Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью пакета geometry системы Maple.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью пакета geometry системы Maple.

библиотека
материалов

Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью пакета geometry системы Maple.


Задание 1. Определите окружность, проходящую через три заданные точки А(1,3); В(4,0); С(4,6), найдите координаты центра, радиус этой окружности, а также уравнение окружности, заданное в аналитическом виде. Получить детальное описание окружности, а также её графическое изображение.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName := n:

  • Задаем окружность, проходящую через три заданные точки с помощью команды: circle(c1,[point(A,1,3), point(B,4,0), point(C,4,6)],'centername'=O1):

  • Находим координаты центра этой окружности с помощью команды: center(c1), coordinates(center(c1));

  • Находим радиус окружности с помощью команды radius(c1);

  • Получаем уравнение окружности в аналитическом виде с помощью команды Equation(c1);

  • Получаем детальное описание окружности, используя команду detail(c1);

  • Получаем графическое изображение окружности с помощью команды draw(c1);



hello_html_m3984baff.png

Ответ: центр окружности имеет координаты (4,3); радиус окружности равен 3; уравнение в аналитическом виде:hello_html_25b6b8e.gif


Задание 2. В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение прямых hello_html_m5c64951a.gif и hello_html_ma1eae35.gif.

1. hello_html_m5c64951a.gif: 3х-у-2=0; hello_html_ma1eae35.gif: 6х-2у-2=0;

2. hello_html_m5c64951a.gif: 2х+3у+1=0; hello_html_ma1eae35.gif: х=1+3t, у=-2+2t.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем (определяем) прямые hello_html_m5c64951a.gifи hello_html_ma1eae35.gifс помощью команды line(l1,3*x-y-2=0,[x,y]): line(l2,6*x-2*y-2=0,[x,y]):

  • Проверяем условие параллельности для прямых hello_html_m5c64951a.gifи hello_html_ma1eae35.gifс помощью команды AreParallel(l1,l2); Если результат: true, то прямые параллельны, если false, то прямые не параллельны;

  • В случае, когда прямые не параллельны, проверяем условие перпендикулярности, используя команду ArePerpendicular(l1,l2); Если результат: true, то прямые перпендикулярны, если false, то прямые не перпендикулярны;


hello_html_m1febf9f5.png

Ответ: 1. прямые параллельны; 2. прямые пересекаются.


Задание 3. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х-у=0, 5х-у=0 и уравнение 3х-у=0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка с координатами (3,9).


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем прямые, задающие стороны треугольника с помощью команды line(a,2*x-y=0,[x,y]): line(b,5*x-y=0,[x,y]):

  • Определяем прямую, задающую медиану треугольника с помощью команды line(m,3*x-y=0,[x,y]):

  • Задаем точку Т(3,9) с помощью команды point(T,[3,9]):

  • Строим изображение определенных выше прямых и точки с помощью команды draw([T,a,b,m(color=blue)]);

  • По графику видно, что медиана опущена из точки пересечения заданных сторон треугольника (вершина А). Определим координаты вершин В(х1,у1), принадлежащей прямой а, и вершины С(х2,у2), принадлежащей прямой b. Точка Т(3,9) принадлежит прямой m (медиане), и точка Т принадлежит третьей стороне треугольника с, следовательно, Т – середина ВС.

  • С помощью команды solve({x1+x2=2*3,y1+y2=2*9,2*x1-y1=0,5*x2-y2=0},{x1,x2,y1,y2}); определяем х1, х2, у1, у2.

  • Задаем уравнение третьей стороны по двум точкам: line(l3,[point(B,4,8),point(C,2,10)]):

  • Получаем уравнение в аналитическом виде с помощью команды Equation(l3,[x,y]);


hello_html_m2ae965dd.png

Ответ: х+у-12=0.


Задание 4. Дана прямая x-2y+1=0, содержащая основание ВС треугольника АВС, и вершина А(3,-4), противолежащая этому основанию. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из А на сторону ВС.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем точку А(3,-4) и прямую, содержащую основание ВС треугольника АВС с помощью соответствующих команд point(A,3,-4): line(bc,x-2*y+1=0,[x,y]):

  • Вектор (1,-2) – нормальный вектор для (ВС), вектор (2,1) – направляющий для высоты (АН) и Аhello_html_m289d78ff.gif(АН): line(AH,2*(x-3)+(y+4)=0,[x,y]):

  • Находим уравнение в аналитическом виде АН: Equation(AH,[x,y]);

  • Находим координаты точки пересечения высоты с основанием (ВС), используя команду intersection(H,AH,bc): coordinates(H);

  • Затем расстояние от точки А до точки Н: distance(A,H);


hello_html_3cca7d10.png

Ответ: уравнение высоты 2х-2+у=0, длина высоты hello_html_m5661ead9.gif.

Задание 5. Дано уравнение стороны ромба hello_html_m5c64951a.gif: х+3у-8=0 и уравнение его диагонали hello_html_47fcdc1c.gif: 2х+у+4=0. Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка К(-9,-1) лежит на стороне, параллельной данной.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

  • Задаем уравнения стороны и диагонали ромба с помощью соответствующих команд: line(l1,x+3*y-8=0): line(d1,2*x+y+4=0):

  • Определяем точку К(-9,-1) командой point(K,-9,-1):

  • Пусть hello_html_ma1eae35.gif - сторона ромба, параллельная данной hello_html_m5c64951a.gif, тогда Кhello_html_m289d78ff.gifhello_html_ma1eae35.gif

  • Составляем уравнение прямой hello_html_ma1eae35.gif с помощью команды line(l2,(x+9)+3*(y+1)=0):

  • Находим вершину ромба А, как точку пересечения диагонали hello_html_47fcdc1c.gif и стороны hello_html_m5c64951a.gif. Для этого используем команду intersection(A,l1,d1):

  • Координаты точки А можно узнать и с помощью следующей команды: detail(A);

  • Находим вершину ромба С, как точку пересечения диагонали hello_html_47fcdc1c.gif и стороны hello_html_ma1eae35.gif с помощью команды intersection(C,l2,d1):

  • Находим точку пересечения диагоналей, как середину отрезка АС: midpoint(O,A,C):

  • detail(O);

  • так как вторая диагональ hello_html_361f639f.gif и hello_html_m42d38883.gif, то можно составить уравнение прямой hello_html_431c6427.gif с помощью команды line(d2,-1*(x+2)+2*(y+0)=0):

  • Находим вершину ромба, как точку пересечения диагонали hello_html_431c6427.gif и стороны hello_html_m5c64951a.gif, intersection(B,l1,d2):

  • получаем уравнение стороны hello_html_6d30771e.gif: line(l3,[B,C]):

  • Находим вершину ромба D, как точку пересечения диагонали hello_html_431c6427.gif и стороны hello_html_ma1eae35.gif: intersection(D,l2,d2):

  • Получаем уравнение стороны hello_html_m5c3cc73b.gif: line(l4,[D,A]): Equation(l4);

  • Получаем уравнения прямых hello_html_m514a86e6.gif и hello_html_m594b936f.gif в аналитическом виде: Equation(l3);

  • Equation(l2);


hello_html_m1eed2e48.png

Ответ: х+12+3у=0; -8+6х-2у=0; -32-6х+2у=0.


Задание 6. Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми hello_html_m5c64951a.gif: х+у-1=0, hello_html_ma1eae35.gif: х+2у-1=0, hello_html_m33d8f597.gif: 2х-5у+2=0.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем заданные прямые с помощью команд

  • line(l1,x-1+y=0,[x,y]):

  • line(l2,x-1+2*y=0,[x,y]):

  • line(l3,2*x-5*y+2=0,[x,y]):

  • Определяем угол между прямыми hello_html_m5c64951a.gif и hello_html_ma1eae35.gif командой FindAngle(l1,l2);

  • Определяем угол между прямыми hello_html_m33d8f597.gif и hello_html_m5c64951a.gif командой FindAngle(l3,l1);

  • Определяем угол между прямыми hello_html_m33d8f597.gif и hello_html_ma1eae35.gif командой FindAngle(l3,l2);


hello_html_6ad60935.png

Ответ: hello_html_7aa86c12.gif.


Задание 7. На прямой hello_html_m5c64951a.gif: 2х-3у+6=0 найти точки, находящиеся на расстоянии 2/5 от прямой hello_html_ma1eae35.gif: 3х-4у+11=0.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Искомая точка Р(х1,у1)hello_html_m289d78ff.gifhello_html_ma1eae35.gif. Определяем эту точку с помощью команды point(P,x1,y1):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

  • Задаем одну из прямых с помощью команды: line(l1,3*x-4*y+11=0):

  • Находим расстояние между этой прямой и точкой Р: d:=distance(P,l1);

  • Находим координаты точек на второй прямой, удовлетворяющих заданным условиям: solve({2*x1-3*y1+6=0,d=2/5},{x1,y1});


hello_html_1587e548.png

Ответ: hello_html_m62b5a86f.gifhello_html_m234dfd05.gif.


Задание 8. Пусть прямая задана уравнением x=2, и даны две окружности, также заданные соответствующими уравнениями: hello_html_2b2bb393.gif. Выяснить к какой окружности прямая линия является касательной.

Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

  • Задаем окружности с1 и с2 с помощью команды: circle(c1,(x+1)^2 + (y-2)^2 =4), circle(c2,x^2 + y^2 =4):

  • Прямую задаем с помощью команды: line(l, x =2):

  • Проверяем является ли прямая касательной к окружности с2: AreTangent(l, c2);

  • Проверяем является ли прямая касательной к окружности с1: AreTangent(l, c1);



hello_html_524b410b.png

Ответ: hello_html_25991c61.gif


Задание 9. Пусть вершины треугольника заданны своими координатами А(7,7); В(11,2); С(7,2). Проверить, является ли треугольник равносторонним или прямоугольным. В случае если треугольник прямоугольный, найти его площадь.

Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем треугольник координатами его вершин с помощью команды: triangle(ABC, [point(A,7,7), point(B,11,2), point(C,7,2)]);

  • Проверяем условие, является ли треугольник равносторонним с помощью команды: IsEquilateral(ABC);

  • Проверяем условие, является ли треугольник прямоугольным с помощью команды: IsRightTriangle(ABC);

  • Находим площадь треугольника: area(ABC);


hello_html_39d50735.png

Ответ: треугольник прямоугольный, площадь треугольника равна 10.


Задание 10. Вычислить и изобразить графически вписанную и описанную окружности треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(5,1); С(3,6).

Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем треугольник координатами своих вершин: triangle(T, [point(A,0,0), point(B,5,1), point(C,3,6)]):

  • Вычисляем описанную окружность и получаем ее детальное описание:

    • circumcircle(Elc, T, 'centername' = OO);

  • hello_html_7e74960b.png

    • detail(Elc);

  • Получаем графическое изображение окружности, описанной около треугольника: draw({Elc,T},printtext=true);


  • Вычисляем вписанную окружность и получаем ее детальное описание:

> incircle(inc,T,'centername'=o);

hello_html_74438917.png

> detail(inc);

Получаем графическое изображение окружности, вписанной в треугольник: draw({inc,T},printtext=true);





hello_html_m78cddee.png

hello_html_7f8197d8.png

10


Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров158
Номер материала ДВ-400813
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх