Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью пакета geometry системы Maple.

Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью  пакета geometry системы Maple.

Задание 1. Определите окружность, проходящую через три заданные точки А(1,3); В(4,0); С(4,6), найдите координаты центра, радиус этой окружности, а также уравнение окружности, заданное в аналитическом виде. Получить детальное описание окружности, а также её графическое изображение.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

·        Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName := n:

·        Задаем окружность, проходящую через три заданные точки с помощью команды: circle(c1,[point(A,1,3), point(B,4,0), point(C,4,6)],'centername'=O1):

·        Находим координаты центра этой окружности с помощью команды: center(c1), coordinates(center(c1));

·        Находим радиус окружности с помощью команды radius(c1);

·        Получаем уравнение окружности в аналитическом виде с помощью команды Equation(c1);

·        Получаем детальное описание окружности, используя команду detail(c1);

·        Получаем графическое изображение окружности с помощью команды draw(c1);

Ответ: центр окружности имеет координаты (4,3); радиус окружности равен 3; уравнение в аналитическом виде: 

Задание 2. В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение прямых  и .

1. : 3х-у-2=0; : 6х-2у-2=0;

2. : 2х+3у+1=0; : х=1+3t, у=-2+2t.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Задаем (определяем) прямые и  с помощью команды line(l1,3*x-y-2=0,[x,y]): line(l2,6*x-2*y-2=0,[x,y]):
• Проверяем условие параллельности для прямых и  с помощью команды AreParallel(l1,l2); Если результат: true, то прямые параллельны, если false, то прямые не параллельны;
• В случае, когда прямые не параллельны, проверяем условие перпендикулярности, используя команду ArePerpendicular(l1,l2); Если результат: true, то прямые перпендикулярны, если false, то прямые не перпендикулярны;

Ответ: 1. прямые параллельны; 2. прямые пересекаются.

Задание 3. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х-у=0, 5х-у=0 и уравнение 3х-у=0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка с координатами (3,9).

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Определяем прямые, задающие стороны треугольника с помощью команды line(a,2*x-y=0,[x,y]): line(b,5*x-y=0,[x,y]):
• Определяем прямую, задающую медиану треугольника с помощью команды line(m,3*x-y=0,[x,y]):
• Задаем точку Т(3,9) с помощью команды point(T,[3,9]):
• Строим изображение определенных выше прямых и точки с помощью команды draw([T,a,b,m(color=blue)]);
• По графику видно, что медиана опущена из точки пересечения заданных сторон треугольника (вершина А). Определим координаты вершин В(х1,у1), принадлежащей прямой а, и вершины С(х2,у2), принадлежащей прямой b. Точка Т(3,9) принадлежит прямой m (медиане), и точка Т принадлежит третьей стороне треугольника с, следовательно, Т – середина ВС.
• С помощью команды solve({x1+x2=2*3,y1+y2=2*9,2*x1-y1=0,5*x2-y2=0},{x1,x2,y1,y2}); определяем х1, х2, у1, у2.
• Задаем уравнение третьей стороны по двум точкам: line(l3,[point(B,4,8),point(C,2,10)]):
• Получаем уравнение в аналитическом виде с помощью команды Equation(l3,[x,y]);

Ответ: х+у-12=0.

Задание 4. Дана прямая x-2y+1=0, содержащая основание ВС треугольника АВС, и вершина А(3,-4), противолежащая этому основанию. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из А на сторону ВС.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Задаем точку А(3,-4) и прямую, содержащую основание ВС треугольника АВС с помощью соответствующих команд point(A,3,-4): line(bc,x-2*y+1=0,[x,y]):
• Вектор (1,-2) – нормальный вектор для (ВС), вектор (2,1) – направляющий для высоты (АН) и А(АН): line(AH,2*(x-3)+(y+4)=0,[x,y]):  
• Находим уравнение в аналитическом виде АН: Equation(AH,[x,y]);
• Находим координаты точки пересечения высоты с основанием (ВС), используя команду intersection(H,AH,bc): coordinates(H);
• Затем расстояние от точки А до точки Н: distance(A,H);

Ответ: уравнение высоты 2х-2+у=0, длина высоты .

