Книжка- малютка "Ох, уж эти числа, или числа,которые нас удивили"

 

Содержание

1.     Число……………………………………………….

2.     Близнецы и тройняшки…………………………

3.     Палиндромы………………………………………

4.     Лучшая находка………………………………….

5.     Математики шутят о числах……………………

6.     Интересно, но факт………………………………

1.Число

«То общее, чем пользуется любое искусство, а также рассудок и знания, то, что каждый человек должен узнать прежде всего, я называю числом. Высшая Мудрость – это наука о числе», –  говорил Платон.

Существует большое количество определений термина "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание «Всё прекрасно благодаря числу». По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. А число 10 называли «священной четверицей», так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяло всю Вселенную. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).

В толковом словаре С.И. Ожегова  есть определение числа.

 ЧИСЛО́, -а, мн. числа, -сел, -слам, ср.

1. Понятие количества, величина, при помощи которой производится счёт.

В толковом словаре русского языка под редакцией

Д.В. Дмитриева   встречаются следующие определения: 1.Числом называется единичный элемент математических данных.2. Чётное число – это число, которое кратно 2(делится на 2). 3. Круглые числа – это такие числа, как 10,20 и другие, которые в записи в записи оканчиваются цифрой 0.

2. Близнецы и тройняшки

Два простых числа, которые отличаются на 2 получили название «близнецы», кроме того в натуральном ряду имеется «тройня». У 3,5,7  каждое последующее больше предыдущего на 2.   Это первая «тройня» - (3, 5, 7).

В таблице первых 320 простых чисел только одна «тройня» и 62 пары «близнецов».

Примеры:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),  …– числа – близнецы

 Натуральный ряд чисел бесконечен, делаем вывод, что  узнать количество  близнецов нельзя.

  Существует гипотеза о бесконечном количестве простых чисел-близнецов, которая утверждает: «Существует бесконечно много таких простых , что и  — тоже простое». В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: «Для любого натурального  существует бесконечное число таких пар чисел  и , что ».

17 апреля 2013 года  математик Итан Чжан анонсировал доказательство того, что для некоторого целого меньше 70 миллионов существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на . Работа была принята в «Анналы математики» в мае 2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Морисон опубликовал запись в блоге SBSEMINAR, объединяющем нескольких недавних аспирантов-математиков Беркли.  Морисон с помощью компьютерных вычислений и снизил оценку до 59 470 640.Через несколько дней лауреат Филдсовской медали  Теренс Тао доказал, что граница может быть уменьшена на порядок — до 341 640.В ноябре 2013 года 27-летний британский математик  Джэймс Мэйнард применил алгоритм, разработанный в 2005 году математиками Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом под названием GPY (аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мэйнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект – polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246.

  Примеры самых больших простых близнецов

(200700 цифр)

(100355 цифр)

(58711 цифр)

(51780 цифр)

Все пары  близнецов, кроме (3, 5), имеют вид  а учитывая  делимость на 5,  оказалось, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид

 или

  Последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называют триплетом.

Пример: первые простые числа-триплеты:(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), …(881, 883, 887).

На данный момент, наибольшими известными простыми-триплетами являются числа: (p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP). Кроме того, мне удалось узнать, что близнецы могут   образовать четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). А сколько их – тоже   неизвестно. Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) называют сдвоенными близнецами, или квадруплетами,

например: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), … (25301, 25303, 25307, 25309), … . Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16) называют секступлетами.

 Примеры:(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113),…(43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …  .

В  школе  № 5учатся 4 пары близнецов: братья Кочкуркины, Марк и Никита, первоклассники, в  5 А, где я учусь, сёстры Багиновы, а вот в 9Б классе две пары близнецов - братья Сухопаровы и сестры  Горбацевич.   

  В нашем районе в 2015 году  родилось 8 пар близнецов и одна тройня.

3.Палиндромы

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо, и справа налево одинаково. А в математике  есть   палиндром,  который называют  «числом Шахерезады » от известного произведения  “1001 ночь”, где 1001 – число-палиндром.    Число знаков в палиндроме может быть как чётным, так и нечётным. Палиндром можно получить как результат операций над другими числами.

         В книге «Есть идея!» Мартина Гарднера упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не получим палиндром. Суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

Пример: 13+31=44, 63+36=99, 65+56=121 (двузначные числа  312+213=525(трёхзначные числа) .Вывод: не всегда достаточно сделать один шаг, чтобы получить в сумме число перевёртыш, чаще требуется не менее двух. Пример: число 97 порождает палиндром  44044  после выполнения  шестого шага.

