Ключевые понятия по геометрии для подготовки к ОГЭ

Ключевые понятия по геометрии при подготовке к ОГЭ

 

Свойства хорд и дуг окружности

·   Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

·   Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к  этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

·   Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

·   Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

·   У равных дуг равны и хорды. 

·   Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

 

Свойства касательной к окружности

·   Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

·   Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

·   Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

·   Если из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

·   Если из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности секущие, то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть число постоянное для всех этих секущих

Угол между хордой и касательной

Угол, образованный хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

 

Свойства вписанного угла окружности.

·                     Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

·                     Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

·                     Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр) – прямой.

·                     Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

·                     Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от хорды.

 

Свойства биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Свойства биссектрисы параллелограмма

 

·   Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

·   Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны

Свойства прямоугольного треугольника

·   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная  из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

·   Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

·   Если в треугольнике медиана равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

·   В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности вычисляется по формуле, где a, b – катеты, c –гипотенуза  прямоугольного треугольника АВС.

Свойства медианы треугольника

·   В треугольнике медианы пересекаются в одной точки и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

·   Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а три медианы – на шесть равновеликих треугольников.

·   Если О – точка пересечения медиан треугольника  АВС, то S(ABC)=3S(AOB)=3S(AOC)=3S(BOC).

Свойства элементов трапеции

Во всякой трапеции:

•         Середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой

•         Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований

•         Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой

•         Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в отношении OX:OY=BC:AD

•         Биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник

•         Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны и точка их пересечения лежит на средней линии трапеции

В описанной около окружности трапеции:

•         Сумма оснований равна сумме боковых сторон

•         Полусумма боковых сторон равна средней линии

•         Если трапеция равнобедренная, то ее боковая сторона равна средней линии, высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований

•          Отрезки, соединяющие центр окружности, вписанной в трапецию, с вершинами трапеции, попарно перпендикулярны

•          Диаметр вписанной в трапецию окружности является высотой трапеции

•         Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме, т.е. равен средней линии трапеции.

1)      S(ABC)=S(DBC)

2)      S(ABD)=S(ACD)

3)      S(ABO)=S(COD)

•         Средняя линия и высота равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равны.