влево:  (красный цвет):

Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

1) Если ФУНКЦИЯ  умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  растянуть вдоль оси  в  раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  сжать вдоль оси  в   раз.

Пример 11

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси   в 2 раза:

Период функции  не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси   в 2 раза:

Аналогично, период  не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

Продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи  не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :

Если ФУНКЦИЯ меняет знак на противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график  отобразить симметрично относительно оси .

Пример 13

Построить график функции 

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :

Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Если к ФУНКЦИИ  добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси . Рассмотрим функцию  и положительное число :

Правила: 
1) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц вверх;
2) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на единиц вниз.

Пример 15

Построить графики функций .

Комбинационное построение графика  в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции  растягиваем (сжимаем) вдоль оси . Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси .

2) Полученный на первом шаге график  сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы .

Пример 16

Построить график функции 

График косинуса  (чёрный цвет):

1) Растягиваем вдоль оси  в 1,5  раза:  (синий цвет);
2) Сдвигаем вдоль оси  на 2 единицы вниз: :

Графики функций с модулем

Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: при  график функции  сохраняется, а при  «сохранённая часть»отображается симметрично относительно оси .

Пример 22

Построить график функции 

И снова вечная картина:

Согласно правилу, при  график сохраняется:

И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси   в левую полуплоскость:

Действительно, функция  – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на  и . А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: , то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.

Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: . В данном случае:

То есть, правая волна графика  задаётся функцией , а левая волна – функцией  (см. Пример 13).

Пример 26

Построить график функции .

И снова – то, что находиться в верхней полуплоскости – оставим в покое, а остальное – отобразим симметрично относительно оси :