97+79 = 176;     176 + 671 = 847;  847 + 748 = 1595;  1595 + 5951= 7546;

7546 + 6457 = 14003; 14003 + 30041=44044.

   Рассмотрим  палиндром 111 и  возведём его в квадрат 111² = 12321, теперь 1111² =1234321, 11111² = 123454321 и так до 10 знаков. В результате  был получен ответ на вопрос. Квадрат любого числа,  состоящий из единиц до 10 знаков, равен  новому палиндрому.  Так как 11.111.111.111 * *11.111.111.111 =  123456790120987654321 не палиндром.

  Я  попробовала  составить магический  числовой квадрат размером 3х3, но  мне  это не удалось, а вот 2х2 получилось.

311	113
113	311

13	31
31	13

131	313
313	131

      Особый интерес у меня вызвал третий квадрат. У него сумма чисел, стоящих в строке и в  столбце, равна 444  - палиндром, а сумма на диагоналях  равна 262 и 626 –числа перевёртыши. Сложив числа из всех клеток, получим 888. То есть каждая сумма — палиндром. Проверим, а какой результат будет, если числа из таблиц возвести в квадрат. Пример:  = 169;  = 961;  = 96721;  = 12769 = 17161;   = 97969.

Вывод: пары чисел из первых двух таблиц при возведении в квадрат дают пары палиндромов, а в третьей таблице –  нет. Вот другие пары  палиндромов, которые можно предложить  ученикам для самостоятельного исследования.

Например:

103 – 301

1102- 2011

11113 – 31111.

Натуральное число, у которого все цифры одинаковые это репдиджит, а если число записать только из единиц, это уже репьюнит.

Например: 5555555; 222222; 333;777…- репдиджит, а 11111;1111111;111 – репьюнит. Из универсальной энциклопедии Репью́ниты (англ. repunit, от repeatedunit — повторённая единица) — число, которое состоит из одних единиц. 

 Примеры чисел перевёртышей в нашем районе. Мой выбор пал на числа 13 и 31.Ведь встречаются люди, которые 13 считают особенным числом. Вот, что мне удалось найти.13 элемент в таблице Менделеева алюминий этот знак присутствует на гербе нашего города.  Мой папа водитель и он мне подсказал, что 13 секунд горит для пешеходов сигнал светофора в районе кинотеатра «Юность». 13 апреля 1992 года постановлением главы городской администрации был утверждён герб Шелехова. До 1963 года в городе был 31-ый квартал. 1 апреля 1968 году в автопарке Шелеховского автотранспортного предприятия насчитывался 31 автобус.  13 июля 2000 года в Шелехове появились таблички «проспект Металлургов», «Проспект  Строителей», «Проспект Монтажников». Эти же данные, мы нашли в очерке – путеводителе «Любимый город»,  автор Л.Р. Герасимова,   из  него мы ещё узнали, что 13 мая 1977 года Совет Министров РСФСР принял предложение Иркутского обкома КПСС и облисполкома о сооружении памятника В.И.Ленину в городе Шелехове.  31 августа 1983 году решением исполкома за № 284 был отведён участок земли под памятник. Интересный факт получилось мне найти, перевёрнутые числа 26 и 62 образуют год, когда наш город будет праздновать свой юбилей  700-летие в 2662году, так как  27 января 1962 году  рабочий посёлок получил статус города (2662 – 1962 =700).

4. Лучшая  находка

В учебнике  математики для начальной школы  я нашла интересные задачи, однако я  оказалась в затруднении при их решении, т.к. условия и числа меня удивили

Где же правда? Сравните обложки учебника.

Дети в 5 классе знают отрицательные числа?

5.Математики шутят о числах

                                   ***

«1> 1, и  впрямь больше»

***

 «Российские математики  наконец - то дали ответ на волнующий всех женщин вопрос: что такое 90х60х90?  Оказалось, что это 486 000». 

***

6. Интересно, но факт

 В настоящее время не только в России, но и в нашем районе увеличилось число легковых автомобилей. Ни для кого не секрет, что некоторые автомобилисты стремятся заполучить для своих железных коней «крутые» номера: 100, 500, 900, либо 111, 777, 555, 999 и так далее. Про некоторые из них (наиболее популярные) написаны песни.  Мы опросили 100 водителей, в том числе и с номерами репьюнит и репдиджит Респондентам были заданы  вопросы:

Номера  репьюнит и репдиджит	Номера не репьюнит и репдиджит
Знают ли они, как по-другому называют  то число, которое содержит их номер?	Хотели бы вы иметь  номер с числами репьюнит или репдиджит?

           Результаты меня удивили. 100%  водителей первой группы дали отрицательный ответ, а от респондентов 2 группы мы услышали: «А что это за числа?» Когда были озвучены ответы, на лице водителей появлялась улыбка. В нашей школе есть 5 учителей, которые водят автомобиль, но и среди них никто не дал правильный ответ. А вот три учителя английского языка справились с заданием.

Так был выявлен первый интересный факт, связанный с числами из нашей жизни.

Если сравнить календари за 1916 и 2016 годы, то можно заметить, что дни недели и числа совпадают. Можно предположить, что через  100 лет календари сходятся. Однако,  сравнив календари за эти года и за 2116, видим, что  совпадений нет. Наша гипотеза о том, что через 100 лет календари повторяются, неверна.

В социальной сети  «Одноклассники»   встретилось фото сбербанка.  Оказывается,  в Праге  сбербанк даёт кредит на неотложные нужды под 6,99%, а под строительство под  2,26 %.  В России в аналогичном банке можно взять кредит  под 18-22%. Если за границей взять кредит в 100000 на неотложные нужды, то вернуть нужно будет чуть меньше, чем 107 000 рублей, а у нас в стране в среднем 120 тысяч без учёта дополнительных оплат. Аналогичная ситуация и с кредитом на строительство. Интересный, но печальный факт.

Посетив пять магазинов, я решила найти ответ на вопрос: « Верны ли данные на ценниках?». В одном из магазинов нашего города увидела, что порошок «Тайд» продаётся с 50 % скидкой. Проверим… Порошок стоил 439,80 рублей. Цену снизили до 219,90. Указали что скидка 50 %. Нужно 439,80 разделить на два. Получится 219,90. Всё правильно. Этот магазин честный.

         Посетив  ещё один известный магазин в нашем районе, узнаем: порошок стоил 163,50, на него  скидка  38%,  новая цена 99,90. Проверяем:  163,50:100=1,635     1,635x38=62,13     163,50-62,13=101,37. Магазин сделал скидку больше, чем указал. 163,50-99,90=63,60      63,60:1,635=38,8%     Скидка больше на 0,8%.

          Кондиционер стоил 132,50, со скидкой 24% цена стала 99,90. Проверяем: 132,50:100=1,325    1,325x24=31,80      132,50-31,80=100,70. Вновь скидку сделали больше. Узнаем, на сколько: 132,50-99,90=32,60      32,60:1,325=24,6%.  Скидка больше на 0,6%.

         Ещё один пример: масло оливковое стоило 429 рублей. Цену снизили до 279 рублей. Указана скидка 35%. Проверяем: 429:100=4,29           2,29x35=150,15         429-150,15=278,85    279 – 278,85 = 15 копеек. Магазин новую цену округлил с избытком.

      Рассмотрим  новогодние цены в городе Иркутске на косметику. Профессиональные спонжи для макияжа до акции стоили 389,00 рублей, после их уценили на 26 % и установили новую цену – 289,00 рублей. Проверим… 389 : 100 х 74 = 287,86.  Магазин завысил  цену на 1 рубль 14 копеек.

          Цена на тоник была 119,00 , 25 % скидка, стала 89,00 рублей. Считаем: 119: 4 = 29,75      119 – 29,75 = 89,25. На этот товар скидка на 25 копеек больше, чем заявлена. В этом же магазине встретился товар, первоначальная цена которого составляла 909 рублей, скидка 25 %, а новая цена  679, 00 руб. Проверим:  909 : 4 = 227,25  909-227,25 = 681, 75, а на этот товар цена ниже на 2 руб.75 коп.

    Мы посетили  пять магазинов, в четырёх цены указаны неверно.

Трудно представить себе мир и современную жизнь без чисел. Ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. Таким образом, числа присутствуют везде, независимо от того, в чем их различие. С числами и другими величинами измерения связана наша повседневная жизнь. Само возникновение понятия числа  одно из гениальных изобретений человечества.

Еще великий  Пифагор говорил: “Все есть число”. Каждое число несет определенную информацию. Это дата нашего рождения, дата рождения близких, друзей, знакомых, это дни торжеств, памятных событий и других знаменательных дат.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с числами. Начинаются занятия в школе, в кружках, в секциях  в определенный час, каникулы, праздники в определённый день, мы ориентируемся на числа.

А сколько ещё интересного и удивительного могут нам рассказать числа.