Задание 5. Дано уравнение стороны ромба : х+3у-8=0 и уравнение его диагонали : 2х+у+4=0. Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка К(-9,-1) лежит на стороне, параллельной данной.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
• Задаем уравнения стороны и диагонали ромба с помощью соответствующих команд: line(l1,x+3*y-8=0): line(d1,2*x+y+4=0):
• Определяем точку К(-9,-1) командой point(K,-9,-1):
• Пусть  - сторона ромба, параллельная данной , тогда К
• Составляем уравнение прямой  с помощью команды line(l2,(x+9)+3*(y+1)=0):
• Находим вершину ромба А, как точку пересечения диагонали  и стороны . Для этого используем команду intersection(A,l1,d1):
• Координаты точки А можно узнать и с помощью следующей команды: detail(A);
• Находим вершину ромба С, как точку пересечения диагонали  и стороны  с помощью команды intersection(C,l2,d1):
• Находим точку пересечения диагоналей, как середину отрезка АС: midpoint(O,A,C):
• detail(O);
• так как вторая диагональ  и , то можно составить уравнение прямой  с помощью команды line(d2,-1*(x+2)+2*(y+0)=0):
• Находим вершину ромба, как точку пересечения диагонали  и стороны , intersection(B,l1,d2):
• получаем уравнение стороны : line(l3,[B,C]):
• Находим вершину ромба D, как точку пересечения диагонали  и стороны : intersection(D,l2,d2):
• Получаем уравнение стороны : line(l4,[D,A]): Equation(l4);
• Получаем уравнения прямых  и  в аналитическом виде: Equation(l3);
• Equation(l2);

Ответ: х+12+3у=0; -8+6х-2у=0; -32-6х+2у=0.

Задание 6. Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми : х+у-1=0, : х+2у-1=0, : 2х-5у+2=0.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Определяем заданные прямые с помощью команд
• line(l1,x-1+y=0,[x,y]):
• line(l2,x-1+2*y=0,[x,y]):
• line(l3,2*x-5*y+2=0,[x,y]):
• Определяем угол между прямыми  и  командой FindAngle(l1,l2);
• Определяем угол между прямыми  и  командой FindAngle(l3,l1);
• Определяем угол между прямыми  и  командой FindAngle(l3,l2);

Ответ: .

Задание 7. На прямой : 2х-3у+6=0 найти точки, находящиеся на расстоянии 2/5 от прямой : 3х-4у+11=0.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Искомая точка Р(х1,у1). Определяем эту точку с помощью команды point(P,x1,y1):
• Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
• Задаем одну из прямых с помощью команды: line(l1,3*x-4*y+11=0):
• Находим расстояние между этой прямой и точкой Р: d:=distance(P,l1);
• Находим координаты точек на второй прямой, удовлетворяющих заданным условиям: solve({2*x1-3*y1+6=0,d=2/5},{x1,y1});

Ответ:  .

Задание 8. Пусть прямая задана уравнением x=2, и даны две окружности, также заданные соответствующими уравнениями: . Выяснить к какой окружности прямая линия является касательной.  

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
• Задаем окружности с1 и с2 с помощью команды: circle(c1,(x+1)^2 + (y-2)^2 =4), circle(c2,x^2 + y^2 =4):
• Прямую задаем с помощью команды: line(l, x =2):
• Проверяем является ли прямая касательной к окружности с2: AreTangent(l, c2);
• Проверяем является ли прямая касательной к окружности с1: AreTangent(l, c1);

Ответ:

Задание 9. Пусть вершины треугольника заданны своими координатами А(7,7); В(11,2); С(7,2). Проверить, является ли треугольник равносторонним или прямоугольным. В случае если треугольник прямоугольный, найти его площадь.

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Задаем треугольник координатами его вершин с помощью команды: triangle(ABC, [point(A,7,7), point(B,11,2), point(C,7,2)]);
• Проверяем условие, является ли треугольник равносторонним с помощью команды: IsEquilateral(ABC);
• Проверяем условие, является ли треугольник прямоугольным с помощью команды: IsRightTriangle(ABC);
• Находим площадь треугольника: area(ABC);

Ответ: треугольник прямоугольный, площадь треугольника равна 10.

Задание 10. Вычислить и изобразить графически вписанную и описанную окружности треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(5,1); С(3,6).      

Последовательность выполнения задания:

·        Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

• Задаем треугольник координатами своих вершин: triangle(T, [point(A,0,0), point(B,5,1), point(C,3,6)]):
• Вычисляем описанную окружность и получаем ее детальное описание:

Ø  circumcircle(Elc, T, 'centername' = OO);

• 

Ø  detail(Elc);

• Получаем графическое изображение окружности, описанной около треугольника: draw({Elc,T},printtext=true);

·        Вычисляем вписанную окружность и получаем ее детальное описание:

> incircle(inc,T,'centername'=o);

> detail(inc);

Получаем графическое изображение окружности, вписанной в треугольник: draw({inc,T},printtext=true);