Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Как построить график функции
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Как построить график функции

библиотека
материалов

Как построить график функции 
с помощью геометрических преобразований графиков?

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси hello_html_6d58ab49.png

Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции hello_html_22318e32.png, где hello_html_m6afa404a.png, нужно график функции hello_html_m55318cd8.png сжать к оси hello_html_6d58ab49.png в hello_html_7c35a1bd.png раз.

Пример 1

Построить график функции hello_html_1b1cd980.png.

Сначала изобразим график синуса, его период равен hello_html_2e4a1625.png:
hello_html_24861cfb.jpg


Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси hello_html_6d58ab49.png в 2 раза:
hello_html_6a139567.jpg
То есть, график функции hello_html_1b1cd980.png получается путём сжатия графика hello_html_45c83f3a.png к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился: hello_html_m51ff8488.png

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
hello_html_416b452.png
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Аналогичную блиц-проверку полезно осуществлять в любом другом примере! Более того, она лучше поможет усвоить суть того или иного преобразования.

Пример 2

Построить график функции hello_html_46940662.png

График функции hello_html_10840eb7.png сжимается к оси hello_html_6d58ab49.png в 3 раза:
hello_html_mea4115.jpg
Итоговый график hello_html_46940662.png проведён красным цветом.
Исходный период hello_html_2e4a1625.png косинуса закономерно уменьшается в три раза: hello_html_m150aa658.png (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь график не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число hello_html_287f43af.png.

Правило: чтобы построить график функции hello_html_22318e32.png, где hello_html_287f43af.png, нужно график функции hello_html_m55318cd8.png растянуть от оси hello_html_6d58ab49.png в hello_html_m4237a415.png раз.





















Пример 3

Построить график функции hello_html_m15743393.png

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:
hello_html_1d6eff47.jpg

И растягиваем её от оси hello_html_6d58ab49.png в 2 раза:
hello_html_5d2dc187.jpg

То есть, график функции hello_html_m15743393.png получается путём растяжения графика hello_html_45c83f3a.png от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: hello_html_29348177.png, он толком даже не вместился на данный чертёж.

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции hello_html_m4854f6b1.png, нужно график hello_html_m55318cd8.png отобразить симметрично относительно оси hello_html_6d58ab49.png.

















Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к АРГУМЕНТУ функции  добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси hello_html_3fcd1d33.png. Рассмотрим функцию hello_html_m55318cd8.png и положительное число hello_html_5a5a46f7.png:

Правила
1) чтобы построить график функции hello_html_5181aec8.png, нужно график hello_html_m55318cd8.png сдвинуть ВДОЛЬ оси hello_html_3fcd1d33.png на hello_html_5a5a46f7.png единиц влево;
2) чтобы построить график функции hello_html_3b0fa45b.png, нужно график hello_html_m55318cd8.png сдвинуть ВДОЛЬ оси hello_html_3fcd1d33.png на hello_html_5a5a46f7.png единиц вправо.

Пример

Построить график функции hello_html_m56fa00ff.png 

График синуса hello_html_45c83f3a.png (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси hello_html_3fcd1d33.png на hello_html_3d6c9477.png влево:
hello_html_5f557298.jpg
Внимательно присмотримся к полученному красному графику 
hello_html_6882fa18.png…. Это в точности график косинуса hello_html_10840eb7.png! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения hello_html_18501a7.png, и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции.  График  функции hello_html_10840eb7.png получается путём сдвига синусоиды hello_html_45c83f3a.png вдоль оси hello_html_3fcd1d33.png на hello_html_3d6c9477.png единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций).

Пример 9

Построить график функции hello_html_75a3cc3d.png 

Представим функцию в виде hello_html_m4926f81d.png и выполним следующие преобразования: синусоиду hello_html_79f494b9.png (чёрный цвет):

1) сожмём к оси hello_html_6d58ab49.png в два раза:hello_html_1b1cd980.png (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси hello_html_3fcd1d33.png на hello_html_ma5848e0.png (!!!) влевоhello_html_75a3cc3d.png (красный цвет):
hello_html_41fc4c06.jpg
Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на hello_html_ma5848e0.png, а вовсе не на hello_html_3d6c9477.png.

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

1) Если ФУНКЦИЯ hello_html_m55318cd8.png умножается на число hello_html_m5a99e972.png, то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции hello_html_6993449d.png, где hello_html_m5a99e972.png, нужно график функции hello_html_m55318cd8.png растянуть вдоль оси hello_html_6d58ab49.png в hello_html_m3b4357d0.png раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число hello_html_m2b333d87.png, то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции hello_html_6993449d.png, где hello_html_m2b333d87.png, нужно график функции hello_html_m55318cd8.png сжать вдоль оси hello_html_6d58ab49.png в hello_html_560910dd.png  раз.

Пример 11

Построить графики функций hello_html_m4ab4fd27.png.

Берём синусоиду за макушку/пятки:
hello_html_24861cfb.jpg
И вытягиваем её вдоль оси hello_html_6d58ab49.png  в 2 раза:
hello_html_484cc360.jpg
Период функции hello_html_m3e4875f5.png не изменился и составляет hello_html_2e4a1625.png, а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: hello_html_m65c17574.png.

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси hello_html_6d58ab49.png  в 2 раза:
hello_html_m84c8b40.jpg
Аналогично, период hello_html_2e4a1625.png не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: hello_html_8674095.png.

Продолжим изучать умножение функции на число: hello_html_6993449d.png. Случаи hello_html_7c734478.png не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай hello_html_73bb5fa0.png:

Если ФУНКЦИЯ меняет знак на противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.

Правило: чтобы построить график функции hello_html_491794d9.png, нужно график hello_html_m55318cd8.png отобразить симметрично относительно оси hello_html_3fcd1d33.png.

Пример 13

Построить график функции hello_html_38586dc3.png

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси hello_html_3fcd1d33.png:
hello_html_m52d60543.jpg


Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Если к ФУНКЦИИ  добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси hello_html_6d58ab49.png. Рассмотрим функцию hello_html_m55318cd8.png и положительное число hello_html_m91a72f5.png:

Правила
1) чтобы построить график функции hello_html_7efb2bc1.png, нужно график hello_html_m55318cd8.png сдвинуть ВДОЛЬ оси hello_html_6d58ab49.png на hello_html_m91a72f5.png единиц вверх;
2) чтобы построить график функции hello_html_3d355310.png, нужно график hello_html_m55318cd8.png сдвинуть ВДОЛЬ оси hello_html_6d58ab49.png наhello_html_m91a72f5.png единиц вниз.

Пример 15

Построить графики функций hello_html_37659ad0.png.

hello_html_m4b595d8e.jpg

Комбинационное построение графика hello_html_78ae7359.png в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции hello_html_m55318cd8.png растягиваем (сжимаем) вдоль оси hello_html_6d58ab49.png. Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси hello_html_3fcd1d33.png.

2) Полученный на первом шаге график hello_html_6993449d.png сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы hello_html_m91a72f5.png.

Пример 16

Построить график функции hello_html_2eeff51f.png

График косинуса hello_html_10840eb7.png (чёрный цвет):

1) Растягиваем вдоль оси hello_html_6d58ab49.png в 1,5  раза: hello_html_4ca31557.png (синий цвет);
2) Сдвигаем вдоль оси hello_html_6d58ab49.png на 2 единицы вниз: hello_html_2eeff51f.png:
hello_html_519c13ef.jpg



Графики функций с модулем

Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.

Правило: график функции hello_html_m1b7221cd.png получается из графика функции hello_html_m55318cd8.png следующим образом: при hello_html_5905bd8d.png график функции hello_html_m55318cd8.png сохраняется, а при hello_html_4ddc71e7.png «сохранённая часть»отображается симметрично относительно оси hello_html_6d58ab49.png.

Пример 22

Построить график функции hello_html_2a2a4417.png

И снова вечная картина:
hello_html_1d6eff47.jpg
Согласно правилу, при hello_html_5905bd8d.png график сохраняется:
hello_html_4b7c06cf.jpg
И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси  hello_html_6d58ab49.png в левую полуплоскость:
hello_html_m240149d0.jpg

Действительно, функция hello_html_2a2a4417.png – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на hello_html_m531fd5fd.png и hello_html_m266998a4.png. А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: hello_html_5d7a5ae9.png, то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.

Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: hello_html_6bf422ed.png. В данном случае:
hello_html_m314fb7fe.png

То есть, правая волна графика hello_html_2a2a4417.png задаётся функцией hello_html_45c83f3a.png, а левая волна – функцией hello_html_38586dc3.png (см. Пример 13).

Пример 26

Построить график функции hello_html_m578e6117.png.

hello_html_24861cfb.jpg

И снова – то, что находиться в верхней полуплоскости – оставим в покое, а остальное – отобразим симметрично относительно оси hello_html_3fcd1d33.png:
hello_html_1fe0ffa5.jpg


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров323
Номер материала ДВ-350756
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх